Teori kategori

logika dan matematika
Teori kategori. Sebuah kategori dengan objek X, Y, Z, dan morfisme f, g, gf, dan tiga morfisma identitas (tidak ditunjukkan) 1X, 1Y, dan 1Z.

Teori kategori berhubungan dengan struktur matematika dan hubungan antar struktur tersebut secara abstrak. Saat ini kategori digunakan dalam matematika, informatika teori, dan fisika matematis. Kategori diperkenalkan pertama kali oleh Samuel Eilenberg dan Saunders Mac Lane pada tahun 1942-1945, dalam hubungannya dengan topologi aljabar.

Definisi KategoriSunting

Suatu kategori   terdiri atas:

  • Suatu kelas Obj( ) yang berisi objek dari kategori tersebut
  • Untuk sebarang   Obj( ) terdapat suatu himpunan morfisma Hom( ) yang berisi morfisma atau panah dari objek   ke objek   dengan sifat:
    • Komposisi Morfisma. Kita bisa menggabungkan dua morfisma   dan  , jika himpunan target dari morfisma pertama sama dengan himpunan sumber dari morfisma kedua, misal   dan   untuk suatu objek   dan  . Komposisi biasanya dilambangkan dengan   yang berarti morfisma   dilanjut oleh morfisma   (dibaca dari kanan).
    • Morfisma Identitas. Untuk setiap   Obj( ), terdapat morfisma identitas   yang untuk sebarang morfisma   Hom( ) memenuhi   dan  

Suatu kategori   dikatakan sebagai kategori kecil jika Obj( ) adalah suatu himpunan.

Contoh KategoriSunting

Dari pendefinisian kategori, terasa alami untuk mendefinisikan suatu kategori SET dengan Obj(SET) adalah kelas yang berisi semua himpunan dan untuk sebarang himpunan   Obj(SET) kita punyai Hom( ) fungsi dari himpunan   ke himpunan  . Perhatikan bahwa kategori SET bukanlah sebuah kategori kecil dikarenakan koleksi dari seluruh himpunan bukanlah suatu himpunan (untuk menghindari paradoks Russel)

Beberapa contoh lain dari kategori diberikan pada tabel berikut

Kategori Objek Morfisma
Grp Grup Homomorfisma Grup
Manp Manifold mulus Pemetaan yang terdiferensialkan kontinu p-kali
Met Ruang Metrik Pemetaan metrik
R-Mod R-Modul, dengan R suatu gelanggang Homomorfisma modul
Ring Gelanggang Homomorfisma gelanggang
Top Ruang Topologi Fungsi kontinu
VectK Ruang vektor atas lapangan K Pemetaan linier

Konstruksi Kategori Baru dari Kategori yang AdaSunting

Kategori DualSunting

Sebarang kategori   dapat dikonstruksi menjadi kategori baru dengan membalik setiap morfismanya tanpa mengubah objeknya. Kategori yang demikian disebut kategori dual dan dinotasikan sebagai  op