Matriks (matematika)

susunan bilangan, simbol, atau ekspresi yang disusun dalam baris dan kolom sehingga membentuk suatu bangun persegi

Dalam matematika, matriks adalah susunan[1] bilangan, simbol, atau ekspresi yang disusun dalam baris dan kolom sehingga membentuk suatu bangun persegi.[2][3] Sebagai contoh, matriks di bawah ini adalah matriks berukuran 2 × 3 (baca "dua kali tiga"):

Baris m adalah horizontal dan kolom n vertikal. Setiap elemen matriks sering dilambangkan menggunakan variabel dengan dua notasi indeks. Misalnya, a2,1 mewakili elemen pada baris kedua dan kolom pertama dari matriks A.
karena terdiri dari dua baris dan tiga kolom.

Setiap objek dalam matriks berdimensi sering dilambangkan dengan , dimana nilai maksimum dan nilai maksimum . Objek dalam matriks disebut elemen, entri, atau anggota matriks.[4]

Jika dua matriks memiliki dimensi yang sama (masing-masing matriks memiliki jumlah baris dan jumlah kolom yang sama), kedua matriks tersebut dapat dijumlahkan maupun dikurangkan secara elemen demi elemen. Namun, berdasarkan aturan perkalian matriks, dua matriks hanya dapat dikalikan jika jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris matriks kedua (artinya, perkalian matriks dengan matriks menghasilkan matriks ). Perkalian matriks tidak bersifat komutatif.

Matriks umumnya digunakan untuk merepresentasikan transformasi linear, yakni suatu generalisasi fungsi linear seperti . Sebagai contoh, efek rotasi pada ruang dimensi tiga merupakan sebuah transformasi linear yang dapat dilambangkan dengan matriks rotasi . Jika adalah sebuah vektor di dimensi tiga, hasil dari menyatakan posisi titik tersebut setelah dirotasi. Hasil perkalian dari dua matriks adalah sebuah matriks yang melambangkan komposisi dari dua transformasi linear. Salah satu aplikasi lain dari matriks adalah menemukan solusi sistem persamaan linear. Jika matriks merupakan matriks persegi, beberapa sifat dari matriks tersebut dapat diketahui dengan menghitung nilai determinan. Misalnya, matriks persegi memiliki invers jika dan hanya jika nilai determinannya tidak sama dengan nol. Sisi geometri dari sebuah transformasi linear (dan beberapa hal lain) dapat diketahui dari eigenvalue dan eigenvector matriks.

Aplikasi dari matriks ditemukan pada banyak bidang sains. Pada bidang-bidang fisika, contohnya mekanika klasik, mekanika kuantum, dan optika, matriks digunakan untuk mempelajari keadaan fisis, seperti pergerakan planet. Dalam bidang computer graphics, matriks digunakan untuk memanipulasi model 3D dan memproyeksikannya ke sebuah layar dua dimensi. Pada bidang teori probabilitas dan statistika, matriks stokastik digunakan untuk menjelaskan probabilitas keadaan; contohnya dalam algoritma PageRank dalam menentukan urutan halaman pada pencarian Google. Kalkulus matriks menggeneralisasi bentuk analitik klasik dari turunan dan eksponensial ke dimensi yang lebih tinggi. Matriks juga digunakan dalam bidang ekonomi untuk menjelaskan sistem dari relasi ekonomi.

DefinisiSunting

Matriks adalah susunan angka atau objek matematika lainnya yang disusun dalam bentuk baris dan kolom, dimana operasi seperti penjumlahan dan perkalian dapat didefinisikan. Umumnya, matriks di atas medan   berisi elemen-elemen dari  . Sebagian besar artikel ini berfokus pada matriks riil dan kompleks, yaitu matriks yang masing-masing elemennya berupa bilangan riil atau bilangan kompleks. Jenis elemen matriks yang umum akan dibahas di bawah. Sebagai contoh, ini adalah sebuah matriks riil:

 

UkuranSunting

Ukuran matriks ditentukan oleh jumlah baris dan kolom yang dikandungnya. Matriks dengan  kolom dan  baris disebut matriks   atau matriks "m kali n", dimana   dan   disebut dimensinya. Sebagai contoh, matriks   di atas adalah matriks  . Matriks dengan satu baris disebut vektor baris, dan matriks dengan satu kolom disebut vektor kolom. Matriks dengan jumlah baris dan kolom yang sama disebut matriks persegi. Matriks dengan jumlah baris atau kolom yang tak terbatas (atau keduanya) disebut matriks tak terbatas. Dalam beberapa konteks, akan bermanfaat untuk mempertimbangkan sebuah matriks tanpa baris atau tanpa kolom, yang disebut matriks kosong.

Nama Ukuran Contoh Deskripsi
Vektor baris 1 × n   Sebuah matriks dengan satu baris, terkadang digunakan untuk melambangkan sebuah vektor
Vektor kolom n × 1   Sebuah matriks dengan satu kolom, terkadang digunakan untuk melambangkan sebuah vektor
Matriks persegi n × n   Sebuah matriks dengan jumlah baris dan jumlah kolom yang sama, terkadang digunakan untuk melambangkan sebuah transformasi linear dari sebuah ruang vektor ke dirinya sendiri, seperti refleksi, rotasi, dan shear.

NotasiSunting

Matriks pada umumnya ditulis dalam tanda kurung siku/kurung kurawal:

 
Notasi simbolik untuk menyatakan suatu matriks sangat bervariasi, namun beberapa notasi lebih umum dipakai. Matriks biasanya dilambangkan dengan menggunakan huruf besar (seperti   pada contoh di atas). Sedangkan huruf kecil yang sesuai, dengan dua indeks subskrip, misal  , untuk menyebutkan elemen matriks tersebut. Selain menggunakan huruf besar untuk melambangkan matriks, banyak penulis menggunakan gaya tipografi khusus, yang biasanya dicetak tebal tegak, untuk lebih membedakan matriks dari objek matematika lainnya. Notasi alternatif melibatkan penggunaan double-underline (garis bawah ganda) dengan nama variabel, dengan atau tanpa gaya cetak tebal (contohnya  ).

Elemen baris ke-  dan kolom ke-  dari matriks   terkadang dirujuk sebagai elemen ke  dari matriks, dan umumnya ditulis sebagai  atau  . Alternatif notasi yang lain adalah   atau  . Sebagai contoh, elemen ke   dari matriks   berikut dapat ditulis sebagai  ,  ,   maupun  .

 

Terkadang, elemen dari sebuah matriks dapat didefinisikan dengan menggunakan suatu rumus  . Sebagai contoh, setiap elemen dari matriks   berikut didefinisikan sebagai  

 .

Dalam kasus seperti ini, matriks tersebut juga dapat didefinisikan oleh rumus yang sama, dengan menggunakan kurung siku atau kurung kurawal ganda. Pada contoh di atas, matriks dapat didefinisikan sebagai   atau  .

Simbol bintang (asterisk) terkadang digunakan untuk merujuk sebuah baris atau sebuah kolom pada matriks. Sebagai contoh,  merujuk pada baris ke-  dari matriks  , dan   merujuk pada baris ke-  dari matriks  . Himpunan semua matriks   dilambangkan dengan  .

Operasi dasarSunting

Ada sejumlah operasi dasar yang dapat diterapkan untuk memodifikasi matriks. Operasi dasar pada matriks meliputi penambahan matriks, perkalian skalar, transposisi, perkalian matriks, operasi baris, dan submatriks.

Penjumlahan dan pengurangan matriksSunting

Penjumlahan dan pengurangan matriks hanya dapat dilakukan apabila kedua matriks memiliki ukuran atau tipe yang sama. Elemen-elemen yang dijumlahkan atau dikurangi adalah elemen yang posisi atau letaknya sama.

 

atau dalam representasi dekoratifnya

 
 

Perkalian skalarSunting

Matriks dapat dikalikan dengan sebuah skalar.

 

Contoh perhitungan:

 

Perkalian matriksSunting

Matriks dapat dikalikan dengan cara tiap baris dikalikan dengan tiap kolom, lalu dijumlahkan pada baris yang sama.

 

Contoh perhitungan:

 

Sifat-sifat matriks sebagai berikut:

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 

Untuk pembuktian sifat yang pertama, yaitu sifat komutatif pada pertamabahan matriks, dapat dibuktikan dengan cara yang sederhana, kita asumsikan matriks   dan   secara berturut-turut sebagai

  dan  

Hasil pertambahan dua matriks tersebut yaitu

 

Perhatikan bahwa, elemen-elemen pada hasil operasi pertamahan matriks tersebut tidak lain merupakan penjumlahan pada suatu bilangan dan berlaku sifat komutatif,  , dengan demikian dapat dituliskan sebagai

 

, bentuk di atas tidak lain adalah bentuk dari pertambahan  . Dengan cara yang sama, yaitu dengan memperhatikan setiap elemen pada hasil operasi matriks, dapat dibuktikan juga untuk sifat-sifat yang lain.[5]

Persamaan linearSunting

Matriks dapat digunakan untuk menuliskan dan mengerjakan beberapa persamaan linear sekaligus secara lebih ringkas. Persamaan-persamaan ini disebut sebagai sistem persamaan linear. Sebagai contoh, misalkan   adalah matriks berukuran  ,   adalah suatu vektor kolom (yaitu, matriks  ) dari   variabel  , dan   adalah vektor  , maka persamaan matriks

 

setara dengan sistem persamaan linear[6]

 

Dengan menggunakan matriks, sistem ini dapat diselesaikan secara lebih ringkas daripada yang mungkin dilakukan dengan menuliskan semua persamaan secara terpisah. Pada kasus ketika n = m dan semua persamaan bersifat independen (tidak dapat dinyatakan menggunakan persamaan-persamaan yang lain), solusi dari sistem persamaan dapat dituliskan sebagai

 
dengan   merupakan matriks invers dari  . Namun jika   tidak memiliki invers, solusi dari sistem persamaan — jika ada — dapat ditemukan saat menggunakan invers umum.

Transformasi linearSunting

 
Vektor-vektor (berupa titik sudut pada gambar ini) hasil perkalian dengan matriks 2×2, analog dengan fungsi transformasi yang mengubah persegi satuan menjadi jajaran genjang.

Matriks dan operasi perkaliannya memiliki sifat penting dalam transformasi linear, yang juga dikenal sebagai peta linear. Matriks (real)   berukuran m×n dapat dianggap sebagai suatu transformasi linear dari ruang dimensi-n ke ruang dimensi-m, dengan bahasa lain,  . Transformasi ini memetakan setiap vektor   dalam   ke sebuah vektor   yang terletak dalam  . Sebaliknya setiap transformasi linear  dapat dianggap sebagai efek perkalian dengan suatu matriks   berukuran m×n. Secara eksplisit, entri ke-  dari matriks   adalah koordinat ke-i dari hasil pemetaan  ; vektor   adalah vektor satuan dengan nilai 1 pada koordinat ke-j dan bernilai 0 di koordinat-koordinat yang lain. Dari hubungan ini, matriks   adalah representasi (wakil) dari transformasi linear  , dan disebut sebagai matriks transformasi dari  .

Sebagai contoh, matriks persegi berukuran 2×2

 
dapat dilihat sebagai fungsi yang mengubah persegi satuan menjadi suatu jajaran genjang dengan titik-titik sudut terletak di  ,  ,  , dan  . Jajar genjang yang digambarkan di sebelah kanan diperoleh masing-masing dari mengalikan   dengan vektor kolom  , dan  , secara berurutan. Vektor-vektor ini adalah lokasi titik-titik sudut dari persegi satuan.

Tabel berikut menunjukkan beberapa jenis transformasi linear di   dan matriks 2×2 dan mewakilinya . Setiap transformasi memetakan daerah asli yang berwarna biru menjadi daerah berwarna hijau. Titik asal   ditandai dengan titik berwarna hitam.

Penggeseran horizontal dengan m = 1,25 Refleksi terhadap sumbu vertikal Pemerasan (squeezing) dengan r = 3/2 Penskalaan dengan faktor 3/2 Rotasi sebesar π/6 = 30°
         
         

Karena korespodensi satu-satu antara matriks dan transformasi linear, operasi perkalian matriks berhubungan dengan operasi komposisi fungsi:[7] jika suatu matriks   berukuran k×m mewakili suatu transformasi linear  , maka komposisi fungsi   dapat diwakili oleh perkalian matriks   karena

 
Persamaan yang terakhir adalah hasil dari sifat asosiatif perkalian matriks.

Rank dari matriks   adalah banyak maksimum dari vektor-vektor baris matriks yang saling bebas linear, dan nilainya sama dengan banyak maksimum vektor-vektor kolom yang saling bebas linear.[8] Nilai peringkat ini adalah dimensi dari citra transformasi linear yang diwakili oleh  .[9] Teorema rank–nolitas menyatakan bahwa dimensi kernel dari sebuah matriks jika ditambah dengan rank dari matriks tersebut, akan sama dengan banyak kolom dari matriks tersebut.[10]

Matriks persegiSunting

Matriks persegi adalah matriks yang memiliki jumlah baris dan jumlah kolom yang sama. Matriks berukuran n×n juga disebut sebagai matriks persegi berorde n. Dua matriks persegi dengan orde yang sama dapat ditambahkan maupun dikalikan. Entri-entri   membentuk diagonal utama dari matriks persegi. Mereka terletak pada garis khayal yang membentang dari sudut kiri atas ke sudut kanan bawah matriks.

Bentuk-bentuk umumSunting

Terdapat banyak macam matriks persegi. Sebagian besar dari mereka didefinisikan dari nilai entri-entri pada matriks, sedangkan yang lain didefinisikan dari sifat yang mereka lakukan atau penuhi. Berikut adalah penjelasan beberapa macam matriks persegi.

Matriks diagonal dan matriks segitigaSunting

Nama Contoh dengan n = 3
Matriks diagonal  
Matriks segitiga bawah  
Matriks segitiga atas  

Jika semua entri matriks persegi   yang terletak di bawah diagonal utama bernilai nol,   disebut matriks segitiga atas. Demikian pula jika nilai semua entri   yang terletak di atas diagonal utama sama dengan nol,   disebut matriks segitiga bawah. Jika semua entri yang bukan diagonal utama adalah nol,   disebut matriks diagonal.

Matriks identitas dan matriks skalarSunting

Matriks identitas   berorde n adalah matriks berukuran n×n yang semua elemen diagonal utamanya bernilai 1 sedangkan elemen-elemen lain bernilai 0. Sebagai contoh,

 

Matriks ini dinamakan identitas karena tidak mengubah matriks lain ketika dikalikan:

 
untuk sembarang matriks   berukuran m×n. Matriks ini adalah bentuk khusus dari matriks diagonal. Matriks berupa kelipatan skalar dari matriks identitas disebut matriks skalar. Jika entri-entri matriks identitas diambil dari suatu medan, matriks skalar akan membentuk suatu grup terhadap perkalian matriks, dan isomorfik ke grup multiplikatif dari elemen-elemen tak nol dari medan tersebut.

Matriks simetrik dan variasinyaSunting

Matriks persegi   yang sama dengan hasil transpos-nya, yakni matriks yang memenuhi  , disebut sebagai matriks simetrik. Sedangkan matriks persegi yang sama dengan negatif dari hasil transposnya, yakni  , disebut matriks simetrik serong (skew symetric matrix). Pada matriks dengan entri-entri bilangan kompleks, konsep simetri sering digantikan dengan konsep matriks Hermite. Matriks ini adalah matriks yang memenuhi  , dengan asteris (tanda bintang) menyatakan transpos konjugat dari matriks. Berdasarkan teorema spektral, matriks simetrik real dan matriks Hermite kompleks memiliki basis eigen; artinya setiap vektor dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor eigen. Pada kedua jenis matriks, semua nilai eigennya berupa bilangan real.[11] Teorema tersebut dapat diperumum untuk situasi matriks yang memiliki tak hingga banyak kolom dan baris.

Matriks terbalikkan dan inversnyaSunting

Matriks persegi   disebut terbalikkan, nonsingular, atau invertibel, jika ada suatu matriks   yang memenuhi persamaan

 
dengan   merupakan matriks identitas yang berukuran sama dengan  .[12][13] Jika matriks   ada, matriks ini unik dan disebut sebagai matriks invers dari   dan dinotasikan sebagai  .

PenerapanSunting

Terdapat banyak contoh penerapan dari matriks, baik dalam matematika maupun pada bidang-bidang ilmu lainnya. Sebagian dari mereka hanya menggunakannya untuk mendapatkan bentuk susunan bilangan-bilangan yang lebih ringkas. Sebagai contoh, dalam teori permainan dan ekonomi, matriks imbalan merangkum semua imbalan yang dapat diperoleh dua pemain, tergantung pada himpunan (hingga) pilihan alternatif yang dapat dipilih masing-masing pemain.[14] Proses penambangan teks dan proses mengompilasi tesaurus menggunakan matriks khusus seperti TF-IDF untuk mencatat frekuensi kemunculan kata-kata tertentu pada beberapa dokumen.[15]

Matriks juga dapat digunakan untuk merepresentasikan bilangan kompleks, yakni lewat hubungan

 

dengan a dan b keduanya berupa bilangan real non-negatif. Hubungan ini memberikan cara pandang untuk melihat operasi perkalian dan penjumlahan pada matriks maupun pada bilangan kompleks. Sebagai contoh, perkalian dengan suatu matriks rotasi 2×2 merepresentasikan suatu perkalian dengan bilangan kompleks dengan modulus 1. Hubungan yang mirip juga didapatkan untuk kuartenion[16].

Teknik-teknik enkripsi masa awal seperti sandi Hill juga menggunakan matriks. Malangnya, karena sifat kelinearan matriks, kode yang dihasilkan mudah diretas.[17] Grafika komputer menggunakan matriks untuk merepresentasikan dan mentransformasi objek-objek, contohnya ketika memproyeksikan benda 3D ke layar 2D.[18] Ilmu kimia menggunakan matriks dalam banyak cara, khususnya sejak teori kuantum digunakan untuk menjelaskan ikatan kimia dan spektroskopi. Beberapa contoh matriks yang dipakai adalah matriks overlap dan matriks Fock yang digunakan dalam persamaan Roothaan untuk mendapatkan orbital molekul dari metode Hartree-Fock.

Lihat pulaSunting

ReferensiSunting

  1. ^ Secara ekuivalen, tabel.
  2. ^ (Anton 1987, hlm. 23)
  3. ^ (Beauregard & Fraleigh 1973, hlm. 56)
  4. ^ Young, Cynthia. Precalculus. Laurie Rosatone. hlm. 727. 
  5. ^ "Matriks". 
  6. ^ Brown 1991, I.2.21 and 22
  7. ^ Greub 1975, Section III.2
  8. ^ Brown 1991, Definition II.3.3
  9. ^ Greub 1975, Section III.1
  10. ^ Brown 1991, Theorem II.3.22
  11. ^ Horn & Johnson 1985, Theorem 2.5.6
  12. ^ Brown 1991, Definition I.2.28
  13. ^ Brown 1991, Definition I.5.13
  14. ^ Fudenberg & Tirole 1983, Section 1.1.1
  15. ^ Manning 1999, Section 15.3.4
  16. ^ Ward 1997, Ch. 2.8
  17. ^ Stinson 2005, Ch. 1.1.5 and 1.2.4
  18. ^ Association for Computing Machinery 1979, Ch. 7

Bacaan lebih lanjutSunting

  • Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 3A Untuk Kelas XII Semester 1 Program IPA. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-504-1.  (Indonesia)
  • Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 3A Untuk Kelas XII Semester 1 Program IPS. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-567-X.  (Indonesia)

Pranala luarSunting

Artikel ensiklopedia
Sejarah
Buku daring
Kalkulator matriks daring