Penambahan

salah satu dari empat operasi aritmetika dasar
(Dialihkan dari Penjumlahan)

Penambahan (disebut juga penjumlahan, sering ditandai dengan tanda plus "+") adalah salah satu dari empat operasi aritmetika dasar. Penjumlahan merupakan penambahan sekelompok bilangan atau lebih menjadi suatu bilangan yang disebut jumlah. Misalnya di gambar di samping, terdapat tiga apel di sisi kiri dan dua apel di sisi kanan, menghasilkan jumlah lima apel. Dalam simbol matematika, ini dilambangkan "3 + 2 = 5", disebut "3 ditambah 2 sama dengan 5".

3 + 2 = 5 dengan apel pilihan paling populer dalam buku cetak[1]

Selain untuk menghitung jumlah benda, penambahan bisa didefinisikan dan digunakan untuk menghitung objek abstrak berupa bilangan, di antaranya bilangan bulat, bilangan real, dan bilangan kompleks. Dalam cabang matematika lain yang disebut aljabar, penambahan bisa digunakan untuk objek-objek abstrak lainnya seperti vektor dan matriks.

Penambahan memiliki beberapa sifat penting. Penambahan bersifat komutatif, yang berarti urutan bilangan yang ditambahkan tidak berpengaruh, dan bersifat asosiatif, yang berarti jika terdapat beberapa operasi penambahan maka urutan penambahan yang dikerjakan terlebih dahulu tidak berpengaruh. Menambahkan 0 tidak mengubah bilangan yang ditambah. Penambahan juga memiliki aturan-aturan yang terkait dengan operasi pengurangan dan perkalian.

PenulisanSunting

 
Tanda penjumlahan (tambah)

Penjumlahan ditulis dengan menggunakan tanda tambah "+" di antara kedua bilangan. Hasil dari penjumlahan dinyatakan dengan tanda sama dengan "="

  (diucapkan "satu ditambah satu sama dengan dua")
  (diucapkan "dua ditambah dua sama dengan empat")

Penjumlahan serangkaian bilangan dapat dituliskan dengan notasi sigma kapital.

 

Sifat-sifatSunting

Sifat komutatifSunting

 
4 + 2 = 2 + 4 digambarkan dengan kotak

Penambahan bersifat komutatif, berarti urutan di mana dua bilangan ditambahkan tidak menjadi masalah, hasilnya akan tetap sama. Secara simbolis, jika x dan y adalah sembarang bilangan, maka

 .

Sifat asosiatifSunting

 
2 + (1 + 3) = (2 + 1) + 3 digambarkan dengan tabung

Penambahan bersifat asosiatif, yang berarti dalam pernyataan yang hanya melibatkan penambahan tidak terpengaruh dengan urutan operasi. Misalkan untuk pernyataan  , jika pernyataan tersebut diartikan sebagai   maupun  , hasilnya akan sama.

 

Akan tetapi, jika penambahan berada di dalam pernyataan yang melibatkan operasi lain, urutan operasi akan berpengaruh. Misalnya, jika suatu pernyataan berisi operasi penambahan dan perkalian, maka operasi perkalian harus dilakukan terlebih dahulu.

Sifat distributifSunting

Penambahan bersifat distributif terhadap perkalian. Sifat ini bisa digambarkan dengan identitas berikut.

 

Elemen identitasSunting

 
5 + 0 = 5 digambarkan dengan sekarung titik

Ketika menambahkan nol dengan suatu bilangan apapun, hasilnya akan sama dengan bilangan tersebut; nol adalah elemen identitas dari penambahan. Dalam simbol matematika, untuk a apapun,

a + 0 = 0 + a = a.

Hukum ini pertama dikenali dalam Brahmasphutasiddhanta dari Brahmagupta pada tahun 628, meskipin dia menulisnya sebagai tiga hukum terpisah, bergantung pada apakah a adalah bilangan negatif, positif, atau nol, dan dia menggunakan kata-kata bukannya simbol aljabar. Matematikawan India kemudian memperhalus konsepnya; pada sekitar tahun 830, Mahavira menulis, "nol menjadi nilai yang sama dengan nilai yang ditambahkan dengannya", corresponding to the unary statement 0 + a = a.[2]

SatuanSunting

Untuk menambahkan kuantitas-kuantitas fisik dengan satuan, kuantitas-kuantitas tersebut harus memiliki satuan yang sama.[3] Contohnya, 24 meter ditambah 1 meter sama dengan 25 meter. Akan tetapi, jika air bervolume 500 mililiter ditambahkan air bervolume 3 liter, maka jumlah volume airnya adalah 3500 mililiter, karena 3 liter sama dengan 3000 mililiter. Sedangkan menambahkan 3 meter dengan 4 meter persegi tidaklah bermakna, karena kedua satuan tersebut tidak bisa dibandingkan. Pertimbangan-pertimbangan ini merupakan dasar dari analisis dimensi.

Penambahan bilanganSunting

Untuk membuktikan sifat-sifat penambahan, penambahan harus didefinisikan pada suatu konteks terlebih dahulu. Penambahan awalnya didefinisikan untuk bilangan asli. Dalam teori himpunan, operasi penambahan lalu diperluas untuk himpunan bilangan lain yang mengandung bilangan asli, yaitu bilangan bulat, bilangan rasional, dan bilangan real.[4]

Bilangan asliSunting

Ada dua cara populer untuk mendefinisikan jumlah dari dua bilangan asli a dan b. Jika bilangan asli didefinisikan sebagai kardinalitas dari himpunan hingga, (kardinalitas suatu himpunan adalah banyak unsur dalam himpunan tersebut), maka jumlah dua bilangan asli bisa didefinisikan sebagai berikut:

  • Misalkan N(S) adalah lambang untuk kardinalitas himpunan S. Misalkan terdapat dua himpunan saling lepas A dan B, dengan N(A) = a dan N(B) = b. Maka a + b didefinisikan sebagai  .[5]

Di sini, AB adalah gabungan dari A dan B.

Definisi populer lainnya bersifat rekursif:

  • Misalkan n+ adalah lambang untuk penerus dari n, yaitu bilangan setelah n dalam himpunan bilangan asli, jadi 0+=1, 1+=2. Definisikan a + 0 = a. Definisikan jumlah secara umum menggunakan rekursi a + (b+) = (a + b)+. Jadi misalnya 1 + 1 = 1 + 0+ = (1 + 0)+ = 1+ = 2.[6]

Perumusan penambahan rekursif ini telah dikembangkan oleh Dedekind pada tahun 1854, dan dia kemudian mengembangkannya selama dekade-dekade berikutnya.[7] Dia membuktikan sifat asosiatif dan komutatifnya menggunakan induksi matematika.


Bilangan rasional (pecahan)Sunting

Penambahan bilangan rasional didefinisikan menggunakan penambahan dan perkalian bilangan asli.

  • Definisikan  

Contohnya,  .

Penambahan pecahan lebih sederhana ketika penyebutnya sama; untuk kasus ini, tinggal dijumlahkan pembilangnya tanpa mengubah penyebutnya:  , jadi  .[8]


Bilangan kompleksSunting

Penambahan bilangan kompleks didefinisikan dengan menjumlahkan bagian real dan menjumlahkan bagian imajiner.[9][10] Dengan simbol matematika: 

GeneralisasiSunting

Ada banyak operasi biner yang bisa dianggap sebagai generalisasi dari penambahan. Bidang aljabar abstrak utamanya membahas mengenai operasi-operasi yang digeneralisasi, dan operasi-operasi seperti itu juga ada dalam teori himpunan dan teori kategori.

Aljabar abstrakSunting

VektorSunting

Dalam aljabar linear, ruang vektor adalah struktur aljabar yang mengandung operasi penambahan antara dua vektor dan perkalian skalar suatu vektor. Contoh ruang vektor adalah himpunan semua pasangan terurut bilangan real; suatu pasangan terurut bilangan real (a,b) dianggap sebagai sebuah vektor dari titik nol ke titik (a,b). Jumlah dua vektor diperoleh dari menambahkan masing-masing koordinatnya:

 

Operasi penambahan ini penting sekali bagi mekanika klasik, di mana gaya ditafsirkan sebagai vektor.

MatriksSunting

Penjumlahan matriks didefinisikan untuk dua matriks yang dimensinya sama. Jumlah dari dua matriks berukuran m × n A dan B, dilambangkan dengan A + B, adalah sebuah matriks m × n yang dihitung dengan menambahkan elemen-elemen yang bersesuaian:[11][12]

 

Contohnya:

 

Aritmetika modularSunting

Dalam aritmetika modular, penambahan dua bilangan bulat hasilnya sama dengan bilangan bulat yang kongruen dengan jumlah kedua bilangan bulat tersebut.

Teori umumSunting

Teori umum dari aljabar abstrak membolehkan "penambahan" diartikan sebagai operasi apapun pada himpunan yang bersifat asosiatif dan komutatif. Struktur aljabar dengan operasi penambahan seperti itu di antaranya adalah monoid komutatif dan grup abelian.

Produk dari urutanSunting

Notasi pi kapitalSunting

Hasil kali rangkaian faktor dapat ditulis dengan simbol hasil kali, yang berasal dari huruf kapital   (pi) di Alfabet Yunani (mirip seperti huruf kapital   (sigma) digunakan dalam konteks penjumlahan).[13][14][15] Posisi unicode U + 220F (∏) ​​berisi mesin terbang untuk menunjukkan produk seperti itu, berbeda dari U+03A0 (Π), huruf. Arti dari notasi ini diberikan oleh:

 

that is

 

Subskrip memberikan simbol untuk variabel terikat (i dalam kasus ini), yang disebut "indeks perkalian", bersama dengan batas bawahnya (1). Batas bawah dan atas adalah ekspresi yang menunjukkan bilangan bulat. Faktor produk diperoleh dengan mengambil ekspresi mengikuti operator produk, dengan nilai integer yang berurutan menggantikan indeks perkalian, mulai dari batas bawah dan ditambah 1 sampai (dan termasuk) batas atas. Sebagai contoh:

 

Secara umum, notasi didefinisikan sebagai

 

di mana m dan n adalah bilangan bulat atau ekspresi yang dievaluasi menjadi bilangan bulat. Dalam kasus dimana m = n, nilai produknya sama dengan nilai faktor tunggalnya xm; bila m > n, produknya adalah produk kosong yang nilainya 1 terlepas dari ekspresi faktornya.

Produk tak hinggaSunting

Seseorang juga dapat mempertimbangkan produk dari istilah yang sangat banyak; ini disebut produk tak terbatas. Secara notasi, ini terdiri dari mengganti n di atas dengan simbol tak hingga ∞. Hasil kali dari urutan tak hingga seperti itu didefinisikan sebagai batas dari hasil kali suku n pertama, karena n tumbuh tanpa batas. Itu adalah,

 

Seseorang juga dapat mengganti m dengan tak terhingga negatif, dan mendefinisikan:

 

asalkan kedua batasan itu ada.

AksiomaSunting

Dalam buku Arithmetices principal, nova methodo exposita , Giuseppe Peano mengajukan aksioma untuk aritmatika berdasarkan aksioma-nya untuk bilangan asli.[16] Aritmatike peano memiliki dua aksioma untuk perkalian:

 
 

Di sini S ( y ) mewakili penerus dari y , atau bilangan asli yang mengikuti y . Berbagai sifat seperti asosiatif dapat dibuktikan dari ini dan aksioma aritmatika Peano lainnya termasuk induksi. Misalnya S (0), dilambangkan dengan 1, adalah identitas perkalian karena

 

Aksioma untuk bilangan bulat biasanya mendefinisikannya sebagai kelas ekivalen dari pasangan bilangan asli yang terurut. Modelnya didasarkan pada perawatan (x,y) setara dengan xy jika x dan y diperlakukan sebagai bilangan bulat. Jadi baik (0,1) dan (1,2) sama dengan −1. Aksioma perkalian untuk bilangan bulat didefinisikan dengan cara ini

 

Aturan yang −1 × −1 = 1 dapat disimpulkan

 

Perkalian diperluas dengan cara yang mirip dengan bilangan rasional dan kemudian ke bilangan riil.

Perkalian dengan teori himpunanSunting

Hasil perkalian bilangan bulat bukan negatif dapat ditentukan dengan teori himpunan menggunakan bilangan pokok atau Aksioma Peano. Lihat di bawah bagaimana cara mengalikan bilangan bulat sembarangan, lalu bilangan rasional sembarang. Produk dari bilangan riil didefinisikan dalam hal produk dari bilangan rasional, lihat konstruksi bilangan riil.

Lihat pulaSunting

ReferensiSunting

  1. ^ From Enderton (p.138): "...select two sets K and L with card K = 2 and card L = 3. Sets of fingers are handy; sets of apples are preferred by textbooks."
  2. ^ Kaplan pp. 69–71
  3. ^ R. Fierro (2012) Mathematics for Elementary School Teachers. Cengage Learning. Sec 2.3
  4. ^ Enderton chapters 4 and 5, sebagai contoh, mengikuti pengembangan ini.
  5. ^ Begle p. 49, Johnson p. 120, Devine et al. p. 75
  6. ^ Enderton p. 79
  7. ^ Ferreirós p. 223
  8. ^ Schyrlet Cameron, and Carolyn Craig (2013)Adding and Subtracting Fractions, Grades 5–8 Mark Twain, Inc.
  9. ^ Conway, John B. (1986), Functions of One Complex Variable I, Springer, ISBN 978-0-387-90328-6 
  10. ^ Joshi, Kapil D (1989), Foundations of Discrete Mathematics, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-470-21152-6 
  11. ^ Lipschutz, S., & Lipson, M. (2001). Schaum's outline of theory and problems of linear algebra. Erlangga.
  12. ^ Riley, K.F.; Hobson, M.P.; Bence, S.J. (2010). Mathematical methods for physics and engineering . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3. 
  13. ^ "Comprehensive List of Algebra Symbols". Math Vault (dalam bahasa Inggris). 2020-03-25. Diakses tanggal 2020-08-16. 
  14. ^ Weisstein, Eric W. "Product". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-08-16. 
  15. ^ "Summation and Product Notation". math.illinoisstate.edu. Diakses tanggal 2020-08-16. 
  16. ^ "Peano arithmetic". PlanetMath. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2007-08-19. Diakses tanggal 2007-06-03.