Grup (matematika)

himpunan aljabar dengan operasi internal asosiatif yang dapat dibalik yang mengakui elemen netral

Dalam matematika, grup adalah suatu himpunan, beserta satu operasi biner, seperti perkalian atau penjumlahan yang memenuhi beberapa aksioma yang disebut aksioma grup. Misalnya, himpunan bilangan bulat adalah suatu grup terhadap operasi penjumlahan. Cabang matematika yang mempelajari grup disebut teori grup.

Manipulasi dari Kubus Rubik membentuk Grup Kubus Rubik.

Banyak sekali objek yang dipelajari dalam matematika berupa grup. Hal ini mencakup sistem bilangan, seperti bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan riil, dan bilangan kompleks terhadap penjumlahan, atau bilangan rasional, bilangan riil, dan bilangan kompleks yang tak-nol, masing-masing terhadap perkalian. Contoh penting lainnya misalnya matriks non-singular terhadap perkalian, dan secara umum, fungsi terinverskan terhadap komposisi fungsi. Teori grup memungkinkan sifat ini dan berbagai sistem lain untuk dipelajari dalam lingkup yang umum, dan hasilnya dapat diterapkan secara luas. Teori grup juga merupakan sumber kaya berbagai teorema yang berlaku dalam lingkup grup.

Asal usul teori grup berawal dari kerja Evariste Galois (1830), yang berkaitan dengan masalah persamaan aljabar yang terpecahkan dengan radikal. Sebelum kerja Galois, grup lebih banyak dipelajari secara konkret, dalam bentuk permutasi; beberapa aspek teori grup abelian dikenal dalam teori bentuk kuadrat.

Definisi dan ilustrasiSunting

Contoh pertama: bilangan bulatSunting

Salah satu grup yang lebih dikenal adalah himpunan bilangan bulat  :  dengan penambahan.[1] Untuk dua bilangan bulat a dan b, penambahan a + b merupakan bilangan bulat; sifat penutupan bahwa + adalah operasi biner  . Sifat penjumlahan bilangan bulat berikut berfungsi sebagai model untuk aksioma grup dalam definisi di bawah ini.

  • Untuk semua bilangan bulat a, b dan c, satu memiliki (a + b) + c = a + (b + c). Dinyatakan dalam kata-kata, menambahkan a ke b terlebih dahulu, setelah itu menambahkan hasilnya ke c memberikan hasil akhir yang sama seperti menambahkan a ke jumlah b dan C. Sifat ini disebut sebagai asosiatif.
  • Jika a adalah bilangan bulat, maka 0 + a = a dan a + 0 = a. Nol disebut elemen identitas dari penjumlahan karena menambahkannya ke bilangan bulat akan mengembalikan bilangan bulat yang sama.
  • Untuk setiap bilangan bulat a, bilangan bulat b sebagai a + b = 0 dan b + a = 0. Bilangan bulat b disebut elemen invers dari bilangan bulat a dan dilambangkan dengan −a.

Bilangan bulat dengan operasi +, membentuk objek matematika kelas luas yang terbagi aspek struktural serupa. Untuk memahami dengan tepat struktur tersebut sebagai suatu kolektif.

DefinisiSunting

Aksioma untuk grup pendek dan alami... Namun harus bagaimana di balik aksioma ini adalah grup monster sederhana, objek matematika sangat luar biasa, yang tampaknya tergantung pada banyak kebenaran yang aneh. Aksioma untuk grup tidak memberikan petunjuk yang jelas bahwa hal seperti ini ada.

Richard Borcherds dalam Matematikawan: Pandangan Luar dari Dunia Batin [2]

Grup adalah himpunan G dengan operasi biner G yang dilambangkan sebagai , menggabungkan dua elemen a dan b untuk membentuk elemen G dilambangkan ab, sedemikian rupa maka tiga persyaratan berikut, yang dikenal sebagai aksioma grup, digunakan sebagai:[3][4][5]

Asosiatif
Untuk semua a, b, c dalam G yang menggunakan (ab) ⋅ c = a ⋅ (bc).
Elemen identitas
Elemen e dalam G, maka untuk setiap a dalam G yang menggunakan ea = a dan ae = a. Elemen unik (lihat di bawah) disebut elemen identitas dari grup.
Elemen invers
Untuk setiap a dalam G adalah elemen b dalam G sedemikian rupa maka ab = e and ba = e, dimana e adalah elemen identitas. Untuk setiap a, elemen b unik (lihat di bawah); disebut sebagai invers dari a dan biasanya dilambangkan a−1.

Notasi dan terminologiSunting

Secara formal, grup tersebut adalah pasangan terurut dari suatu himpunan dan operasi biner pada himpunan ini yang memenuhi aksioma grup. Himpunan ini disebut himpunan mendasari grup, dan operasinya disebut operasi grup atau hukum grup.

Grup dan himpunan dasarnya adalah dua objek matematika yang berbeda. Tetapi untuk menghindari notasi yang rumit, biasanya notasi penyalahgunaan dengan menggunakan simbol yang sama untuk menunjukkan keduanya. Hal ini mencerminkan cara berpikir informal, bahwa grup tersebut sama dengan himpunan kecuali telah diperkaya oleh struktur tambahan yang disediakan oleh operasi.

Misalnya, pertimbangkan himpunan bilangan riil  , yang memiliki operasi penjumlahan   dan perkalian  . Secara formal,   adalah satu himpunan,   adalah sebuah grup, dan   adalah medan. Tapi biasanya ditulis sebagai   untuk menunjukkan salah satu dari tiga objek ini.

Grup aditif dari lapangan   adalah grup yang himpunan dasar   dan yang operasinya adalah penjumlahan. Grup perkalian dari lapangan   adalah grup   himpunan dasar adalah himpunan bilangan real bukan nol   dan operasinya adalah perkalian.

Secara umum, kita berbicara tentang grup aditif setiap kali operasi grup dinotasikan sebagai penjumlahan; dalam hal ini, identitas biasanya dilambangkan dengan 0,[6] dan invers dari elemen x dilambangkan dengan x. Demikian pula, kita berbicara tentang grup perkalian setiap kali operasi grup dinotasikan sebagai perkalian; dalam hal ini, identitas biasanya dilambangkan dengan 1, dan inversi elemen x dilambangkan dengan x–1. Dalam grup perkalian, simbol operasi biasanya dihilangkan seluruhnya, so bahwa operasi dilambangkan dengan penjajaran, ab sebagai pengganti ab.

Definisi grup tidak mensyaratkan bahwa ab = ba untuk semua elemen a dan b dalam G. Jika ketentuan tambahan berlaku, maka operasi tersebut dikatakan komutatif, dan grup tersebut disebut grup abelian. Sudah menjadi kesepakatan umum bahwa untuk grup abelian, notasi aditif atau perkalian dapat digunakan, tetapi untuk grup nonabelian hanya digunakan notasi perkalian.

Beberapa notasi lain biasanya digunakan untuk grup yang elemennya bukan bilangan. Untuk grup dimana elemennya fungsi, operasi sering kali digunakan dalam komposisi fungsi  ; maka identitas tersebut dapat dilambangkan dengan id. Dalam kasus yang lebih spesifik dari grup transformasi geometris, grup simetri, grup permutasi, dan grup automorfisme, simbol   dihilangkan, seperti grup perkalian. Banyak varian notasi lainnya yang ditemui.

Definisi alternatifSunting

Definisi ekuivalen dari grup terdiri dari penggantian bagian "ada" dari aksioma grup dengan operasi yang hasilnya adalah elemen yang harus ada. Jadi, grup adalah himpunan yang dilengkapi dengan tiga operasi, yaitu operasi biner yang merupakan operasi grup, operasi uner sebagai kebalikan dari operan tunggalnya, dan operasi nullari yang tidak memiliki operan dan menghasilkan elemen identitas. Jika tidak, aksioma grupnya persis sama.

Varian definisi ini menghindari kuantifer eksistensial. Biasanya lebih sering digunakan untuk komputasi dengan grup dan untuk bukti bantuan komputer. Rumus ini menunjukkan grup sebagai variasi aljabar universal. Ini pula digunakan untuk membicarakan sifat operasi invers, sebagaimana diperlukan untuk mendefinisikan grup topologi dan objek grup.

Contoh kedua: grup simetriSunting

Dua bilangan pada bidang adalah kongruen jika satu diubah menjadi yang lain menggunakan kombinasi rotasi, refleksi, dan translasi. Namun, beberapa figur kongruen dengan sendiri dalam lebih dari satu cara, dan kongruensi tambahan ini disebut simetris. Persegi memiliki delapan kesimetrian, yaitu:

Elemen dari grup simetri bujur sangkar (D4). Simpul diidentifikasi dengan warna atau bilangan.
 
id (sebagai sudut)
 
r1 (rotasi 90° searah jarum jam)
 
r2 (rotasi 180°)
 
r3 (rotasi 270° searah jarum jam)
 
fv (refleksi vertikal)
 
fh (refleksi horizontal)
 
fd (refleksi diagonal)
 
fc (refleksi kontra-diagonal)
  • operasi identitas untuk semua tidak diubah, dilambangkan dengan id;
  • rotasi persegi di sekitar pusatnya sebesar 90°, 180°, dan 270° searah jarum jam, dilambangkan dengan r1, r2 dan r3;
  • refleksi tentang garis tengah horizontal dan vertikal (fv dan fh), atau melalui dua diagonal (fd dan fc).

Simetri diatas adalah fungsi. Masing-masing untuk satu titik dalam persegi ke titik yang sesuai di bawah simetri. Sebagai contoh, r1 untuk titik ke rotasi 90° searah jarum jam di sekitar pusat persegi, dan fh untuk titik ke pantulan di garis tengah vertikal persegi. Komposisi dua kesimetrian menghasilkan kesimetrian yang lain. Kesimetrian ini menentukan sebuah grup yang disebut grup dihedral dengan derajat 4, dilambangkan D4. Himpunan yang didasari grup adalah himpunan simetri di atas, dan operasi grup adalah komposisi fungsi.[7] Dua simetri digabungkan dengan menyusunnya sebagai fungsi, yaitu menerapkan yang pertama ke persegi, dan yang kedua ke hasil aplikasi pertama. Hasil dari pertama kali a dan kemudian b ditulis secara simbolis dari kanan ke kiri sebagai   ("terapkan simetri b setelah melakukan simetri a"). Maka ini adalah notasi biasa untuk komposisi fungsi.

Tabel grup di sebelah kanan mencantumkan hasil dari semua komposisi yang memungkinkan. Misalnya, 270° searah jarum jam (r3) dan kemudian merefleksikan secara horizontal (fh) sama seperti melakukan refleksi di sepanjang diagonal (fd). Menggunakan simbol di atas, disorot dengan warna biru di tabel grup:

 
Tabel grup dari D4
id r1 r2 r3 fv fh fd fc
id id r1 r2 r3 fv fh fd fc
r1 r1 r2 r3 id fc fd fv fh
r2 r2 r3 id r1 fh fv fc fd
r3 r3 id r1 r2 fd fc fh fv
fv fv fd fh fc id r2 r1 r3
fh fh fc fv fd r2 id r3 r1
fd fd fh fc fv r3 r1 id r2
fc fc fv fd fh r1 r3 r2 id
Elemen id, r1, r2, dan r3 sebagai bentuk subgrup tabel grup ditarik dalam      merah (wilayah kiri atas). Kohimpunan kiri dan kanan subgrup ini ditarik di      hijau (di baris terakhir) dan      kuning (kolom terakhir).

Mengingat himpunan kesimetrian ini dan operasi yang dijelaskan, aksioma grup dapat dipahami sebagai berikut.

Komposisi adalah operasi biner. Artinya,   adalah simetri untuk dua simetri a dan b. Sebagai contoh,

 

yaitu, 270° searah jarum jam setelah memantulkan secara horizontal sama dengan pemantulan di sepanjang kontra-diagonal (fc). Memang setiap kombinasi lain dari dua simetri masih memberikan kesimetrian, seperti yang diperiksa dengan menggunakan tabel grup.

Aksioma asosiatif berkaitan dengan penyusunan lebih dari dua simetri: Dimulai dengan tiga elemen a, b dan c dari D4, Ada dua kemungkinan cara menggunakan ketiga kesimetrian ini dalam urutan ini untuk menentukan kesimetrian bujur sangkar. Salah satu cara ini adalah dengan menulis a dan b menjadi satu simetri, lalu untuk menyusun simetri tersebut dengan c. Cara lainnya adalah dengan menulis b dan c, kemudian untuk menyusun simetri yang dihasilkan dengan a. Kedua cara ini harus selalu memberikan hasil yang sama, yaitu,

 

Sebagai contoh,   dapat diperiksa menggunakan tabel grup di sebelah kanan:

 

Elemen identitas adalah id, karena tidak mengubah simetri a saat disusun dengan baik di kiri atau di kanan.

Semua simetri memiliki kebalikan: is, pantulan fh, fv, fd, fc dan rotasi 180° r2 adalah invers, karena dua kali akan mengembalikan persegi ke orientasi aslinya. Rotasi r3 dan r1 adalah invers satu sama lain, karena 90° dan kemudian rotasi 270° (atau sebaliknya) menghasilkan rotasi lebih dari 360° yang membuat persegi tidak berubah. Ini dengan mudah diverifikasi di atas meja.

Berbeda dengan grup bilangan bulat di atas, dimana urutan operasinya tidak relevan, D4, misalnya   but   Dengan kata lain, D4 bukan abelian.

SejarahSunting

Terdapat tiga akar sejarah teori grup: teori persamaaan aljabar, teori bilangan dan geometri. Euler, Gauss, Lagrange, Abel, dan Galois merupakan para peneliti awal dalam bidang teori grup. Galois dihormati sebagai ahli matematika pertama yang mengaitkan teori grup dan teori medan, dengan teorinya yang sekarang disebut teori Galois.

Sumber pertama muncul dalam hal cara membuat suatu persamaan tingkat ke-m yang memiliki akar m seperti akar dari suatu persamaan tingkat ke-n (m<n). Untuk sederhananya, persoalan itu dikembalikan pada Hudde(1659). Saunderson(1740) menyatakan bahwa penentuan faktor kuadratik dari peernyataan bikuadratik biasanya menghasilkan suatu persamaan sektik, dan Le Soeur (1748) dan Waring (1762 sampai 1782) masih menganalisi data lebih lanjut.

Fondasi umum yang digunakan dalam teori persamaan dasar dari permutasi grup ditemukan oleh Lagrange(1770, 1771), dan berhasil merumuskan teori substitusi. Lagrange menemukan bahwa akan dari seluruh resolvent yang dia periksa merupakan fungsi rasional dari akar persamaan yang bersangkutan. Untuk mempelajari sifat-sifat dari fungsi-fungsi ini, Lagrange mengusulkan suatu Calcul des Combinaisons. Hasil kerja dari Vandermonde (1770) juga turut mewarnai teori-teori berikutnya. Ruffini (1799) berusaha membuktikan kemungkinan untuk menyelesaikan persamaan quintic dan persamaan lain dengan tingkat lebih tinggi.

Ruffini (1799) membedakan intransitif dan transitif, dan grup imprimitif dan primitif, dan (1801) menggunakan grup dari suatu persamaan yang disebut l'assieme della permutazioni. Dia juga mempublikasikan sebuah surat dari Abbati untuk dirinya sendiri, yang di dalamnya berisi tentang ide tentang grup.

Galois menemukan bahwa jika r_1, r_2, \Idots r_n merupakan akar-akar n dari suatu persamaan, maka selalu ada suatu grup permutasi dari r yang (1) setiap fungsi akar yang bersifat invariabel dengan cara substitusi grup diketahui secara rasional, dan (2), kebalikannya, setiap fungsi akar yang dapat ditentukan secara rasioanl bersifat invarian dalam proses substitusi grup. Galois juga merumuskan teori persamaan modular dan fungsi eliptik. Punlikasi pertama Galois dalam bidang teori grup diluncurkan saat usianya mencapai 18 tahun (1829), namun kontribusinya tidak begitu menarik perhatian sebelum publikasi paper-paper koleksinya pada tahun 1846 (Liouville, Vol. XI).

Arthur Cayley dan Augustin Louis Cauchy merupakan orang-oarang pertama yang menghargai pentingnya teori itu, yang selanjutnya secara khusu berhubungan dengan teori-teori penting yang lain. Materi ini turut dipopulerkan oleh Serret, yang merelakan bagian VI dari aljabarnya untuk teori itu; oleh Camille Jordan, yang Traité des Substitutions bersifat klasik; dan kepada Netto (1882), yang kemudian diterjemahkan ke dalam bahasa Inggris oleh Cole (1892). Ahli-ahli teori grup yang lain dari abad ke-19 adalah Bertrand, Charles Hermite, Frobenius, Leopold Kronecker, dan Mathieu.

Pada tahun 1882, Walther von Dyck berhasil merumuskan definisi modern dari suatu grup.

Pembahasan mengenai grup Lie, dan subgrup diskrit, sebagai grup transformasi, mulai secara sistematis pada tahun 1884 oleh Sophus Lie; diikuti oleh Killing, Study, Schur, dan Maurer. Teori diskontinu (grup diskrit) dicetuskan oleh Felix Klein, Lie, Poincaré, and Charles Emile Picard, dihubungkan dengan bentuk modular dan monodromi.

Matematikawan lainnya yang turut berkecimpung dalam masalah ini adalah Emil Artin, Emmy Noether, Sylow dan masih banyak lagi.

Konsekuensi elementer dari aksioma grupSunting

Fakta dasar tentang semua grup yang diperoleh langsung dari aksioma grup biasanya dimasukkan dalam teori grup elementer.[8] Sebagai contoh, aplikasi berulang dari aksioma asosiatif menunjukkan bahwa ketidakjelasan dari

abc = (ab) ⋅ c = a ⋅ (bc)

menggeneralisasi lebih dari tiga faktor. Karena ini menyiratkan bahwa tanda kurung dapat disisipkan dimana saja dalam serangkaian istilah tersebut, tanda kurung biasanya dihilangkan.[9]

Aksioma dapat dilemahkan untuk menegaskan hanya keberadaan dari identitas kiri dan invers kiri. Keduanya dapat ditampilkan sebagai dua sisi, maka definisi yang dihasilkan setara dengan definisi di atas.[10]

Keunikan elemen identitasSunting

Aksioma grup menyiratkan bahwa elemen identitas adalah unik: Jika e dan f adalah elemen identitas grup, maka e = ef = f. Oleh karena itu, kebiasaan untuk membicarakan identitas.[11]

Keunikan inversSunting

Aksioma grup menyiratkan bahwa kebalikan (atau invers) dari setiap elemen adalah unik: Jika elemen grup a memiliki b dan c sebagai invers, maka

b = be      karena e adalah elemen identitas
= b ⋅ (ac)      karena c adalah invers dari a, jadi e = ac
= (ba) ⋅ c      dengan asosiatif, yang memungkinkan pengaturan ulang tanda kurung
= ec      karena b adalah invers dari a, jadi ba = e
= c      karena e adalah elemen identitas.

Oleh karena itu adalah kebiasaan untuk berbicara tentang kebalikan dari suatu elemen.[11]

PembagianSunting

Mengingat elemen a dan b dari grup G, terdapat solusi unik x di G untuk persamaan ax = b, yaitu a−1b. Biasanya menghindari penggunaan notasi seperti   atau b/a, kecuali G adalah abelian, karena ambiguitas apakah artinya a−1b atau ba−1.[12] Oleh karena itu, untuk setiap a dalam G, fungsinya GG diberikan oleh xax adalah bijeksi; itu disebut perkalian kiri dengan a atau translasi kiri oleh a.

Demikian pula, dengan a dan b, solusi unik untuk xa = b adalah ba−1. Untuk setiap a, fungsinya GG diberikan oleh xxa adalah bijeksi yang disebut perkalian kanan dengan a atau translasi kanan dengan a.

Notasi grupSunting

Suatu grup yang terdiri atas himpunan   dan operasi   dapat ditulis  .

Biasanya operasi dalam grup, apa pun sebetulnya operasi tersebut, dipikirkan sebagai analog dari perkalian, dan operasi grup ditulis seperti perkalian (notasi perkalian):

  • Kita menulis  , atau bahkan  , untuk  .
  • Kita menulis   untuk unsur identitas dan menyebutnya unsur satuan.
  • Kita menulis   untuk invers   dan menyebutnya kebalikan dari  .

Tetapi, kadang-kadang operasi grup dipikirkan sebagai analog dari penjumlahan dan ditulis seperti penjumlahan (notasi penjumlahan):

  • Kita menulis   untuk   dan menyebutnya jumlah   dan  .
  • Kita menulis   untuk unsur identitas dan menyebutnya unsur nol.
  • Kita menulis   untuk invers   dan menyebutnya lawan dari  .

Biasanya, hanya grup abelian (grup yang operasinya komutatif untuk setiap dua unsur himpunan grup tersebut) yang ditulis dalam bentuk penjumlahan walaupun grup tersebut dapat juga ditulis dalam bentuk perkalian. Ketika bersifat noncommittal, kita dapat menggunakan notasi (dengan  ) dan istilah yang dikemukakan dalam definisi menggunakan notasi   sebagai invers dari  .

Bila   adalah sub himpunan dari   dan   unsur dari   maka dalam notasi perkalian   merupakan himpunan dari semua hasil perkalian   untuk   dalam   (dengan kata lain,  ). Hal yang sama juga dapat dilihat pada notasi  , dan untuk dua sub himpunan   dan   dari   kita dapat menulis   untuk  . Dalam notasi penjumlahan, kita menuliskan   dan   untuk masing-masing pasangan.

Beberapa contoh grup dan contoh bukan grupSunting

Sebuah grup abelian: bilangan bulat terhadap penjumlahanSunting

Contoh grup yang pernah diperkenalkan saat di sekolah dasar salah satunya adalah bilangan bulat terhadap penjumlahan. Misalkan   merupakan himpunan bilangan bulat,   dan simbol   sebagai operasi penjumlahan. Dengan demikian,   merupakan suatu grup.

Bukti:

  • Bila   dan   merupakan bilangan bulat maka   juga merupakan bilangan bulat (ketertutupan).
  • Bila  ,  , dan   adalah bilangan bulat maka   (sifat asosiatif).
  •   adalah bilangan bulat dan untuk setiap bilangan bulat  ,   (elemen identitas).
  • Bila   sebuah bilangan bulat maka terdapat bilangan bulat   sedemikian sehingga   (elemen invers).

Grup ini juga merupakan abelian, karena   (sifat komutatif).

Bilangan bulat terhadap penjumlahan dan perkalian membentuk struktur aljabar gelanggang yang lebih kompleks. Sebenarnya, elemen dari gelanggang apa saja membentuk sebuah grup abelian terhadap penjumlahan yang disebut “grup penjumlahan” dari gelanggang.

Bukan grup: bilangan bulat terhadap perkalianSunting

Bilangan bulat terhadap perkalian yang dilambangkan dengan  . Maka   bukan sebuah grup. Alasannya:

  • Bila   dan   bilangan bulat maka   merupakan bilangan bulat (ketertutupan).
  • Bila  ,  , dan   bilangan bulat maka   (sifat asosiatif).
  •   adalah bilangan bulat dan untuk setiap bilangan bulat  ,   (elemen identitas).
  • Tetapi, bila   sebaramg bilangan bulat bukan   maka tidak ada bilangan bulat bukan   yang memenuhi  . Sebagai contoh, misalkan   maka berapapun   (bilangan bulat bukan  ) maka   (Syarat elemen invers tidak dipenuhi).

Karena tidak semua elemen dari   mempunyai invers maka   bukan merupakan grup. Kita dapat menyebut   sebuah monoid komutatif.

Sebuah grup abelian: bilangan rasional bukan 0 terhadap perkalianSunting

Misalkan   sebagai himpunan bilangan rasional, yaitu bilangan yang dapat dinyatakan dengan   dengan   dan   merupakan bilangan bulat dan   bukan nol. Misalkan pula operasi perkalian dinyatakan dengan simbol   Karena bilangan rasional 0 tidak memiliki invers untuk perkalian maka  , sebagaimana juga   bukan sebuah grup.

Akan tetapi, kalau kita menggunakan himpunan  , yang mencakup setiap bilangan rasional kecuali nol maka   merupakan grup abelian. Invers   adalah   dan aksioma grup lainnya mudah diperiksa kebenarannya. Kita tidak kehilangan ketertutupan dengan menghilangkan nol karena hasil kali dua bilangan rasional tidak nol tidak akan pernah nol.

Sama seperti bilangan bulat yang membentuk gelanggang, demikian juga bilangan rasional yang membentuk struktur aljabar dari medan. Sebenarnya, elemen bukan nol dari medan apapun akan membentuk grup terhadap perkalian yang disebut “grup perkalian” dari medan.

Grup bukan abelian tertentu: permutasi dari himpunanSunting

Misalkan tiga buah blok berwarna (merah, hijau, dan biru) yang mula-mula diletakkan dengan susunan MHB. Misalkan a merupakan aksi “menukarkan blok pertama dan blok kedua” dan b merupakan aksi “menukarkan blok kedua dan ketiga”.

Dalam bentuk perkalian, kita menuliskan xy untuk melambangkan aksi “pertama-tama lakukan y kemudian lakukan x” sehingga ab adalah aksi MHB → MBH → BMH yaitu “ambil blok terakhir dan pindahkan ke depan”. Bila kita menuliskan e untuk aksi “biarkan blok sebagaimana adanya” (aksi identitas) maka kita dapat menulis enam permutasi dari himpunan tiga blok sebagai berikut:

  • e: MHB → MHB
  • a: MHB → HMB
  • b: MHB → MBH
  • ab: MHB → BMH
  • ba: MHB → HBM
  • aba: MHB → BHM

Perhatikan bahwa aksi aa akan menyebabkan MHB → HMB → MHB atau aksi tersebut sama saja dengan aksi “biarkan blok sebagaimana adanya”. Dengan demikian, kita dapat menuliskan aa = e. Demikian pula,

  • bb = e
  • (aba)(aba) = e, dan
  • (ab)(ba) = (ba)(ab) = e.

Jadi, tiap aksi di atas mempunyai sebuah invers.

Dengan menyelidiki, kita juga dapat menentukan sifat asosiatif dan ketertutupan. Sebagai contoh perhatikan,

  • (ab)a = a(ba) = aba, dan
  • (ba)b = b(ab) = aba.

Grup ini disebut grup simetri pada tiga huruf, atau S3. Grup tersebut mempunyai orde 6 (atau 3!), dan bukan merupakan grup abelian (karena sebagai contoh abba). Karena S3 dibangun dari aksi dasar a dan b maka kita dapat mengatakan bahwa himpunan {a,b} membangun S3.

Setiap grup dapat diungkapkan dalam grup permutasi seperti S3. Hasilnya merupakan Teorema Cayley dan dipelajari sebgai bagian dari subyek aksi grup.

Contoh lanjutanSunting

Untuk beberapa contoh lanjutan dari grup untuk berbagai aplikasi lihat contoh-contoh grup dan daftar grup kecil.

Teorema sederhanaSunting

  • Sebuah grup mempunyai hanya satu elemen identitas.
  • Setiap elemen mempunyai hanya satu invers.
  • Kita dapat membagi grup yaitu elemen grup a dan b dari grup  , hanya ada satu solusi x dalam   terhadap persamaan x * a = b dan hanya satu solusi y dalam   untuk persamaan a * y = b.
  • Ungkapan a1 * a2 * ... * an tidak ambigu karena hasilnya akan sama dimana saja kita menempatkan tanda kurung.
  • Invers perkalian adalah hasil kali invers dalam susunan terbalik: (a * b)−1 = b−1 * a−1.

Faktor ini dan faktor dasar lainnya juga berlaku untuk semua grup tertentu yang membentuk bidang dari teori grup elementer.

Membuat grup baru dari suatu grup tertentuSunting

  • Jika himpunan bagian   dari grup  ,
  • Hasil kali dari dua grup   dan   merupakan himpunan  x  dengan operasi (g1, h1)(g2, h2) = (g1 * g2, h1 × h2).
  • “Penjumlahan eksternal secara langsung” dari anggota grup merupakan subgrup perkalian yang diwakilkan oleh elemen yang mempunyai sejumlah bagian bukan nol. Jika anggota bersifat tertentu maka penjumlahan langsung dan perkalian adalah sama.
  • Grup tertentu   dan sebuah subgrup normal  , maka grup kuosien adalah himpunan dari kohimpunan dari   terhadap operasi (g )(h ) = gh .

KutipanSunting

  1. ^ Lang 2005, App. 2, p. 360
  2. ^ Cook, Mariana R. (2009), Mathematicians: An Outer View of the Inner World, Princeton, N.J.: Princeton University Press, hlm. 24, ISBN 9780691139517 
  3. ^ Artin 2018, §2.2, p. 40
  4. ^ Lang 2002, I.§1, p. 3 and I.§2, p. 7
  5. ^ Lang 2005, II.§1, p. 16
  6. ^ (Inggris) Eric W. Weisstein, Elemen Identitas di MathWorld.
  7. ^ Herstein 1975, §2.6, p. 54
  8. ^ Ledermann 1953, §1.2, pp. 4–5
  9. ^ Ledermann 1973, §I.1, p. 3
  10. ^ Lang 2002, §I.2, p. 7
  11. ^ a b Lang 2005, §II.1, p. 17
  12. ^ Artin 2018, p. 40.

ReferensiSunting

Referensi umumSunting

Referensi khususSunting

Historical referencesSunting

Pranala luarSunting

Templat:Grup navbox