Optimisasi matematika (terkadang hanya ditulis sebagai optimisasi) adalah proses memilih sebuah elemen terbaik, menurut suatu atau beberapa kriteria, dari suatu himpunan berisi alternatif elemen yang tersedia.[1] Masalah optimisasi muncul dalam banyak bidang ilmu dari ilmu komputer dan ilmu teknik[2] sampai riset operasi dan ekonomi, juga selama bertahun-tahun menarik perhatian matematika dalam mengembangkan metode menemukan solusi.[3]

Grafik yang dibentuk dari persamaan z = f(x, y) = −(x² + y²) + 4. Titik maksimum global fungsi terletak pada (x, y, z) = (0, 0, 4), dtandai oleh titik berwarna biru.
Visualisasi pencarian minimum Nelder-Mead untuk fungsi Siminescu. Verteks simplex diurutkan berdasarkan nilai mereka, dengan 1 menjadi nilai terkecil.

Dalam kasus paling sederhana, sebuah masalah optimisasi berisi tentang cara memaksimumkan atau meminimumkan nilai sebuah fungsi real, dengan secara sistematis memilih nilai input dari suatu himpunan yang diperbolehkan. Perumuman dari teori-teori optimisasi dan teknik-teknik ke berbagai bentuk formulasi masalah menjadi bahan kajian sebagian besar bidang matematika terapan.

Masalah optimisasi

sunting

Sebuah masalah optimisasi dapat dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut:

Diberikan: sebuah fungsi   yang memetakan suatu himpunan   ke bilangan real
Dicari: sebuah elemen   yang memenuhi   untuk setiap   (masalah minimisasi), atau yang memenuhi   untuk setiap   (masalah maksimisasi)

Formulasi tersebut juga disebut dengan masalah pemrograman matematika. Terminologi ini yang tidak berhubungan langsung dengan pemrograman komputer, namun masih digunakan di beberapa hal seperti pemrograman linear. Banyak masalah nyata (real-world problem) maupun masalah teoritis dapat dimodelkan dalam kerangka umum tersebut.

Perhatikan bahwa hubungan   terpenuhi jika kita mendefinisikan  . Hal ini yang mengartikan setiap masalah maksimisasi dapat diubah menjadi masalah minimisasi (dan sebaliknya). Dalam matematika, masalah optimisasi umumnya dinyatakan sebagai masalah minimisasi. Di bidang fisika, formulasi seperti ini dapat merujuk pada teknik minimisasi energi, dengan nilai fungsi   merepresentasikan energi dari sistem yang dimodelkan. Dalam pemelajaran mesin, penting untuk mengevaluasi kualitas parameter data menggunakan fungsi biaya, dengan nilai fungsi yang minimum mengimplikasikan kemungkinan parameter dengan nilai optimal (terkecil).

Umumnya   adalah subset dari ruang Euklides  , umum ditandai oleh sebuah himpunan konstrain, yakni kumpulan persamaan atau pertidaksamaan yang perlu dipenuhi oleh anggota  . Domain   dari fungsi   disebut dengan ruang pencarian atau ruang pilihan, sedangkan elemen dari   disebut dengan kandidat solusi atau solusi feasibel (solusi yang mungkin).

Terdapat banyak nama bagi fungsi  , yang secara umum disebut dengan fungsi objektif. Untuk masalah minimisasi, fungsi ini terkadang disebut dengan fungsi kerugian atau fungsi biaya);[4] sedangkan masalah maksimisasi terkadang menggunakan terminologi fungsi kecocokan (fitness function) atau fungsi utilitas. Pada beberapa bidang, fungsi ini juga disebut dengan fungsi energi. Solusi feasibel yang meminimumkan (atau memaksimumkan jika itu tujuan akhirnya) nilai fungsi objektif dikenal sebagai solusi optimal.

Sebuah [titik] minimum lokal   didefinisikan sebagai elemen yang memiliki suatu   dan untuk akan berlaku hubungan  . Secara informal definisi ini mengatakan bahwa   menghasilkan nilai fungsi yang terkecil, ketika dibandingkan tetangga-tetangga disekitarnya. [Titik] maksimum lokal didefinisikan dengan cara yang serupa. Jika titik minimum lokal memberikan solusi yang setidaknya sama baiknya dengan solusi disekitar titik tersebut, titik minimum global akan memberikan solusi yang setidaknya sama baiknya dengan semua solusi yang mungkin. Secara umum, kecuali fungsi objektif bersifat konveks, ada kemungkinan titik [minimum/maksimum] lokal, dan tidak semuanya juga merupakan titik [minimum/maksimum] global.

Banyak algoritma dikembangkan untuk menyelesaikan masalah non-konveks, namun sebagian besar tidak dapat membedakan solusi optimal lokal dengan solusi optimal global; mereka akan menganggap solusi optimal lokal sebagai solusi sebenarnya bagi masalah optimisasi. Optimisasi global adalah cabang matematika terapan dan analisis numerik yang mengkaji perkembangan algoritma deterministik dan memastikan konvergensi dalam waktu yang terbatas (finite time), untuk menemukan solusi optimal masalah non-konveks

Notasi

sunting

Masalah optimisasi sering diekspresikan menggunakan notasi khusus. Berikut beberapa notasi yang digunakan berserta penjelasan singkatnya:

Nilai minimum dan maksimum sebuah fungsi

sunting

Perhatikan notasi berikut: Notasi ini menandakan nilai minimum dari fungsi objektif  , ketika   dipilih dari himpunan bilangan real  . Nilai minimum dalam kasus ini adalah 1, dan terjadi ketika   .

Serupa dengan itu, notasi menandakan nilai maksimum dari fungsi objektif  , dengan   dapat berupa sebarang bilangan real. Fungsi objektif ini tidak memiliki nilai maksimum, karena fungsi tidak terbatas (dari atas). Dalam kasus ini nilai maksimum adalah "tak hingga" atau "tidak terdefinisi", tergantung konteks pembicaraan.

Argumen input yang optimal

sunting

Notasi seperti atau secara ekuivalen juga dapat ditulis sebagai menandakan nilai (atau nilai-nilai jika ada lebih dari satu) argumen   pada selang   yang meminimumkan fungsi objektif  . Perlu diperhatikan notasi ini tidak merujuk pada nilai minimum dari fungsi, namun nilai argumen yang membuat nilai fungsi minimum. Dalam kasus ini, jawabannya adalah  . Nilai   bukan solusi karena dia bukan anggota himpunan feasibel  .

Serupa dengan itu, notasi seperti

 

atau juga dapat ditulis sebagai

 

merepresentasikan semua himpunan berurut   yang memaksimumkan nilai fungsi objektif  , dengan batasan nilai   perlu terletak di selang  . Dalam kasus ini, solusi dari notasi tersebut adalah semua himpunan berurut yang memiliki bentuk   dan  , dengan   merupakan bilangan bulat.

Operators   dan   terkadang juga ditulis sebagai   dan  ; secara berurutan memiliki arti "argumen dari minimum" dan "argumen dari maksimum".

Sejarah

sunting

Fermat dan Lagrange menemukan formula untuk mengidentifikasi nilai optimal, yang berdasar pada kalkulus. Sementara itu, Newton dan Gauss mengusulkan metode iteratif yang mengubah nilai feasibel ke arah nilai optimal. George B. Dantzig mencetuskan istilah "pemrograman linear" untuk menyelesaikan beberapa kasus optimisasi,walau sebagian teori sudah diperkenalkan oleh Leonid Kantorovich pada tahun 1939. Kata "pemrograman" dalam konteks ini tidak merujuk pada "pemrogramam komputer", namun merujuk pada penggunaan program oleh pihak militer Amerika Serikat untuk menyebut proposal pelatihan dan jadwal; masalah-masalah yang dipelajari oleh Dantzig pada waktu itu. Pada tahun 1947, Dantzig mempublikasikan algoritma simplex, sedangkan John von Neumann mengembangkan teori dualitas.[butuh rujukan] Beberapa peneliti lain yang terkenal dalam bidang optimisasi adalah:

Referensi

sunting
  1. ^ "The Nature of Mathematical Programming Diarsipkan 2014-03-05 di Wayback Machine.," Mathematical Programming Glossary, INFORMS Computing Society.
  2. ^ Martins, Joaquim R. R. A.; Ning, Andrew (2021-10-01). Engineering Design Optimization (dalam bahasa Inggris). Cambridge University Press. ISBN 978-1108833417. 
  3. ^ Du, D. Z.; Pardalos, P. M.; Wu, W. (2008). "History of Optimization". Dalam Floudas, C.; Pardalos, P. Encyclopedia of Optimization. Boston: Springer. hlm. 1538–1542. 
  4. ^ W. Erwin Diewert (2008). "cost functions," The New Palgrave Dictionary of Economics, 2nd Edition Contents.

Bacaan lebih lanjut

sunting

Pranala luar

sunting