Ruang vektor

struktur matematis yang dibentuk dari kumpulan elemen yang disebut vektor
Penjumlahan vektor dan perkalian skalar: Sebuah vektor v (biru) ditambahkan ke vektor lain w (merah, ilustrasi atas). Di bawah, w diregangkan dengan faktor 2, menghasilkan jumlah v + 2·w.

Ruang vektor adalah struktur matematika yang dibentuk oleh sekumpulan vektor, yaitu objek yang dapat dijumlahkan dan dikalikan dengan suatu bilangan, yang dinamakan skalar. Skalar sering adalah bilangan riil, tetapi kita juga dapat merumuskan ruang vektor dengan perkalian skalar dengan bilangan kompleks, bilangan rasional, atau bahkan medan. Operasi penjumlahan dan perkalian vektor mesti memenuhi persyaratan tertentu yang dinamakan aksioma. Contoh ruang vektor adalah vektor Euklides yang sering digunakan untuk melambangkan besaran fisika seperti gaya. Dua gaya dengan jenis sama dapat dijumlahkan untuk menghasilkan gaya ketiga, dan perkalian vektor gaya dengan bilangan riil adalah vektor gaya lain. Vektor yang melambangkan perpindahan pada bidang atau pada ruang tiga dimensi juga membentuk ruang vektor.

Ruang vektor merupakan subjek dari aljabar linear, dan dipahami dengan baik dari sudut pandang ini, karena ruang vektor dicirikan oleh dimensinya, yang menspesifikasikan banyaknya arah independen dalam ruang. Teori ruang vektor juga ditingkatkan dengan memperkenalkan struktur tambahan, seperti norma atau hasilkali dalam. Ruang seperti ini muncul dengan alamiah dalam analisis matematika, dalam bentuk ruang fungsi berdimensi takhingga, dengan vektornya adalah fungsi.

Secara historis, gagasan awal yang berbuah pada konsep ruang vektor dapat dilacak dari geometri analitik abad ke-17, matriks, sistem persamaan linear, dan vektor Euklides. Pembahasan modern yang lebih abstrak pertama kali dirumuskan oleh Giuseppe Peano pada akhir abad ke-19, yang meliput objek lebih umum daripada ruang Euklides, namun kebanyakan teori tersebut dapat dipandang sebagai perluasan gagasan geometri klasik seperti garis, bidang, dan analognya yang berdimensi lebih tinggi.

Saat ini, ruang vektor diterapkan di seluruh bidang matematika, sains dan rekayasa. Ruang vektor adalah konsep aljabar linear yang sesuai untuk menghadapi sistem persamaan linear, menawarkan kerangka kerja untuk deret Fourier (yang digunakan dalam pemampatan citra), atau menyediakan lingkungan yang dapat digunakan untuk teknik solusi persamaan diferensial parsial. Lebih jauh lagi, ruang vektor memberikan cara abstrak dan bebas koordinat untuk berurusan dengan objek geometris dan fisis seperti tensor. Pada gilirannya ini memungkinkan pemeriksaan sifat lokal manifold menggunakan teknik pelinearan. Ruang vektor dapat dirampatkan ke beberapa arah, dan menghasilkan konsep lebih lanjut dalam geometri dan aljabar abstrak.

Definisi formalSunting

Sebuah ruang vektor (atas medan F) adalah himpunan V, bersama-sama dengan dua operasi, yaitu penjumlahan vektor dan perkalian skalar, dan memenuhi aksioma-aksioma berikut (untuk semua   dan  ):

Aksioma Pernyataan
Sifat asosiatif penjumlahan u + (v + w) = (u + v) + w.
Sifat komutatif penjumlahan v + w = w + v.
Elemen identitas penjumlahan Terdapat elemen 0V, dinamakan sebagai vektor nol, sedemikian sehingga v + 0 = v untuk semua vV.
Elemen invers penjumlahan Untuk semua v ∈ V, terdapat elemen wV, dinamakan sebagai invers penjumlahan v, sedemikan sehingga v + w = 0. Invers penjumlahan ini dilambangkan sebagai −v.
Sifat distributif perkalian skalar terhadap penjumlahan vektor   a(v + w) = av + aw.
Sifat distributif perkalian skalar terhadap penjumlahan medan (a + b)v = av + bv.
Kesesuaian perkalian skalar dengan perkalian medan a(bv) = (ab)v [1]
Elemen identitas pada perkalian skalar 1v = v, dengan 1 melambangkan entitas perkalian dalam F.

Dalam peta linearSunting

Kasus khusus yang penting adalah ketika V = W, di mana peta linearnya disebut endomorfisme (linear) dari V. Terkadang istilah operator linear dipakai untuk kasus ini.[2] Dalam kebiasaan yang lain, operator linear membolehkan V dan W yang berbeda, tetapi mereka harus merupakan urang vektor real.[3] Terkadang istilah fungsi linear memiliki arti yang sama dengan peta linear, sedangkan dalam geometri analisis artinya berbeda.

Sebuah peta linear selalu memetakan subruang linear ke subruang linear (mungkin dengan dimension yang lebih rendah);[4] contohnya pemetaan sebuah bidang yang melalui titik nol ke sebuah bidang, garis lurus atau titik. Peta linear biasanya dilambangkan sebagai matriks, dan contoh sederhananya adalah transformasi linear rotasi dan pencerminan.

Dalam bahasa aljabar abstrak, sebuah peta linear merupakan sebuah homoformisme modul. Dalam bahasa teori kategori, sebuah peta linear merupakan sebuah morfisme dalam kategori modul pada sebuah gelanggang.

CatatanSunting

  1. ^ Aksioma ini tidak menyatakan sifat asosiatif operasi, karena ada dua operasi dalam hal ini, perkalian skalar: bv; dan perkalian medan: ab.
  2. ^ Transformasi linear dari V ke V sering disebut operator linear di V Rudin 1976, hlm. 207
  3. ^ Misalkan V dan W adalah dua ruang vektor real. Sebuat pemetaan dari V ke W disebut sebuah 'pemetaan linear' atau 'transformasi linear' atau 'operator linear' [...] dari V ke W, apabila
      untuk setiap  ,
      untuk setiap   dan semua λ real. Bronshtein, Semendyayev 2004, hlm. 316
  4. ^ Rudin 1991, hlm. 14
    Berikut beberapa sifat dari pemetaan linear   yang buktinya sangat mudah jadi kita tidak menuliskannya; diasumsikan bahwa   dan  :
    1.  
    2. Jika A merupakan sebuah subruang (atau sebuah himpunan konveks, atau sebuah himpunan seimbang) hal yang sama berlaku juga di  
    3. Jika B merupakan sebuah subruang (atau sebuah himpunan konveks, atau sebuah himpunan seimbang) hal yang sama berlaku juga di  
    4. Secara khusus, himpunan:
       
      merupakan sebuah subruang dari X, disebut ruang nol dari  .