Matematika

kajian struktur objek abstrak seperti angka, ruang, fungsi dan hubungan

Matematika[b] (dari bahasa Yunani Kuno μάθημα (máthēma), berarti "pengetahuan, pemikiran, pengkajian, pembelajaran"), adalah bidang ilmu, yang mencakup studi tentang topik-topik seperti bilangan (aritmetika dan teori bilangan),[1] rumus dan struktur terkait (aljabar),[2] bangun dan ruang tempat mereka berada (geometri),[1] dan besaran serta perubahannya (kalkulus dan analisis).[3][4][5] Tidak ada kesepakatan umum tentang ruang lingkup yang tepat atau status epistemologisnya.[6][7]

Euklides (sedang memegang jangka sorong), matematikawan Yunani, abad ke-3 SM, seperti yang dilukiskan oleh Raffaello Sanzio di dalam detail ini dari Sekolah Athena (1509–1511).[a]

Matematika selalu berkembang, misalnya di Tiongkok pada tahun 300 SM, di India pada tahun 100 M, dan di Arab pada tahun 800 M, hingga zaman Renaisans, ketika temuan baru matematika berinteraksi dengan penemuan ilmiah baru yang mengarah pada peningkatan yang cepat di dalam laju penemuan matematika. Berlanjut hingga kini,[8] matematika digunakan di seluruh dunia sebagai alat penting di berbagai bidang, termasuk ilmu alam, teknik, kedokteran/medis, dan ilmu sosial seperti ekonomi, dan psikologi. Matematika terapan, cabang matematika yang melingkupi penerapan pengetahuan matematika ke bidang-bidang lain, mengilhami dan membuat penggunaan temuan-temuan matematika baru, dan kadang-kadang mengarah pada pengembangan disiplin-disiplin ilmu yang sepenuhnya baru, seperti statistika dan teori permainan.

Matematika banyak digunakan dalam ilmu pengetahuan untuk fenomena pemodelan. Hal ini memungkinkan ekstraksi perkiraan kuantitatif dari hukum-hukum percobaan. Misalnya, pergerakan planet dapat diprediksi dengan akurasi tinggi menggunakan hukum gravitasi Newton yang dipadukan dengan perhitungan matematis. Ketakbergantungan kebenaran matematis dari percobaan manapun menyiratkan bahwa keakuratan perkiraan semacam itu hanya bergantung pada kecukupan model untuk menggambarkan kenyataan. Jadi, ketika munculnya beberapa perkiraan yang tidak tepat, itu berarti bahwa model harus diperbaiki atau diubah, bukan berarti matematika salah. Misalnya, presesi apsis atau perihelium Merkurius tidak dapat dijelaskan dengan hukum gravitasi Newton, tetapi dijelaskan secara akurat oleh relativitas umum Einstein. Pengesahan percobaan teori Einstein ini menunjukkan bahwa hukum gravitasi Newton hanyalah hampiran (yang masih sangat akurat dalam kehidupan sehari-hari).

Matematika sangat penting di banyak bidang, termasuk ilmu alam, rekayasa, kedokteran, keuangan, ilmu komputer, dan ilmu sosial. Beberapa bidang matematika, seperti statistika dan teori permainan, dikembangkan dalam korelasi langsung dengan terapannya, dan sering dikelompokkan dengan nama matematika terapan. Bidang matematika lainnya dikembangkan secara independen dari aplikasi apapun (dan oleh karena itu disebut matematika murni), tetapi aplikasi praktis sering ditemukan kemudian.[9][10] Contoh yang tepat adalah masalah faktorisasi prima, yang merujuk kepada Euklides, tetapi yang tidak memiliki aplikasi praktis sebelum digunakan dalam sistemkripto RSA (untuk keamanan jaringan komputer).

Etimologi

Kata "matematika" berasal dari bahasa Yunani Kuno: μάθημα (máthēma), yang berarti "yang dipelajari,"[11] "apa yang seseorang ingin ketahui," dengan demikian juga berarti "pengkajian" dan "ilmu pengetahuan". Kata untuk "matematika" memiliki arti yang kian menyempit dan lebih teknis "studi matematika" bahkan di zaman Klasik.[12] Kata sifat-nya adalah mathēmatikós (μαθηματικός), berarti "berhubungan dengan pembelajaran" atau "rajin belajar," yang selanjutnya berarti "matematis". Secara khusus, mathēmatikḗ tékhnē (μαθηματικὴ τέχνη; bahasa Latin: ars mathematica) berarti "seni matematika".

Demikian pula, salah satu dari dua aliran pemikiran utama dalam Pythagoreanisme dikenal sebagai the mathēmatikoi (μαθηματικοί)—yang pada saat itu berarti "pembelajar" daripada "matematikawan" dalam pengertian modern.

Dalam bahasa Latin, dan dalam bahasa Inggris sampai sekitar tahun 1700, istilah matematika lebih sering berarti "astrologi" (atau kadang-kadang "astronomi") daripada "matematika"; artinya secara bertahap berubah menjadi apa yang sebagaimana dipahami sekarang ini sejak tahun 1500-an hingga 1800-an. Hal ini berakibat pada beberapa penerjemahan yang keliru. Misalnya, seruan peringatan dari Santo Agustinus bahwa orang Kristen harus waspada terhadap mathematici, yang berarti astrolog, kadang-kadang salah diterjemahkan sebagai kutukan matematikawan.[13]

Bentuk jamak sering dipakai di dalam bahasa Inggris, seperti juga di dalam bahasa Prancis bentuk jamak les mathématiques (dan jarang digunakan sebagai turunan bentuk tunggal la mathématique), merujuk pada bentuk jamak bahasa Latin yang cenderung netral mathematica (Cicero), berdasarkan bentuk jamak τὰ μαθηματικά (ta mathēmatiká), yang dipakai Aristoteles (384–322 SM), yang terjemahan kasarnya berarti "segala hal yang matematis", meskipun dapat diterima bahwa bahasa Inggris hanya meminjam kata sifat mathematic(al) dan diikuti bentuk kata benda mathematics, setelah mengikuti pola physics dan metaphysics, yang dipinjam dari bahasa Yunani.[14] Tetapi, di dalam bahasa Inggris, kata benda jamak mathematics berubah menjadi bentuk tunggal mathematic bila dipakai sebagai kata kerja. Di dalam ragam percakapan, matematika kerap kali disingkat sebagai math di Amerika Utara dan maths di tempat lain.[15]

Sejarah

 
Sebuah quipu, yang dipakai oleh Inca untuk mencatatkan bilangan.

Evolusi matematika dapat dipandang sebagai sederetan abstraksi yang selalu bertambah banyak. Abstraksi mula-mula, yang juga berlaku pada banyak binatang,[16] adalah tentang bilangan: pernyataan bahwa dua apel dan dua jeruk (sebagai contoh) memiliki jumlah yang sama.

 
Matematikawan Yunani Pythagoras (c. 570 BC – c. 495 BC), secara umum dikenal atas penemuan Teorema Pythagoras

Selain mengetahui cara mencacah objek-objek fisika, manusia prasejarah juga mengenali cara mencacah besaran abstrak, seperti waktuhari, musim, tahun.[17][18] Aritmetika dasar (penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian) mengikuti secara alami.

 
Lempengan matematika Babilonia, Plimpton 322, berasal dari tahun 1800-an SM.

Langkah selanjutnya memerlukan penulisan atau sistem lain untuk mencatatkan bilangan, semisal tali atau dawai bersimpul yang disebut quipu dipakai oleh bangsa Inca untuk menyimpan data numerik. Sistem bilangan ada banyak dan bermacam-macam, bilangan tertulis yang pertama diketahui ada di dalam naskah warisan Mesir Kuno di Kerajaan Pertengahan Mesir, Lembaran Matematika Rhind.

Penggunaan terkuno matematika adalah di dalam perdagangan, pengukuran tanah, pelukisan, dan pola-pola penenunan dan pencatatan waktu dan tidak pernah berkembang luas hingga tahun 3000 SM ke muka ketika orang Babilonia dan Mesir Kuno mulai menggunakan aritmetika, aljabar, dan geometri untuk penghitungan pajak dan urusan keuangan lainnya, bangunan dan konstruksi, dan astronomi.[19][20] Pengkajian matematika yang sistematis di dalam kebenarannya sendiri dimulai pada zaman Yunani Kuno antara tahun 600 dan 300 SM.

 
Archimedes menggunakan metode penghabis, digambarkan di sini, untuk memperkirakan nilai pi.

Naskah matematika tertua berasal dari Mesopotamia dan Mesir, berangka tahun 2000-an sampai 1800-an SM. Banyak teks awal menyebutkan tripel Pythagoras, dengan demikian dapat disimpulkan bahwa teorema Pythagoras tampaknya menjadi konsep matematika yang paling kuno dan paling masyhur setelah aritmetika dasar dan geometri. Rekaman arkeologis menunjukkan bahwa matematika Babilonia-lah yang pertama memunculkan aritmetika dasar (perjumlahan, perkurangan, perkalian, dan perbagian). Orang Babilonia juga memiliki sistem nilai-tempat dan menggunakan sistem angka seksagesimal yang masih digunakan sampai sekarang untuk mengukur sudut dan waktu.[21]

 
Matematikawan Persia Al-Khwarizmi (780 M–850 M), pencetus aljabar.

Selama Zaman keemasan Islam, khususnya abad ke-9 dan abad ke-10, matematika mendapatkan banyak inovasi penting yang dibangun diatas landasan matematika Yunani: kebanyakan dari inovasi ini termasuk kontribusi dari matematikawan Persia seperti Al-Khwarizmi, Omar Khayyam dan Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī.

Selama periode modern awal, matematika mulai berkembang dengan pesat di Eropa Barat. Pengembangan kalkulus oleh Isaac Newton dan Gottfried Leibniz pada abad ke-17 merevolusi matematika. Leonhard Euler adalah matematikawan paling terkenal dpada abad ke-18, menyumbangkan banyak teorema dan penemuan. Mungkin matematikawan terkemuka abad ke-19 adalah matematikawan Jerman Carl Gauss, yang membuat banyak kontribusi untuk bidang-bidang seperti aljabar, analisis, geometri diferensial, teori matriks, teori bilangan, dan statistik. Pada awal abad ke-20, Kurt Gödel mengubah matematika dengan menerbitkan teorema ketidaklengkapan, yang menunjukkan sebagian bahwa setiap sistem aksioma yang konsisten—jika cukup kuat untuk menggambarkan aritmetika—akan berisi proposisi benar yang tidak dapat dibuktikan.

Matematika sejak saat itu segera berkembang luas, dan terdapat interaksi bermanfaat antara matematika dan sains, menguntungkan kedua belah pihak. Penemuan-penemuan matematika dibuat sepanjang sejarah dan berlanjut hingga kini. Menurut Mikhail B. Sevryuk, pada Januari 2006 terbitan Bulletin of the American Mathematical Society, "Banyaknya makalah dan buku yang dilibatkan di dalam basis data Mathematical Reviews sejak 1940 (tahun pertama beroperasinya MR) kini melebihi 1,9 juta, dan melebihi 75 ribu artikel ditambahkan ke dalam basis data itu tiap tahun. Sebagian besar karya di samudera ini berisi teorema matematika baru beserta bukti-buktinya."[22].[14]

Definisi yang diajukan

Tidak ada kesepakatan umum mengenai definisi pasti atau epistemologi status matematika.[6][7] Banyak matematikawan profesional yang tidak tertarik pada definisi matematika, atau menganggapnya tidak dapat ditentukan.[6] Bahkan tidak ada kesepakatan tentang apakah matematika adalah seni atau sains.[7] Beberapa orang hanya mengatakan, "Matematika adalah apa yang matematikawan lakukan."[6]

Aristoteles mendefinisikan matematika sebagai "ilmu kuantitas" dan definisi ini berlaku sampai abad ke-18. Namun, Aristoteles juga memperingatkan bahwa fokus pada kuantitas saja tidak dapat membedakan matematika dari ilmu-ilmu seperti fisika; menurutnya, yang menjadikan matematika unik adalah adanya proses abstraksi dan pengkajian kuantitas sebagai sifat "yang dapat dipisahkan dalam pemikiran" dari contoh nyata.[23]

Pada abad ke-19, ketika studi matematika semakin meningkat dalam ketelitian dan mulai membahas topik-topik abstrak seperti teori grup dan geometri proyektif, yang tidak memiliki hubungan yang jelas dengan kuantitas dan pengukuran, matematikawan dan filsuf mulai mengajukan berbagai definisi baru.[24] Sampai hari ini, para filsuf terus menjawab pertanyaan-pertanyaan dalam filsafat matematika, seperti sifat pembuktian matematika.[25]

Ilham, matematika murni dan terapan, dan estetika

 
Sir Isaac Newton (1643-1727), seorang penemu kalkulus infinitesimal.

Matematika muncul pada saat dihadapinya masalah-masalah yang rumit yang melibatkan kuantitas, struktur, ruang, atau perubahan. Mulanya masalah-masalah itu dijumpai di dalam perdagangan, pengukuran tanah, dan kemudian astronomi; kini, semua ilmu pengetahuan menganjurkan masalah-masalah yang dikaji oleh para matematikawan, dan banyak masalah yang muncul di dalam matematika itu sendiri. Misalnya, seorang fisikawan Richard Feynman menemukan rumus integral lintasan mekanika kuantum menggunakan paduan nalar matematika dan wawasan fisika, dan teori dawai masa kini, teori ilmiah yang masih berkembang yang berupaya membersatukan empat gaya dasar alami, terus saja mengilhami matematika baru.[26]

Beberapa matematika hanya bersesuaian di dalam wilayah yang mengilhaminya, dan diterapkan untuk memecahkan masalah lanjutan di wilayah itu. Tetapi sering kali matematika diilhami oleh bukti-bukti di satu wilayah ternyata bermanfaat juga di banyak wilayah lainnya, dan menggabungkan persediaan umum konsep-konsep matematika. Fakta yang menakjubkan bahwa matematika "paling murni" sering beralih menjadi memiliki terapan praktis adalah apa yang Eugene Wigner menyebutnya " Keefektifan luar biasa matematika sampai taraf tak masuk akal dalam Ilmu Pengetahuan Alam membutuhkan penjelasan.".[27]

Seperti di sebagian besar wilayah pengkajian, ledakan pengetahuan pada zaman ilmiah telah mengarah pada pengkhususan di dalam matematika. Satu perbedaan utama adalah di antara matematika murni dan matematika terapan: sebagian besar matematikawan memusatkan penelitian mereka hanya pada satu wilayah ini, dan kadang-kadang pilihan ini dibuat sedini perkuliahan program sarjana mereka. Beberapa wilayah matematika terapan telah digabungkan dengan tradisi-tradisi yang bersesuaian di luar matematika dan menjadi disiplin yang memiliki hak tersendiri, termasuk statistika, riset operasi, dan ilmu komputer.

Mereka yang berminat kepada matematika sering kali menjumpai suatu aspek estetika tertentu di banyak matematika. Banyak matematikawan berbicara tentang keanggunan matematika, estetika yang tersirat, dan keindahan dari dalamnya. Kesederhanaan dan keumumannya dihargai. Terdapat keindahan di dalam kesederhanaan dan keanggunan bukti yang diberikan, semisal bukti Euclid yakni bahwa terdapat tak-terhingga banyaknya bilangan prima, dan di dalam metode numerik yang anggun bahwa perhitungan laju, yakni transformasi Fourier cepat. G. H. Hardy di dalam A Mathematician's Apology mengungkapkan keyakinan bahwa penganggapan estetika ini, di dalamnya sendiri, cukup untuk mendukung pengkajian matematika murni.[28]

Para matematikawan sering bekerja keras menemukan bukti teorema yang anggun secara khusus, pencarian Paul Erdős sering berkutat pada sejenis pencarian akar dari "Alkitab" di mana Tuhan telah menuliskan bukti-bukti kesukaannya.[29][30] Kepopularan matematika rekreasi adalah isyarat lain bahwa kegembiraan banyak dijumpai ketika seseorang mampu memecahkan soal-soal matematika.

Penalaran logika

Matematikawan berusaha keras untuk mengembangkan hasil mereka dengan penalaran sistematis untuk menghindari kekeliruan menggunakan suatu "teorema". Bukti yang keliru ini sering muncul dari intuisi yang salah dan telah umum dalam sejarah matematika. Untuk memungkinkan penalaran deduktif, beberapa asumsi dasar perlu diakui secara tersurat sebagai aksioma. Secara tradisional aksioma ini dipilih atas dasar pertimbangan akal sehat, tetapi aksioma modern biasanya mengungkapkan jaminan formal untuk gagasan primitif, seperti objek dan relasi sederhana.

Keabsahan bukti matematika pada dasarnya adalah masalah kekakuan, dan kekakuan yang disalahpahami adalah penyebab penting bagi beberapa kesesatan konseptual umum tentang matematika. Bahasa matematika lebih presisi dibandingkan percakapan sehari-hari terhadap kata-kata seperti atau dan hanya. Kata-kata lain seperti terbuka dan lapangan diinvestasikan dengan makna baru untuk konsep matematika tertentu. Kadang-kadang diperkenalkan istilah yang sama sekali baru (seperti homeomorfisme). Kosakata teknis ini tepat dan ringkas, sehingga memungkinkan untuk secara psikis memproses ide-ide yang kompleks. Matematikawan menyebut ketepatan bahasa dan logika ini sebagai "kekakuan".

Kekakuan yang diharapkan dalam matematika telah bervariasi dari waktu ke waktu: orang Yunani mengharapkan argumen yang terperinci, tapi di masa kejayaan Isaac Newton, metode yang digunakan kurang kaku. Masalah yang melekat dalam definisi yang digunakan oleh Newton menyebabkan kebangkitan analisis yang cermat dan bukti formal pada abad ke-19. Kemudian pada awal abad ke-20, Bertrand Russell dan Alfred North Whitehead menerbitkan karya mereka, Principia Mathematica, upaya untuk menunjukkan bahwa semua konsep dan pernyataan matematika dapat didefinisikan, kemudian dibuktikan seluruhnya melalui logika simbolik. Ini adalah bagian dari program filosofis yang lebih luas yang dikenal sebagai logisisme, yang melihat matematika terutama sebagai perpanjangan dari logika.

Meskipun matematika demikian ringkas, ekspresi pembuktian justru membutuhkan ratusan halaman. Munculnya bukti berbantuan komputer telah memungkinkan panjang bukti untuk lebih berkembang. Bukti yang dibantu komputer mungkin salah jika peranti lunak pembuktian memiliki kekurangan, dan jika bukti itu terlalu panjang, sulit untuk diperiksa.[c][31] Di pihak lain, pembantu pembuktian membolehkan verifikasi perincian yang tidak dapat diberikan oleh bukti yang ditulistangan, dan memberikan kepastian kebenaran bukti panjang seperti yang ada pada bukti setebal 255 halaman untuk Teorema Feit–Thompson.[d]

Notasi simbolis

 
Leonhard Euler menciptakan dan memasyhurkan banyak notasi matematika yang digunakan saat ini.

Sebagian besar notasi matematika yang digunakan saat ini tidaklah ditemukan hingga abad ke-16.[32] Pada abad ke-18, Euler (1707–1783) bertanggung jawab atas banyak notasi yang digunakan saat ini.[33] Sebelum itu, argumen matematika biasanya ditulis dalam kata-kata, membatasi penemuan matematika.[34]

Selain bahasa khusus, matematika kontemporer banyak menggunakan notasi khusus. Simbol-simbol ini juga bersumbangsih pada ketelitian, baik dengan menyederhanakan ekspresi ide matematika maupun dengan memungkinkan operasi rutin yang mengikuti aturan yang konsisten. Notasi modern membuat matematika lebih mudah bagi pelaku yang mahir, tetapi para pemula sering menemukannya sebagai sesuatu yang mengerikan. Terjadi pemadatan yang amat sangat: sedikit lambang berisi informasi yang kaya. Seperti notasi musik, notasi matematika modern memiliki tata kalimat yang kaku dan menyandikan informasi yang barangkali sukar bila dituliskan menurut cara lain.

Bahasa matematika dapat juga terkesan sukar bagi para pemula. Kata-kata seperti atau dan hanya memiliki arti yang lebih presisi daripada di dalam percakapan sehari-hari. Selain itu, kata-kata semisal terbuka dan lapangan memberikan arti khusus matematika. Jargon matematika termasuk istilah-istilah teknis semisal homeomorfisma dan terintegralkan. Tetapi ada alasan untuk notasi khusus dan jargon teknis ini: matematika memerlukan presisi yang lebih dari sekadar percakapan sehari-hari. Para matematikawan menyebut presisi bahasa dan logika ini sebagai "ketat" atau "kaku" (rigor). Jadi, jika suatu kata sudah dimaknai dengan makna tertentu, maka selanjutnya kata itu harus merujuk ke makna tadi. Tak boleh berubah makna. Itulah makna "ketat" ini di bahasa matematika.

 
Lambang ketakhinggaan di dalam beberapa gaya sajian.

Penggunaan bahasa yang ketat secara mendasar merupakan sifat pembuktian matematika. Para matematikawan ingin teorema mereka mengikuti aksioma-aksioma dengan maksud penalaran yang sistematik. Ini untuk mencegah "teorema" yang salah ambil, didasarkan pada praduga kegagalan, di mana banyak contoh pernah muncul di dalam sejarah subjek ini.[35] Tingkat kekakuan diharapkan di dalam matematika selalu berubah-ubah sepanjang waktu: bangsa Yunani menginginkan dalil yang terperinci, namun pada saat itu metode yang digunakan Isaac Newton kuranglah kaku. Masalah yang melekat pada definisi-definisi yang digunakan Newton akan mengarah kepada munculnya analisis saksama dan bukti formal pada abad ke-19. Kini, para matematikawan masih terus beradu argumentasi tentang bukti berbantuan-komputer. Karena perhitungan besar sangatlah sukar diperiksa, bukti-bukti itu mungkin saja tidak cukup kaku.[36] Aksioma menurut pemikiran tradisional adalah "kebenaran yang menjadi bukti dengan sendirinya", tetapi konsep ini memicu persoalan.

Pada abad ke-19 berkembanglah sebuah aliran pemikiran yang dikenal sebagai formalisme. Bagi seorang formalis, pada pokoknya matematika adalah tentang sistem formal atas simbol-simbol yang didukung oleh aturan-aturan formal untuk memadukannya. Dari sudut pandang ini, aksioma-aksioma hanyalah rumus-rumus istimewa dalam sistem aksioma, diberikan tanpa diturunkan secara prosedural dari unsur-unsur lain dalam sistem. Contoh maksimal formalisme adalah seruan David Hilbert pada awal abad ke-20, sering disebut program Hilbert, untuk mengodekan semua matematika dengan cara ini.

Pada tingkatan formal, sebuah aksioma hanyalah seutas dawai lambang, yang hanya memiliki makna tersirat di dalam konteks semua rumus yang terturunkan dari suatu sistem aksioma. Inilah tujuan program Hilbert untuk meletakkan semua matematika pada sebuah basis aksioma yang kokoh, tetapi menurut Teorema ketaklengkapan Gödel tiap-tiap sistem aksioma (yang cukup kuat) memiliki rumus-rumus yang tidak dapat ditentukan; dan oleh karena itulah suatu aksiomatisasi terakhir di dalam matematika adalah mustahil. Meski demikian, matematika sering dibayangkan (di dalam konteks formal) tidak lain kecuali teori himpunan di beberapa aksiomatisasi, dengan pengertian bahwa tiap-tiap pernyataan atau bukti matematika dapat dikemas ke dalam rumus-rumus teori himpunan.

Kurt Gödel membuktikan tujuan ini pada dasarnya tidak mungkin dengan teorema ketidaklengkapannya, yang menunjukkan sistem formal apapun yang cukup kaya untuk menggambarkan, bahkan aritmetika sederhana tidak dapat menjamin kelengkapan atau konsistensinya sendiri. Meskipun demikian, konsep formalis terus mempengaruhi matematika secara besar-besaran, sampai-sampai pernyataan tersebut diharapkan dapat diekspresikan dalam rumus-rumus teori himpunan.[37]

Pengetahuan abstrak

Isaac Newton (kiri) dan Gottfried Wilhelm Leibniz mengembangkan kalkulus infinitesimal.

Dalam praktiknya, matematikawan biasanya dikelompokkan dengan ilmuwan, dan matematika memiliki banyak kesamaan dengan ilmu fisika, terutama penalaran deduktif dari asumsi. Matematikawan mengembangkan hipotesis matematika, dikenali sebagai konjektur, menggunakan metode coba-coba dengan intuisi juga, serupa dengan apa yang dilakukan oleh ilmuwan.[38] Matematika percobaan dan metode komputasi seperti simulasi juga kian penting dalam matematika.

Kini, semua ilmu pengetahuan menghadapi masalah yang dipelajari oleh matematikawan, dan sebaliknya, hasil dari matematika sering menimbulkan pertanyaan dan realisasi baru dalam ilmu pengetahuan. Misalnya, fisikawan Richard Feynman memadukan penalaran matematika dan wawasan fisika untuk menemukan rumus integral lintasan dari mekanika kuantum. Di pihak lain, teori dawai adalah kerangka kerja yang diusulkan untuk menyatukan banyak fisika modern yang telah mengilhami teknik dan hasil baru dalam matematika.[39]

 
Carl Friedrich Gauss, dikenali sebagai pangeran-nya para matematikawan

Matematikawan Jerman, Carl Friedrich Gauss, bahkan melangkah lebih jauh dengan menyebut matematika "Ratu-nya Ilmu Pengetahuan",[40] dan yang lebih baru, Marcus du Sautoy menggambarkan matematika sebagai "kekuatan pendorong utama di balik penemuan ilmiah".[41] Namun, beberapa penulis menekankan bahwa, dalam jalan utama, matematika berbeda dari gagasan ilmu pengetahuan modern: matematika tidak bergantung pada Bukti empiris.[42][43][44][45]

Ruang lingkup pengetahuan matematika telah meluas secara dramatis sejak revolusi ilmiah, dan seperti bidang kajian lainnya, keadaan ini telah mendorong spesialisasi. Pada tahun 2010, Klasifikasi Subjek Matematika terbaru dari Masyarakat Matematika Amerika mengakui ratusan subbidang, dengan klasifikasi lengkap mencapai 46 halaman.[46] Biasanya, banyak konsep dalam subbidang dapat tetap terisolasi dari cabang matematika lainnya tanpa batas tertentu; hasil dapat berfungsi terutama sebagai perancah untuk mendukung teorema dan teknik lain, atau mereka mungkin tidak memiliki hubungan yang jelas dengan apa pun di luar subbidang.

Matematika menunjukkan kecenderungan yang luar biasa untuk berkembang, dan seiring waktu, matematikawan sering menemukan terapan yang mengejutkan atau keterkaitan antar konsep. Salah satu contoh yang sangat berpengaruh adalah program Erlangen dari Felix Klein, yang membangun hubungan inovatif dan mendalam antara geometri dan aljabar. Ini pada gilirannya membuka kedua bidang ke abstraksi yang lebih besar dan melahirkan subbidang yang sama sekali baru.

Perbedaan sering dibuat antara matematika terapan dan matematika yang sepenuhnya berorientasi pada pertanyaan dan konsep abstrak, dikenal sebagai matematika murni. Seperti cabang matematika lainnya, batas ruang lingkupnya cair. Ide-ide yang awalnya berkembang dengan terapan tertentu dalam pikiran sering diperumum kemudian, setelah itu bergabung dengan persediaan umum konsep matematika. Beberapa bidang matematika terapan bahkan telah bergabung dengan bidang praktis untuk menjadi disiplin ilmu tersendiri, seperti statistika, riset operasi, dan ilmu komputer.

Mungkin yang lebih mengejutkan adalah ketika ide mengalir ke arah lain, dan bahkan matematika "paling murni" mengarah pada perkiraan atau terapan yang tidak terduga. Misalnya, teori bilangan menempati tempat sentral dalam kriptografi modern, dan dalam fisika, turunan dari persamaan Maxwell mendahului bukti eksperimental gelombang radio dan kecepatan konstan cahaya. Fisikawan Eugene Wigner menamakan fenomena ini sebagai "keefektifan matematika yang tidak masuk akal".[10]

Hubungan luar biasa antara matematika abstrak dan realitas material telah menyebabkan perdebatan filosofis setidaknya sejak zaman Pythagoras. Filsuf kuno Plato berpendapat ini mungkin karena realitas material mencerminkan objek abstrak yang hadir tanpa terikat waktu. Akibatnya, pandangan bahwa "objek matematika terabstraksi dengan sendirinya" sering disebut sebagai Platonisme. Sementara sebagian besar matematikawan biasanya tidak menyibukkan diri dengan pertanyaan yang diajukan oleh Platonisme, sebagian matematikawan lainnya justru lebih berpikiran filosofis dalam bertindak dan dikenali sebagai Platonis, bahkan pada masa kini.[47]

Kreativitas dan intuisi

Kebutuhan akan kebenaran dan kekakuan tidak berarti matematika tidak memiliki tempat untuk kreativitas. Sebaliknya, sebagian besar pekerjaan matematika di luar perhitungan hafalan membutuhkan pemecahan masalah yang cerdas dan mengeksplorasi perspektif baru secara intuitif.

Kecenderungan matematis seringkali tidak hanya melihat kreativitas, tetapi juga nilai estetika dalam matematika, yang biasa digambarkan sebagai keanggunan. Kualitas seperti kesederhanaan, kesimetrisan, kelengkapan, dan keumuman sangat berharga dalam pembuktian dan teknik. G. H. Hardy dalam karyanya A Mathematician's Apology menyatakan keyakinan bahwa pertimbangan estetika ini, dengan sendirinya, cukup untuk membenarkan kajian matematika murni. Dia juga mengidentifikasi kriteria lain seperti signifikansi, tak terduga, dan keniscayaan, yang bersumbangsih pada estetika matematika.[48]

Paul Erdős mengungkapkan sentimen ini secara lebih ironis dengan berbicara tentang "The Book", yang dianggap sebagai koleksi ilahi dari bukti-bukti yang paling indah. Terinspirasi oleh Erdős, kumpulan argumen matematika yang sangat ringkas dan inspiratif telah diterbitkan dalam Proofs from THE BOOK. Beberapa contoh hasil yang sangat elegan adalah bukti Euklides bahwa ada tak-hingga banyaknya bilangan prima dan transformasi Fourier cepat untuk analisis harmonik.

Beberapa orang merasa bahwa penganggapan matematika sebagai ilmu pengetahuan adalah berarti meremehkan seni dan sejarahnya dalam tujuh pengetahuan budaya tradisional.[49] Salah satu cara perbedaan sudut pandang ini terjadi adalah dalam perdebatan filosofis mengenai apakah hasil matematis diciptakan (sebagaimana dalam seni) atau ditemukan (sebagaimana dalam ilmu pengetahuan).[50] Kemasyhuran matematika rekreasi adalah tanda lain dari kesenangan yang ditemukan banyak orang dalam memecahkan pertanyaan matematika.

Pada abad ke-20, matematikawan L. E. J. Brouwer bahkan memprakarsai perspektif filsafat yang dikenal sebagai intuisionisme, yang mengenali matematika dengan proses kreatif tertentu dalam pikiran.[51] Intuisionisme pada gilirannya adalah satu rasa dari sikap yang dikenal sebagai konstruksivisme, yang hanya menganggap absah suatu objek matematika jika dapat langsung dibangun, tidak hanya dijamin oleh logika secara tidak langsung. Hal ini menyebabkan para konstruktivis berkomitmen untuk menolak hasil tertentu, terutama argumen seperti bukti eksistensial yang didasarkan pada hukum yang mengecualikan posisi tengah.[52]

Pada akhirnya, baik konstruktivisme maupun intuisionisme tidak menggantikan matematika klasik atau meraih penerimaan arus utama. Namun, program-program ini telah memotivasi perkembangan tertentu, seperti logika intuisionistik dan wawasan dasar lainnya, yang dihargai dalam haknya masing-masing.[52]

Matematika sebagai ilmu pengetahuan

 
Carl Friedrich Gauss, menganggap dirinya sebagai "pangerannya para matematikawan", dan mengatakan matematika sebagai "Ratunya Ilmu Pengetahuan".

Carl Friedrich Gauss mengatakan matematika sebagai "Ratunya Ilmu Pengetahuan".[53] Di dalam bahasa aslinya, Latin Regina Scientiarum, juga di dalam bahasa Jerman Königin der Wissenschaften, kata yang bersesuaian dengan ilmu pengetahuan berarti (lapangan) pengetahuan. Jelas, inipun arti asli di dalam bahasa Inggris, dan tiada keraguan bahwa matematika di dalam konteks ini adalah sebuah ilmu pengetahuan. Pengkhususan yang mempersempit makna menjadi ilmu pengetahuan alam adalah pada masa terkemudian. Bila seseorang memandang ilmu pengetahuan hanya terbatas pada dunia fisika, maka matematika, atau sekurang-kurangnya matematika murni, bukanlah ilmu pengetahuan.

Albert Einstein menyatakan bahwa "sejauh hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, maka mereka tidaklah pasti; dan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan."[54]

Banyak filsuf yakin bahwa matematika tidak dapat dibuktikan maupun disangkal berdasarkan percobaan, dan dengan demikian bukanlah ilmu pengetahuan per definisi Karl Popper.[55] Tetapi, di dalam karya penting tahun 1930-an tentang logika matematika menunjukkan bahwa matematika tidak bisa direduksi menjadi logika, dan Karl Popper menyimpulkan bahwa "sebagian besar teori matematika, seperti halnya fisika dan biologi, adalah hipotetis-deduktif: oleh karena itu matematika menjadi lebih dekat ke ilmu pengetahuan alam yang hipotesis-hipotesisnya adalah konjektur (dugaan), lebih daripada sebagai hal yang baru."[56] Para bijak bestari lainnya, sebut saja Imre Lakatos, telah menerapkan satu versi pemalsuan kepada matematika itu sendiri.

Sebuah tinjauan alternatif adalah bahwa lapangan-lapangan ilmiah tertentu (misalnya fisika teoretis) adalah matematika dengan aksioma-aksioma yang ditujukan sedemikian sehingga bersesuaian dengan kenyataan. Faktanya, seorang fisikawan teoretis, J. M. Ziman, mengajukan pendapat bahwa ilmu pengetahuan adalah pengetahuan umum dan dengan demikian matematika termasuk di dalamnya.[57] Di beberapa kasus, matematika banyak saling berbagi dengan ilmu pengetahuan fisika, sebut saja penggalian dampak-dampak logis dari beberapa anggapan. Intuisi dan percobaan juga berperan penting di dalam perumusan konjektur-konjektur, baik itu di matematika, maupun di ilmu-ilmu pengetahuan (lainnya).

Matematika percobaan terus bertumbuh kembang, mengingat kepentingannya di dalam matematika, kemudian komputasi dan simulasi memainkan peran yang semakin menguat, baik itu di ilmu pengetahuan, maupun di matematika, melemahkan objeksi yang mana matematika tidak menggunakan metode ilmiah. Di dalam bukunya yang diterbitkan pada 2002 A New Kind of Science, Stephen Wolfram berdalil bahwa matematika komputasi pantas untuk digali secara empirik sebagai lapangan ilmiah di dalam haknya/kebenarannya sendiri.

Pendapat-pendapat para matematikawan terhadap hal ini adalah beraneka macam. Banyak matematikawan merasa bahwa untuk menyebut wilayah mereka sebagai ilmu pengetahuan sama saja dengan menurunkan kadar kepentingan sisi estetikanya, dan sejarahnya di dalam tujuh seni liberal tradisional; yang lainnya merasa bahwa pengabaian pranala ini terhadap ilmu pengetahuan sama saja dengan memutar-mutar mata yang buta terhadap fakta bahwa antarmuka antara matematika dan penerapannya di dalam ilmu pengetahuan dan rekayasa telah mengemudikan banyak pengembangan di dalam matematika.

Satu jalan yang dimainkan oleh perbedaan sudut pandang ini adalah di dalam perbincangan filsafat apakah matematika diciptakan (seperti di dalam seni) atau ditemukan (seperti di dalam ilmu pengetahuan). Adalah wajar bagi universitas bila dibagi ke dalam bagian-bagian yang menyertakan departemen Ilmu Pengetahuan dan Matematika, ini menunjukkan bahwa lapangan-lapangan itu dipandang bersekutu tetapi mereka tidak seperti dua sisi keping uang logam. Pada tataran praktisnya, para matematikawan biasanya dikelompokkan bersama-sama para ilmuwan pada tingkatan kasar, tetapi dipisahkan pada tingkatan akhir. Ini adalah salah satu dari banyak perkara yang diperhatikan di dalam filsafat matematika.

Penghargaan matematika umumnya dipelihara supaya tetap terpisah dari kesetaraannya dengan ilmu pengetahuan. Penghargaan yang adiluhung di dalam matematika adalah Fields Medal (medali lapangan),[58][59] dimulakan pada 1936 dan kini diselenggarakan tiap empat tahunan. Penghargaan ini sering dianggap setara dengan Hadiah Nobel ilmu pengetahuan.

Wolf Prize in Mathematics, dilembagakan pada 1978, mengakui masa prestasi, dan penghargaan internasional utama lainnya, Hadiah Abel, diperkenalkan pada 2003. Ini dianugerahkan bagi ruas khusus karya, dapat berupa pembaharuan, atau penyelesaian masalah yang terkemuka di dalam lapangan yang mapan.

Sebuah daftar terkenal berisikan 23 masalah terbuka, yang disebut "masalah Hilbert", dihimpun pada 1900 oleh matematikawan Jerman David Hilbert. Daftar ini meraih persulangan yang besar di antara para matematikawan, dan paling sedikit sembilan dari masalah-masalah itu kini terpecahkan.

Sebuah daftar baru berisi tujuh masalah penting, berjudul "Masalah Milenium", diterbitkan pada 2000. Pemecahan tiap-tiap masalah ini berhadiah US$ 1 juta, dan hanya satu (hipotesis Riemann) yang mengalami penggandaan di dalam masalah-masalah Hilbert.

Bidang-bidang matematika

 
Sebuah sempoa, alat hitung sederhana yang dipakai sejak zaman kuno.

Disiplin-disiplin utama di dalam matematika pertama muncul karena kebutuhan akan perhitungan di dalam perdagangan, untuk memahami hubungan antarbilangan, untuk mengukur tanah, dan untuk meramal peristiwa astronomi. Empat kebutuhan ini secara kasar dapat dikaitkan dengan pembagian-pembagian kasar matematika ke dalam pengkajian besaran, struktur, ruang, dan perubahan (yakni aritmetika, aljabar, geometri, dan analisis). Selain pokok bahasan itu, juga terdapat pembagian-pembagian yang dipersembahkan untuk pranala-pranala penggalian dari jantung matematika ke lapangan-lapangan lain: ke logika, ke teori himpunan (dasar), ke matematika empirik dari aneka macam ilmu pengetahuan (matematika terapan), dan yang lebih baru adalah ke pengkajian kaku akan ketakpastian.

Besaran

Pengkajian besaran dimulakan dengan bilangan, pertama bilangan asli dan bilangan bulat ("semua bilangan") dan operasi aritmetika di ruang bilangan itu, yang dipersifatkan di dalam aritmetika. Sifat-sifat yang lebih dalam dari bilangan bulat dikaji di dalam teori bilangan, dari mana datangnya hasil-hasil popular seperti Teorema Terakhir Fermat. Teori bilangan juga memegang dua masalah tak terpecahkan: konjektur prima kembar dan konjektur Goldbach.

Karena sistem bilangan dikembangkan lebih jauh, bilangan bulat diakui sebagai himpunan bagian dari bilangan rasional ("pecahan"). Sementara bilangan pecahan berada di dalam bilangan real, yang dipakai untuk menyajikan besaran-besaran kontinu. Bilangan real diperumum menjadi bilangan kompleks. Inilah langkah pertama dari jenjang bilangan yang beranjak menyertakan kuaternion dan oktonion. Perhatian terhadap bilangan asli juga mengarah pada bilangan transfinit, yang memformalkan konsep pencacahan ketakhinggaan. Wilayah lain pengkajian ini adalah ukuran, yang mengarah pada bilangan kardinal dan kemudian pada konsepsi ketakhinggaan lainnya: bilangan alef, yang memungkinkan perbandingan bermakna tentang ukuran himpunan-himpunan besar ketakhinggaan.

         
Bilangan asli Bilangan bulat Bilangan rasional Bilangan real Bilangan kompleks

Ruang

Pengkajian ruang bermula dengan geometri–khususnya, geometri Euklides. Trigonometri memadukan ruang dan bilangan, dan mencakupi Teorema Pythagoras yang terkenal. Pengkajian modern tentang ruang memperumum gagasan-gagasan ini untuk menyertakan geometri berdimensi lebih tinggi, geometri non-Euklides (yang berperan penting di dalam relativitas umum) dan topologi. Besaran dan ruang berperan penting di dalam geometri analitik, geometri diferensial, dan geometri aljabar. Di dalam geometri diferensial terdapat konsep-konsep buntelan serat dan kalkulus lipatan.

Di dalam geometri aljabar terdapat penjelasan objek-objek geometri sebagai himpunan penyelesaian persamaan polinom, memadukan konsep-konsep besaran dan ruang, dan juga pengkajian grup topologi, yang memadukan struktur dan ruang. Grup lie biasa dipakai untuk mengkaji ruang, struktur, dan perubahan. Topologi di dalam banyak percabangannya mungkin menjadi wilayah pertumbuhan terbesar di dalam matematika abad ke-20, dan menyertakan konjektur Poincaré yang telah lama ada dan teorema empat warna, yang hanya "berhasil" dibuktikan dengan komputer, dan belum pernah dibuktikan oleh manusia secara manual.

         
Geometri Trigonometri Geometri diferensial Topologi Geometri fraktal

Perubahan

Memahami dan menjelaskan perubahan adalah tema biasa di dalam ilmu pengetahuan alam dan kalkulus telah berkembang sebagai alat yang penuh-daya untuk menyelidikinya. Fungsi-fungsi muncul di sini sebagai konsep penting untuk menjelaskan besaran yang berubah. Pengkajian kaku tentang bilangan real dan fungsi-fungsi berperubah real dikenal sebagai analisis riil, dengan analisis kompleks lapangan yang setara untuk bilangan kompleks.

Hipotesis Riemann, salah satu masalah terbuka yang paling mendasar di dalam matematika, dilukiskan dari analisis kompleks. Analisis fungsional memusatkan perhatian pada ruang fungsi (biasanya berdimensi tak-hingga). Satu dari banyak terapan analisis fungsional adalah mekanika kuantum.

Banyak masalah secara alami mengarah pada hubungan antara besaran dan laju perubahannya, dan ini dikaji sebagai persamaan diferensial. Banyak gejala di alam dapat dijelaskan menggunakan sistem dinamik; teori kekacauan (chaos mempertepat jalan-jalan di mana banyak sistem ini memamerkan perilaku deterministik yang masih saja belum terdugakan.

           
Kalkulus Kalkulus vektor Persamaan diferensial Sistem dinamik Teori chaos Analisis kompleks

Struktur

Banyak objek matematika, semisal himpunan bilangan dan fungsi, memamerkan struktur bagian dalam. Sifat-sifat struktural objek-objek ini diselidiki di dalam pengkajian grup, gelanggang, lapangan dan sistem abstrak lainnya, yang mereka sendiri adalah objek juga. Ini adalah lapangan aljabar abstrak. Sebuah konsep penting di sini yakni vektor, diperumum menjadi ruang vektor dan dikaji di dalam aljabar linear. Pengkajian vektor memadukan tiga wilayah dasar matematika: besaran, struktur, dan ruang. Kalkulus vektor memperluas lapangan itu ke dalam wilayah dasar keempat, yakni perubahan. Kalkulus tensor mengkaji kesetangkupan dan perilaku vektor yang dirotasi. Sejumlah masalah kuno tentang Kompas dan konstruksi garis lurus akhirnya terpecahkan oleh Teori Galois.

       
Teori bilangan Aljabar abstrak Teori grup Teori order

Dasar dan filsafat

Untuk memperjelas dasar-dasar matematika, bidang logika matematika dan teori himpunan dikembangkan, juga teori kategori yang masih dikembangkan. Kata majemuk "krisis dasar" mejelaskan pencarian dasar kaku untuk matematika yang mengambil tempat pada dasawarsa 1900-an sampai 1930-an.[60] Beberapa ketaksetujuan tentang dasar-dasar matematika berlanjut hingga kini. Krisis dasar dipicu oleh sejumlah silang sengketa pada masa itu, termasuk kontroversi teori himpunan Cantor dan kontroversi Brouwer-Hilbert.

Logika matematika diperhatikan dengan meletakkan matematika pada sebuah kerangka kerja aksiomatis yang kaku, dan mengkaji hasil-hasil kerangka kerja itu. Logika matematika adalah rumah bagi Teori ketaklengkapan kedua Gödel, mungkin hasil yang paling dirayakan di dunia logika, yang (secara informal) berakibat bahwa suatu sistem formal yang berisi aritmetika dasar, jika suara (maksudnya semua teorema yang dapat dibuktikan adalah benar), maka tak-lengkap (maksudnya terdapat teorema sejati yang tidak dapat dibuktikan di dalam sistem itu).

Gödel menunjukkan cara mengonstruksi, kumpulan sembarang aksioma bilangan teoretis yang diberikan, sebuah pernyataan formal di dalam logika yaitu sebuah bilangan sejati-suatu fakta teoretik, tetapi tidak mengikuti aksioma-aksioma itu. Oleh karena itu, tiada sistem formal yang merupakan aksiomatisasi sejati teori bilangan sepenuhnya. Logika modern dibagi ke dalam teori rekursi, teori model, teori pembuktian terpaut dekat dengan ilmu komputer teoretis.

     
Logika matematika Teori himpunan Teori kategori

Matematika diskret

Matematika diskret adalah nama lazim untuk lapangan matematika yang paling berguna di dalam ilmu komputer teoretis. Ini menyertakan teori komputabilitas, teori kompleksitas komputasional dan teori informasi. Teori komputabilitas memeriksa batasan-batasan berbagai model teoretis komputer, termasuk model yang dikenal paling berdaya - Mesin turing.

Teori kompleksitas adalah pengkajian traktabilitas oleh komputer; beberapa masalah, meski secara teoretis terselesaikan oleh komputer, tetapi cukup mahal menurut konteks waktu dan ruang, tidak dapat dikerjakan secara praktis, bahkan dengan cepatnya kemajuan perangkat keras komputer. Teori informasi memusatkan perhatian pada banyaknya data yang dapat disimpan pada media yang diberikan, oleh sebab itu berkenaan dengan konsep-konsep semisal pemadatan dan entropi.

Sebagai lapangan yang relatif baru, matematika diskret memiliki sejumlah masalah terbuka yang mendasar. Yang paling terkenal adalah "Masalah P versus NP", salah satu Masalah Milenium.[61]

       
Kombinatorika Teori komputasi Kriptografi Teori graf

Matematika terapan

Matematika terapan berkenaan dengan penggunaan alat matematika abstrak guna memecahkan masalah-masalah konkret di dalam ilmu pengetahuan, bisnis dan wilayah lainnya. Salah satu bagian penting di dalam matematika terapan adalah statistika, yang menggunakan teori peluang sebagai alat dan membolehkan penjelasan, analisis dan peramalan gejala di mana peluang berperan penting. Sebagian besar percobaan, survey dan pengkajian pengamatan memerlukan statistika. (Tetapi banyak statistikawan tidak menganggap mereka sendiri sebagai matematikawan, melainkan sebagai kelompok sekutu.)

Analisis numerik menyelidiki metode komputasional untuk memecahkan masalah-masalah matematika secara efisien yang biasanya terlalu lebar bagi kapasitas numerik manusia, analisis numerik melibatkan pengkajian galat pembulatan atau sumber-sumber galat lain di dalam komputasi.

Matematika murni

Matematika murni merupakan cabang matematika yang digunakan untuk pengembangan prinsip-prinsip matematika. Bahasan pada matematika murni tidak mempertimbangkan penerapan praktis matematika dalam sains. Kehadiran matematika murni bertujuan untuk mengatasi masalah-masalah yang timbul selama penerapan matematika murni dalam berbagai disiplin ilmiah.[62]

Dalam masyarakat

Bahkan ketika sulit, matematika memiliki kemampuan luar biasa untuk melintasi batas-batas budaya dan periode waktu. Namun, sebagai aktivitas manusia, praktik matematika juga memiliki sisi sosial, termasuk perhatian seperti pendidikan, karir, pengakuan, dll.

Masalah penghargaan dan hadiah

 
Sisi lempeng bagian depan Medali Fields

Penghargaan paling bergengsi dalam matematika adalah Medali Fields,[63][64] didirikan pada tahun 1936 dan diberikan setiap empat tahun (kecuali sekitar Perang Dunia II) kepada sebanyak empat orang.[65][66] Ini adalah ekivalen Hadiah Nobel untuk matematika.[66]

Penghargaan bergengsi lainnya meliputi:

Daftar masyhur 23 soal terbuka, disebut "Masalah Hilbert", disusun pada tahun 1900 oleh matematikawan Jerman David Hilbert.[73] Daftar ini mendapat sambutan hebat di kalangan matematikawan[74], dan setidaknya 13 soal (tergantung cara menafsirkan) kini telah diselesaikan.[73] Daftar baru dari tujuh soal penting, berjudul "Masalah Milenium", diterbitkan pada tahun 2000. Hanya satu dari mereka, hipotesis Riemann, menggandakan salah satu masalah Hilbert. Solusi untuk semua soal ini dijanjikan hadiah 1 juta dolar.[75] Kini, hanya satu dari masalah ini yang telah diselesaikan, yaitu konjektur Poincaré.[76]

Lihat pula

Catatan

  1. ^ Tidak ada perupaan atau penjelasan tentang wujud fisik Euklides yang dibuat selama masa hidupnya yang masih bertahan dari zaman kuno. Oleh karena itu, penggambaran Euklides di dalam karya seni bergantung pada daya khayal seniman (lihat Euklides).
  2. ^ Sebelumnya disebut pula ilmu hisab.
  3. ^ Untuk mempertimbangkan suatu komputasi besar dapat diandalkan dalam pembuktian, seseorang biasanya memerlukan dua komputasi menggunakan peranti lunak yang independen
  4. ^ Buku yang berisi bukti lengkap memiliki lebih dari 1.000 halaman.

Referensi

  1. ^ a b "mathematics, n.". Oxford English Dictionary. Oxford University Press. 2012. Diarsipkan dari versi asli tanggal 16 Nopember 2019. Diakses tanggal 16 Juni 2012. The science of space, number, quantity, and arrangement, whose methods involve logical reasoning and usually the use of symbolic notation, and which includes geometry, arithmetic, algebra, and analysis. 
  2. ^ Kneebone, G.T. (1963). Mathematical Logic and the Foundations of Mathematics: An Introductory Survey. Dover. hlm. 4. ISBN 978-0-486-41712-7. Mathematics ... is simply the study of abstract structures, or formal patterns of connectedness. 
  3. ^ LaTorre, Donald R.; Kenelly, John W.; Biggers, Sherry S.; Carpenter, Laurel R.; Reed, Iris B.; Harris, Cynthia R. (2011). Calculus Concepts: An Informal Approach to the Mathematics of Change. Cengage Learning. hlm. 2. ISBN 978-1-4390-4957-0. Calculus is the study of change—how things change, and how quickly they change. 
  4. ^ Ramana (2007). Applied Mathematics. Tata McGraw–Hill Education. hlm. 2.10. ISBN 978-0-07-066753-2. The mathematical study of change, motion, growth or decay is calculus. 
  5. ^ Ziegler, Günter M. (2011). "What Is Mathematics?". An Invitation to Mathematics: From Competitions to Research. Springer. hlm. vii. ISBN 978-3-642-19532-7. 
  6. ^ a b c d Mura, Roberta (Dec 1993). "Images of Mathematics Held by University Teachers of Mathematical Sciences". Educational Studies in Mathematics. 25 (4): 375–85. doi:10.1007/BF01273907. JSTOR 3482762. 
  7. ^ a b c Tobies, Renate; Helmut Neunzert (2012). Iris Runge: A Life at the Crossroads of Mathematics, Science, and Industry. Springer. hlm. 9. ISBN 978-3-0348-0229-1. [I]t is first necessary to ask what is meant by mathematics in general. Illustrious scholars have debated this matter until they were blue in the face, and yet no consensus has been reached about whether mathematics is a natural science, a branch of the humanities, or an art form. 
  8. ^ Eves
  9. ^ Peterson 2001, hlm. 12.
  10. ^ a b Wigner, Eugene (1960). "The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences". Communications on Pure and Applied Mathematics. 13 (1): 1–14. Bibcode:1960CPAM...13....1W. doi:10.1002/cpa.3160130102. Diarsipkan dari versi asli tanggal February 28, 2011. 
  11. ^ "mathematic (n.)". Online Etymology Dictionary. Diarsipkan dari versi asli tanggal March 7, 2013. 
  12. ^ Both meanings can be found in Plato, the narrower in Republic 510c Diarsipkan 24 Februari 2021 di Wayback Machine., tetapi Plato tidak menggunakan kata math-; Aristoteles menggunakannya, memberi tanggapan terhadapnya. μαθηματική. Liddell, Henry George; Scott, Robert; A Greek–English Lexicon at the Perseus Project. OED Online, "Mathematics".
  13. ^ Boas, Ralph (1995) [1991]. "What Augustine Didn't Say About Mathematicians". Lion Hunting and Other Mathematical Pursuits: A Collection of Mathematics, Verse, and Stories by the Late Ralph P. Boas, Jr. Cambridge University Press. hlm. 257. ISBN 978-0-88385-323-8. Diarsipkan dari versi asli tanggal 20 Mei 2020. Diakses tanggal 17 Januari 2018. 
  14. ^ a b The Oxford Dictionary of English Etymology, Oxford English Dictionary, sub "mathematics", "mathematic", "mathematics"
  15. ^ "maths, n." dan "math, n.3" Diarsipkan 4 April2020 di Wayback Machine.. Oxford English Dictionary, on-line version (2012).
  16. ^ S. Dehaene, G. Dehaene-Lambertz and L. Cohen, Abstract representations of numbers in the animal and human brain, Trends in Neuroscience, Vol. 21 (8), Aug 1998, 355-361. http://dx.doi.org/10.1016/S0166-2236(98)01263-6.
  17. ^ Sebagai contoh, periksalah Raymond L. Wilder, Evolution of Mathematical Concepts; an Elementary Study, passim
  18. ^ Zaslavsky, Claudia. (1999). Africa Counts : Number and Pattern in African Culture. Chicago Review Press. ISBN 978-1-61374-115-3. OCLC 843204342. Diarsipkan dari versi asli tanggal 31 Maret 2021. Diakses tanggal 29 Mei 2020. 
  19. ^ Kline 1990, Chapter 1.
  20. ^ Kline 1990, Chapter 1.
  21. ^ Boyer 1991, "Mesopotamia" pp. 24–27.
  22. ^ Sevryuk
  23. ^ Franklin, James (2009-07-08). Philosophy of Mathematics. hlm. 104–106. ISBN 978-0-08-093058-9. Diarsipkan dari versi asli tanggal 06 September 2015. Diakses tanggal 01 Juli 2020. 
  24. ^ Cajori, Florian (1893). A History of Mathematics. American Mathematical Society (cetak ulang 1991). hlm. 285–86. ISBN 978-0-8218-2102-2. 
  25. ^ Gold, Bonnie; Simons, Rogers A. (2008). Proof and Other Dilemmas: Mathematics and Philosophy. MAA. 
  26. ^ Johnson, Gerald W.; Lapidus, Michel L. (2002). The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus. Oxford University Press. 
  27. ^ Eugene Wigner, 1960, "The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences, Diarsipkan 2011-02-28 di Wayback Machine." Komunikasi pada Matematika Murni dan Terapan 13(1): 1–14.
  28. ^ Hardy, G. H. (1940). A Mathematician's Apology. Cambridge University Press. 
  29. ^ Gold, Bonnie; Simons, Rogers A. (2008). Proof and Other Dilemmas: Mathematics and Philosophy. MAA. 
  30. ^ Aigner, Martin; Ziegler, Gunter M. (2001). Proofs from the Book. Springer. 
  31. ^ Ivars Peterson, The Mathematical Tourist, Freeman, 1988, ISBN 978-0-7167-1953-3. hal. 4 "Beberapa pihak mengeluh bahwa program komputer tidak dapat diverifikasi dengan benar", (mengacu pada bukti Haken–Apple terhadap Teorema Empat Warna).
  32. ^ Penggunaan Aneka Lambang Matematika Terdini (memuat banyak referensi yang lebih jauh)
  33. ^ "Earliest Uses of Various Mathematical Symbols". Diarsipkan dari versi asli tanggal February 20, 2016. Diakses tanggal September 14, 2014. 
  34. ^ Kline 1990, hlm. 140, mengenai Diophantus; hal. 261, mengenai Vieta.
  35. ^ Lihatlah bukti palsu untuk contoh sederhana dari hal-hal yang bisa salah di dalam bukti formal. sejarah Teorema Empat Warna berisi contoh-contoh bukti-bukti salah yang tanpa sengaja diterima oleh para matematikawan lainnya pada saat itu.
  36. ^ Ivars Peterson, Wisatawan Matematika, Freeman, 1988, ISBN 0-7167-1953-3. p. 4 "Sedikit keluhan akan ketidakmampuan program komputer memeriksa secara wajar," (merujuk kepada bukti Haken-Apple terhadap Teorema Empat Warna).
  37. ^ Patrick Suppes, Axiomatic Set Theory, Dover, 1972, ISBN 978-0-486-61630-8. hal. 1, "Di antara banyak cabang matematika modern, teori himpunan menduduki tempat yang unik: dengan sedikit pengecualian, entitas-entitas yang dipelajari dan dianalisis dalam matematika dapat dianggap sebagai himpunan khusus atau kelas objek tertentu."
  38. ^ "The science checklist applied: Mathematics". undsci.berkeley.edu. Diarsipkan dari versi asli tanggal 27 Oktober 2019. Diakses tanggal 2019-10-27. 
  39. ^ Meinhard E. Mayer (2001). "The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus". Physics Today. 54 (8): 48. Bibcode:2001PhT....54h..48J. doi:10.1063/1.1404851. 
  40. ^ Waltershausen 1965, hlm. 79.
  41. ^ du Sautoy, Marcus (June 25, 2010). "Nicolas Bourbaki". A Brief History of Mathematics. Berlangsung pada min. 12:50. BBC Radio 4. Diarsipkan dari versi asli tanggal December 16, 2016. Diakses tanggal October 26, 2017. 
  42. ^ Bishop, Alan (1991). "Environmental activities and mathematical culture". Mathematical Enculturation: A Cultural Perspective on Mathematics Education. Norwell, Massachusetts: Kluwer Academic Publishers. hlm. 20–59. ISBN 978-0-792-31270-3. Diarsipkan dari versi asli tanggal 25 Desember 2020. Diakses tanggal 5 April 2020. 
  43. ^ Shasha, Dennis Elliot; Lazere, Cathy A. (1998). Out of Their Minds: The Lives and Discoveries of 15 Great Computer Scientists. Springer. hlm. 228. 
  44. ^ Nickles, Thomas (2013). "The Problem of Demarcation". Philosophy of Pseudoscience: Reconsidering the Demarcation Problem. Chicago: The University of Chicago Press. hlm. 104. 
  45. ^ Pigliucci, Massimo (2014). "Are There 'Other' Ways of Knowing?". Philosophy Now. Diarsipkan dari versi asli tanggal 13 Mei 2020. Diakses tanggal 6 April 2020. 
  46. ^ "Mathematics Subject Classification 2010" (PDF). Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal May 14, 2011. Diakses tanggal November 9, 2010. 
  47. ^ Balaguer, Mark (2016). "Platonism in Metaphysics". Dalam Zalta, Edward N. The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edisi ke-Musim Semi 2016). Metaphysics Research Lab, Stanford University. Diakses tanggal 2 April 2022. 
  48. ^ Hardy, G. H. (1940). A Mathematician's Apology. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-42706-7. 
  49. ^ Misalnya, lihatlah pernyataan Bertrand Russell "Matematika, jika dilihat dengan benar, tidak hanya memiliki kebenaran, tetapi juga keindahan tertinggi ..." dalam karyanya History of Western Philosophy
  50. ^ Borel, Armand (March 2017). "Mathematics: Art and Science". EMS Newsletter. 3 (103): 37–45. doi:10.4171/news/103/8 . ISSN 1027-488X. 
  51. ^ Snapper, Ernst (September 1979). "The Three Crises in Mathematics: Logicism, Intuitionism, and Formalism". Mathematics Magazine. 52 (4): 207–16. doi:10.2307/2689412. JSTOR 2689412. 
  52. ^ a b Iemhoff, Rosalie (2020). "Intuitionism in the Philosophy of Mathematics". Dalam Zalta, Edward N. The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edisi ke-Fall 2020). Metaphysics Research Lab, Stanford University. Diakses tanggal April 2, 2022. 
  53. ^ Waltershausen
  54. ^ Einstein, p. 28. Kutipan ini adalah jawaban Einstein terhadap pertanyaan: "betapa mungkin bahwa matematika, di samping yang lain tentunya, menjadi ciptaan pemikiran manusia yang terbebas dari pengalaman, begitu luar biasa bersesuaian dengan objek-objek kenyataan?" Dia juga memperhatikan Keefektifan tak ternalar Matematika di dalam Ilmu Pengetahuan Alam.
  55. ^ Shasha, Dennis Elliot; Lazere, Cathy A. (1998). Out of Their Minds: The Lives and Discoveries of 15 Great Computer Scientists. Springer. hlm. 228. 
  56. ^ Popper 1995, p. 56
  57. ^ Ziman
  58. ^ "Fields Medal kini disepakati paling dikenal dan paling berpengaruh di dalam matematika." Monastyrsky
  59. ^ Riehm
  60. ^ Luke Howard Hodgkin & Luke Hodgkin, A History of Mathematics, Oxford University Press, 2005.
  61. ^ Clay Mathematics Institute Diarsipkan 2013-10-14 di Wayback Machine. P=NP
  62. ^ Kartasasmita, dkk. (1993). Kamus Matematika: Matematika Dasar (PDF). Jakarta: Departemen Pendidikan dan Kebudayaan. hlm. 75. ISBN 979-459-017-7. 
  63. ^ Monastyrsky 2001, hlm. 1: "Medali Fields sekarang tidak dapat disangkal lagi merupakan penghargaan paling terkenal dan paling berpengaruh dalam matematika."
  64. ^ Riehm 2002, hlm. 778–82.
  65. ^ "Fields Medal | International Mathematical Union (IMU)". www.mathunion.org. Diakses tanggal 21 Februari 2022. 
  66. ^ a b "Fields Medal". Maths History (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 21 Februari 2022. 
  67. ^ "About the Abel Prize | The Abel Prize". abelprize.no. Diakses tanggal 2022-01-23. 
  68. ^ "Abel Prize | mathematics award | Britannica". www.britannica.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 23 Januari 2022. 
  69. ^ "CHERN MEDAL AWARD" (PDF). www.mathunion.org. 1 Juni 2009. Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 17 Juni 2009. Diakses tanggal 21 Februari 2022. 
  70. ^ "Chern Medal Award | International Mathematical Union (IMU)". www.mathunion.org. Diakses tanggal 23 Januari 2022. 
  71. ^ Chern, S. S.; Hirzebruch, F. (September 2000). Wolf Prize in Mathematics (dalam bahasa Inggris). doi:10.1142/4149. ISBN 978-981-02-3945-9. 
  72. ^ "The Wolf Prize". Wolf Foundation (dalam bahasa Inggris). Diarsipkan dari versi asli tanggal 12 Januari 2020. Diakses tanggal 23 Januari 2022. 
  73. ^ a b "Hilbert's Problems: 23 and Math". Simons Foundation (dalam bahasa Inggris). 2020-05-06. Diakses tanggal 23 Januari 2022.  Kesalahan pengutipan: Tanda <ref> tidak sah; nama ":0" didefinisikan berulang dengan isi berbeda
  74. ^ Newton, Tommy (2007). "A New Approach to Hilbert's Third Problem" (PDF). www.wku.edu. Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 22 Januari 2013. Diakses tanggal 21 Februari 2022. 
  75. ^ "The Millennium Prize Problems | Clay Mathematics Institute". www.claymath.org. Diakses tanggal 23 Januari 2022. 
  76. ^ "Millennium Problems | Clay Mathematics Institute". www.claymath.org. Diakses tanggal 23 Januari 2022. 

Pustaka

Pranala luar