Kurva

garis yang tidak harus lurus

Dalam matematika, kurva adalah objek yang mirip dengan garis yang tidak harus lurus. Dalam beberapa teks kuno, kurva juga disebut garis lengkung.

Kurva parabola merupakan salah satu kurva yang paling sederhana.

Secara intuitif, kurva dapat dipandang sebagai jejak yang ditinggalkan oleh titik bergerak. Pandangan tersebut merupakan definisi yang muncul lebih dari 2000 tahun yang lalu dalam karya Euklides, Elements: "Garis [melengkung][a] adalah [...] spesies kuantitas pertama yang hanya memiliki satu dimensi, yaitu panjang, tanpa adanya lebar atau kedalaman. Garis ini tidak lain merupakan aliran atau lintasan titik yang [...] akan ditinggalkan dari khayalannya yang kemudian memindahkan bekas-bekasnya di panjang, tetapi lebar dikecualikan."[1]

Definisi kurva ini telah diformalkan dalam matematika modern, yang berbunyi bahwa suatu kurva merupakan bayangan fungsi dari suatu interval ke ruang topologi yang didasari pada fungsi kontinu. Dalam beberapa konteks, fungsi yang mendefinisikan kurva disebut parametrisasi (parametrization), dan kurva itu adalah kurva parametrik. Dalam artikel ini, kurva ini kadang-kadang disebut kurva topologi; istilah tersebut dipakai untuk membedakan kurva yang lebih terbatas, seperti kurva terdiferensialkan (differentiable curve). Definisi ini mencakup sebagian besar kurva yang dipelajari dalam matematika, kecuali kurva level (yang merupakan gabungan dari kurva dan titik yang terisolasi), dan kurva aljabar. Kurva level dan kurva aljabar kadang-kadang disebut kurva implisit, karena kedua kurva tersebut biasanya didefinisikan oleh persamaan implisit.

Walaupun demikian, kelas kurva topologi sangatlah luas. Kelas tersebut memiliki beberapa kurva yang tidak tampak seperti kurva, atau bahkan tidak dapat digambarkan. Kasus tersebut dapat ditemukan seperti kurva pengisi ruang (space-filing curve) dan kurva fraktal. Supaya memastikannya, fungsi yang mendefinisikan suatu kurva sering kali dianggap terdiferensialkan, dan kurva tersebut kemudian dikatakan kurva terdiferensialkan.

SejarahSunting

 
Seni megalitik dari Newgrange menunjukkan minat awal pada kurva

Ketertarikan pada kurva dimulai jauh sebelum menjadikannya sebagai kajian matematika. Hal tersebut dapat ditunjukkan dalam banyak contoh kegunaan dekoratifnya dalam seni, serta pada benda sehari-hari yang dibuat sejak zaman prasejarah.[2] Kurva, atau setidaknya representasi grafisnya, sangat mudah digambarkan, misalnya dengan menggunakan tongkat di pasir pantai.

Menurut sejarah, istilah garis digunakan sebagai pengganti istilah kurva yang lebih modern. Oleh karena itu, istilah garis lurus dan garis siku-siku digunakan untuk membedakan istilah yang saat ini dikenal dengan sebutan garis dari garis lengkung. Sebagai contoh, definisi kedua dalam karya Euklides, Elements mengatakan bahwa suatu garis didefinisikan sebagai "panjang tanpa mempunyai lebar". Sementara itu, definisi keempat dalam karya yang sama mengatakan bahwa garis lurus didefinisikan sebagai "garis yang terletak secara merata dengan titik-titik pada dirinya sendiri". Gagasan Euklides tentang garis kemungkinan dijelaskan lebih lanjut dalam pernyataan definisi ketiga, "ekstremitas dari suatu garis adalah titik."

Kurva topologiSunting

Suatu kurva topologi dapat dinyatakan dengan suatu fungsi kontinu   yang memetakan dari interval I dari bilangan real ke ruang topologi X. Kurva merupakan bayangan dari  . Akan tetapi,   tersendiri dalam beberapa konteks merupakan suatu kurva, terlebih ketika bayangan tidak tampak terlihat seperti kurva dan tidak sepenuhnya menggambarkan   Sebagai contoh, bayangan dari kurva Peano, atau lebih umumnya kurva pengisi ruang (space-filling curve) yang mengisi sebuah persegi sepenuhnya, tetapi tidak memberikan penjelasan bagaimana   didefinisikan.

Suatu kurva   tertutup atau loop apabila   dan  . Dengan demikian, suatu kurva tertutup merupakan bayangan dari suatu pemetaan kontinu lingkaran. Jika daerah asal dari kurva topologi adalah tertutup dan interval   adalah terbatas, kurva dapat dikatakan suatu lintasan (path) atau disebut juga busur (arc).

Suatu kurva tertutup sederhana di bidang disebut kurva Jordan. Kurva Jordan juga didefinisikan sebagai loop kontinu yang tidak saling berpotongan di bidang.[3] Teorema kurva Jordan mengatakan bahwa komplemen di suatu bidang kurva Jordan terdiri dari dua buah ruang komponen terhubung, dalam artian kurva tersebut membagi bidang menjadi dua daerah yang tidak saling berpotongan dan saling terhubung.

Kurva terdiferensialkanSunting

Dalam bahasa kasarnya, kurva terdiferensialkan (differentiable curve) adalah kurva yang didefinisikan sebagai bayangan fungsi yang terdiferensialkan secara lokal   yang dipetakan dari suatu interval   dari bilangan real ke manifold terdiferensialkan X. Ini sering kali dinyatakan  

Panjang kurvaSunting

Jika   adalah ruang Euklides berdimensi- , dan jika   adalah fungsi injektif dan terdiferensialkan secara kontinu, maka panjang dari   didefinisikan sebagai

 

Panjang kurva tidak bergantung pada parameterisasi  . Secara khusus, panjang   dari grafik fungsi yang terdiferensialkan secara kontinu   yang didefinisikan pada interval tertutup   dirumuskan sebagai

 

Lebih umum, jika   adalah ruang metrik dengan metrik  , maka panjang kurva   dapat didefinisikan dengan

 
Pada definisi di atas, supremum mengambil alih semua   suatu bilangan asli dan semua partisi   dari  .


Kurva berpanjang (rectifiable curve) adalah kurva dengan panjangnya yang terbatas. Kurva   disebut natural (atau satuan kecepatan parametrisasi berdasarkan panjang busur) jika ada   dan   di   sehingga  . Oleh karena itu, dipunyailah

 

Jika   adalah fungsi kontinu Lipschitz, maka fungsi tersebut secara langsung rectifiable (berkepanjangan). Selain itu, kecepatan (atau turunan metrik) dari   pada   dapat ditentukan sebagai

 
dan kemudian diperlihatkan bahwa
 

Geometri diferensialSunting

Contoh kurva pertama yang dijumpai sebagian besar merupakan kurva bidang (atau dalam sebutan umumnya, garis lengkung dalam ruang dua dimensi). Walaupun demikian, terdapat kurva dalam tiga dimensi, dan contoh kurva tersebut adalah heliks. Keperluan geometri dan juga contohnya mekanika klasik, harus memiliki gagasan tentang kurva dalam ruang dari sejumlah dimensi. Dalam relativitas umum, garis dunia adalah kurva dalam ruang waktu.

Jika   adalah manifold terdiferensialkan, maka dapat didefinisikan gagasan kurva terdiferensialkan dalam  . Gagasan umum ini cukup untuk mencakup banyak penerapannya dalam matematika. Berdasarkan sudut pandang lokal, seseorang dapat memandang   sebagai ruang Euklides. Di sisi lain, seseorang dapat memungkinkan untuk mendefinisikan vektor garis singgung ke   dengan melalui pengertian kurva tersebut.

Terdapat gagasan dasar yang mengatakan bahwa jika   adalah manifold mulus, kurva mulus di   adalah pemetaan mulus

 

Ada pula gagasan yang mengatakan bahwa jika   adalah   manifold (sebagai contoh, manifold yang chartnya terdiferensialkan secara kontinu sebanyak   kali), maka suatu   kurva dalam   adalah kurva yang hanya diasumsikan menjadi   (dalam artian, terdiferensialkan secara kontinu sebanyak   kali). Jika   adalah manifold analitik (yaitu, terdiferensiaslkan tak terhingga dan chart dapat dinyatakan sebagai deret kuasa) dan   adalah peta analitik, maka   dikatakan sebagai kurva analitik (analytic curve).

Suatu kurva terdiferensialkan dikatakan beraturan (regular) jika turunannya tidak pernah hilang; dengan kata lain, suatu kurva beraturan tidak pernah melambat untuk berhenti atau mundur dengan sendirinya. Terdapat dua   kurva terdiferensialkan , yaitu   dan   dikatakan ekuivalen jika terdapat   pemetaan bijektif   sehingga pemetaan invers   juga  , dan   untuk semua  . Pemetaan   disebut reparametrisasi (reparametrization) dari  , sehingga demikian himpunan semua   kurva terdiferensiasi dalam   dikatakan relasi ekuivalensi. Suatu busur   adalah kelas ekuivalensi dari   kurva di bawah relasi reparametrisasi.

CatatanSunting

  1. ^ Garis dalam penggunaan matematika saat ini berupa lurus. Sebelumnya, garis dapat berupa melengkung atau lurus.

ReferensiSunting

  1. ^ Dalam bahasa Prancis (yang agak tua) French: "La ligne est la première espece de quantité, laquelle a tant seulement une dimension à sçavoir longitude, sans aucune latitude ni profondité, & n'est autre chose que le flux ou coulement du poinct, lequel […] laissera de son mouvement imaginaire quelque vestige en long, exempt de toute latitude." Halaman 7 dan 8 dari Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide Megarien, traduits de Grec en François, & augmentez de plusieurs figures & demonstrations, avec la corrections des erreurs commises és autres traductions, oleh Pierre Mardele, Lyon, MDCXLV (1645).
  2. ^ Lockwood p. ix
  3. ^ Sulovský, Marek (2012). Depth, Crossings and Conflicts in Discrete Geometry (dalam bahasa Inggris). Logos Verlag Berlin GmbH. hlm. 7. ISBN 9783832531195. 

Pranala luarSunting