Buka menu utama
Alef-nol (aleph-null), bilangan kardinal tak terhingga terkecil

Bilangan alef (bahasa Inggris: aleph number) dalam teori himpunan (suatu bidang matematika) adalah suatu urutan bilangan yang digunakan untuk melambangkan kardinalitas (atau ukuran) dari himpunan tak terhingga (infinite set). Dinamakan menurut simbol yang dipakai, yaitu huruf Ibrani "alef" ().

Kardinalitas bilangan asli adalah (dibaca "alef-nol" (aleph-null), atau kadangkala dalam bahasa Inggris juga disebut aleph-naught atau aleph-zero). Kardinalitas berikutnya yang lebih besar adalah "alef-satu" (aleph-one) , kemudian dan seterusnya. Jika terus dilanjutkan, dimungkinkan untuk mendefinisikan suatu bilangan kardinal untuk setiap bilangan ordinal α, sebagaimana dinyatakan di bawah.

Konsep ini berasal dari Georg Cantor, yang mendefinisikan pengertian kardinalitas dan menyadari bahwa himpunan tak terhingga dapat mempunyai kardinalitas yang berbeda.

Daftar isi

Alef-nolSunting

  adalah kardinalitas dari semua bilangan asli, dan merupakan suatu "bilangan transfinit" atau "kardinal tak terhingga". Himpunan semua bilangan ordinal finit, dinamakan ω atau ω0, mempunyai kardinalitas  . Suatu himpunan mempunyai kardinalitas   jika dan hanya jika bilangan itu terhitung sebagai tak terhingga, yaitu, ada bijeksi (kesesuaian satu lawan satu) di antaranya dan bilangan-bilangan asli. Contoh-contoh himpunan semacam itu adalah:

Alef-satuSunting

  adalah kardinalitas dari himpunan semua bilangan ordinal yang terhitung, disebut ω1 atau (kadang-kadang) Ω. ω1 sendiri adalah suatu bilangan ordinal yang lebih besar dari semua bilangan ordinal yang terhitung, sehingga merupakan suatu himpunan tak terhitung. Jadi,   berbeda dari  . Definisi   menyiratkan (dalam ZF, teori himpunan Zermelo–Fraenkel tanpa aksioma pilihan) bahwa tidak ada bilangan ordinal antara   dan  .

Hipotesis continuumSunting

Kardinalitas suatu himpunan bilangan real (kardinalitas continuum) adalah  . Tidak dapat ditentukan dari ZFC (teori himpunan Zermelo-Fraenkel dengan aksioma pilihan) di mana bilangan ini tepat masuk dalam hierarki bilangan alef, tetapi menuruti ZFC bahwa hipotesis continuum (continuum hypothesis), CH, ekuivalen dengan persamaan identitas

 

Alef-ωSunting

Secara konvensional, bilangan ordinal tak terhingga terkecil dilambangkan dengan ω, dan bilangan kardinal   merupakan batas atas terkecil dari

 

di antara bilangan-bilangan alef.

Alef-α untuk α umumSunting

Untuk mendefinisikan   bagi bilangan ordinal sembarang  , perlu didefinisikan operasi kardinal penerus, yang diberikan pada setiap bilangan kardinal ρ bilangan kardinal ρ+ berikutnya yang lebih besar dalam urutan teratur (jika aksioma pilihan masih dipertahankan, inilah bilangan kardinal lebih besar berikutnya).

Maka bilangan-bilangan alef dapat didefinikan sebagai berikut:

 
 

dan untuk λ, suatu ordinal limit tak terhingga,

 

Ordinal awal tak terhingga ke-α ditulis  . Kardinalitasnya ditulis  . Lihat ordinal awal.

Peranan aksioma pilihanSunting

Kardinalitas suatu bilangan ordinal tak terhingga adalah sebuah bilangan alef. Setiap bilangan alef adalah kardinalitas sejumlah bilangan ordinal. Yang terkecil di antaranya adalah ordinal awalnya. Setiap himpunan yang kardinalitasnya adalah suatu bilangan alef adalah ekuinumeral dengan suatu bilangan ordinal dan karenanya dapat tertata baik (well-orderable).

Lihat pulaSunting

ReferensiSunting

Pranala luarSunting