Ruang vektor

struktur matematis yang dibentuk dari kumpulan elemen yang disebut vektor

Ruang vektor adalah struktur matematika yang dibentuk oleh sekumpulan vektor, yaitu objek yang dapat dijumlahkan dan dikalikan dengan suatu bilangan, yang dinamakan skalar. Skalar sering adalah bilangan riil, tetapi kita juga dapat merumuskan ruang vektor dengan perkalian skalar dengan bilangan kompleks, bilangan rasional, atau bahkan medan. Operasi penjumlahan dan perkalian vektor mesti memenuhi persyaratan tertentu yang dinamakan aksioma. Contoh ruang vektor adalah vektor Euklides yang sering digunakan untuk melambangkan besaran fisika seperti gaya. Dua gaya dengan jenis sama dapat dijumlahkan untuk menghasilkan gaya ketiga, dan perkalian vektor gaya dengan bilangan riil adalah vektor gaya lain. Vektor yang melambangkan perpindahan pada bidang atau pada ruang tiga dimensi juga membentuk ruang vektor.

Penjumlahan vektor dan perkalian skalar: Sebuah vektor v (biru) ditambahkan ke vektor lain w (merah, ilustrasi atas). Di bawah, w diregangkan dengan faktor 2, menghasilkan jumlah v + 2·w.

Ruang vektor merupakan subjek dari aljabar linear, dan dipahami dengan baik dari sudut pandang ini, karena ruang vektor dicirikan oleh dimensinya, yang menspesifikasikan banyaknya arah independen dalam ruang. Teori ruang vektor juga ditingkatkan dengan memperkenalkan struktur tambahan, seperti norma atau hasilkali dalam. Ruang seperti ini muncul dengan alamiah dalam analisis matematika, dalam bentuk ruang fungsi berdimensi takhingga, dengan vektornya adalah fungsi.

Secara historis, gagasan awal yang berbuah pada konsep ruang vektor dapat dilacak dari geometri analitik abad ke-17, matriks, sistem persamaan linear, dan vektor Euklides. Pembahasan modern yang lebih abstrak pertama kali dirumuskan oleh Giuseppe Peano pada akhir abad ke-19, yang meliput objek lebih umum daripada ruang Euklides, namun kebanyakan teori tersebut dapat dipandang sebagai perluasan gagasan geometri klasik seperti garis, bidang, dan analognya yang berdimensi lebih tinggi.

Saat ini, ruang vektor diterapkan di seluruh bidang matematika, sains dan rekayasa. Ruang vektor adalah konsep aljabar linear yang sesuai untuk menghadapi sistem persamaan linear, menawarkan kerangka kerja untuk deret Fourier (yang digunakan dalam pemampatan citra), atau menyediakan lingkungan yang dapat digunakan untuk teknik solusi persamaan diferensial parsial. Lebih jauh lagi, ruang vektor memberikan cara abstrak dan bebas koordinat untuk berurusan dengan objek geometris dan fisis seperti tensor. Pada gilirannya ini memungkinkan pemeriksaan sifat lokal manifold menggunakan teknik pelinearan. Ruang vektor dapat dirampatkan ke beberapa arah, dan menghasilkan konsep lebih lanjut dalam geometri dan aljabar abstrak.

Pendahuluan dan definisiSunting

Konsep ruang vektor pertama-tama akan dijelaskan dengan menjelaskan dua contoh khusus:

Contoh pertama: panah suatu bidangSunting

Contoh pertama ruang vektor terdiri dari panah dalam bidang tetap, dimulai dari satu titik tetap. Ini digunakan dalam fisika untuk menjelaskan gaya s atau kecepatan. Diberikan dua panah seperti, v dan w, jajaran genjang yang direntang oleh dua panah ini berisi satu panah diagonal yang juga dimulai dari titik awal. Panah baru ini disebut jumlah dari dua panah, dan dilambangkan v + w.[1] Dalam kasus khusus dari dua anak panah pada garis yang sama, jumlahnya adalah panah pada garis ini yang panjangnya adalah jumlah atau perbedaan panjangnya, tergantung pada apakah panah tersebut memiliki arah yang sama. Operasi lain yang dapat dilakukan dengan panah adalah penskalaan: diberikan bilangan riil a positif, panah yang searah dengan v, tetapi dilatasi atau dikecilkan dengan mengalikan panjangnya dengan a, disebut perkalian dari v dengan a. Itu dilambangkan av. Jika a negatif, av didefinisikan sebagai panah yang menunjuk ke arah yang berlawanan.

Berikut ini adalah beberapa contoh: jika a = 2, vektor yang dihasilkan aw memiliki arah yang sama dengan w, tetapi direntangkan menjadi dua kali lipat panjang w (gambar kanan bawah). Sama halnya, 2w adalah jumlah w + w. Bahkan, (−1)v = −v memiliki arah berlawanan dan panjang yang sama v (vektor biru menunjuk ke bawah pada gambar kanan).

   

Contoh kedua: pasangan angka yang diurutkanSunting

Contoh kunci kedua dari ruang vektor disediakan oleh pasangan bilangan riil x dan y . (Urutan komponen x dan y signifikan, sehingga pasangan seperti itu juga disebut pasangan terurut.) Pasangan seperti itu ditulis sebagai (x, y). Penjumlahan dari dua pasangan tersebut dan perkalian pasangan dengan bilangan didefinisikan sebagai berikut:

 

dan

  .

Contoh pertama di atas berkurang menjadi yang satu ini, jika panah diwakili oleh pasangan koordinat Kartesius dari titik ujungnya.

DefinisiSunting

Dalam artikel ini, vektor direpresentasikan dengan huruf tebal untuk membedakannya dari skalar.[nb 1]

Sebuah ruang vektor di atas bidang F adalah himpunan V bersama dengan dua operasi yang memenuhi delapan aksioma tercantum di bawah ini. Berikut ini, V × V menunjukkan produk Cartesian dari V dengan dirinya sendiri, dan menunjukkan pemetaan dari satu himpunan ke himpunan lainnya.

Elemen V biasanya disebut vektor . Elemen F biasanya disebut skalar . Simbol umum untuk menunjukkan ruang vektor termasuk  ,   dan  .[1]

Dalam dua contoh di atas, bidang adalah bidang dari bilangan real, dan himpunan vektor terdiri dari panah planar dengan titik awal tetap dan pasangan bilangan real.

Untuk memenuhi syarat sebagai ruang vektor, himpunan V dan operasi penjumlahan dan perkalian harus mematuhi sejumlah persyaratan yang disebut aksioma.[2] Ini tercantum dalam tabel di bawah ini, di mana u, v dan w menunjukkan vektor arbitrer di V, dan a dan b menunjukkan skalar di F.[3][4]

Aksioma Rumus
Asosiatif tambahan u + (v + w) = (u + v) + w
Komutatif tambahan u + v = v + u
Elemen identitas penambahan Ada elemen 0V, disebut vektor nol , sepertivv + 0 = v untuk vV.
Elemen invers penambahan Untuk setiap vV, ada elemen vV, disebut aditif invers dari v, seperti yang v + (−v) = 0.
Kompatibilitas dari perkalian skalar dengan perkalian bidang a(bv) = (ab)v [nb 2]
Elemen identitas perkalian skalar 1v = v, dengan 1 menunjukkan multiplicative identity di F.
Distributivitas perkalian skalar sehubungan dengan penambahan vektor a(u + v) = au + av
Distributivitas perkalian skalar sehubungan dengan penambahan medan (a + b)v = av + bv

Aksioma ini menggeneralisasi properti vektor yang diperkenalkan pada contoh di atas. Memang, hasil penjumlahan dua pasangan berurutan (seperti contoh kedua di atas) tidak bergantung pada urutan penjumlahan:

(xv, yv) + (xw, yw) = (xw, yw) + (xv, yv).

Demikian juga, dalam contoh geometris vektor sebagai panah, v + w = w + v karena jajar genjang yang menentukan jumlah vektor tidak bergantung pada urutan vektor. Semua aksioma lainnya dapat diverifikasi dengan cara yang sama pada kedua contoh. Jadi, dengan mengabaikan sifat konkret dari jenis vektor tertentu, definisi menggabungkan dua dan lebih banyak contoh dalam satu pengertian ruang vektor.

Pengurangan dua vektor dan pembagian dengan skalar (bukan nol) dapat didefinisikan sebagai

 .

Ketika bidang skalar F adalah bilangan real R, ruang vektor disebut ruang vektor nyata . Jika bidang skalar adalah bilangan kompleks C, ruang vektor disebut ruang vektor kompleks . Kedua kasus ini adalah yang paling sering digunakan dalam bidang teknik. Definisi umum ruang vektor memungkinkan skalar menjadi elemen dari setiap bidang F tetap. Gagasan tersebut kemudian dikenal sebagai F- ruang vektor atau ruang vektor di atas F . Bidang pada dasarnya adalah sekumpulan angka yang memiliki operasi penambahan, pengurangan, perkalian dan pembagian.[nb 3] Misalnya, bilangan rasional membentuk suatu bidang.

Berbeda dengan intuisi yang berasal dari vektor pada bidang dan kasus berdimensi lebih tinggi, dalam ruang vektor umum, tidak ada gagasan tentang kedekatan, sudut atau jarak. Untuk menangani hal-hal tersebut, jenis ruang vektor tertentu diperkenalkan; lihat Ruang vektor dengan struktur tambahan di bawah untuk informasi selengkapnya.

Rumus alternatif dan konsekuensi dasarSunting

Penjumlahan vektor dan perkalian skalar adalah operasi, memenuhi sifat penutupan: u + v dan av berada di V untuk a pada F, dan u, v ke V. Beberapa sumber yang lebih tua menyebutkan sifat-sifat ini sebagai aksioma yang terpisah.[5]

Dalam bahasa aljabar abstrak, empat aksioma pertama ekivalen dengan mensyaratkan himpunan vektor menjadi grup Abelian di bawah tambahan. Aksioma yang tersisa memberi grup ini struktur F - modul. Dengan kata lain, ada ring homomorphism f dari bidang F ke dalam gelanggang endomorfisme dari grup vektor. Kemudian perkalian skalar av didefinisikan sebagai (f(a))(v).[6]

SejarahSunting

Ruang vektor berasal dari geometri affine, melalui pengenalan koordinat pada bidang atau ruang tiga dimensi. Sekitar 1636, ahli matematika Prancis René Descartes dan Pierre de Fermat mendirikan geometri analitik dengan mengidentifikasi solusi persamaan dua variabel dengan titik-titik pada bidang kurva.[7] Untuk mencapai solusi geometris tanpa menggunakan koordinat, Bolzano diperkenalkan, pada tahun 1804, operasi tertentu pada titik, garis dan bidang, yang merupakan pendahulu vektor.[8] This work was made use of in the conception of barycentric coordinates by Möbius in 1827.[9] Landasan dari definisi vektor adalah Bellavitis 'pengertian bipoint, segmen berorientasi salah satu ujungnya adalah asal dan yang lain target. Vektor dipertimbangkan kembali dengan penyajian bilangan kompleks oleh Argand dan Hamilton dan dimulainya Kuarternion oleh yang terakhir.[10] Mereka adalah elemen dalam R2 dan R4; memperlakukan mereka menggunakan kombinasi linier s kembali ke Laguerre pada tahun 1867, yang juga mendefinisikan sistem persamaan linear.

Pada tahun 1857, Cayley memperkenalkan notasi matriks yang memungkinkan harmonisasi dan penyederhanaan peta linear. Sekitar waktu yang sama, Grassmann mempelajari kalkulus barycentric yang diprakarsai oleh Mbius. Dia membayangkan kumpulan objek abstrak yang diberkahi dengan operasi.[11] Dalam karyanya, konsep kemerdekaan linier dan dimensi, serta produk skalar hadir. Sebenarnya karya Grassmann tahun 1844 melebihi kerangka vektor ruang, karena perkaliannya yang mempertimbangkan, juga, membawanya ke apa yang sekarang disebut aljabar. Matematikawan Italia Peano adalah orang pertama yang memberikan definisi modern ruang vektor dan peta linier pada tahun 1888.[12]

Perkembangan penting dari ruang vektor adalah karena pembangunan ruang fungsi oleh Henri Lebesgue. Ini kemudian diresmikan oleh Banach dan Hilbert, sekitar 1920.[13] Pada saat itu, aljabar dan bidang baru analisis fungsional mulai berinteraksi, terutama dengan konsep-konsep kunci seperti Ruang Lp dan ruang Hilbert.[14] Juga pada saat ini, studi pertama tentang ruang vektor berdimensi tak hingga telah dilakukan.

ContohSunting

Ruang koordinatSunting

Contoh paling sederhana dari ruang vektor di atas bidang F adalah bidang itu sendiri, dilengkapi dengan penjumlahan dan perkalian standarnya. Lebih umum lagi, semua n-tupel (urutan panjang n)

(a1, a2, ..., an)

dari elemen F membentuk ruang vektor yang biasanya dilambangkan Fn dan disebut ruang koordinat.[15] Kasus n = 1 adalah contoh paling sederhana yang disebutkan di atas, di mana bidang F juga dianggap sebagai ruang vektor di atasnya. Kasus F = R and n = 2 telah dibahas dalam pendahuluan di atas.

Bilangan kompleks dan ekstensi bidang lainnyaSunting

Himpunan bilangan kompleks C, Artinya, angka yang bisa dituliskan dalam bentuk x + iy untuk bilangan real x dan y di mana i adalah satuan imajiner , bentuk ruang vektor di atas real dengan penjumlahan dan perkalian seperti biasa: (x + iy) + (a + ib) = (x + a) + i(y + b) dan c ⋅ (x + iy) = (cx) + i(cy) untuk bilangan real x, y, a, b dan c. Berbagai aksioma ruang vektor mengikuti fakta bahwa aturan yang sama berlaku untuk aritmatika bilangan kompleks.

Faktanya, contoh bilangan kompleks pada dasarnya sama (yaitu isomorfik ) dengan ruang vektor pasangan terurut bilangan real yang disebutkan di atas: jika kita memikirkan bilangan kompleks x + i y sebagai mewakili urutan (x, y) di bidang kompleks kemudian kita melihat bahwa aturan penjumlahan dan perkalian skalar sama persis dengan yang ada di contoh sebelumnya.

Secara lebih umum, ekstensi bidang menyediakan kelas lain dari contoh ruang vektor, terutama dalam aljabar dan teori bilangan aljabar: bidang F berisi bidang lebih kecil E adalah ruang vektor- E , dengan operasi perkalian dan penjumlahan yang diberikan F.[16] Misalnya, bilangan kompleks adalah ruang vektor R, dan ekstensi bidang   adalah vektor ruang atas Q.

Ruang fungsiSunting

 
Penambahan fungsi: Jumlah sinus dan fungsi eksponensial adalah   dengan  

Fungsi dari himpunan tetap Ω ke bidang F juga membentuk ruang vektor, dengan melakukan penjumlahan dan perkalian skalar searah jarum jam. Artinya, jumlah dari dua fungsi f dan g adalah fungsi (f + g) diberikan oleh

(f + g)(w) = f(w) + g(w),

dan juga untuk perkalian. Ruang fungsi seperti itu terjadi dalam banyak situasi geometris, ketika Ω adalah garis nyata atau interval, atau himpunan bagian lainnya dari R. Banyak gagasan dalam topologi dan analisis, seperti kontinuitas, integrabilitas atau diferensiabilitas berperilaku baik sehubungan dengan linearitas: penjumlahan dan kelipatan skalar dari fungsi yang memiliki sifat seperti itu masih memiliki sifat itu.[17] Oleh karena itu, himpunan fungsi tersebut adalah ruang vektor. Mereka dipelajari secara lebih rinci menggunakan metode analisis fungsional, lihat di bawah.[butuh klarifikasi] Batasan aljabar juga menghasilkan ruang vektor: ruang vektor F[x] diberikan oleh fungsi polinomial:

f(x) = r0 + r1x + ... + rn−1xn−1 + rnxn, dimana koefisien r0, ..., rn berada di F.[18]

Persamaan linearSunting

Sistem persamaan linear homogen s terkait erat dengan ruang vektor.[19] For example, the solutions of

a + 3b + c = 0
4a + 2b + 2c = 0

diberikan dengan tiga kali lipat dengan sembarang a, b = a/2, dan c = −5a/2. Mereka membentuk ruang vektor: penjumlahan dan kelipatan skalar dari tiga kali lipat masih memenuhi rasio yang sama dari ketiga variabel; jadi mereka juga solusi. Matriks dapat digunakan untuk memadatkan beberapa persamaan linier seperti di atas menjadi satu persamaan vektor, yaitu

Ax = 0,

dimana A =   is matriks yang berisi koefisien dari persamaan yang diberikan, x adalah vektor (a, b, c), Ax menunjukkan produk matriks, dan 0 = (0, 0) adalah vektor nol. Dengan nada yang sama, solusi dari persamaan diferensial linier homogen membentuk ruang vektor. Sebagai contoh,

f′′(x) + 2f′(x) + f(x) = 0

hasil f(x) = a ex + bx ex, dimana a dan b adalah konstanta arbitrer, dan ex adalah fungsi eksponensial alami.

Definisi formalSunting

Sebuah ruang vektor (atas medan F) adalah himpunan V, bersama-sama dengan dua operasi, yaitu penjumlahan vektor dan perkalian skalar, dan memenuhi aksioma-aksioma berikut (untuk semua   dan  ):

Aksioma Pernyataan
Sifat asosiatif penjumlahan u + (v + w) = (u + v) + w.
Sifat komutatif penjumlahan v + w = w + v.
Elemen identitas penjumlahan Terdapat elemen 0V, dinamakan sebagai vektor nol, sedemikian sehingga v + 0 = v untuk semua vV.
Elemen invers penjumlahan Untuk semua v ∈ V, terdapat elemen wV, dinamakan sebagai invers penjumlahan v, sedemikan sehingga v + w = 0. Invers penjumlahan ini dilambangkan sebagai −v.
Sifat distributif perkalian skalar terhadap penjumlahan vektor   a(v + w) = av + aw.
Sifat distributif perkalian skalar terhadap penjumlahan medan (a + b)v = av + bv.
Kesesuaian perkalian skalar dengan perkalian medan a(bv) = (ab)v [20]
Elemen identitas pada perkalian skalar 1v = v, dengan 1 melambangkan entitas perkalian dalam F.

Dalam peta linearSunting

Kasus khusus yang penting adalah ketika V = W, di mana peta linearnya disebut endomorfisme (linear) dari V. Terkadang istilah operator linear dipakai untuk kasus ini.[21] Dalam kebiasaan yang lain, operator linear membolehkan V dan W yang berbeda, tetapi mereka harus merupakan urang vektor real.[22] Terkadang istilah fungsi linear memiliki arti yang sama dengan peta linear, sedangkan dalam geometri analisis artinya berbeda.

Sebuah peta linear selalu memetakan subruang linear ke subruang linear (mungkin dengan dimension yang lebih rendah);[23] contohnya pemetaan sebuah bidang yang melalui titik nol ke sebuah bidang, garis lurus atau titik. Peta linear biasanya dilambangkan sebagai matriks, dan contoh sederhananya adalah transformasi linear rotasi dan pencerminan.

Dalam bahasa aljabar abstrak, sebuah peta linear merupakan sebuah homoformisme modul. Dalam bahasa teori kategori, sebuah peta linear merupakan sebuah morfisme dalam kategori modul pada sebuah gelanggang.

Lihat pulaSunting

CatatanSunting

  1. ^ Ini juga umum, terutama dalam fisika, untuk menunjukkan vektor dengan panah di atasnya: Templat:Vec.
  2. ^ Aksioma ini dan selanjutnya mengacu pada dua operasi yang berbeda: perkalian skalar: bv; dan perkalian lapangan: ab. Mereka tidak menegaskan asosiatif dari kedua operasi tersebut. Secara lebih formal, perkalian skalar adalah aksi monoid dari perkalian monoid bidang F pada ruang vektor V.
  3. ^ Some authors (such as Brown 1991) batasi perhatian pada bidang R atau C, tetapi sebagian besar teori tidak berubah untuk bidang arbitrer.

KutipanSunting

  1. ^ a b "Comprehensive List of Algebra Symbols". Math Vault (dalam bahasa Inggris). 2020-03-25. Diakses tanggal 2020-08-23. 
  2. ^ Roman 2005, ch. 1, p. 27
  3. ^ "5: Vector Spaces". Mathematics LibreTexts (dalam bahasa Inggris). 2016-02-29. Diakses tanggal 2020-08-23. 
  4. ^ Weisstein, Eric W. "Vector Space". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-08-23. 
  5. ^ van der Waerden 1993, Ch. 19
  6. ^ Bourbaki 1998, §II.1.1. Bourbaki menyebut grup homomorfisme f(a) homotheties.
  7. ^ Bourbaki 1969, ch. "Algèbre linéaire et algèbre multilinéaire", pp. 78–91.
  8. ^ Bolzano 1804.
  9. ^ Möbius 1827.
  10. ^ Hamilton 1853.
  11. ^ Grassmann 2000.
  12. ^ Peano 1888, ch. IX.
  13. ^ Banach 1922.
  14. ^ Dorier 1995, Moore 1995.
  15. ^ Lang 1987, ch. I.1
  16. ^ Lang 2002, ch. V.1
  17. ^ Lang 1993, ch. XII.3., p. 335
  18. ^ Lang 1987, ch. IX.1
  19. ^ Lang 1987, ch. VI.3.
  20. ^ Aksioma ini tidak menyatakan sifat asosiatif operasi, karena ada dua operasi dalam hal ini, perkalian skalar: bv; dan perkalian medan: ab.
  21. ^ Transformasi linear dari V ke V sering disebut operator linear di V Rudin 1976, hlm. 207
  22. ^ Misalkan V dan W adalah dua ruang vektor real. Sebuat pemetaan dari V ke W disebut sebuah 'pemetaan linear' atau 'transformasi linear' atau 'operator linear' [...] dari V ke W, apabila
      untuk setiap  ,
      untuk setiap   dan semua λ real. Bronshtein, Semendyayev 2004, hlm. 316
  23. ^ Rudin 1991, hlm. 14
    Berikut beberapa sifat dari pemetaan linear   yang buktinya sangat mudah jadi kita tidak menuliskannya; diasumsikan bahwa   dan  :
    1.  
    2. Jika A merupakan sebuah subruang (atau sebuah himpunan konveks, atau sebuah himpunan seimbang) hal yang sama berlaku juga di  
    3. Jika B merupakan sebuah subruang (atau sebuah himpunan konveks, atau sebuah himpunan seimbang) hal yang sama berlaku juga di  
    4. Secara khusus, himpunan:
       
      merupakan sebuah subruang dari X, disebut ruang nol dari  .

ReferensiSunting

AljabarSunting

AnalisisSunting

Referensi sejarahSunting

Referensi lebih lanjutSunting

Pranala luarSunting