Geometri

cabang matematika yang mengukur bentuk, ukuran, dan posisi objek

Geometri (Yunani Kuno: γεωμετρία, geo-"bumi",-metron "pengukuran"), ilmu ukur, atau ilmu bangun adalah cabang matematika yang bersangkutan dengan pertanyaan bentuk, ukuran, posisi relatif gambar, dan sifat ruang. Seorang ahli matematika yang bekerja di bidang geometri disebut ahli geometri. Geometri muncul secara independen di sejumlah budaya awal sebagai ilmu pengetahuan praktis tentang panjang, luas, dan volume, dengan unsur-unsur dari ilmu matematika formal yang muncul di Barat sedini Thales (abad 6 SM). Pada abad ke-3 SM geometri dimasukkan ke dalam bentuk aksiomatik oleh Euclid, yang dibantu oleh geometri Euclid, menjadi standar selama berabad-abad. Archimedes mengembangkan teknik cerdik untuk menghitung luas dan isi, dalam banyak cara mengantisipasi kalkulus integral yang modern. Bidang astronomi, terutama memetakan posisi bintang dan planet pada falak dan menggambarkan hubungan antara gerakan benda langit, menjabat sebagai sumber penting masalah geometrik selama satu berikutnya dan setengah milenium. Kedua geometri dan astronomi dianggap di dunia klasik untuk menjadi bagian dari Quadrivium tersebut, subset dari tujuh seni liberal dianggap penting untuk warga negara bebas untuk menguasai.

Tersseract atau Hiperkubus Salah satu bentuk geometri 4 Dimensi

Pengenalan koordinat oleh René Descartes dan perkembangan bersamaan aljabar menandai tahap baru untuk geometri, karena tokoh geometris, seperti kurva pesawat, sekarang bisa diwakili analitis, yakni dengan fungsi dan persamaan. Hal ini memainkan peran penting dalam munculnya kalkulus pada abad ke-17. Selanjutnya, teori perspektif menunjukkan bahwa ada lebih banyak geometri dari sekadar sifat metrik angka: perspektif adalah asal geometri proyektif. Subyek geometri selanjutnya diperkaya oleh studi struktur intrinsik benda geometris yang berasal dengan Euler dan Gauss dan menyebabkan penciptaan topologi dan geometri diferensial.

Dalam waktu Euclid tidak ada perbedaan yang jelas antara ruang fisik dan ruang geometris. Sejak penemuan abad ke-19 geometri non-Euclid, konsep ruang telah mengalami transformasi radikal, dan muncul pertanyaan: mana ruang geometris paling sesuai dengan ruang fisik? Dengan meningkatnya matematika formal dalam abad ke-20, juga 'ruang' (dan 'titik', 'garis', 'bidang') kehilangan isi intuitif, jadi hari ini kita harus membedakan antara ruang fisik, ruang geometris (di mana ' ruang ',' titik 'dll masih memiliki arti intuitif mereka) dan ruang abstrak. Geometri kontemporer menganggap manifold, ruang yang jauh lebih abstrak dari ruang Euclid yang kita kenal, yang mereka hanya sekitar menyerupai pada skala kecil. Ruang ini mungkin diberkahi dengan struktur tambahan, yang memungkinkan seseorang untuk berbicara tentang panjang. Geometri modern memiliki ikatan yang kuat dengan beberapa fisika, dicontohkan oleh hubungan antara geometri pseudo-Riemann dan relativitas umum. Salah satu teori fisika termuda, teori string, juga sangat geometris dalam rasa.

Sedangkan sifat visual geometri awalnya membuatnya lebih mudah diakses daripada bagian lain dari matematika, seperti aljabar atau teori bilangan, bahasa geometrik juga digunakan dalam konteks yang jauh dari tradisional, asal Euclidean nya (misalnya, dalam geometri fraktal dan geometri aljabar)

Ilustrasi teorema Desargues, hasil penting dalam Euclidean dan geometri proyektif

Geometri awalSunting

 
Model empat padatan Platonik

Catatan paling awal mengenai geometri dapat ditelusuri hingga ke zaman Mesir kuno, peradaban Lembah Sungai Indus dan Babilonia. Peradaban-peradaban ini diketahui memiliki keahlian dalam drainase rawa, irigasi, pengendalian banjir dan pendirian bangunan-bagunan besar. Kebanyakan geometri Mesir kuno dan Babilonia terbatas hanya pada perhitungan panjang ruas-ruas garis, luas, dan volume.

Salah satu teori awal mengenai geometri dikatakan oleh Plato dalam dialog Timaeus (360SM) bahwa alam semesta terdiri dari 4 elemen: tanah, air, udara dan api. Hal tersebut tersebut dimaksud untuk menggambarkan kondisi material padat, cair, gas dan plasma. Hal ini mendasari bentuk-bentuk geometri: tetrahedron, kubus(hexahedron), octahedron, dan icosahedron di mana masing-masing bentuk tersebut menggambarkan elemen api, tanah, udara dan air. Bentuk-bentuk ini yang lalu lebih dikenal dengan nama Platonic Solid. Ada penambahan bentuk kelima yaitu Dodecahedron, yang menurut Aristoteles untuk menggambarkan elemen kelima yaitu ether.

SejarahSunting

 
Salah satu Eropa dan Arab yang berlatih geometri di abad ke-15
 
Gambar depan versi bahasa Inggris pertama Sir Henry Billingsley dari Euclid Elemen, 1570

Permulaan geometri paling awal yang tercatat dapat ditelusuri ke Mesopotamia kuno dan Mesir pada milenium ke-2 SM.[1][2] Geometri pada awalnya adalah kumpulan prinsip yang ditemukan secara empiris mengenai panjang, sudut, luas, dan volume, yang dikembangkan untuk memenuhi beberapa kebutuhan praktis dalam survei, dan konstruksi. Teks geometri paling awal yang diketahui adalah Mesir Papirus Rhind (2000–1800 SM) dan Papirus Moskow (sekitar 1890 SM), Tablet tanah liat Babilonia seperti Plimpton 322 (1900 SM). Contohnya, Papirus Moskow memberikan rumus untuk menghitung volume piramida terpotong, atau frustum.[3] Tablet tanah liat (350-50 SM) menunjukkan bahwa astronom Babilonia menerapkan prosedur trapesium untuk menghitung posisi Jupiter dan gerakan dalam kecepatan waktu. Prosedur geometris tersebut mengantisipasi Kalkulator Oxford, termasuk teorema kecepatan rata-rata, pada abad ke 14.[4] Di selatan Mesir, Nubia kuno membangun sistem geometri termasuk versi awal jam matahari.[5][6]

Pada abad ke 7 SM, Yunani ahli matematika Thales of Miletus menggunakan geometri untuk menyelesaikan masalah seperti menghitung tinggi piramida dan jarak kapal. Hal tersebut dikreditkan dengan penggunaan pertama dari penalaran deduktif yang diterapkan pada geometri, dengan menurunkan empat akibat wajar dari Teorema Thales.[7] Pythagoras mendirikan Sekolah Pythagoras, yang dikreditkan dengan bukti pertama dari Teorema Pythagoras,[8] Padahal pernyataan teorema tersebut memiliki sejarah yang panjang.[9][10] Eudoxus (408–355 SM) mengembangkan metode, yang memungkinkan perhitungan luas dan volume gambar lengkung,[11] serta teori rasio yang menghindari masalah besaran yang tidak dapat dibandingkan, yang memungkinkan geometer berikutnya untuk membuat kemajuan yang signifikan. Sekitar 300 SM, geometri direvolusi oleh Euclid, yang Elemen , secara luas dianggap sebagai buku teks paling sukses dan berpengaruh sepanjang masa,[12] diperkenalkan ketelitian matematika melalui metode aksiomatik dan merupakan contoh paling awal dari format yang masih digunakan dalam matematika saat ini, bahwa definisi, aksioma, teorema, dan bukti. Meskipun sebagian besar konten Elemen sudah diketahui, Euclid mengatur menjadi satu kerangka kerja logis yang koheran.[13] Element diketahui oleh semua orang terpelajar di Barat hingga pertengahan abad ke 20 dan isinya masih diajarkan di kelas geometri hingga saat ini..[14] Archimedes (c. 287–212 SM) dari Syracuse menggunakan metode tersebut untuk menghitung luas di bawah busur dari parabola dengan penjumlahan dari tak terhingga pada deret, dan memberikan perkiraan yang sangat akurat dari Pi.[15] Dia juga mempelajari spiral yang menyandang namanya dan memperoleh rumus untuk volume dari permukaan revolusi.

 
Wanita mengajar geometri. Ilustrasi di awal terjemahan abad pertengahan Euklides Element, (c. 1310).


Geometri aljabarSunting

 
Permukaan Togliatti ini adalah permukaan aljabar derajat lima. Gambar tersebut mewakili sebagian dari lokus aslinya.

Geometri aljabar merupakan cabang matematika yang mempelajari akar dari suatu suku banyak. Dalam kajian modern, digunakan berbagai alat dari aljabar abstrak seperti aljabar komutatif dan teori kategori. Studi geometri aljabar dilakukan dengan mengonstruksi suatu objek matematika (misalnya, skema dan sheaf) lalu kemudian meninjau hubungannya dengan struktur yang sudah dikenal. Berbagai alat ini dibuat untuk membantu memahami permasalahan mendasar terkait geometri.[16]

Salah satu objek fundamental dalam studi geometri aljabar adalah varietas aljabarik yang merupakan manifestasi geometris dari akar suatu sistem suku banyak. Dari struktur ini, dapat dikaji berbagai kurva aljabarik seperti garis, parabola, elips, kurva eliptik dan lain-lain.

Geometri aljabar merupakan salah satu topik sentral dalam matematika dengan berbagai topik terkait seperti analisis kompleks, topologi, teori bilangan, teori kategori, dan lain-lain.

Geometri dalam dimensiSunting

Dalam dua dimensiSunting

PersegiSunting

Persegi adalah bangun datar dua dimensi yang dibentuk oleh empat buah rusuk   yang sama panjang dan memiliki empat buah sudut yang kesemuanya adalah sudut siku-siku. Bangun ini disebut juga sebagai bujur sangkar.

Persegi panjangSunting

Persegi panjang adalah bangun datar dua dimensi yang dibentuk oleh dua pasang sisi yang masing-masing sama panjang dan sejajar dengan pasangannya, dan memiliki empat buah sudut yang kesemuanya adalah sudut siku-siku.

SegitigaSunting

 
Triangle = Tri (tiga) + Angle (sudut)

Sebuah segitiga adalah poligon dengan tiga ujung dan tiga simpul. Ini adalah salah satu bentuk dasar dalam geometri. Segitiga dengan simpul A, B, dan C dilambangkan  .

Dalam geometri Euclidean, setiap tiga titik, ketika non-collinear, menentukan segitiga unik dan sekaligus, sebuah bidang unik (yaitu ruang Euclidean dua dimensi). Dengan kata lain, hanya ada satu bidang yang mengandung segitiga itu, dan setiap segitiga terkandung dalam beberapa bidang. Jika seluruh geometri hanya bidang Euclidean, hanya ada satu bidang dan semua segitiga terkandung di dalamnya; namun, dalam ruang Euclidean berdimensi lebih tinggi, ini tidak lagi benar.

TrapesiumSunting

 
Trapesium siku-siku dan trapesium biasa dengan tinggi  

Trapesium adalah bangun datar dua dimensi yang dibentuk oleh empat buah rusuk yang dua di antaranya saling sejajar namun tidak sama panjang.

Trapesium termasuk jenis bangun datar segi empat yang mempunyai ciri khusus.

Jajar genjangSunting

 
Jajar genjang
dengan alas   dan tinggi  

Jajar genjang atau jajaran genjang (bahasa Inggris: parallelogram) adalah bangun datar dua dimensi yang dibentuk oleh dua pasang rusuk yang masing-masing sama panjang dan sejajar dengan pasangannya, dan memiliki dua pasang sudut yang masing-masing sama besar dengan sudut di hadapannya.

Jajar genjang termasuk turunan segiempat yang mempunyai ciri khusus.

Jajar genjang dengan empat rusuk yang sama panjang disebut belah ketupat.

LingkaranSunting

Lingkaran adalah bentuk yang terdiri dari semua titik dalam bidang yang berjarak tertentu dari titik tertentu, pusat; ekuivalennya adalah kurva yang dilacak oleh titik yang bergerak dalam bidang sehingga jaraknya dari titik tertentu adalah konstan. Jarak antara titik mana pun dari lingkaran dan pusat disebut jari-jari. Artikel ini adalah tentang lingkaran dalam geometri Euclidean, dan, khususnya, bidang Euclidean, kecuali jika dinyatakan sebaliknya.

Secara khusus, sebuah lingkaran adalah kurva tertutup sederhana yang membagi pesawat menjadi dua wilayah: interior dan eksterior. Dalam penggunaan sehari-hari, istilah "lingkaran" dapat digunakan secara bergantian untuk merujuk pada batas gambar, atau keseluruhan gambar termasuk bagian dalamnya; dalam penggunaan teknis yang ketat, lingkaran hanyalah batas dan seluruh gambar disebut cakram.

Lingkaran juga dapat didefinisikan sebagai jenis elips khusus di mana dua fokus bertepatan dan eksentrisitasnya adalah 0, atau bentuk dua dimensi yang melingkupi area per satuan perimeter kuadrat, menggunakan kalkulus variasi.

ElipsSunting

 
Elips dan sifat-sifat matematisnya
 
Irisan kerucut dalam suatu bidang datar dapat membentuk elips
 
Elips (merah) diperoleh sebagai persimpangan kerucut dengan bidang miring.
 
Elips: notasi
 
Elips: contoh dengan eksentrisitas yang meningkat

Dalam matematika, sebuah elips atau oval yang beraturan adalah gambar yang menyerupai lingkaran yang telah dipanjangkan ke satu arah. Elips adalah salah satu contoh dari irisan kerucut dan dapat didefinisikan sebagai lokus dari semua titik, dalam satu bidang, yang memiliki jumlah jarak yang sama dari dua titik tetap yang telah ditentukan sebelumnya (disebut fokus).

Dalam bahasa Indonesia, selain istilah elips atau oval yang beaturan, juga sering dikenal istilah sepadan, yakni bulat lonjong (atau lonjong saja), bulat bujur, dan bulat panjang.

Dalam tiga dimensiSunting

Dalam empat dimensiSunting

Konsep penting dalam geometriSunting

Berikut ini adalah beberapa konsep terpenting dalam geometri.[17][18][19]

AksiomaSunting

 
Ilustrasi postulat paralel Euclid

Euclid mengambil pendekatan abstrak untuk geometri di Elements,[20] salah satu buku paling berpengaruh yang pernah ditulis.[21] Euklides memperkenalkan aksioma, atau postulat tertentu, yang mengekspresikan sifat utama atau bukti dengan sendirinya dari titik, garis, dan bidang.[22] Untuk melanjutkan untuk secara ketat menyimpulkan properti lain dengan penalaran matematika. Ciri khas pendekatan geometri Euclid adalah ketelitiannya, dan kemudian dikenal sebagai geometri aksiomatik atau sintetik.[23] Pada awal abad ke-19, penemuan geometri non-Euclidean oleh Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792–1856), János Bolyai (1802–1860), Carl Friedrich Gauss (1777–1855) dan yang lainnya[24] menyebabkan kebangkitan minat dalam disiplin tersebut pada abad ke-20, David Hilbert (1862–1943) menggunakan penalaran aksiomatik dalam upaya untuk memberikan dasar geometri modern.[25]

TitikSunting

Titik yang dianggap sebagai objek fundamental dalam geometri Euclidean. Mereka telah didefinisikan dalam berbagai cara, termasuk definisi Euclid sebagai 'yang tidak memiliki bagian'[26] dan melalui penggunaan aljabar atau set bersarang.[27] Banyak bidang geometri, seperti geometri analitik, geometri diferensial, dan topologi, semua objek dianggap dibangun dari titik. Namun demikian, ada beberapa studi geometri tanpa mengacu pada titik.[28]

GarisSunting

Euclid mendeskripsikan sebuah garis sebagai "panjang tanpa lebar" yang "terletak sama terhadap titik-titik pada dirinya sendiri".[26] Dalam matematika modern, mengingat banyaknya geometri, konsep garis terkait erat dengan cara menggambarkan geometri. Misalnya, dalam geometri analitik, garis pada bidang sering didefinisikan sebagai himpunan titik yang koordinatnya memenuhi persamaan linier tertentu,[29] tetapi dalam pengaturan yang lebih abstrak, seperti geometri kejadian, garis mungkin merupakan objek independen, berbeda dari kumpulan titik yang terletak di atasnya.[30] Dalam geometri diferensial, geodesik adalah generalisasi gagasan garis menjadi ruang melengkung.[31]

BidangSunting

Bidang adalah permukaan datar dua dimensi yang memanjang jauh tak terhingga.[26] Bidang digunakan di setiap bidang geometri. Contohnya, bidang dapat dipelajari sebagai permukaan topologi tanpa mengacu pada jarak atau sudut;[32] dapat dipelajari sebagai ruang affine, di mana collinearity dan rasio dapat dipelajari tetapi bukan jarak;[33] itu dapat dipelajari sebagai bidang kompleks menggunakan teknik analisis kompleks;[34] dan seterusnya.

SudutSunting

Euclid mendefinisikan bidang sudut sebagai kemiringan satu sama lain, dalam bidang, dari dua garis yang saling bertemu, dan tidak terletak lurus satu sama lain.[26] Dalam istilah modern, sudut adalah sosok yang dibentuk oleh dua sinar, disebut sisi dari sudut, berbagi titik akhir yang sama, disebut simpul dari sudut.[35]

 
Sudut tajam (a), tumpul (b), dan lurus (c). Sudut lancip dan tumpul juga dikenal sebagai sudut miring.

Dalam geometri Euklides, sudut digunakan untuk mempelajari poligon dan segitiga, serta membentuk sebuah objek belajar dengan sendirinya.[26] Studi tentang sudut segitiga atau sudut dalam sebuah lingkaran satuan membentuk dasar dari trigonometri.[36]

Dalam geometri diferensial dan kalkulus, sudut antara kurva bidang atau kurva ruang atau permukaan dapat dihitung menggunakan turunan.[37][38]-->

KurvaSunting

Kurva adalah objek 1 dimensi yang bisa lurus (seperti garis) atau tidak; kurva dalam ruang 2 dimensi disebut kurva bidang dan kurva dalam ruang 3 dimensi disebut.[39]

Dalam topologi, kurva didefinisikan dari fungsi pada interval bilangan real ke ruang lain.[32] Dalam geometri diferensial, definisi yang sama digunakan, tetapi fungsi penentu harus dapat terdiferensiasi [40] Studi geometri aljabar kurva aljabar, yang didefinisikan sebagai varietas aljabar dari dimensi satu.[41]

PermukaanSunting

 
Bola adalah permukaan yang dapat didefinisikan secara parametrik (dengan x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ) atau secara implisit (by x2 + y2 + z2r2 = 0.)

Permukaan adalah objek dua dimensi, seperti bola atau parabola.[42] Dalam geometri diferensial[40] dan topologi,[32] permukaan dijelaskan oleh 'tambalan' dua dimensi (atau lingkungan) yang dirangkai oleh diffeomorphism atau homeomorphism, masing-masing. Dalam geometri aljabar, permukaan dijelaskan oleh persamaan polinomial.[41]-->

ManifoldSunting

manifold adalah generalisasi dari konsep kurva dan permukaan. Dalam topologi, monifold adalah ruang topologi di mana setiap titik memiliki lingkungan yaitu homeomorfik ke ruang Euklides.[32] Dalam geometri diferensial, monifold terdiferensiasi adalah ruang di mana setiap tetangga diffeomorphic terhadap dimensi pada ruang Euklides.[40]

Manifold digunakan secara luas dalam fisika, termasuk dalam relativitas umum dan teori string.[43]

Panjang, luas, dan volumeSunting

Panjang, luas, dan volume mendeskripsikan ukuran atau luas suatu objek masing-masing dalam satu dimensi, dua dimensi, dan tiga dimensi.[44]

Dalam geometri Euklides dan geometri analitik, panjang ruas garis sering kali dapat dihitung dengan Teorema Pythagoras.[45]

Luas dan volume dapat didefinisikan sebagai besaran fundamental yang terpisah dari panjang, atau dapat dijelaskan dan dihitung dalam istilah panjang dalam bidang atau ruang 3 dimensi.[44] Matematikawan telah menemukan banyak rumus untuk luas dan rumus untuk volume dari berbagai objek geometri. Dalam kalkulus, luas dan volume dapat didefinisikan dalam integral s, seperti integral Riemann[46] atau Integral Lebesgue.[47]-->

Metrik dan ukuranSunting

 
Pemeriksaan visual Teorema Pythagoras untuk (3, 4, 5) segitiga seperti pada Zhoubi Suanjing 500–200 SM. Teorema Pythagoras adalah konsekuensi dari metrik Euklides.

Konsep panjang atau jarak dapat digeneralisasikan, yang mengarah ke gagasan metrik.[48] Misalnya, metrik Euclidean mengukur jarak antar titik di bidang Euclidean, sedangkan metrik hiperbolik mengukur jarak di bidang hiperbolik. Contoh penting lainnya dari metrik termasuk metrik Lorentz dari relativitas khusus dan semi metrik Riemannian dari relativitas umum.[49]

[50]

Kesesuaian dan kesamaanSunting

Kesesuaian dan kesamaan adalah konsep yang mendeskripsikan jika dua bentuk memiliki karakteristik yang serupa.[51] Dalam geometri Euclidean, kesamaan digunakan untuk mendeskripsikan objek yang memiliki bentuk yang sama, sedangkan congruence digunakan untuk mendeskripsikan objek yang memiliki ukuran dan bentuk yang sama.[52]<!-;Hilbert, in his work on creating a more rigorous foundation for geometry, treated congruence as an undefined term whose properties are defined by axioms.-->

Kesamaan dan kesamaan digeneralisasikan dalam geometri transformasi, yang mempelajari properti objek geometris yang dipertahankan oleh berbagai jenis transformasi.[53]-->

Konstruksi kompas dan pembatasSunting

Geometer klasik memberikan perhatian khusus untuk membangun objek geometris yang telah dijelaskan dengan cara lain. Secara klasik, satu-satunya instrumen yang diperbolehkan dalam konstruksi geometris adalah kompas dan penggaris lurus. Selain itu, setiap konstruksi harus diselesaikan dalam jumlah langkah yang terbatas. Namun, beberapa masalah ternyata sulit atau tidak mungkin diselesaikan dengan cara ini sendiri, dan konstruksi cerdik menggunakan parabola dan kurva lainnya, serta perangkat mekanis.

DimensiSunting

Dimana geometri tradisional mengizinkan dimensi 1 (a garis), 2 (a bidang) dan 3 (dunia ambien kita dipahami sebagai ruang tiga dimensi)), matematikawan dan fisikawan telah menggunakan dimensi yang lebih tinggi selama hampir dua abad.[54] Salah satu contoh penggunaan matematika untuk dimensi yang lebih tinggi adalah ruang konfigurasi dari sistem fisik, yang memiliki dimensi yang sama dengan derajat bebas. Misalnya, konfigurasi sekrup dapat digambarkan dengan lima koordinat.[55]

Dalam topologi umum, konsep dimensi telah diperpanjang dari bilangan asli, menjadi dimensi tak hingga (ruang Hilbert s, misalnya) dan positif bilangan real (dalam geometri fraktal).[56] Dalam geometri aljabar, dimensi variasi aljabar telah menerima sejumlah definisi yang tampaknya berbeda, yang semuanya setara dalam kasus yang paling umum.[57]

SimetriSunting


Geometri kompentasiSunting

Geometri EuklidesSunting

Geometri Euklides adalah geometri dalam pengertian klasiknya.[58] Karena memodelkan ruang dunia fisik, ia menggunakan di banyak bidang ilmiah, seperti mekanika, astronomi, kristalografi,[59] dan banyak bidang teknis, seperti teknik,[60] Arsitektur,[61] geodesi,[62] aerodinamika,[63] and navigasi.[64] Kurikulum pendidikan wajib dari sebagian besar negara mencakup studi tentang konsep Euklides seperti titik, garis, bidang, sudut, segitiga, kongruensi, kesamaan.[18]

Geometri DifferensialSunting

 
Geometri diferensial menggunakan alat dari kalkulus untuk mempelajari masalah yang melibatkan kelengkungan.

Geometri Diferensial menggunakan teknik kalkulus dan aljabar linier untuk mempelajari masalah dalam geometri.[65] Hal tersebut memiliki aplikasi dalam fisika,[66] ekonometrik,[67] dan bioinformatika,[68] diantara yang lain.

Khususnya, geometri diferensial penting bagi fisika matematika karena postulasi relativitas umum Albert Einstein bahwa alam semesta adalah lengkung.[69] Geometri diferensial dapat berupa intrinsik (artinya ruang yang dianggapnya adalah lipatan halus yang struktur geometrisnya diatur oleh metrik Riemannian, yang menentukan bagaimana jarak diukur di dekat setiap titik) atau ekstrinsik (di mana objek yang diteliti adalah bagian dari beberapa ruang Euclide datar ambien).[70]

Geometri non-EuklidesSunting

Geometri Euklides bukanlah satu-satunya bentuk geometri historis yang dipelajari. Geometri bola telah lama digunakan oleh astronom, astrolog, dan navigator.[71]

Immanuel Kant berpendapat bahwa hanya ada satu, mutlak, geometri, yang diketahui benar a priori oleh fakultas pikiran batin: Geometri Euklides adalah sintetik a priori.[72] Pandangan ini pada awalnya agak ditantang oleh para pemikir seperti Saccheri, kemudian akhirnya dibatalkan oleh penemuan revolusioner geometri non-Euklides dalam karya-karya Bolyai, Lobachevsky, dan Gauss (yang tidak pernah menerbitkan teorinya).[73] They demonstrated that ordinary Euclidean space is only one possibility for development of geometry. A broad vision of the subject of geometry was then expressed by Riemann in his 1867 inauguration lecture Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (On the hypotheses on which geometry is based),[74] hanya setelah kematiannya. Ide baru Riemann tentang ruang terbukti penting dalam teori relativitas umum Albert Einstein. Geometri Riemannian, yang mempertimbangkan ruang yang sangat umum di mana pengertian panjang didefinisikan, adalah andalan geometri modern.[75]

TopologiSunting

Geometri kompleksSunting

Geometri diskritSunting

Geometri komputasiSunting

AplikasiSunting

Geometri telah menemukan aplikasi di banyak bidang, beberapa di antaranya dijelaskan di bawah ini.

SeniSunting

 
Bou Inania Madrasa, Fes, Maroko, ubin mosaik zellige membentuk tessellations geometris yang rumit

Matematika dan seni terkait dalam berbagai cara. Contohnya, teori perspektif menunjukkan bahwa geometri lebih dari sekadar properti metrik dari sebuah figur.: perspektif adalah asal mula geometri proyektif.[76]

Seniman telah lama menggunakan konsep proporsi dalam desain. Vitruvius mengembangkan teori rumit tentang proporsi ideal untuk sosok manusia.[77] Konsep tersebut telah digunakan dan diadaptasi oleh seniman dari Michelangelo hingga seniman komik modern.[78]

Rasio emas adalah proporsi tertentu yang memiliki peran kontroversial dalam seni. Sering diklaim sebagai rasio panjang yang paling estetis, sering dikatakan sebagai rasio panjang karya seni terkenal, meskipun contoh yang paling dapat diandalkan dan tidak ambigu dibuat dengan sengaja oleh seniman yang mengetahui legenda tersebut.[79]

Ubin, atau tessellations, telah digunakan dalam seni sepanjang sejarah. Seni Islam sering menggunakan tessellation, seperti halnya seni Escher.[80] Karya Escher juga memanfaatkan geometri hiperbolik.

Cézanne mengajukan teori bahwa semua gambar dapat dibangun dari bola, kerucut, dan tabung. Ini masih digunakan dalam teori seni hari ini, meskipun daftar pasti bentuk bervariasi dari penulis ke penulis.[81][82]

ArsitekturSunting

Geometri memiliki banyak aplikasi dalam arsitektur. Faktanya, telah dikatakan bahwa geometri merupakan inti dari desain arsitektur.[83][84] Aplikasi geometri pada arsitektur mencakup penggunaan geometri proyektif untuk membuat perspektif paksa,[85] penggunaan bagian berbentuk kerucut dalam membangun kubah dan benda serupa,[61] penggunaan tessellations,[61] dan penggunaan simetri.[61]

FisikaSunting

Bidang astronomi, terutama yang berkaitan dengan pemetaan posisi bintang dan planet pada bola langit dan menjelaskan hubungan antara pergerakan benda-benda langit, telah menjadi sumber penting masalah geometris sepanjang sejarah.[86]

Geometri geometri Riemannian dan pseudo-Riemannian digunakan dalam relativitas umum.[87] Teori string menggunakan beberapa varian geometri,[88] seperti halnya teori informasi kuantum.[89]

Bidang matematika lainnyaSunting

 
Pythagoras menemukan bahwa sisi-sisi segitiga bisa memiliki panjang yang tak dapat dibandingkan.

Kalkulus sangat dipengaruhi oleh geometri.[90] Misalnya, pengenalan koordinat oleh René Descartes dan perkembangan bersamaan aljabar menandai tahapan baru untuk geometri, karena figur geometris seperti kurva bidang dari sekarang dapat direpresentasikan secara analitis dalam bentuk fungsi dan persamaan. Ini memainkan peran kunci dalam munculnya kalkulus sangat kecil pada abad ke-17. Geometri analitik terus menjadi andalan dalam kurikulum pra-kalkulus dan kalkulus.[91][92]

Area aplikasi penting lainnya adalah teori bilangan.[93] Di Yunani kuno Pythagoras menganggap peran angka dalam geometri. Namun, penemuan panjang yang tak dapat dibandingkan itu bertentangan dengan pandangan filosofis mereka.[94] Sejak abad ke-19, geometri telah digunakan untuk menyelesaikan masalah dalam teori bilangan, misalnya melalui geometri bilangan atau, yang lebih baru, teori skema, yang digunakan dalam bukti Wiles tentang Teorema Terakhir Fermat.[95]

Lihat pulaSunting

DaftarSunting

topik-topik terkaitSunting

Bidang lainSunting

CatatanSunting

  1. ^ J. Friberg, "Metode dan tradisi matematika Babilonia. Plimpton 322, Pythagoras tiga kali lipat, dan persamaan parameter segitiga Babilonia", Historia Mathematica, 8, 1981, pp. 277–318.
  2. ^ Neugebauer, Otto (1969) [1957]. "Chap. IV Matematika dan Astronomi Mesir". Ilmu Tepat di Zaman Kuno (edisi ke-2). Dover Publications. hlm. 71–96. ISBN 978-0-486-22332-2. .
  3. ^ (Boyer 1991, "Mesir" p. 19)
  4. ^ Ossendrijver, Mathieu (29 Januari 2016). "Para astronom Babilonia kuno menghitung posisi Jupiter dari area di bawah grafik kecepatan waktu". Ilmu. 351 (6272): 482–484. Bibcode:2016Sci...351..482O. doi:10.1126/science.aad8085. PMID 26823423. 
  5. ^ Depuydt, Leo (1 Januari 1998). "Gnomons di Meroë dan Trigonometri Awal". The Journal of Egyptian Archaeology. 84: 171–180. doi:10.2307/3822211. JSTOR 3822211. 
  6. ^ Slayman, Andrew (27 Mei 1998). "Neolithic Skywatchers". Archaeology Magazine Archive. Diarsipkan dari versi asli tanggal 5 Juni 2011. Diakses tanggal 17 April 2011. 
  7. ^ Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama Boyer 1991 loc=Ionia dan Pythagoras p. 43
  8. ^ Eves, Howard, Pengantar Sejarah Matematika, Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0.
  9. ^ Kurt Von Fritz (1945). "Penemuan Ketidakbandingan oleh Hippasus dari Metapontum". The Annals of Mathematics. 
  10. ^ James R. Choike (1980). "Pentagram dan Penemuan Bilangan Irasional". The Two-Year College Mathematics Journal. 
  11. ^ (Boyer 1991, "Zaman Plato dan Aristoteles" p. 92)
  12. ^ (Boyer 1991, "Euclid dari Alexandria" p. 119)
  13. ^ (Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 104)
  14. ^ Howard Eves, Pengantar Sejarah Matematika, Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0 p. 141: "Tidak ada karya, kecuali Bible, yang telah digunakan secara lebih luas...."
  15. ^ O'Connor, J.J.; Robertson, E.F. (February 1996). "Sejarah kalkulus". University of St Andrews. Diarsipkan dari versi asli tanggal 15 July 2007. Diakses tanggal 7 August 2007. 
  16. ^ Vakil, Ravi (2017). Foundations of Algebraic Geometry. 
  17. ^ Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama Tabak 2014 xiv
  18. ^ a b Schmidt, W., Houang, R., & Cogan, L. (2002). "Kurikulum yang koheren". Pendidik Amerika, 26(2), 1–18.
  19. ^ Morris Kline (Maret 1990). Pemikiran Matematika Dari Zaman Kuno ke Modern: Volume 3. Oxford University Press, USA. hlm. 1010–. ISBN 978-0-19-506137-6. 
  20. ^ Victor J. Katz (21 September 2000). Menggunakan Sejarah untuk Mengajar Matematika: Perspektif Internasional. Cambridge University Press. hlm. 45–. ISBN 978-0-88385-163-0. 
  21. ^ David Berlinski (8 April 2014). Raja Ruang Tak Terbatas: Euclid dan Elemen-elemennya . Basic Books. ISBN 978-0-465-03863-3. 
  22. ^ Robin Hartshorne (11 November 2013). Geometri: Euclid and Beyond. Springer Science & Business Media. hlm. 29–. ISBN 978-0-387-22676-7. 
  23. ^ Pat Herbst; Taro Fujita; Stefan Halverscheid; Michael Weiss (16 March 2017). Pembelajaran dan Pengajaran Geometri di Sekolah Menengah: Perspektif Modeling. Taylor & Francis. hlm. 20–. ISBN 978-1-351-97353-3. 
  24. ^ I.M. Yaglom (6 December 2012). Geometri Non-Euclidean Sederhana dan Dasar Fisiknya: Catatan Dasar Geometri Galilea dan Prinsip Relativitas Galilea. Springer Science & Business Media. hlm. 6–. ISBN 978-1-4612-6135-3. 
  25. ^ Audun Holme (23 September 2010). Geometri: Warisan Budaya Kami. Springer Science & Business Media. hlm. 254–. ISBN 978-3-642-14441-7. 
  26. ^ a b c d e Elemen Euclid - Semua tiga belas buku dalam satu volume, Berdasarkan terjemahan Heath, Green Lion Press ISBN 1-888009-18-7.
  27. ^ Clark, Bowman L. (Jan 1985). "Individu dan Titik geometri". Notre Dame Journal of Formal Logic. 26 (1): 61–75. doi:10.1305/ndjfl/1093870761 . 
  28. ^ Gerla, G. (1995). "Pointless Geometries" (PDF). Dalam Buekenhout, F.; Kantor, W. Buku Pegangan geometri insiden: bangunan dan fondasi. North-Holland. hlm. 1015–1031. Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 17 July 2011. 
  29. ^ John Casey (1885). Geometri Analitik Bagian Titik, Garis, Lingkaran, dan Kerucut. 
  30. ^ Buekenhout, Francis (1995), Buku Pegangan Geometri Insiden: Bangunan dan Fondasi, Elsevier B.V.
  31. ^ "geodesik - definisi geodesik dalam bahasa Inggris dari kamus Oxford". OxfordDictionaries.com. Diarsipkan dari versi asli tanggal 15 July 2016. Diakses tanggal 2016-01-20. 
  32. ^ a b c d Munkres, James R. Topology. Vol. 2. Upper Saddle River: Prentice Hall, 2000.
  33. ^ Szmielew, Wanda. 'Dari affine ke geometri Euclidean: Pendekatan aksiomatik.' Springer, 1983.
  34. ^ Ahlfors, Lars V. Analisis kompleks: pengantar teori fungsi analitik dari satu variabel kompleks. New York, London (1953).
  35. ^ Sidorov, L.A. (2001) [1994], "Angle", dalam Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
  36. ^ Gelʹfand, Izrailʹ Moiseevič, dan Mark Saul. "Trigonometri." 'Trigonometri'. Birkhäuser Boston, 2001. 1–20.
  37. ^ Stewart, James (2012). Kalkulus: Transendental Awal, 7th ed., Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-538-49790-9
  38. ^ Jost, Jürgen (2002), Analisis Geometri dan Geometri Riemannian, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-42627-1 .
  39. ^ Baker, Henry Frederick. Prinsip geometri. Vol. 2. CUP Archive, 1954.
  40. ^ a b c Do Carmo, Manfredo Perdigao, dan Manfredo Perdigao Do Carmo. Geometri diferensial dari kurva dan permukaan. Vol. 2. Englewood Cliffs: Prentice-hall, 1976.
  41. ^ a b Mumford, David (1999). Buku Merah Varietas dan Skema Termasuk Ceramah Michigan tentang Kurva dan Jacobian Mereka (edisi ke-2nd). Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-63293-1. Zbl 0945.14001. 
  42. ^ Briggs, William L., and Lyle Cochran Calculus. "Early Transcendentals." ISBN 978-0321570567.
  43. ^ Yau, Shing-Tung; Nadis, Steve (2010). Bentuk Ruang Dalam: Teori String dan Geometri Dimensi Tersembunyi Alam Semesta. Buku Dasar. ISBN 978-0-465-02023-2.
  44. ^ a b Steven A. Treese (17 May 2018). Sejarah dan Pengukuran Basis dan Unit Turunan. Springer International Publishing. hlm. 101–. ISBN 978-3-319-77577-7. 
  45. ^ James W. Cannon (16 November 2017). Geometri Panjang, Luas, dan Volume. American Mathematical Soc. hlm. 11. ISBN 978-1-4704-3714-5. 
  46. ^ Gilbert Strang (1 January 1991). Kalkulus. SIAM. ISBN 978-0-9614088-2-4. 
  47. ^ H. S. Bear (2002). Primer Integrasi Lebesgue. Academic Press. ISBN 978-0-12-083971-1. 
  48. ^ Dmitri Burago, Yu D Burago, Sergei Ivanov, Kursus dalam Geometri Metrik, American Mathematical Society, 2001, ISBN 0-8218-2129-6.
  49. ^ Wald, Robert M. (1984), Relativitas umum, University of Chicago Press, ISBN 978-0-226-87033-5 
  50. ^ Terence Tao (14 September 2011). An Introduction to Measure Theory. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-6919-2. 
  51. ^ Shlomo Libeskind (12 February 2008). Euklides dan Geometri Transformasional: Penyelidikan Deduktif. Jones & Bartlett Learning. hlm. 255. ISBN 978-0-7637-4366-6. 
  52. ^ Mark A. Freitag (1 January 2013). Matematika untuk Guru Sekolah Dasar: Pendekatan Proses. Cengage Learning. hlm. 614. ISBN 978-0-618-61008-2. 
  53. ^ George E. Martin (6 December 2012). Transformasi Geometri: Pengantar Simetri. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-5680-9. 
  54. ^ Mark Blacklock (2018). Munculnya Dimensi Keempat: Pemikiran Spasial yang Lebih Tinggi di Fin de Siècle. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-875548-7. 
  55. ^ Charles Jasper Joly (1895). Papers. The Academy. hlm. 62–. 
  56. ^ Roger Temam (11 December 2013). Sistem Dinamika Dimensi Tak Terbatas dalam Mekanika dan Fisika. Springer Science & Business Media. hlm. 367. ISBN 978-1-4612-0645-3. 
  57. ^ Bill Jacob; Tsit-Yuen Lam (1994). Kemajuan Terbaru dalam Geometri Aljabar Nyata dan Bentuk Kuadrat: Prosiding Tahun RAGSQUAD, Berkeley, 1990-1991. American Mathematical Soc. hlm. 111. ISBN 978-0-8218-5154-8. 
  58. ^ Robert E. Butts; J.R. Brown (6 December 2012). Konstruktivisme dan Sains: Esai dalam Filsafat Jerman Terbaru. Springer Science & Business Media. hlm. 127–. ISBN 978-94-009-0959-5. 
  59. ^ Science. Moses King. 1886. hlm. 181–. 
  60. ^ W. Abbot (11 November 2013). Geometri Praktis dan Grafis Teknik: Buku Ajar untuk Mahasiswa Teknik dan Lainnya. Springer Science & Business Media. hlm. 6–. ISBN 978-94-017-2742-6. 
  61. ^ a b c d George L. Hersey (March 2001). Arsitektur dan Geometri di Zaman Barok. University of Chicago Press. ISBN 978-0-226-32783-9. 
  62. ^ P. Vanícek; E.J. Krakiwsky (3 June 2015). Geodesi: Konsep. Elsevier. hlm. 23. ISBN 978-1-4832-9079-9. 
  63. ^ Russell M. Cummings; Scott A. Morton; William H. Mason; David R. McDaniel (27 April 2015). Aerodinamika Komputasi Terapan. Cambridge University Press. hlm. 449. ISBN 978-1-107-05374-8. 
  64. ^ Roy Williams (1998). Geometri Navigasi. Horwood Pub. ISBN 978-1-898563-46-4. 
  65. ^ Gerard Walschap (1 July 2015). Kalkulus Multivariabel dan Geometri Diferensial. De Gruyter. ISBN 978-3-11-036954-0. 
  66. ^ Harley Flanders (26 April 2012). Bentuk Diferensial dengan Aplikasi untuk Ilmu Fisika. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-13961-6. 
  67. ^ Paul Marriott; Mark Salmon (31 Agustus 2000). Aplikasi Geometri Diferensial ke Ekonometrika. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-65116-5. 
  68. ^ Matthew He; Sergey Petoukhov (16 March 2011). Matematika Bioinformatika: Teori, Metode dan Aplikasi. John Wiley & Sons. hlm. 106. ISBN 978-1-118-09952-0. 
  69. ^ P.A.M. Dirac (10 August 2016). Teori Relativitas Umum. Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-8419-3. 
  70. ^ Nihat Ay; Jürgen Jost; Hông Vân Lê; Lorenz Schwachhöfer (25 August 2017). Geometri Informasi. Springer. hlm. 185. ISBN 978-3-319-56478-4. 
  71. ^ Boris A. Rosenfeld (8 September 2012). Sejarah Geometri Non-Euclidean: Evolusi Konsep Ruang Geometri. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4419-8680-1. 
  72. ^ Kline (1972) "Pemikiran matematis dari zaman kuno hingga modern", Oxford University Press, p. 1032. Kant tidak menolak 'kemungkinan' logis (analitik a priori) dari geometri non-Euklides, lihat Jeremy Gray, "Ide Ruang Euclidean, Non-Euklides, dan Relativistik", Oxford, 1989; p. 85. Beberapa menyiratkan bahwa, dalam terang ini, Kant sebenarnya telah meramalkan perkembangan geometri non-Euklides, lih. Leonard Nelson, "Filsafat dan Aksioma," Socratic Method and Critical Philosophy, Dover, 1965, p. 164.
  73. ^ Duncan M'Laren Young Sommerville (1919). Elemen Geometri Non-Euklides ... Open Court. hlm. 15ff. 
  74. ^ "Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen". Diarsipkan dari versi asli tanggal 18 March 2016. 
  75. ^ Peter Pesic (1 January 2007). Di luar Geometri: Makalah Klasik dari Riemann hingga Einstein. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-45350-7. 
  76. ^ Jürgen Richter-Gebert (4 February 2011). Perspektif tentang Geometri Proyektif: Tur Terpandu Melalui Geometri Nyata dan Kompleks. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-17286-1. 
  77. ^ Kimberly Elam (2001). Geometri Desain: Studi dalam Proporsi dan Komposisi. Princeton Architectural Press. ISBN 978-1-56898-249-6. 
  78. ^ Brad J. Guigar (4 November 2004). The Everything Cartooning Book: Buat Kartun Unik Dan Terinspirasi Untuk Kesenangan Dan Untung. Adams Media. hlm. 82–. ISBN 978-1-4405-2305-2. 
  79. ^ Mario Livio (12 November 2008). Rasio Emas: Kisah PHI, Angka Paling Mengagumkan di Dunia. Crown/Archetype. hlm. 166. ISBN 978-0-307-48552-6. 
  80. ^ Michele Emmer; Doris Schattschneider (8 Mei 2007). M.C. Warisan Escher: Perayaan Seratus Tahun. Springer. hlm. 107. ISBN 978-3-540-28849-7. 
  81. ^ Robert Capitolo; Ken Schwab (2004). Kursus Menggambar 101 . Sterling Publishing Company, Inc. hlm. 22. ISBN 978-1-4027-0383-6. 
  82. ^ Phyllis Gelineau (1 January 2011). Mengintegrasikan Seni di Seluruh Kurikulum Sekolah Dasar. Cengage Learning. hlm. 55. ISBN 978-1-111-30126-2. 
  83. ^ Cristiano Ceccato; Lars Hesselgren; Mark Pauly; Helmut Pottmann, Johannes Wallner (5 December 2016). Kemajuan dalam Geometri Arsitektur 2010. Birkhäuser. hlm. 6. ISBN 978-3-99043-371-3. 
  84. ^ Helmut Pottmann (2007). Geometri arsitektur. Bentley Institute Press. 
  85. ^ Marian Moffett; Michael W. Fazio; Lawrence Wodehouse (2003). Sejarah Arsitektur Dunia. Laurence King Publishing. hlm. 371. ISBN 978-1-85669-371-4. 
  86. ^ Robin M. Green; Robin Michael Green (31 October 1985). Astronomi Bulat. Cambridge University Press. hlm. 1. ISBN 978-0-521-31779-5. 
  87. ^ Dmitriĭ Vladimirovich Alekseevskiĭ (2008). Perkembangan Terbaru dalam Geometri Pseudo-Riemannian. Masyarakat Matematika Eropa. ISBN 978-3-03719-051-7. 
  88. ^ Shing-Tung Yau; Steve Nadis (7 September 2010). Bentuk Ruang Dalam: Teori String dan Geometri Dimensi Tersembunyi Alam Semesta. Basic Books. ISBN 978-0-465-02266-3. 
  89. ^ Bengtsson, Ingemar; Życzkowski, Karol (2017). Geometri Status Kuantum: Pengantar Keterikatan Kuantum (edisi ke-2nd). Cambridge University Press. ISBN 9781107026254. OCLC 1004572791. 
  90. ^ Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama Boyer2012
  91. ^ Harley Flanders; Justin J. Price (10 May 2014). Kalkulus dengan Geometri Analitik. Elsevier Science. ISBN 978-1-4832-6240-6. 
  92. ^ Jon Rogawski; Colin Adams (30 January 2015). Kalkulus. W. H. Freeman. ISBN 978-1-4641-7499-5. 
  93. ^ Álvaro Lozano-Robledo (21 March 2019). Teori Bilangan dan Geometri: Pengantar Geometri Aritmatika. American Mathematical Soc. ISBN 978-1-4704-5016-8. 
  94. ^ Arturo Sangalli (10 May 2009). Balas Dendam Pythagoras: Misteri Matematika . Princeton University Press. hlm. 57. ISBN 978-0-691-04955-7. 
  95. ^ Gary Cornell; Joseph H. Silverman; Glenn Stevens (1 December 2013). Bentuk Modular dan Teorema Terakhir Fermat. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-1974-3. 

SumberSunting

Bacaan lebih lanjutSunting

Tautan luarSunting

  "Geometry". Encyclopædia Britannica. 11 (edisi ke-11). 1911. hlm. 675–736. 

Templat:Geometry-footer Templat:Areas of mathematics