Buka menu utama
Sebuah integral tertentu dari sebuah fungsi dapat digambarkan sebagai area yang dibatasi oleh kurva fungsinya.

Integral adalah sebuah konsep penjumlahan secara berkesinambungan dalam matematika, dan bersama dengan inversnya, diferensiasi, adalah satu dari dua operasi utama dalam kalkulus. Integral dikembangkan menyusul dikembangkannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang integral adalah

Bila diberikan suatu fungsi f dari variabel real x dengan interval [a, b] dari sebuah garis lurus, maka integral tertentu

didefinisikan sebagai area yang dibatasi oleh kurva f, sumbu-x, sumbu-y dan garis vertikal x = a dan x = b, dengan area yang berada di atas sumbu-x bernilai positif dan area di bawah sumbu-x bernilai negatif.

Kata integral juga dapat digunakan untuk merujuk pada antiturunan, sebuah fungsi F yang turunannya adalah fungsi f. Pada kasus ini, maka disebut sebagai integral tak tentu dan notasinya ditulis sebagai:

Prinsip-prinsip dan teknik integrasi dikembangkan terpisah oleh Isaac Newton dan Gottfried Leibniz pada akhir abad ke-17. Melalui teorema fundamental kalkulus yang mereka kembangkan masing-masing, integral terhubung dengan diferensial: jika f adalah fungsi kontinu yang terdefinisi pada sebuah interval tertutup [a, b], maka, jika antiturunan F dari f diketahui, maka integral tertentu dari f pada interval tersebut dapat didefinisikan sebagai:

Integral dan diferensial menjadi peranan penting dalam kalkulus, dengan berbagai macam aplikasi pada sains dan teknik.

Definisi formalSunting

Ada beberapa cara untuk mendefinisikan integral.

Integral RiemannSunting

Integral Riemann adalah konsep integral yang dasar. Definisi itu mudah dan berguna khususnya untuk fungsi-fungsi yang kontinu atau kontinu 'titik demi titik'.

Integral LebesgueSunting

Integral Lebesgue merupakan suatu perumuman dari integral Riemann.

Mencari nilai integralSunting

SubstitusiSunting

Contoh soal:
Cari nilai dari: 
 
 
 
 

Integrasi parsialSunting

Integral parsial menggunakan rumus sebagai berikut:
Cara 1
 
Contoh soal:
Cari nilai dari:  
 
Gunakan rumus di atas
 
 
 
Cara 2
Tabel Turunan Integral
+    
-    
+  
 
Contoh soal:
Cari nilai dari:  
Tabel Turunan Integral
+    
-    
+    
Gunakan rumus di atas
  (?)
  (?)

Substitusi trigonometriSunting

BentukGunakan
   
   
   
Contoh soal:
Cari nilai dari:  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cari nilai dari:   dengan menggunakan substitusi
 
 
 
 
 
Masukkan nilai tersebut:
 
 
 
Nilai sin A adalah  
 
 

Integrasi pecahan parsialSunting

Contoh soal:
Cari nilai dari:  
 
 
 
 
Akan diperoleh dua persamaan yaitu   dan  
Dengan menyelesaikan kedua persamaan akan diperoleh hasil  
 
 
 
 

Rumus integrasi dasarSunting

UmumSunting

  ; n ≠ -1

Eksponen dan bilangan naturalSunting

 
  ; a ≠ 1 dan a > 0

Logaritma dan bilangan naturalSunting

 
 
 

TrigonometriSunting

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Invers
 
 
 

HiperbolikSunting

 
 

Panjang busurSunting

  • Sumbu x
 
  • Sumbu y
 

Luas daerahSunting

Satu kurvaSunting

  • Sumbu x
 
  • Sumbu y
 

Dua kurvaSunting

  • Sumbu x
 
  • Sumbu y
 

atau juga  

Luas permukaan benda putarSunting

  • Sumbu x
 

dimana  

  • Sumbu y
 

dimana  

Volume benda putarSunting

Satu kurvaSunting

  • Sumbu x
 
  • Sumbu y
 

Dua kurvaSunting

  • Sumbu x
 
  • Sumbu y
 

ContohSunting

  • Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis   dan batas-batas sumbu y dengan rumus integral!
 
  karena  
 
  • Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis   dan batas-batas sumbu y dengan rumus integral!
 
  karena  
 
  • Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis   dan batas-batas sumbu y dengan rumus integral!
 
  karena  
 
  • Buktikan luas persegi panjang   dengan rumus integral!
Dengan posisi   dan titik (l,p)
 
 
 
 
  • Buktikan luas segitiga   dengan rumus integral!
Dengan posisi   dan titik (t,a)
 
 
 
 
  • Buktikan volume tabung   dengan rumus integral!
Dengan posisi   dan titik (t,r)
 
 
 
 
  • Buktikan volume kerucut   dengan rumus integral!
Dengan posisi   dan titik (t,r)
 
 
 
 
  • Buktikan volume bola   dengan rumus integral!
Dengan posisi   dan titik (-r,0) serta (r,0)
 
 
 
 
 
  • Buktikan keliling lingkaran   dengan rumus integral!
Dengan posisi   dan titik (-r,0) serta (r,0)
Dibuat turunan terlebih dahulu
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  • Buktikan luas lingkaran   dengan rumus integral!
Dengan posisi   dan titik (-r,0) serta (r,0)
Dibuat trigonometri serta turunannya terlebih dahulu
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  • Buktikan luas elips   dengan rumus integral!
Dengan posisi   dan titik (-a,0) serta (a,0)
 
 

anggapan bahwa lingkaran mempunyai jari-jari di titik (-a,0) dan (a,0) setitik dengan elips maka

 
 
 
 
 

Lihat pulaSunting

Pranala luarSunting