Program Hilbert

Dalam matematika, program Hilbert adalah teori yang dirumuskan oleh matematikawan Jerman David Hilbert, dalam solusinya yang diusulkan untuk krisis dasar matematika, ketika awal mencoba untuk mengklarifikasi dasar matematika yang ditemukan menderita paradoks dan inkonsistensi. Sebagai solusinya, Hilbert mengusulkan ke tanah semua teori yang ada ke, set lengkap terbatas aksioma, dan memberikan bukti bahwa aksioma ini adalah konsisten. Hilbert mengusulkan bahwa konsistensi sistem yang lebih rumit, seperti analisis real, dapat dibuktikan dalam hal sistem sederhana. Pada akhirnya, konsistensi semua matematika dapat dikurangi menjadi aritmetika dasar.

Teorema ketidaklengkapan Gödel, yang diterbitkan pada tahun 1931, menunjukkan bahwa program Hilbert tidak dapat dicapai untuk bidang-bidang utama matematika. Dalam teorema pertamanya, Gödel menunjukkan bahwa setiap sistem yang konsisten dengan serangkaian aksioma yang dapat dihitung yang mampu mengekspresikan aritmatika tidak akan pernah lengkap: adalah mungkin untuk membangun pernyataan yang dapat dibuktikan benar, tetapi itu tidak dapat diturunkan dari aturan formal sistem. Dalam teorema keduanya, ia menunjukkan bahwa sistem seperti itu tidak dapat membuktikan konsistensinya sendiri, sehingga tentu saja tidak dapat digunakan untuk membuktikan konsistensi sesuatu yang lebih kuat dengan pasti. Ini menyangkal asumsi Hilbert bahwa sistem finitistik dapat digunakan untuk membuktikan konsistensi dirinya sendiri, dan karena itu hal lain.

Pernyataan dari Program Hilbert

Tujuan utama dari program Hilbert adalah untuk memberikan dasar yang aman untuk semua matematika. Secara khusus ini harus mencakup: Sebuah formalisasi semua matematika, dengan kata lain semua pernyataan matematika harus ditulis dalam bahasa formal yang tepat, dan dimanipulasi sesuai dengan aturan yang ditetapkan dengan baik.

• Kelengkapan: bukti bahwa semua pernyataan matematika yang benar dapat dibuktikan dalam formalisme.
• Konsistensi: bukti bahwa tidak ada kontradiksi dapat diperoleh dalam formalisme matematika. Bukti konsistensi ini sebaiknya harus menggunakan hanya "finitistic" penalaran tentang objek matematika yang terbatas.
• Konservasi: bukti bahwa setiap hasil tentang "benda nyata" diperoleh dengan menggunakan penalaran tentang "benda-benda yang ideal" (seperti set terhitung) dapat dibuktikan tanpa menggunakan benda-benda yang ideal.
• Desikadilitas: harus ada algoritme untuk menentukan kebenaran atau kesalahan pernyataan matematika.

Referensi

1. Hilbert program then and now