Perkalian

operasi matematika dan Perkalian, Perkalian, Dengan, Kali, Banyak

Perkalian (dilambangkan dengan simbol silang ×, oleh garis tengah operator titik , oleh penjajaran, atau, pada komputer, dengan asterisk *) adalah salah satu dari empat dasar operasi matematika dari aritmetika, dengan yang lainnya adalah penambahan, pengurangan dan pembagian. Hasil dari operasi perkalian disebut darab.

Empat kantong dengan tiga kelereng per kantong menghasilkan dua belas kelereng (4 × 3 = 12).
Perkalian juga bisa sebagai penskalaan. Di sini kita melihat 2 dikalikan dengan 3 menggunakan penskalaan, menghasilkan 6 sebagai hasilnya.
Animasi untuk perkalian 2 × 3 = 6.
4 × 5 = 20. Persegi panjang besar terdiri dari 20 kotak, masing-masing memiliki dimensi 1 kali 1.
Luas sehelai kain 4,5m × 2,5m = 11,25m2; 4½ × 2½ = 11¼

Perkalian bilangan bulat dapat dianggap sebagai penjumlahan berulang; yaitu, perkalian dua bilangan sama dengan menjumlahkan sebanyak mungkin salinan salah satunya, perkalian, sebagai kuantitas yang lain, "pengganda". Kedua angka tersebut dapat disebut sebagai faktor.

Misalnya, 4 dikalikan 3, ditulis sebagai dan diucapkan sebagai "3 dikali 4", dapat dihitung dengan menambahkan 3 salinan dari 4 secara bersamaan:

Maka, 3 (pengganda) dan 4 (pengganda) adalah faktor, dan 12 adalah produk.

Salah satu sifat utama dari perkalian adalah sifat komutatif, yang menyatakan dalam hal ini bahwa menambahkan 3 salinan dari 4 memberikan hasil yang sama dengan menambahkan 4 salinan dari 3:

Dengan demikian penunjukan pengali dan pengali tidak mempengaruhi hasil perkalian.[1]

Perkalian bilangan bulat (termasuk bilangan negatif), bilangan rasional (pecahan) dan bilangan riil didefinisikan oleh generalisasi sistematis dari definisi dasar ini.

Perkalian juga divisualisasikan sebagai menghitung objek yang disusun dalam persegi panjang (untuk bilangan bulat), atau mencari luas persegi panjang yang sisi-sisinya memiliki panjang tertentu. Luas persegi panjang tidak bergantung pada sisi mana yang diukur terlebih dahulu—konsekuensi dari sifat komutatif.

Produk dari dua pengukuran adalah jenis pengukuran baru. Misalnya, mengalikan panjang kedua sisi persegi panjang memberikan luasnya. Darab tersebut adalah subjek analisis dimensi.

Operasi invers dari perkalian adalah pembagian. Misalnya, karena 4 dikalikan 3 sama dengan 12, 12 dibagi 3 sama dengan 4. Memang, perkalian dengan 3, diikuti dengan pembagian 3, menghasilkan bilangan asli. Pembagian bilangan selain 0 dengan sendirinya sama dengan 1.

Perkalian juga didefinisikan untuk jenis bilangan lain, seperti bilangan kompleks, dan konstruksi yang abstrak seperti matriks. Untuk beberapa konstruksi yang abstrak ini, urutan operan dikalikan menjadi penting. Daftar berbagai jenis produk yang digunakan dalam matematika diberikan oleh Darab (matematika).

NotasiSunting

 
Tanda perkalian ×

Dalam aritmetika, perkalian sering ditulis menggunakan tanda " " diantara suku-sukunya (yaitu, dalam notasi infiks).[2] Misalnya,

  ("dua kali tiga sama dengan enam")
 
 
 

Tanda kode dalam Unicode di U+00D7 × tanda perkalian (HTML: × ×).

Ada notasi matematika lain untuk perkalian:

  • Perkalian juga dilambangkan dengan tanda titik,[3] biasanya titik posisi tengah (titik):
5 ⋅ 2 atau 5 . 3
Notasi titik tengah, dikodekan dalam Unicode sebagai U+22C5 operator bintik, adalah standar di Amerika Serikat dan negara lain dimana periode digunakan sebagai titik desimal. Jika karakter operator titik tidak dapat diakses, sela (·) digunakan. Di Inggris dan Irlandia, titik/pemberhentian penuh digunakan untuk perkalian dan titik tengah digunakan untuk titik desimal, meskipun penggunaan titik/pemberhentian penuh untuk titik desimal adalah umum. Di negara lain yang menggunakan koma sebagai tanda desimal, baik titik atau titik tengah digunakan untuk perkalian.[butuh rujukan]
  • Dalam aljabar, perkalian yang melibatkan variabel ditulis sebagai penjajaran (misalnya, xy untuk x kali y atau 5x untuk lima kali x), juga disebut perkalian tersirat/implisit.[4] Notasi juga dapat digunakan untuk besaran yang diapit tanda kurung (misalnya, 5(2) atau (5)(2) untuk lima kali dua). Penggunaan perkalian implisit ini disebabkan ambiguitas ketika variabel gabungan kebetulan cocok dengan nama variabel lain, ketika nama variabel di depan tanda kurung dapat dikacaukan dengan nama fungsi, atau dalam penentuan urutan operasi yang benar.
  • Dalam perkalian vektor, terdapat perbedaan antara simbol tanda silang dan titik. Simbol silang umumnya menunjukkan pengambilan perkalian silang dari dua vektor, menghasilkan vektor sebagai hasilnya, sedangkan titik menunjukkan pengambilan produk titik dari dua vektor, menghasilkan skalar.

Dalam pemrograman komputer, tanda bintang (seperti dalam 5*2) masih merupakan notasi yang paling umum. Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa sebagian besar komputer secara historis terbatas pada himpunan karakter kecil (seperti ASCII dan EBCDIC) yang tidak memiliki tanda perkalian (seperti atau ×), sementara tanda bintang muncul di setiap keyboard. Penggunaan ini berasal dari bahasa pemrograman FORTRAN.

Hasil perkalian disebut darab. Hasil kali bilangan bulat adalah kelipatan dari setiap faktor. Misalnya, 15 adalah hasil kali 3 dan 5, dan merupakan kelipatan 3 dan kelipatan 5.

KomputasiSunting

 
The Educated Monkey – mainan kaleng tertanggal 1918, digunakan sebagai “kalkulator” perkalian. Misalnya: atur kaki monyet ke 4 dan 9, dan dapatkan produk – 36 – di tangannya.

Metode umum untuk mengalikan angka menggunakan pensil dan kertas memerlukan tabel perkalian hasil perkalian bilangan kecil yang dihafal atau dikonsultasikan (biasanya dua angka dari 0 hingga 9), namun satu metode adalah algoritma [[perkalian Mesir Kuno|perkalian petani].

Mengalikan angka ke lebih dari beberapa tempat desimal dengan tangan membosankan dan rawan kesalahan. Logaritma umum diciptakan untuk menyederhanakan perhitungan tersebut, karena menambahkan logaritma setara dengan mengalikan. Mistar geser memungkinkan angka dikalikan dengan cepat hingga sekitar tiga tempat akurasi. Dimulai pada awal abad ke-20, kalkulator mekanis, seperti Marchant, penggandaan otomatis hingga 10 angka. Komputer elektronik modern dan kalkulator telah sangat mengurangi kebutuhan akan perkalian dengan tangan.

Algoritma historisSunting

Metode perkalian didokumentasikan dalam tulisan Mesir Kuno, Yunani, India dan China.

Tulang Ishango, berasal dari sekitar 18.000 hingga 20.000 SM, mungkin mengisyaratkan pengetahuan tentang perkalian di era Paleolitik Akhir di Afrika Tengah, namun ini spekulatif.

MesirSunting

Metode perkalian bilangan bulat dan pecahan Mesir, yang didokumentasikan dalam Ahmes Papyrus, adalah dengan penjumlahan dan penggandaan yang berurutan. Misalnya, untuk menemukan produk dari 13 dan 21, seseorang harus menggandakan 21 tiga kali, memperoleh 2 × 21 = 42, 4 × 21 = 2 × 42 = 84, 8 × 21 = 2 × 84 = 168. Darab lengkap kemudian dapat ditemukan dengan menambahkan istilah yang sesuai yang ditemukan dalam urutan penggandaan:

13 × 21 = (1 + 4 + 8) × 21 = (1 × 21) + (4 × 21) + (8 × 21) = 21 + 84 + 168 = 273.

BabiloniaSunting

Orang Babilonia menggunakan seksagesimal sistem bilangan posisional, analog dengan sistem desimal modern. Jadi, perkalian Babilonia sangat mirip dengan perkalian desimal modern. Karena relatif sulitnya mengingat 60 × 60 darao yang berbeda, matematikawan Babilonia menggunakan tabel perkalian. Tabel ini terdiri dari daftar dua puluh kelipatan pertama dari bilangan pokok n tertentu: n, 2n, ..., 20n; diikuti dengan kelipatan 10n: 30n 40n, dan 50n. Kemudian untuk menghitung darab seksagesimal, maka 53n, hanya perlu menambahkan 50n dan 3n yang dihitung dari tabel.

TiongkokSunting

 
38 × 76 = 2888

Dalam teks matematika Zhoubi Suanjing, pada tahun sebelum 300 SM, dan Sembilan Bab tentang Seni Matematika, perhitungan perkalian ditulis dengan kata-kata, meskipun matematikawan Tiongkok awal menggunakan kalkulus batang yang melibatkan penambahan nilai tempat, pengurangan, perkalian dan pembagian. Orang Tiongkok sudah menggunakan tabel perkalian desimal pada akhir periode negara-negara Berperang.[5]

Metode modernSunting

 
Hasilkali 45 dan 256. Perhatikan urutan angka pada 45 dibalik kolom kiri. Langkah penerus perkalian dapat dilakukan pada tahap akhir perhitungan (dicetak tebal), mengembalikan produk akhir 45 × 256 = 11520. Ini adalah varian dari Perkalian kisi.

Metode modern perkalian berdasarkan sistem angka Hindu-Arab pertama kali dijelaskan oleh Brahmagupta. Brahmagupta memberikan aturan untuk penambahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Henry Burchard Fine, saat itu profesor Matematika di Universitas Princeton, menulis sebagai berikut:

Orang India adalah penemu tidak hanya dari sistem desimal posisi itu sendiri, tetapi dari sebagian besar proses yang terlibat dalam perhitungan dasar dengan sistem. Penambahan dan pengurangan yang mereka lakukan cukup seperti yang dilakukan saat ini; perkalian mereka terpengaruh dalam banyak hal, milik kita di antara mereka, tetapi pembagian mereka lakukan dengan tidak praktis.[6]

Algoritma aritmetika desimal nilai tempat ini diperkenalkan ke negara-negara Arab oleh Al Khawarizmi pada awal abad ke-9, dan dipopulerkan di dunia Barat oleh Fibonacci pada abad ke-13.

Metode kisiSunting

Perkalian metode Grid atau metode kotak, digunakan di sekolah dasar di Inggris dan Wales dan di beberapa daerah di Amerika Serikat untuk membantu mengajarkan pemahaman tentang cara kerja perkalian beberapa digit. Contoh mengalikan 34 dengan 13 adalah dengan meletakkan angka-angka dalam kisi seperti:

  30 4
10 300 40
3 90 12

dan kemudian tambahkan entri.

Algoritma komputerSunting

Metode klasik untuk mengalikan dua bilangan n memerlukan digit perkalian n2. Algoritma perkalian telah dirancang untuk mengurangi waktu komputasi secara signifikan saat mengalikan bilangan besar. Metode berdasarkan transformasi Fourier diskret mengurangi kompleksitas komputasi menjadi O(n log n log log n). Baru-baru ini, faktor log log n telah digantikan oleh fungsi yang meningkat jauh lebih lambat meskipun masih tidak konstan (seperti yang diharapkan).[7]

Pada bulan Maret 2019, David Harvey dan Joris van der Hoeven mengirimkan artikel yang menyajikan algoritma perkalian bilangan bulat dengan kompleksitas diklaim oleh  [8] Algoritma juga berdasarkan transformasi Fourier cepat, diperkirakan optimal asimtotik.[9] Algoritma ini tidak dianggap berguna secara praktis, karena keuntungannya hanya muncul ketika mengalikan bilangan besar (memiliki lebih dari 2172912 bits).[10]

Ukuran perkalianSunting

Apabila makna penambahan atau mengurangi jumlah dari jenis yang sama, tetapi jumlah dari jenis yang berbeda dapat dikalikan atau dibagi tanpa masalah. Misalnya, empat kantong dengan tiga kelereng masing-masing dapat dianggap sebagai:[1]

[4 kantong] × [3 kelereng per kantong] = 12 kelereng.

Ketika dua pengukuran dikalikan bersama-sama, produk adalah jenis yang tergantung pada jenis pengukuran. Teori umum diberikan oleh analisis dimensi. Analisis ini secara rutin diterapkan dalam fisika, tetapi juga memiliki aplikasi yang ditemukan di bidang keuangan dan bidang terapan lainnya.

Contoh umum dalam fisika adalah fakta bahwa mengalikan kecepatan dengan waktu menghasilkan jarak. Sebagai contoh:

50 kilometer per jam × 3 jam = 150 kilometer.

Dalam hal ini, unit jam menghasilkan darab dengan hanya unit kilometer.

Contoh lain dari perkalian yang melibatkan unit meliputi:

2,5 meter × 4,5 meter = 11,25 meter persegi
11 meter/detik × 9 detik = 99 meter
4,5 penduduk per rumah × 20 rumah = 90 penduduk

Perkalian barisanSunting

Notasi kapital PiSunting

Perkalian dari barisan faktor dapat ditulis dengan simbol produk, yang berasal dari huruf kapital   (pi) dalam abjad Yunani (sama seperti huruf kapital   (sigma) digunakan dalam konteks penjumlahan).[11][12][13] Posisi Unicode U+220F (∏) ​​berisi glyph untuk menunjukkan produk semacam itu, berbeda dari U+03A0 (Π), huruf tersebut. Arti dari notasi ini diberikan oleh:

 

adalah

 

Subskrip memberikan simbol untuk variabel terikat (  dalam kasus ini), yang disebut "indeks perkalian", bersama dengan batas bawahnya (1), sedangkan superskrip (4) memberikan batas atasnya. Batas bawah dan atas adalah ekspresi yang menunjukkan bilangan bulat. Faktor-faktor produk diperoleh dengan mengambil ekspresi berikut operator produk, dengan nilai bilangan bulat berturut-turut menggantikan indeks perkalian, mulai dari batas bawah dan bertambah 1 sampai (dan termasuk) batas atas. Misalnya:

 

Secara lebih umum, notasi didefinisikan sebagai

 

dimana   dan   adalah bilangan bulat atau ekspresi yang mengevaluasi bilangan bulat. Jika  , nilai hasil kali sama dengan faktor tunggal  ; jika  , perkalian adalah perkalian kosong yang nilainya  —terlepas dari ekspresi faktornya.

SifatSunting

 

Jika semua suku identik, barisan darab setara dengan eksponensial.

 
 
 
 
 

Perkalian takhinggaSunting

Untuk mempertimbangkan perkalian dari banyak istilah yang tak hingga; ini disebut perkalian takhingga. Secara notasi, ini terdiri dari penggantian n atas dengan simbol takhingga ∞. Hasil kali barisan tak hingga tersebut didefinisikan sebagai batas dari hasil kali suku   pertama, karena   tumbuh tanpa batas. Maka, itu adalah,

 

Untuk mengganti m dengan tak hingga negatif, dan mendefinisikan:

 

asalkan kedua batas itu ada.

SifatSunting

 
Perkalian angka 0–10. Label garis = perkalian. Sumbu X = pengali. sumbu Y = produk.
Perluasan pola ini ke kuadran lain memberikan alasan mengapa bilangan negatif dikalikan bilangan negatif menghasilkan bilangan positif.
Perhatikan juga bagaimana perkalian dengan nol menyebabkan pengurangan dimensi, seperti halnya perkalian dengan matriks tunggal dimana determinan adalah 0. Dalam proses ini, informasi hilang dan tidak dapat diperoleh kembali.

Untuk bilangan real dan kompleks, yang mencakup misalnya bilangan asli, bilangan bulat, dan pecahan, perkalian memiliki sifat-sifat tertentu:

Sifat komutatif
Urutan perkalian dua angka:
 
Sifat asosiatif
Ekspresi yang hanya melibatkan perkalian atau penambahan adalah invarian sehubungan dengan urutan operasi:
 
Sifat distributif
Berlaku dengan perkalian atas penambahan. Identitas ini sangat penting dalam menyederhanakan ekspresi aljabar:
 
Elemen identitas
Identitas perkalian adalah 1; sesuatu dikalikan dengan 1 adalah dirinya sendiri. Fitur 1 ini dikenal sebagai sifat identitas:
 
Sifat 0
Setiap angka dikalikan dengan 0 adalah 0. Ini dikenal sebagai sifat nol dari perkalian:
 
Negasi
−1 kali angka berapa pun sama dengan aditif invers dari angka tersebut.
  dimana  
–1 kali –1 adalah 1.
 
Elemen invers
Setiap bilangan x, kecuali 0, memiliki perkalian invers,  , sehingga  .
Urutan kelestarian
Perkalian dengan bilangan positif mempertahankan urutan:
Untuk a > 0, jika b > c maka ab > ac.
Perkalian dengan bilangan negatif membalik urutan:
Untuk a < 0, jika b > c maka ab < ac.
Bilangan kompleks tidak memiliki urutan.

Sistem matematika lain yang menyertakan operasi perkalian mungkin tidak memiliki semua sifat ini. Misalnya, perkalian pada umumnya tidak bersifat komutatif untuk matriks dan kuaternion.

AksiomaSunting

Dalam buku Arithmetices principia, nova methodo exposita, Giuseppe Peano mengusulkan aksioma untuk aritmatika berdasarkan aksiomanya untuk bilangan asli.[14] Aritmetika Peano memiliki dua aksioma untuk perkalian:

 
 

Di sisi lain, S(y) mewakili penerus dari y, atau bilangan asli yang mengikuti y. Berbagai sifat seperti asosiatif dapat dibuktikan dari ini dan aksioma aritmetika Peano lainnya termasuk induksi. Misalnya S(0), dilambangkan dengan 1, adalah identitas perkalian karena

 

Aksioma untuk bilangan bulat biasanya mendefinisikannya sebagai kelas ekuivalen dari pasangan terurut dari bilangan asli. Model ini didasarkan pada memperlakukan (x,y) setara dengan xy ketika x dan y sebagai bilangan bulat. Jadi (0,1) dan (1,2) ekuivalen dengan −1. Aksioma perkalian untuk bilangan bulat yang didefinisikan dengan cara ini adalah

 

Aturan bahwa −1 × −1 = 1 kemudian dapat disimpulkan dari

 

Perkalian diperluas dengan cara yang mirip dengan bilangan rasional dan kemudian ke bilangan real.

Perkalian dengan teori himpunanSunting

Produk bilangan bulat non-negatif dapat didefinisikan dengan teori himpunan menggunakan bilangan kardinal atau aksioma Peano. Lihat di bawah cara memperluasnya ke perkalian bilangan bulat arbitrer, dan kemudian bilangan rasional arbitrer. Produk bilangan real didefinisikan dalam hal produk bilangan rasional, lihat konstruksi bilangan real.

Perkalian dalam teori grupSunting

Terdapat berbagai himpunan, dibawah operasi perkalian, memenuhi aksioma yang mendefinisikan struktur grup. Aksioma tersebut adalah penutupan, asosiatif, dan penyertaan elemen identitas dan invers.

Contoh sederhana adalah himpunan bukan nol bilangan rasional. Apabila memiliki identitas 1, sebagai lawan dari grup dibawah penambahan dimana identitas biasanya 0. Perhatikan bahwa dengan rasional, mengecualikan nol karena dibawah perkalian, tidak memiliki invers: tidak ada bilangan rasional yang dikalikan dengan nol untuk menghasilkan 1. Dalam contoh ini kita memiliki grup abelian, tetapi tidak selalu demikian.

Untuk melihat ini, pertimbangkan himpunan matriks persegi inversi dari dimensi tertentu atas medan yang diberikan. Di sini, sangat mudah untuk memverifikasi penutupan, asosiasi, dan penyertaan identitas (matriks identitas) dan invers. Namun, perkalian matriks tidak komutatif, yang menunjukkan bahwa grup ini non-abelian.

Fakta lain yang perlu diperhatikan adalah bahwa bilangan bulat di bawah perkalian bukanlah grup—bahkan apabila jika mengecualikan nol. Hal ini mudah terlihat dengan tidak adanya invers untuk semua elemen selain 1 dan −1.

Perkalian dalam teori grup biasanya dinotasikan dengan titik, atau dengan penjajaran (penghilangan simbol operasi antar elemen). Jadi perkalian elemen a dengan elemen b dinotasikan sebagai a   b atau ab. Saat merujuk ke grup melalui indikasi set dan operasi, titik digunakan. Misalnya, contoh pertama kami dapat ditunjukkan oleh  .

Perkalian berbagai jenis bilanganSunting

Bilangan dapat menghitung (3 apel), mengurutkan (apel ke-3), atau mengukur (tinggi 3,5 kaki); karena sejarah matematika telah berkembang dari menghitung dengan jari menjadi pemodelan mekanika kuantum, perkalian telah digeneralisasi ke jenis bilangan yang lebih rumit dan abstrak, dan untuk hal-hal yang bukan bilangan (seperti matriks) atau yang tidak terlalu mirip dengan bilangan (seperti kuaternion).

Bilangan bulat
  adalah jumlah salinan N dari M ketika N dan M adalah bilangan bulat positif. Ini memberikan jumlah hal dalam himpunan lebar N dan tinggi M. Generalisasi ke bilangan negatif dapat dilakukan dengan
  dan
 
Aturan tanda yang sama berlaku untuk bilangan rasional dan bilangan real.
Bilangan rasional
Generalisasi pecahan   adalah dengan mengalikan pembilang dan penyebut masing-masing:  . Ini memberikan luas persegi panjang   tinggi dan   lebar, dan sama dengan jumlah hal dalam himpunan ketika bilangan rasional kebetulan adalah bilangan bulat.
Bilangan real
Bilangan real dan darabnya dapat didefinisikan dalam barisan bilangan rasional.
Bilangan kompleks
Mempertimbangkan bilangan kompleks   dan   sebagai pasangan terurut dari bilangan real   dan  , darab   adalah  . Ini sama dengan real,  , ketika bagian imajiner   dan   adalah nol.
Secara ekuivalen, menyatakan   sebagai  , kita memiliki  
Generalisasi lebih lanjut
Lihat Perkalian dalam teori grup, atas, dan Grup perkalian, yang misalnya termasuk perkalian matriks. Konsep perkalian sangat umum dan abstrak adalah sebagai operasi biner "dinotasikan secara perkalian" (kedua) dalam gelanggang. Contoh gelanggang yang bukan salah satu dari sistem bilangan atas adalah gelanggang polinomial, contohnya: Anda dapat menjumlahkan dan mengalikan polinomial, tetapi polinomial bukanlah bilangan dalam pengertian biasa.
Pembagian
Seringkali pembagian,  , sama dengan perkalian dengan invers,   . Perkalian untuk beberapa jenis "bilangan" mungkin memiliki pembagian yang sesuai, tanpa invers; dalam ranah integral x mungkin tidak memiliki invers " " tetapi   dapat didefinisikan. Dalam gelanggang pembagian adalah invers, tetapi   mungkin ambigu dalam ring non-komutatif karena   tidak harus sama dengan  .

EksponensialSunting

Ketika perkalian diulang, operasi yang dihasilkan dikenal sebagai eksponensial. Misalnya, hasil kali tiga faktor dari dua (2×2×2) adalah "dua pangkat tiga", dan dilambangkan dengan 23, dua dengan superskrip tiga. Dalam contoh ini, angka dua adalah basis, dan tiga adalah eksponen. Secara umum, eksponen (atau superskrip) menunjukkan berapa kali basis muncul dalam ekspresi, sehingga ekspresi

 

menunjukkan bahwa salinan n dari basis a harus dikalikan bersama. Notasi ini dapat digunakan bila perkalian diketahui sebagai asosiatif kuasa.

Lihat pulaSunting

CatatanSunting

  1. ^ a b Devlin, Keith (January 2011). "What Exactly is Multiplication?". Mathematical Association of America. Diarsipkan dari versi asli tanggal Mei 27, 2017. Diakses tanggal May 14, 2017. Dengan perkalian Anda memiliki pengali (ditulis kedua) dikalikan dengan pengali (ditulis pertama) 
  2. ^ Khan Academy (2015-08-14), Pengantar perkalian | Perkalian dan pembagian | Aritmetika | Khan Academy, diarsipkan dari versi asli tanggal 2017-03-24, diakses tanggal 2017-03-07 
  3. ^ Khan Academy (2012-09-06), Mengapa kita tidak menggunakan tanda perkalian? | Pengantar aljabar | Aljabar I | Khan Academy, diarsipkan dari versi asli tanggal 2017-03-27, diakses tanggal 2017-03-07 
  4. ^ Announcing the TI Programmable 88! (PDF). Texas Instruments. 1982. Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2017-08-03. Diakses tanggal 2017-08-03. 
  5. ^ Jane Qiu (7 January 2014). "Ancient times table hidden in Chinese bamboo strips". Nature. doi:10.1038/nature.2014.14482. Diarsipkan dari versi asli tanggal 22 January 2014. Diakses tanggal 22 January 2014. 
  6. ^ Fine, Henry B. (1907). The Number System of Algebra – Treated Theoretically and Historically (PDF) (edisi ke-2nd). hlm. 90. 
  7. ^ Harvey, David; van der Hoeven, Joris; Lecerf, Grégoire (2016). "Even faster integer multiplication". Journal of Complexity. 36: 1–30. arXiv:1407.3360 . doi:10.1016/j.jco.2016.03.001. ISSN 0885-064X. 
  8. ^ David Harvey, Joris Van Der Hoeven (2019). Perkalian bilangan bulat dalam perkalian O(n log n) Diarsipkan 2019-04-08 di Wayback Machine.
  9. ^ Hartnett, Kevin. "Mathematicians Discover the Perfect Way to Multiply". Quanta Magazine (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-01-25. 
  10. ^ Klarreich, Erica. "Multiplication Hits the Speed Limit". cacm.acm.org (dalam bahasa Inggris). Diarsipkan dari versi asli tanggal 31 Oktober 2020. Diakses tanggal 2020-01-25. 
  11. ^ "Comprehensive List of Algebra Symbols". Math Vault (dalam bahasa Inggris). 2020-03-25. Diakses tanggal 2020-08-16. 
  12. ^ Weisstein, Eric W. "Product". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-08-16. 
  13. ^ "Summation and Product Notation". math.illinoisstate.edu. Diakses tanggal 2020-08-16. 
  14. ^ "Peano arithmetic". PlanetMath. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2007-08-19. Diakses tanggal 2007-06-03. 

ReferensiSunting

Pranala luarSunting

Templat:Hiperoperasi