Bilangan kompleks

angka yang dapat dimasukkan ke dalam bentuk a + bi, di mana a dan b merupakan angka riil dan i adalah unit imajiner

Bilangan kompleks dalam matematika, adalah bilangan yang dinotasikan oleh , di mana a dan b adalah bilangan riil, dan i adalah suatu bilangan imajiner di mana i 2 = −1. Bilangan riil a disebut juga bagian riil dari bilangan kompleks, dan bilangan real b disebut bagian imajiner. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a.

Bilangan kompleks secara visual dapat direpresentasikan sebagai sepasang angka (a, b) membentuk vektor pada diagram yang disebut diagram Argand, mewakili bidang kompleks. "Re"adalah sumbu nyata,"Im"adalah sumbu imajiner, dan i memuaskan i2 = −1.

Sebagai contoh, 3 + 2i adalah bilangan kompleks dengan bagian riil 3 dan bagian imajiner 2i.

Bilangan kompleks dapat ditambah, dikurang, dikali, dan dibagi seperti bilangan riil; namun bilangan kompleks juga mempunyai sifat-sifat tambahan yang menarik. Misalnya, setiap persamaan aljabar polinomial mempunyai solusi bilangan kompleks, tidak seperti bilangan riil yang hanya memiliki sebagian.

Dalam bidang-bidang tertentu (seperti teknik elektro, di mana i digunakan sebagai simbol untuk arus listrik), bilangan kompleks ditulis a + bj.

Garis besarSunting

Notasi dan operasiSunting

Himpunan bilangan kompleks umumnya dinotasikan dengan C, atau  . Bilangan real, R, dapat dinyatakan sebagai bagian dari himpunan C dengan menyatakan setiap bilangan real sebagai bilangan kompleks:  .

Bilangan kompleks ditambah, dikurang, dan dikali dengan menggunakan sifat-sifat aljabar seperti asosiatif, komutatif, dan distributif, dan dengan persamaan i 2 = −1:

(a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i
(a + bi) − (c + di) = (ac) + (bd)i
(a + bi)(c + di) = ac + bci + adi + bd i 2 = (acbd) + (bc+ad)i

Pembagian bilangan kompleks juga dapat didefinisikan (lihat di bawah). Jadi, himpunan bilangan kompleks membentuk bidang matematika yang, berbeda dengan bilangan real, berupa aljabar tertutup.

Dalam matematika, adjektif "kompleks" berarti bilangan kompleks digunakan sebagai dasar teori angka yang digunakan. Sebagai contoh, analisis kompleks, matriks kompleks, polinomial kompleks, dan aljabar Lie kompleks.

DefinisiSunting

Definisi formal bilangan kompleks adalah sepasang bilangan real (a, b) dengan operasi sebagai berikut:

  •  
  •  

Dengan definisi di atas, bilangan-bilangan kompleks yang ada membentuk suatu himpunan bilangan kompleks yang dinotasikan dengan C.

Karena bilangan kompleks a + bi merupakan spesifikasi unik yang berdasarkan sepasang bilangan riil (a, b), bilangan kompleks mempunyai hubungan korespondensi satu-satu dengan titik-titik pada satu bidang yang dinamakan bidang kompleks.

Bilangan riil a dapat disebut juga dengan bilangan kompleks (a, 0), dan dengan cara ini, himpunan bilangan riil R menjadi bagian dari himpunan bilangan kompleks C.

Dalam C, berlaku sebagai berikut:

  • identitas penjumlahan ("nol"): (0, 0)
  • identitas perkalian ("satu"): (1, 0)
  • invers penjumlahan (a,b): (−a, −b)
  • invers perkalian (reciprocal) bukan nol (a, b):  

NotasiSunting

Bentuk PenjumlahanSunting

Bilangan kompleks pada umumnya dinyatakan sebagai penjumlahan dua suku, dengan suku pertama adalah bilangan riil, dan suku kedua adalah bilangan imajiner.

 

Bentuk PolarSunting

Dengan menganggap bahwa:

 

dan

 

maka

 

Untuk mempersingkat penulisan, bentuk   juga sering ditulis sebagai  .

Bentuk EksponenSunting

Bentuk lain adalah bentuk eksponen, yaitu:

 

Bidang kompleksSunting

 

Bilangan kompleks dapat divisualisasikan sebagai titik atau vektor posisi pada sistem koordinat dua dimensi yang dinamakan bidang kompleks atau Diagram Argand.

Koordinat Kartesius bilangan kompleks adalah bagian riil x dan bagian imajiner y, sedangkan koordinat sirkulernya adalah r = |z|, yang disebut modulus, dan φ = arg(z), yang disebut juga argumen kompleks dari z (Format ini disebut format mod-arg). Dikombinasikan dengan Rumus Euler, dapat diperoleh:

 

Kadang-kadang, notasi r cis φ dapat juga ditemui.

Perlu diperhatikan bahwa argumen kompleks adalah unik modulo 2π, jadi, jika terdapat dua nilai argumen kompleks yang berbeda sebanyak kelipatan bilangan bulat dari 2π, kedua argumen kompleks tersebut adalah sama (ekivalen).

Dengan menggunakan identitas trigonometri dasar, dapat diperoleh:

 

dan

 

Penjumlahan dua bilangan kompleks sama seperti penjumlahan vektor dari dua vektor, dan perkalian dengan bilangan kompleks dapat divisualisasikan sebagai rotasi dan pemanjangan secara bersamaan.

Perkalian dengan i adalah rotasi 90 derajat berlawanan dengan arah jarum jam (  radian). Secara geometris, persamaan i2 = −1 adalah dua kali rotasi 90 derajat yang sama dengan rotasi 180 derajat (  radian).

Konstruksi seperti pasangan yang dipesanSunting

William Rowan Hamilton memperkenalkan pendekatan untuk mendefinisikan himpunan C dari bilangan kompleks[1] sebagai himpunan R2 pasangan order (a, b) dari bilangan real, di mana aturan penjumlahan dan perkalian berikut diterapkan:[2]

 

Kemudian hanya masalah notasi untuk diungkapkan (a, b) sebagai a + bi.

Konstruksi sebagai bidang hasil bagiSunting

Meskipun konstruksi tingkat rendah ini secara akurat mendeskripsikan struktur bilangan kompleks, definisi ekuivalen berikut mengungkapkan sifat aljabar C lebih segera. Karakterisasi ini bergantung pada pengertian bidang dan polinomial. Bidang adalah himpunan yang diberkahi dengan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian yang berperilaku seperti yang biasa dari, katakanlah, bilangan rasional. Contohnya, hukum distributif

 

harus memegang untuk tiga elemen x, y dan z dari sebuah lapangan. Himpunan R bilangan real memang membentuk bidang. Polinomial p(X) dengan koefisien nyata adalah ekspresi dari bentuk

 

where the a0, ..., an adalah bilangan real. Penambahan dan perkalian polinomial biasa memberikan himpunan R[X] dari semua polinomial dengan struktur gelanggang. Gelanggang ini disebut gelanggang polinomial di atas bilangan riil.

Kumpulan bilangan kompleks ditentukan sebagai gelanggang hasil bagi R[X]/(X 2 + 1).[3] Bidang ekstensi ini berisi dua akar kuadrat dari −1, yaitu (coset dari) X dan X, masing-masing. (Koset dari) 1 dan X membentuk dasar dari R[X]/(X 2 + 1) sebagai ruang vektor nyata, yang berarti bahwa setiap elemen bidang ekstensi dapat ditulis secara unik sebagai kombinasi linier di kedua elemen ini. Dengan kata lain, elemen bidang ekstensi dapat ditulis sebagai pasangan berurutan (a, b) dari bilangan real. Cincin hasil bagi adalah bidang, karena X2 + 1 adalah tak tersederhanakan berakhir R, sehingga ideal yang dihasilkan adalah maksimal.

Rumus penjumlahan dan perkalian di ring R[X], modulo the relation X2 = −1, sesuai dengan rumus untuk penjumlahan dan perkalian bilangan kompleks yang didefinisikan sebagai pasangan berurutan.

Representasi matriks dari bilangan kompleksSunting

Bilangan kompleks a + bi bisa juga diwakili oleh 2 × 2 matriks yang memiliki bentuk sebagai berikut:

 

Di sini entri a dan b adalah bilangan riil. Jumlah dan produk dari dua matriks tersebut lagi-lagi dalam bentuk ini, dan jumlah dan hasil kali bilangan kompleks sesuai dengan jumlah dan perkalian dari matriks-matriks tersebut, hasil perkaliannya adalah:

 

Deskripsi geometris dari perkalian bilangan kompleks juga dapat diekspresikan dalam matriks rotasi dengan menggunakan korespondensi antara bilangan kompleks dan sejenisnya. Selain itu, kuadrat dari nilai absolut dari bilangan kompleks yang dinyatakan sebagai matriks sama dengan determinan matriks tersebut:

 

Konjugasi   sesuai dengan transpos dari matriks.

Meskipun representasi bilangan kompleks dengan matriks ini adalah yang paling umum, banyak representasi lain yang muncul dari matriks selain   kuadrat itu ke negatif dari matriks identitas. Lihat artikel tentang 2 × 2 matriks riil untuk representasi lain dari bilangan kompleks.

GeometriSunting

BentukSunting

Tiga poin non-collinear   di pesawat tentukan 'bentuk' segitiga  . Menemukan titik-titik dalam bidang kompleks, bentuk segitiga ini dapat diekspresikan dengan aritmatika kompleks sebagai

 

Bentuk   sebuah segitiga akan tetap sama, ketika bidang kompleks diubah oleh translasi atau dilasi (dengan transformasi affin), sesuai dengan pengertian intuitif tentang bentuk, dan mendeskripsikan kesamaan. Demikianlah setiap segitiga   berada dalam kelas kesamaan segitiga dengan bentuk yang sama.[4]

Geometri fraktalSunting

 
Set Mandelbrot dengan sumbu nyata dan imajiner berlabel.

Himpunan Mandelbrot adalah contoh populer dari fraktal yang terbentuk pada bidang kompleks. Ini didefinisikan dengan memplot setiap lokasi   tempat melakukan iterasi urutan   tidak menyimpang ketika iterasi tanpa batas. Demikian pula, himpunan Julia memiliki aturan yang sama, kecuali di mana   tetap konstan.

SegitigaSunting

Setiap segitiga memiliki Steiner inellipse unik sebuah elips di dalam segitiga dan bersinggungan dengan titik tengah ketiga sisi segitiga. fokus dari segitiga inellipse Steiner dapat ditemukan sebagai berikut, menurut teorema Marden:[5][6] Nyatakan simpul segitiga pada bidang kompleks sebagai a = xA + yAi, b = xB + yBi, and c = xC + yCi. Tulis persamaan kubik  , ambil turunannya, dan samakan turunan (kuadratik) menjadi nol. Teorema Marden mengatakan bahwa solusi dari persamaan ini adalah bilangan kompleks yang menunjukkan lokasi dari dua fokus.

Lihat pulaSunting

CatatanSunting

ReferensiSunting

  1. ^ Corry, Leo (2015). A Brief History of Numbers. Oxford University Press. hlm. 215–16. 
  2. ^ Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama Apostol 1981
  3. ^ Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama Bourbaki
  4. ^ Lester, J.A. (1994), "Triangles I: Shapes", Aequationes Mathematicae, 52: 30–54, doi:10.1007/BF01818325 
  5. ^ Kalman, Dan (2008a), "An Elementary Proof of Marden's Theorem", American Mathematical Monthly, 115 (4): 330–38, doi:10.1080/00029890.2008.11920532, ISSN 0002-9890, diarsipkan dari versi asli tanggal 8 March 2012, diakses tanggal 1 January 2012 
  6. ^ Kalman, Dan (2008b), "The Most Marvelous Theorem in Mathematics", Journal of Online Mathematics and its Applications, diarsipkan dari versi asli tanggal 8 February 2012, diakses tanggal 1 January 2012 

KutipanSunting

Bacaan lebih lanjutSunting

MatematikaSunting

SejarahSunting

  • Bourbaki, Nicolas (1998), "Foundations of mathematics § logic: set theory", Elements of the history of mathematics, Springer 
  • Burton, David M. (1995), The History of Mathematics (edisi ke-3rd), New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-009465-9 
  • Katz, Victor J. (2004), A History of Mathematics, Brief Version, Addison-Wesley, ISBN 978-0-321-16193-2 
  • Nahin, Paul J. (1998), An Imaginary Tale: The Story of  , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-02795-1 
    A gentle introduction to the history of complex numbers and the beginnings of complex analysis.
  • Ebbinghaus, H. D.; Hermes, H.; Hirzebruch, F.; Koecher, M.; Mainzer, K.; Neukirch, J.; Prestel, A.; Remmert, R. (1991), Numbers (edisi ke-hardcover), Springer, ISBN 978-0-387-97497-2 
    An advanced perspective on the historical development of the concept of number.

Templat:Bilangan kompleks