Teorema Pythagoras

Hubungan dalam geometri Euklides antara tiga sisi segitiga siku-siku

Dalam matematika, teorema Pythagoeran, juga dikenal sebagai teorema Pythagoras, adalah hubungan mendasar dalam geometri Euclidean di antara tiga sisi segitiga siku-siku. Ini menyatakan bahwa luas kotak yang sisinya adalah sisi miring (sisi yang berlawanan dengan sudut kanan) sama dengan jumlah area kotak di dua sisi lainnya. Teorema ini dapat ditulis sebagai persamaan yang menghubungkan panjang sisi a, b dan c, sering disebut "persamaan Pythagoras":[1]

Teori Pythagoras
Jumlah area dari dua persegi pada kaki (a dan b) sama dengan luas persegi pada sisi miring (c).

di mana c mewakili panjang sisi miring dan a dan b panjang dari dua sisi segitiga lainnya. Teorema itu, yang sejarahnya menjadi pokok perdebatan, dinamai untuk pemikir Yunani kuno Pythagoras.[2]

Teorema ini telah diberikan banyak bukti - mungkin yang paling banyak untuk setiap teorema matematika. Mereka sangat beragam, termasuk bukti geometris dan bukti aljabar, dengan beberapa berasal dari ribuan tahun yang lalu. Teorema dapat digeneralisasi dalam berbagai cara, termasuk ruang dimensi tinggi, ke ruang yang bukan Euclidean, ke objek yang bukan segitiga siku-siku, dan memang, untuk objek yang bukan segitiga sama sekali, tetapi padatan n-dimensi. Teorema Pythagoras telah menarik minat di luar matematika sebagai simbol kemustahilan matematika, mistik, atau kekuatan intelektual; referensi populer dalam sastra, drama, musikal, lagu, perangko dan kartun berlimpah.

Bukti penataan ulangSunting

 
Bukti penataan ulang (klik untuk melihat animasi)

Dua kotak besar yang ditunjukkan pada gambar masing-masing berisi empat segitiga identik, dan satu-satunya perbedaan antara dua kotak besar adalah bahwa segitiga diatur secara berbeda. Oleh karena itu, ruang putih dalam masing-masing dari dua kotak besar harus memiliki luas yang sama. Menyamakan luas ruang putih menghasilkan teorema Pythagoras, Q.E.D.

Heath memberikan bukti ini dalam komentarnya tentang Proposisi I.47 dalam Elemen Euclid, dan menyebutkan proposal Bretschneider dan Hankel bahwa Pythagoras mungkin telah mengetahui bukti ini. Heath sendiri lebih menyukai proposal yang berbeda untuk bukti Pythagoras, tetapi mengakui dari permulaan diskusinya "bahwa literatur Yunani yang kita miliki milik lima abad pertama setelah Pythagoras tidak berisi pernyataan yang menyebutkan hal ini atau penemuan geometrik besar lainnya kepadanya."[3] Beasiswa terbaru telah menimbulkan keraguan yang semakin besar pada segala jenis peran untuk Pythagoras sebagai pencipta matematika, meskipun perdebatan tentang ini terus berlanjut.[4]

Bentuk-bentuk teorema lainnyaSunting

Jika c menunjukkan panjang sisi miring dan a dan b menunjukkan panjang dari dua sisi lainnya, teorema Pythagoras dapat dinyatakan sebagai persamaan Pythagoras:

 

Jika panjang a dan b diketahui, maka c dapat dihitung sebagai

 

Jika panjang sisi miring c dan satu sisi (a atau b) diketahui, maka panjang sisi lainnya dapat dihitung sebagai

 

atau

 

Persamaan Pythagoras menghubungkan sisi-sisi segitiga siku-siku dengan cara yang sederhana, sehingga jika panjang kedua sisi diketahui panjang sisi ketiga dapat ditemukan. Akibat wajar lain dari teorema adalah bahwa dalam segitiga siku-siku mana, sisi miring lebih besar daripada salah satu sisi lain, tetapi kurang dari jumlah mereka.

Generalisasi teorema ini adalah hukum cosinus, yang memungkinkan perhitungan panjang setiap sisi dari segitiga apa pun, mengingat panjang dua sisi lainnya dan sudut di antara keduanya. Jika sudut antara sisi lain adalah sudut kanan, hukum cosinus mereduksi menjadi persamaan Pythagoras.

Bukti teorema lainnyaSunting

Teorema ini mungkin memiliki bukti lebih dikenal daripada yang lain (hukum timbal balik kuadrat menjadi pesaing lain untuk perbedaan itu); buku The Pythagoras Proposition berisi 370 bukti.[3]

Bukti menggunakan segitiga serupaSunting

 
Bukti menggunakan segitiga serupa

Bukti ini didasarkan pada Kesebandingan sisi-sisi dari dua segitiga yang sama, yaitu, pada kenyataan bahwa rasio dari setiap dua sisi yang sesuai dari segitiga yang sama adalah sama terlepas dari ukuran segitiga.

Biarkan ABC mewakili segitiga siku-siku, dengan sudut kanan terletak di C, seperti yang ditunjukkan pada gambar. Gambar ketinggian dari titik C, dan dikatakan H persimpangan dengan sisi AB. Titik H membagi panjang sisi miring c menjadi bagian d dan e. ACH segitiga baru sama dengan segitiga ABC, karena mereka berdua memiliki sudut kanan (menurut definisi ketinggian), dan mereka berbagi sudut pada A, yang berarti bahwa sudut ketiga akan sama di kedua segitiga juga, ditandai sebagai θ pada gambar. Dengan alasan yang sama, segitiga CBH juga mirip dengan ABC. Bukti kesamaan segitiga membutuhkan postulat segitiga: jumlah sudut dalam segitiga adalah dua sudut kanan, dan setara dengan postulat paralel. Kesamaan segitiga menyebabkan rasio kesetaraan dari sisi yang sesuai:

 

Hasil pertama menyamakan cosinus dari sudut θ, sedangkan hasil kedua menyamakan sinus mereka.

Rasio ini dapat ditulis sebagai

 

Menjumlahkan kedua persamaan ini menghasilkan

 

yang, setelah penyederhanaan, mengekspresikan teorema Pythagoras:

 

Peran bukti ini dalam sejarah adalah subjek banyak spekulasi. Pertanyaan mendasarnya adalah mengapa Euclid tidak menggunakan bukti ini, tetapi menemukan yang lain. Salah satu dugaan adalah bahwa bukti dari segitiga yang sama melibatkan teori proporsi, topik yang tidak dibahas sampai nanti dalam Elemen, dan bahwa teori proporsi membutuhkan pengembangan lebih lanjut pada waktu itu.[5][6]

Bukti EuclidSunting

 
Bukti dalam Elemen Euclid

Secara garis besar, berikut adalah bagaimana bukti dalam Elemen Euclid berasal. Persegi besar dibagi menjadi persegi panjang kiri dan kanan. Sebuah segitiga dibangun yang memiliki setengah luas persegi panjang kiri. Kemudian segitiga lain dibangun yang memiliki setengah luas persegi di sisi paling kiri. Dua segitiga ini terbukti kongruen, membuktikan bahwa persegi ini memiliki area yang sama dengan persegi panjang kiri. Argumen ini diikuti oleh versi yang sama untuk persegi panjang kanan dan persegi yang tersisa. Menempatkan dua persegi panjang bersama-sama untuk mereformasi alun-alun pada sisi miring, luasnya sama dengan jumlah luas dari dua kotak lainnya. Detailnya mengikuti.

Biarkan A, B, C menjadi simpul dari segitiga siku-siku, dengan sudut siku-siku pada A. Letakkan tegak lurus dari A ke sisi yang berlawanan dengan sisi miring dalam persegi pada sisi miring. Garis itu membagi persegi pada sisi miring menjadi dua persegi panjang, masing-masing memiliki luas yang sama dengan salah satu dari dua kotak pada kaki.

Untuk bukti formal, kami membutuhkan empat lemmata dasar:

  1. Jika dua segitiga memiliki dua sisi yang satu sama dengan dua sisi yang lain, masing-masing untuk masing-masing, dan sudut yang dimasukkan oleh sisi yang sama, maka segitiga adalah kongruen (sisi-sudut-sisi).
  2. Luas segitiga adalah setengah luas dari setiap jajar genjang pada alas yang sama dan memiliki ketinggian yang sama.
  3. Luas persegi panjang sama dengan produk dari dua sisi yang berdekatan.
  4. Luas kotak sama dengan produk dari dua sisinya (mengikuti dari 3).

Selanjutnya, setiap bujur sangkar terkait dengan kongruen segitiga dengan segitiga lain yang terkait pada gilirannya dengan salah satu dari dua persegi panjang yang membentuk kuadrat bawah.[7]

 
Ilustrasi termasuk garis baru
 
Menampilkan dua segitiga kongruen dari setengah luas persegi panjang BDLK dan persegi BAGF

Buktinya adalah sebagai berikut:

  1. Biarkan ACB menjadi segitiga siku-siku dengan CAB sudut kanan.
  2. Di setiap sisi BC, AB, dan CA, kotak digambar, CBDE, BAGF, dan ACIH, dalam urutan itu. Konstruksi persegi membutuhkan teorema yang mendahului Euclid, dan tergantung pada dalil paralel.[8]
  3. Dari A, gambar garis sejajar dengan BD dan CE. Ini akan memotong BC dan DE pada K dan L secara berurutan.
  4. Gabungkan dengan DF dan AD, untuk membentuk segitiga BCF dan BDA
  5. Sudut CAB dan BAG keduanya adalah sudut kanan; oleh karena itu C, A, dan G adalah kollinear. Demikian pula untuk B, A, dan H.
  6. Sudut CBD dan FBA keduanya sudut kanan; Oleh karena itu sudut ABD sama dengan sudut FBC, karena keduanya adalah jumlah dari sudut kanan dan sudut ABC.
  7. Karena AB sama dengan FB dan BD sama dengan BC, segitiga ABD harus kongruen dengan segitiga FBC.
  8. Karena AKL adalah garis lurus, sejajar dengan BD, maka persegi panjang BDLK memiliki dua kali luas segitiga ABD karena mereka berbagi basis BD dan memiliki ketinggian BK yang sama, yaitu, garis normal ke basis umum mereka, menghubungkan garis paralel BD dan AL. (lemma 2)
  9. Karena C adalah kollinear dengan A dan G, BAGF persegi harus dua kali luas untuk segitiga FBC.
  10. Oleh karena itu, persegi panjang BDLK harus memiliki area yang sama dengan persegi BAGF = AB2.
  11. Demikian pula, dapat ditunjukkan bahwa persegi panjang CKLE harus memiliki area yang sama dengan persegi ACIH = AC2.
  12. Tambahkan dua hasil ini, AB2 + AC2 = BD × BK + KL × KC
  13. Sejak BD = KL, BD × BK + KL × KC = BD(BK + KC) = BD × BC
  14. Karena itu, AB2 + AC2 = BC2, sejak CBDE adalah persegi.

Bukti ini, yang muncul dalam Elemen Euclid seperti pada Proposisi 47 dalam Buku 1,[9] menunjukkan bahwa luas kotak pada sisi miring adalah jumlah dari luas dua kotak lainnya.[10] Ini sangat berbeda dari pembuktian dengan kemiripan segitiga, yang diduga sebagai bukti bahwa Pythagoras digunakan.[11][12]

Bukti dengan berpotongan dan penataan ulangSunting

Kita telah membahas bukti Pythagoras, yang merupakan bukti penataan ulang. Ide yang sama disampaikan oleh animasi paling kiri di bawah ini, yang terdiri dari kotak besar, sisi a + b, berisi empat segitiga siku-siku yang identik. Segitiga ditunjukkan dalam dua pengaturan, yang pertama meninggalkan dua kotak a2 dan b2 terbuka, yang kedua meninggalkan persegi c2 terbuka. Area yang dicakup oleh alun-alun luar tidak pernah berubah, dan area keempat segitiga adalah sama di awal dan di akhir, jadi area kotak hitam harus sama, oleh karena itu a2 + b2 = c2.

Bukti kedua dengan penataan ulang diberikan oleh animasi tengah. Sebuah bujur sangkar besar dibentuk dengan luas c2, dari empat segitiga siku-siku identik dengan sisi a, b dan c, dipasang mengelilingi sebuah bujur sangkar pusat kecil. Kemudian dua persegi panjang dibentuk dengan sisi a dan b dengan menggerakkan segitiga. Menggabungkan kotak yang lebih kecil dengan persegi panjang ini menghasilkan dua kotak area a2 dan b2, yang harus memiliki area yang sama dengan awal persegi besar.[13]

Gambar ketiga, paling kanan juga memberikan bukti. Dua kotak bagian atas dibagi seperti yang ditunjukkan oleh bayangan biru dan hijau, menjadi potongan-potongan yang ketika disusun ulang dapat dibuat agar sesuai di bawah persegi pada sisi miring - atau sebaliknya kotak besar dapat dibagi seperti ditunjukkan dalam potongan-potongan yang mengisi dua lainnya . Cara memotong satu bagian menjadi beberapa bagian dan menatanya kembali untuk mendapatkan bagian lain disebut diseksi. Ini menunjukkan luas dari bujur sangkar yang sama dengan luas dua yang lebih kecil.[14]

 
Animasi menunjukkan bukti dengan menata ulang empat segitiga siku-siku yang identik
 
Animasi menunjukkan bukti lain dengan penataan ulang
 
Bukti menggunakan penataan ulang yang rumit

Bukti Einstein dengan diseksi tanpa penataan ulangSunting

 
Segitiga kanan pada sisi miring dibedah menjadi dua segitiga siku-siku pada kaki, menurut bukti Einstein

Albert Einstein memberikan bukti dengan pembedahan di mana potongan-potongan tidak perlu dipindahkan.[15] Alih-alih menggunakan persegi pada sisi miring dan dua persegi pada kaki, kita dapat menggunakan bentuk lain yang mencakup sisi miring, dan dua bentuk serupa yang masing-masing mencakup satu dari dua kaki alih-alih sisi miring (lihat Figur serupa di tiga sisi). Dalam bukti Einstein, bentuk yang mencakup sisi miring adalah segitiga siku-siku itu sendiri. Diseksi terdiri dari menjatuhkan tegak lurus dari sudut sudut kanan segitiga ke sisi miring, sehingga membelah seluruh segitiga menjadi dua bagian. Kedua bagian tersebut memiliki bentuk yang sama dengan segitiga siku-siku asli, dan memiliki kaki-kaki dari segitiga asli sebagai sisi miringnya, dan jumlah area mereka adalah segitiga asli. Karena rasio luas segitiga siku-siku dengan kuadrat sisi miringnya sama untuk segitiga serupa, maka hubungan antara luas ketiga segitiga tersebut juga berlaku untuk kuadrat sisi-sisi segitiga besar.

Bukti aljabarSunting

 
Diagram dua bukti aljabar

Teoremanya dapat dibuktikan secara aljabar menggunakan empat salinan dari segitiga siku-siku dengan sisi a, b dan c, disusun di dalam kotak dengan sisi c seperti di bagian atas diagram.[16] Segitiga mirip dengan area  , sedangkan kotak kecil memiliki sisi ba dan area (ba)2. Oleh karena itu luas persegi panjang

 

Tapi ini adalah persegi dengan sisi c dan luas c2, jadi

 

Bukti serupa menggunakan empat salinan dari segitiga yang sama disusun secara simetris di sekitar kotak dengan sisi c, seperti yang ditunjukkan di bagian bawah diagram.[17] Ini menghasilkan kotak yang lebih besar, dengan sisi a + b dan luas (a + b)2. Keempat segitiga dan sisi persegi c harus memiliki area yang sama dengan persegi yang lebih besar,

 

memberikan

 
 
Diagram bukti Garfield

Bukti terkait diterbitkan oleh Presiden Amerika James A. Garfield (kemudian Perwakilan A.S.) (lihat diagram).[18][19][20] Alih-alih menggunakan persegi, sebuah trapesium, yang dapat dibangun dari bujur sangkar di kedua bukti di atas dengan membagi dua diagonal dari dalam persegi, untuk memberikan trapesium seperti yang ditunjukkan pada diagram. Luas trapesium dapat dihitung menjadi setengah luas persegi, yaitu

 

Persegi bagian dalam juga dibelah dua, dan hanya ada dua segitiga sehingga buktinya berlangsung seperti di atas kecuali untuk faktor  , yang dihapus dengan mengalikan dua untuk memberikan hasilnya.

Bukti menggunakan diferensialSunting

Seseorang dapat sampai pada teorema Pythagoras dengan mempelajari bagaimana perubahan di suatu sisi menghasilkan perubahan dalam sisi miring dan menggunakan kalkulus.[21][22][23]

Segitiga ABC adalah segitiga siku-siku, seperti yang ditunjukkan di bagian atas diagram, dengan BC sisi miring. Pada saat yang sama panjang segitiga diukur seperti yang ditunjukkan, dengan sisi miring panjang y, sisi AC panjang x dan sisi AB panjang a, seperti terlihat pada bagian diagram yang lebih rendah.

 
Diagram untuk bukti diferensial

Jika x ditambahkan dengan sejumlah kecil dx dengan memperpanjang sisi AC sedikit ke D, maka y juga meningkat dengan dy. Ini membentuk dua sisi segitiga, CDE, yang (dengan E dipilih sehingga CE tegak lurus terhadap sisi miring) adalah segitiga siku-siku yang kira-kira mirip dengan ABC. Oleh karena itu, rasio sisi mereka harus sama, yaitu:

 

Ini dapat ditulis ulang sebagai   , yang merupakan persamaan diferensial yang dapat diselesaikan dengan integrasi langsung:

 

memberikan

 

Konstanta dapat disimpulkan dari x = 0, y = a untuk memberikan persamaan

 

Ini lebih merupakan bukti intuitif daripada yang formal: ini dapat dibuat lebih ketat jika batas yang tepat digunakan sebagai pengganti dx dan dy.

GeneralisasiSunting

Bentuk serupa di tiga sisiSunting

Generalisasi teorema Pythagoras yang melampaui bidang bujur sangkar pada tiga sisi hingga bentuk yang sama diketahui oleh Hippocrates of Chios pada abad ke-5 SM, dan dimasukkan oleh Euclid dalam buku Elements:

Jika salah satu memasang angka yang sama (lihat geometri Euclidean) dengan sisi yang sesuai di sisi segitiga siku-siku, maka jumlah area yang ada di dua sisi yang lebih kecil sama dengan luas area yang ada di sisi yang lebih besar.

Perpanjangan ini mengasumsikan bahwa sisi-sisi segitiga asli adalah sisi yang sesuai dari tiga angka yang kongruen (sehingga rasio sisi yang sama antara angka-angka yang sama adalah a:b:c).[24] Sementara bukti Euclid hanya berlaku untuk poligon cembung, teorema juga berlaku untuk poligon cekung dan bahkan untuk angka-angka serupa yang memiliki batas melengkung (tetapi masih dengan bagian dari batas gambar menjadi sisi segitiga asli).[24]

Gagasan dasar di balik generalisasi ini adalah bahwa luas bidang gambar sebanding dengan kuadrat dimensi linear apa pun, dan khususnya sebanding dengan kuadrat panjang sisi mana pun. Jadi, jika gambar yang serupa dengan area A, B dan C didirikan pada sisi dengan panjang yang sesuai a, b dan c maka:

 
 

Tapi, oleh teorema Pythagoras, a2 + b2 = c2, jadi A + B = C.

Sebaliknya, jika kita dapat membuktikan bahwa A + B = C untuk tiga angka yang sama tanpa menggunakan teorema Pythagoras, maka kita dapat bekerja mundur untuk membangun bukti teorema. Sebagai contoh, segitiga tengah awal dapat direplikasi dan digunakan sebagai segitiga C pada sisi miringnya, dan dua segitiga siku-siku yang sama (A dan B) yang dibangun pada dua sisi lainnya, dibentuk dengan membagi segitiga tengah dengan ketinggiannya. Penjumlahan area dari dua segitiga yang lebih kecil karena itu adalah dari yang ketiga, sehingga A + B = C dan membalikkan logika di atas mengarah ke teorema Pythagoras a2 + b2 = c2. (Lihat juga Bukti Einstein dengan diseksi tanpa penataan ulang)

 
Generalisasi untuk segitiga serupa, area hijau A + B = area biru C
 
Teorema Pythagoras menggunakan segitiga siku-siku yang serupa
 
Generalisasi untuk segi lima reguler

Hukum kosinusSunting

 
Pemisahan s dari dua titik (r1, θ1) dan (r2, θ2) dalam koordinat kutub diberikan oleh hukum cosinus. Sudut interior Δθ = θ1−θ2.

Teorema Pythagoras adalah kasus khusus dari teorema yang lebih umum yang menghubungkan panjang sisi dalam setiap segitiga, hukum cosinus:[25]

 

dimana   adalah sudut antara sisi   dan  .

Saat   adalah   radian atau 90°, lalu  , dan rumusnya direduksi menjadi teorema Pythagoras yang biasa.

Lihat pulaSunting

Bacaan Lebih LanjutSunting

  • Siswono, Tatang Yuli Eko (2007). Matematika 2 SMP dan MTs untuk Kelas VIII. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-666-8.  (Indonesia)

ReferensiSunting

  1. ^ Sally, Judith D. (2007-01-01). Roots to Research: A Vertical Development of Mathematical Problems (dalam bahasa Inggris). American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-7267-3. 
  2. ^ Benson, Donald C. (2000). The Moment of Proof: Mathematical Epiphanies (dalam bahasa Inggris). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-513919-8. 
  3. ^ a b "Pythagorean theorem". Wikipedia (dalam bahasa Inggris). 2020-05-26. 
  4. ^ Huffman, Carl (2005-02-23). "Pythagoras". 
  5. ^ (Maor 2007, hlm. 39)
  6. ^ Stephen W. Hawking (2005). God created the integers: the mathematical breakthroughs that changed history. Philadelphia: Running Press Book Publishers. hlm. 12. ISBN 0-7624-1922-9.  This proof first appeared after a computer program was set to check Euclidean proofs.
  7. ^ See for example Pythagorean theorem by shear mapping Diarsipkan 2016-10-14 di Wayback Machine., Saint Louis University website Java applet
  8. ^ Jan Gullberg (1997). Mathematics: from the birth of numbers . W. W. Norton & Company. hlm. 435. ISBN 0-393-04002-X. 
  9. ^ Elements 1.47 by Euclid. Retrieved 19 December 2006.
  10. ^ Euclid's Elements, Book I, Proposition 47: web page version using Java applets from Euclid's Elements by Prof. David E. Joyce, Clark University
  11. ^ Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama Hawking2
  12. ^ The proof by Pythagoras probably was not a general one, as the theory of proportions was developed only two centuries after Pythagoras; see (Maor 2007, hlm. 25)
  13. ^ Alexander Bogomolny. "Pythagorean theorem, proof number 10". Cut the Knot. Diakses tanggal 27 February 2010. 
  14. ^ (Loomis 1968, hlm. 113, Geometric proof 22 and Figure 123)
  15. ^ "Fraktal, Kekacauan, Hukum Kekuasaan: Menit dari Surga yang Tak Terbatas. Perusahaan Kurir. hlm. 3–4". Wikipedia (dalam bahasa Inggris). 
  16. ^ Alexander Bogomolny. "Cut-the-knot.org: Pythagorean theorem and its many proofs, Proof #3". Cut the Knot. Diakses tanggal 4 November 2010. 
  17. ^ Alexander Bogomolny. "Cut-the-knot.org: Pythagorean theorem and its many proofs, Proof #4". Cut the Knot. Diakses tanggal 4 November 2010. 
  18. ^ Published in a weekly mathematics column: James A Garfield (1876). "Pons Asinorum". The New England Journal of Education. 3 (14): 161.  as noted in William Dunham (1997). The mathematical universe: An alphabetical journey through the great proofs, problems, and personalities. Wiley. hlm. 96. ISBN 0-471-17661-3.  and in A calendar of mathematical dates: April 1, 1876 Diarsipkan July 14, 2010, di Wayback Machine. by V. Frederick Rickey
  19. ^ Lantz, David. "Garfield's proof of the Pythagorean Theorem". Math.Colgate.edu. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2013-08-28. Diakses tanggal 2018-01-14. 
  20. ^ Maor, Eli, The Pythagorean Theorem, Princeton University Press, 2007: pp. 106-107.
  21. ^ Mike Staring (1996). "The Pythagorean proposition: A proof by means of calculus". Mathematics Magazine. Mathematical Association of America. 69 (1): 45–46. doi:10.2307/2691395. JSTOR 2691395. 
  22. ^ Bogomolny, Alexander. "Pythagorean Theorem". Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles. Alexander Bogomolny. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2010-07-06. Diakses tanggal 2010-05-09. 
  23. ^ Bruce C. Berndt (1988). "Ramanujan – 100 years old (fashioned) or 100 years new (fangled)?". The Mathematical Intelligencer. 10 (3): 24. doi:10.1007/BF03026638. 
  24. ^ a b Putz, John F. and Sipka, Timothy A. "On generalizing the Pythagorean theorem", The College Mathematics Journal 34 (4), September 2003, pp. 291–295.
  25. ^ Lawrence S. Leff (2005-05-01). cited work. Barron's Educational Series. hlm. 326. ISBN 0-7641-2892-2. 

Pranala luarSunting