Bilangan bulat

bilangan yang dapat ditulis tanpa komponen pecahan atau desimal

Bilangan bulat adalah bilangan yang dapat dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan. Sebagai contoh, 21, 4, 0, dan -2048 merupakan bilangan bulat, sedangkan 9,75, 5 12, dan bukan. Himpunan bilangan bulat terdiri dari angka 0, semua bilangan bulat positif (juga disebut dengan bilangan asli), dan invers aditif-nya, semua bilangan bulat negatif .[1][2] Dalam matematika, himpunan ini sering dilambangkan dengan ,[3] atau huruf tebal (). Huruf kapital Z yang digunakan berasal dari kata Zahlen, yang berarti bilangan dalam bahasa Jerman.[4][5][6][7]

Bilangan bulat dapat dianggap sebagai titik-titik diskret yang berjarak sama sepanjang garis bilangan. Pada gambar ini, bilangan-bilangan bulat positif ditandai dengan warna hijau dan bilangan-bilangan bulat negatif dengan warna biru.
Himpunan bilangan bulat merupakan subhimpunan dari himpunan bilangan rasional, sekaligus juga dari bilangan real

Subhimpunan yang hanya terdiri dari angka 0 dan bilangan-bilangan bulat positif disebut dengan bilangan cacah.[8] Himpunan sendiri merupakan subhimpunan dari himpunan bilangan rasional,[9] karena nilainya dapat ditulis sebagai pecahan dengan penyebut 1. Bilangan rasional selanjutnya merupakan subhimpunan dari himpunan bilangan real.[10]

NotasiSunting

 
Simbol Z, yang berasal dari kata Zahlen (bahasa Jerman) yang berarti "bilangan", melambangkan himpunan bilangan bulat

Simbol   sebagai himpunan bilangan bulat digunakan oleh banyak penulis untuk menyatakan beberapa jenis himpunan. Notasi  ,[11]  , atau  , digunakan untuk melambangkan bilangan bulat positif. Notasi   melambangkan bilangan bulat negatif.[12] Notasi bilangan bulat taknegatif dapat ditulis sebagai  atau  , sementara notasi bilangan bulat taknol ditulis   atau  .[nb 1] Notasi lainnya, yaitu   melambangkan setengah bilangan bulat.[13]

Notasi lain yang berkaitan dengan simbol himpunan bilangan bulat adalah  , yang melambangkan himpunan bilangan bulat modulo- , yaitu himpunan semua kelas kekongruenan dari bilangan bulat modulo  . Sedangkan notasi   melambangkan kekisi bilangan bulat.[14]

Sifat-sifat aljabarSunting

Seperti himpunan bilangan asli,   tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian. Artinya, penjumlahan maupun perkalian dari dua bilangan bulat akan menghasilkan bilangan bulat.[15][16]   juga tertutup terhadap operasi pengurangan karena mengandung 0 dan bilangan-bilangan negatif, berbeda halnya dengan bilangan asli. Namun karena hasil pembagian dua bilangan bulat belum tentu berupa bilangan bulat pula (contohnya 1 ketika dibagi dengan 2),   tidak tertutup terhadap pembagian. Walaupun bilangan asli tertutup terhadap eksponensiasi, sifat ini tidak berlaku pada bilangan bulat, karena hasil eksponensiasi dapat berbentuk pecahan ketika eksponen bernilai negatif.

Tabel berikut berisi daftar beberapa sifat dasar operasi penambahan dan perkalian, untuk sembarang bilangan bulat  ,  , dan  :

Penambahan Perkalian
Ketertutupan   adalah bilangan bulat   adalah bilangan bulat
Asosiatif    
Komutatif    
Elemen identitas    
Elemen invers    
Distributif  

Empat sifat pertama untuk perkalian yang ditulis dalam tabel, menyatakan bahwa   dalam operasi perkalian merupakan suatu monoid komutatif. Namun, tidak semua bilangan bulat memiliki invers perkalian (contohnya angka 2), mengakibatkan   dalam perkalian bukan suatu grup. Tidak lengkapnya invers perkalian untuk setiap elemen setara dengan pernyataan   tidak tertutup dalam pembagian, mengartikan bahwa   bukan suatu lapangan. Lapangan terkecil yang mengandung bilangan bulat sebagai sublapangan adalah lapangan bilangan rasional.

Lima sifat pertama untuk penjumlahan yang ditulis dalam tabel, menyatakan bahwa   dalam penjumlahan merupakan suatu grup Abelian. Himpunan   juga merupakan suatu grup siklik, karena semua bilangan bulat bukan 0 dapat ditulis sebagai penjumlahan terhingga   atau  . Malahan,   dalam penjumlahan adalah satu-satunya grup siklik tak hingga — dalam artian semua grup siklik tak hingga bersifat isomorfik dengan  .

Semua sifat pada tabel (kecuali baris terakhir), ketika digunakan bersama-sama, mengartikan bahwa   dengan penjumlahan dan perkalian membentuk suatu gelanggang komutatif dengan elemen identitas. Gelanggang ini adalah fondasi semua objek struktur aljabar.

Walaupun pembagian yang umum tidak terdefinisi di  , operasi pembagian "dengan sisa" dapat didefinisikan. Pembagian ini disebut pembagian Euklides, dan memiliki sifat penting berikut: untuk sembarang dua bilangan bulat   dan   dengan  , akan ada bilangan bulat unik   dan   yang memenuhi   dan  , dengan notasi   berarti nilai mutlak dari  . Bilangan   disebut hasil bagi dan   disebut sisa pembagian   oleh  . Algoritme Euklides menggunakan serangkaian operasi pembagian Euklides untuk menghitung faktor persekutuan terbesar.

Sifat keterurutanSunting

Himpunan bilangan bulat dapat diurutkan, secara alami dari nilai terkecil hingga terbesar:  . Dua bilangan bulat dibandingkan dengan lambang-lambang yaitu lebih dari, kurang dari, lebih dari atau sama dengan, atau kurang dari atau sama dengan, masing-masing dilambangkan sebagai  ,  ,  , dan  . Bilangan bulat disebut bilangan positif jika nilainya   dan disebut bilangan negatif jika nilainya  . Sedangkan penggunaan tanda   menyatakan bahwa bilangan tidak positif, dan penggunaan tanda   menyatakan bahwa bilangan tidak negatif.[17]

Pengurutan bilangan bulat kompatibel dengan sifat-sifat aljabar, dalam artian:

  1. Jika   dan  , maka  
  2. Jika   dan  , maka  

Hal ini menyimpulkan   dan definisi keterurutan di atas akan membentuk suatu gelanggang terurut.

KonstruksiSunting

 
Titik-titik berwarna merah menandakan pasangan-pasangan terurut bilangan asli. Garis putus-putus menandakan pasangan-pasangan terurut yang berada pada kelas ekuivalensi yang sama.

Dalam pengajaran di sekolah, bilangan bulat umumnya didefinisikan secara intuitif sebagai kumpulan bilangan asli, angka nol, dan negatif dari kumpulan bilangan asli (maksudnya  ). Namun, definisi ini memerlukan banyak kasus (setiap operasi perlu didefinisikan untuk setiap kombinasi jenis bilangan) dan menyulitkan untuk membuktikan bahwa bilangan bulat memenuhi berbagai rumus aritmetika.[18] Karena itu, matematika yang modern menggunakan definisi yang lebih lebih abstrak,[19] yang memungkinkan operasi-operasi aritmetika didefinisikan tanpa perlu membaginya dalam kasus-kasus.[20] Bilangan bulat selanjutnya dikonstruksi (didefinisikan) secara formal sebagai kelas-kelas ekuivalensi dari pasangan terurut bilangan asli  .[21]

Pasangan   dapat dianggap sebagai hasil dari mengurangi   dari  .[21] Untuk memastikan bahwa 1 − 2 dan 4 − 5 menghasilkan bilangan yang sama, relasi ekuivalensi ~ didefinisikan pada pasangan-pasangan ini dengan aturan:

 

tepat ketika

 .

Operasi penjumlahan dan perkalian bilangan bulat selanjutnya dapat didefinisikan dalam operasi ekuivalensi pada bilangan asli.[21] Dengan menggunakan notasi   untuk menyatakan kelas ekuivalensi yang memiliki   sebagai anggota, dapat dituliskan:

 .
 .

Invers (lawan) penjumlahan dari suatu bilangan bulat dapat dihasilkan dengan menukar urutan dari pasangan:

 .

Sehingga operasi pengurangan dapat didefinisikan sebagai penjumlahan dari invers penjumlahan:

 .

Pengurutan yang standar pada bilangan-bilangan bulat dapat dituliskan sebagai:

  jika dan hanya jika  .

Lebih lanjut, setiap kelas ekuivalen memiliki satu anggota unik yang berbentuk   atau   (atau keduanya secara bersamaan). Sehingga pada gilirannya, kelas   dapat diwakilkan oleh bilangan asli  , sedangkan kelas   diwakilkan oleh bilangan  . Angka   mewakili kelas  . Secara umum, kelas   diwakili oleh bilangan bulat

 

Cara konstruksi bilangan bulat seperti di atas menghasilkan representasi bilangan bulat sebagai   yang familiar. Berikut beberapa contoh bilangan bulat dan kelas ekuivalen yang diwakilinya:

 

KardinalitasSunting

Kardinalitas dari himpunan bilangan bulat sama dengan 0 (alef-nol). Pernyataan ini dapat ditunjukkan dengan membuat suatu fungsi bijeksi dari   ke himpunan bilangan cacah  . Fungsi tersebut dapat didefinisikan sebagai

 

Fungsi ini akan menghasilkan grafik (himpunan dari pasangan   sebagai berikut:

 .

Fungsi invers dari bijeksi tersebut didefinisikan sebagai

 

yang menghasilkan grafik

 .

Dalam ilmu komputerSunting

Dalam ilmu komputer, integer (Bahasa Inggris untuk kata "bilangan bulat") umumnya merupakan suatu tipe data primitif di bahasa-bahasa pemrograman. Namun, tipe data integer hanya dapat merepresentasikan subset dari semua bilangan bulat, karena komputer memiliki kapasitas yang terbatas. Sebagai contoh, tipe data integer dalam bahasa pemrograman Pascal hanya mampu menyimpan bilangan bulat yang bernilai diantara   sampai  . Pada representasi two's complement yang umum digunakan, tanda hanya didefinisikan untuk membedakan "bilangan negatif" dan "bilangan tak negatif", bukan "bilangan negatif, positif, dan 0" (walaupun, sebenarnya komputer juga dapat menentukan apakah suatu nilai integer benar-benar bernilai positif). Pada beberapa bahasa pemrograman, aproksimasi bilangan bulat dengan panjang [digit] konstan (fixed-length integer) umumnya diwakili oleh tipe data int atau Integer (seperti pada Algol68, C, Java, Delphi, dll.).

Representasi bilangan bulat dengan panjang digit fleksibel (bahasa Inggris: variable-length integer representation), seperti tipe data bignums, dapat menyimpan sembarang bilangan bulat asalkan dapat disimpan di memori komputer. Implementasi lain dari tipe data integer menggunakan ukuran yang konstan/tetap, sehingga hanya dapat menyimpan nilai bilangan bulat dalam suatu selang tertentu. Ukuran yang dipakai umumnya merupakan banyaknya bits (4, 8, 16, dst.) atau panjang digit desimal yang mudah diingat (misalnya, 9 digit atau 10 digit).

Dalam teori bilanganSunting

Dalam teori bilangan, bilangan bulat sangat berkaitan dengan salah satu topik yang telah dipelajari semenjak duduk di bangku sekolah dasar, yakni faktor persekutuan terbesar dan kelipatan persekutuan terkecil. Lalu, dilanjutkan ke keterbagian, modulo, fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecil, dan fungsi phi Euler.

Faktor persekutuan terbesarSunting

Faktor persekutuan terbesar atau dikenal juga sebagai persekutuan bilangan terbesar (dilambangkan  [22] atau  [23] dalam bahasa Indonesia, dan   dalam bahasa Inggris, abreviasi dari kata greatest common divisor[24]) terhadap dua bilangan adalah bilangan bulat terbesar yang membagi setiap bilangan bulat.

Kelipatan persekutuan terkecilSunting

Kelipatan persekutuan terkecil, (disingkat  [22] dalam bahasa Indonesia atau   atau  [25] dalam bahasa Inggris, abreviasi dari kata least common multiple atau lowest common mulitple[26]) terhadap dua bilangan adalah bilangan bulat positif terkecil yang dapat dibagi habis oleh kedua bilangan tersebut.

KeterbagianSunting

Keterbagian terjadi dimana bilangan bulat habis membagi bilangan bulat lainnya. Tinjau bilangan bulat   dan  , maka dapat ditulis   di mana   merupakan pembagi   jika dan hanya jika   merupakan kelipatan dari  . Pernyataan ekuivalen lainnya dapat ditulis dengan

 
dengan   merupakan bilangan bulat.

ModuloSunting

Salah satu topik yang berkaitan dengan bilangan bulat adalah modulo, yakni bilangan bulat yang dibagi oleh bilangan bulat menghasilkan sisa dari hasil bagi tersebut. Kekongruenan pada modulo dapat ekuivalen atau setara dengan algoritma Euklides diperluas:

 .[27]

Fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecilSunting

Dalam teori bilangan, fungsi bilangan bulat terbesar (bahasa Inggris: greatest integer function) adalah suatu fungsi dimana ketika suatu bilangan real dipetakan, maka akan berupa bilangan bulat yang lebih kecil atau sama dengan bilangan yang dipetakan. Fungsi bilangan bulat terbesar dapat dinotasikan sebagai  [28][29], atau  .[30][29] Hal yang serupa dengan fungsi bilangan bulat terkecil (bahasa Inggris: least integer function), yakni suatu fungsi dimana ketika suatu bilangan real dipetakan, maka akan berupa bilangan bulat yang lebih besar atau sama dengan bilangan yang dipetakan. Fungsi tersebut dinotasikan sebagai  [31], atau  .[32]

Fungsi bagian bilangan bulat adalah sebuah fungsi yang mana ketika bilangan real dipetakan menghasilkan bilangan bulat yang muncul sebelum bilangan desimal. Fungsi bagian bilangan bulat dinotasikan  . Secara matematis, dirumuskan sebagai

 .[33]

Fungsi phi EulerSunting

 
Dalam fungsi phi Euler, seribu nilai pertama  . Titik di garis atas adalah  , dengan   adalah bilangan prima, yaitu  .[34]

Sebuah fungsi untuk mencari banyaknya bilangan asli (atau bilangan bulat positif[35][36]) yang kurang dari sama dengan   yang relatif prima terhadap disebut fungsi phi Euler. Dua bilangan disebut relatif prima jika faktor persekutuan terbesar terhadap kedua bilangan tersebut sama dengan 1.[37] Fungsi yang dikemukakan oleh Leonhard Euler,[38][39][40] menggunakan huruf Yunani,   atau   (dibaca phi), yang melambangkan fungsi phi Euler sebagai   atau  .

Grup bilangan bulatSunting

Dalam aljabar abstrak, bilangan bulat berkaitan dengan grup. Grup dalam himpunan bilangan bulat memenuhi suatu syarat, yaitu ketertutupan, merupakan asosiatif, memiliki identitas 0, dan memiliki invers terhadap penambahan[41][42], dinotasikan dalam bentuk  [43], tetapi tidak tertutup terhadap perkalian karena tidak memiliki invers sehingga tidak memenuhi syarat grup.[41]

PerumumanSunting

Bilangan bulat GaussSunting

Dalam teori bilangan, bilangan bulat Gauss adalah bilangan kompleks, dimana bagian riil dan bagian imajiner adalah bilangan bulat, dengan penambahan dan perkalian biasa terhadap bilangan kompleks akan membentuk ranah integral. Bilangan bulat Gauss dapat dilambangkan sebagai   [44] dan dapat rumuskan ini sebagai

 

Rumus di atas memberikan keterangan, di mana   adalah bilangan khayal.

Bilangan bulat EisensteinSunting

Bilangan bulat Eisenstein, dinamai dari Gotthold Eisenstein, atau dikenal juga sebagai bilangan bulat Eisenstein–Jacobi, adalah bilangan dengan bentuk  .[45] Bilangan bulat Eisenstein dapat dinyatakan sebagai

 

dimana  .[45]

Aplikasi bilangan bulatSunting

 
Sebuah termometer yang menunjukkan suhu sekitar  .

Salah satu penerapan yang paling umum dan yang paling sering ditemui mengenai bilangan bulat adalah pengukuran kuantitatif yang menyatakan panas dan dingin, disebut suhu. Suhu pada termometer dapat menyatakan skalanya bernilai positif maupun negatif.[46] Misalnya, terdapat sebuah kota dengan suhu sekitar 23 derajat Celsius. Hal tersebut dapat dituliskan " ". Contoh lainnya adalah sebuah pegunungan bersalju yang suhu terdinginnya mencapai titik ekstrem, yaitu sekitar  .

Dalam bidang ekonomi, bilangan bulat diterapkan sebagai keuntungan dan kerugian pada suatu keuangan.[47] Dalam oseanografi, bilangan bulat dipakai untuk para penyelam dan kapten kapal selam laut untuk mengetahui ketinggian dalam laut — dengan kata lain ketinggian negatif.[48]

Lihat pulaSunting

Catatan kakiSunting

  1. ^ Dengan kata lain, ini adalah himpunan bilangan bulat tanpa elemen 0, yakni himpunan  .

RujukanSunting

  1. ^ santoso, Kiki Wahyu (2020-07-21). "√ Pengertian Bilangan Bulat dan Contohnya [LENGKAP] ..." Saintif (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-08-20. 
  2. ^ Weisstein, Eric W. "Whole Number". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-11-12. 
  3. ^ "Set of Integers Symbol (ℤ)". wumbo.net. Diakses tanggal 2021-11-14. 
  4. ^ "Compendium of Mathematical Symbols". Math Vault (dalam bahasa Inggris). 2020-03-01. Diakses tanggal 2020-08-19. 
  5. ^ Weisstein, Eric W. "Integer". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-08-11. 
  6. ^ Miller, Jeff (2010-08-29). "Earliest Uses of Symbols of Number Theory". Diarsipkan dari versi asli tanggal 2010-01-31. Diakses tanggal 2010-09-20. 
  7. ^ Peter Jephson Cameron (1998). Introduction to Algebra. Oxford University Press. hlm. 4. ISBN 978-0-19-850195-4. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2016-12-08. Diakses tanggal 2016-02-15. 
  8. ^ Pasinggi, Yonathan Saba (2019). Kesulitan Memahami Konsep Bilangan Cacah di Sekolah Dasar (PDF). Gowa: Agma. hlm. 17. 
  9. ^ "Intermediate Algebra, Tutorial 3: Sets of Numbers". www.wtamu.edu. Diakses tanggal 2021-11-15. 
  10. ^ "CK12-Foundation". flexbooks.ck12.org. Diakses tanggal 2021-11-15. 
  11. ^ Weisstein, Eric W. "Positive Integer". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-11-13. 
  12. ^ Weisstein, Eric W. "Negative Integer". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-11-13. 
  13. ^ Turaev, V. G. (2010). Quantum invariants of knots and 3-manifolds (edisi ke-2nd rev. ed). Berlin: De Gruyter. hlm. 390. ISBN 978-3-11-022184-8. OCLC 650811823. 
  14. ^ Daniele Micciancio, Lattice Algorithms and Applications, Introduction to Lattices
  15. ^ Buron, Dozon. "Properties of Multiplication of Integers (Definition and Examples)". BYJUS (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-11-12. 
  16. ^ "Closure Property of Integers CBSE Class 7 Math Notes". edusaksham.com. Diakses tanggal 2021-11-12. 
  17. ^ Abdussakir (2014). Matematika dalam Al-Qur'an (PDF). Malang: UIN-Maliki Press. hlm. 83. ISBN 978-602-958-440-0. 
  18. ^ Mendelson, Elliott (2008). Number Systems and the Foundations of Analysis. Dover Books on Mathematics. Courier Dover Publications. hlm. 86. ISBN 978-0-486-45792-5. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2016-12-08. Diakses tanggal 2016-02-15.  .
  19. ^ Ivorra Castillo: Álgebra
  20. ^ Frobisher, Len (1999). Learning to Teach Number: A Handbook for Students and Teachers in the Primary School. The Stanley Thornes Teaching Primary Maths Series. Nelson Thornes. hlm. 126. ISBN 978-0-7487-3515-0. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2016-12-08. Diakses tanggal 2016-02-15.  .
  21. ^ a b c Campbell, Howard E. (1970). The structure of arithmetic . Appleton-Century-Crofts. hlm. 83. ISBN 978-0-390-16895-5. 
  22. ^ a b Itsnaini, Faqihah Muharroroh. "Apa Perbedaan KPK dan FPB? Ini Penjelasannya". detikedu. Diakses tanggal 2021-11-14. 
  23. ^ Suci Yuniati, MENENTUKAN KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL (KPK) DAN FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR (FPB) DENGAN MENGGUNAKAN METODE “PEBI”, hlm. 158
  24. ^ "Definition of greatest common divisor | Dictionary.com". www.dictionary.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-11-14. 
  25. ^ Weisstein, Eric W. "Least Common Multiple". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-11-14. 
  26. ^ "Definition of least common multiple | Dictionary.com". www.dictionary.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-11-14. 
  27. ^ "Extended Euclidean Algorithm". www-math.ucdenver.edu. Diakses tanggal 2021-11-13. 
  28. ^ Weisstein, Eric W. "Floor Function". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-11-14. 
  29. ^ a b "Mathwords: Floor Function". www.mathwords.com. Diakses tanggal 2021-11-14. 
  30. ^ Dale Varberg, Edward Purcell, Steve Rigdon (2006). Kalkulus Edisi Kesembilan, Jilid 1. hlm. 33. (Penerjemah: I Nyoman Susila, Ph. D, Penerbit Erlangga)
  31. ^ Weisstein, Eric W. "Ceiling Function". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-11-14. 
  32. ^ "Mathwords: Ceiling Function". www.mathwords.com. Diakses tanggal 2021-11-14. 
  33. ^ "integer part". planetmath.org. Diakses tanggal 2021-11-16. 
  34. ^ "Euler's totient function". Khan Academy. Diakses tanggal 2016-02-26. 
  35. ^ "Bilangan Bulat – Pengertian, Garis Bilangan, Perbandingan Bilangan Bulat, Operasi Bilangan Bulat, dan Contoh". Aku Pintar. Diakses tanggal 2021-11-13. 
  36. ^ Weisstein, Eric W. "Natural Number". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-11-13. 
  37. ^ "Fungsi Totient Euler (Euler's Totient Function) | Matematika dan Informatika" (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-11-13. 
  38. ^ L. Euler "Theoremata arithmetica nova methodo demonstrata" (An arithmetic theorem proved by a new method), Novi commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae (New Memoirs of the Saint-Petersburg Imperial Academy of Sciences), 8 (1763), 74–104. (The work was presented at the Saint-Petersburg Academy on October 15, 1759. A work with the same title was presented at the Berlin Academy on June 8, 1758). Available on-line in: Ferdinand Rudio, ed., Leonhardi Euleri Commentationes Arithmeticae, volume 1, in: Leonhardi Euleri Opera Omnia, series 1, volume 2 (Leipzig, Germany, B. G. Teubner, 1915), pages 531–555. On page 531, Euler defines n as the number of integers that are smaller than N and relatively prime to N (… aequalis sit multitudini numerorum ipso N minorum, qui simul ad eum sint primi, …), which is the phi function, φ(N).
  39. ^ Sandifer, p. 203
  40. ^ Graham et al. p. 133 note 111
  41. ^ a b "Groups". www.cwladis.com. Diakses tanggal 2021-11-13. 
  42. ^ "The Closure Property". www.cwladis.com. Diakses tanggal 2021-11-13. 
  43. ^ "Definisi Grup: Suatu Bentuk Abstraksi Dari Suatu Sistem Tertentu". Universitas Gajah Mada, Menara Ilmu:Struktur Aljabar. 
  44. ^ (Fraleigh 1976, hlm. 286)
  45. ^ a b Weisstein, Eric W. "Eisenstein Integer". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-11-15. 
  46. ^ "Applications of Integers - Math Central". mathcentral.uregina.ca. Diakses tanggal 2021-11-15. 
  47. ^ "Welcome to CK-12 Foundation | CK-12 Foundation". www.ck12.org. Diakses tanggal 2021-11-15. 
  48. ^ Wahyudin, Sudrajat (2003). Ensiklopedi Matematika dan Peradaban Manusia. Tarity Samudra Berlian. hlm. 43. ISBN 979-8855-06-X. 

Pranala luarSunting