Kurva

garis yang tidak harus lurus
Parabola, salah satu kurva paling sederhana, setelah garis (lurus)

Dalam matematika, kurva (juga disebut garis lengkung dalam teks yang lebih tua) adalah objek yang mirip dengan garis yang tidak harus lurus.

Secara intuitif, kurva dapat dianggap sebagai jejak yang ditinggalkan oleh titik bergerak. Ini adalah definisi yang muncul, lebih dari 2000 tahun yang lalu dalam buku Elements Euclid: "Garis [melengkung][a] adalah [...] spesies kuantitas pertama, yang hanya memiliki satu dimensi, yaitu panjang, tanpa lebar atau kedalaman apa pun, dan tidak lain adalah aliran atau jalur dari titik yang [...] akan tinggalkan dari imajinernya, memindahkan beberapa sisa di panjang, dikecualikan dari lebar apa pun."[1]

Definisi kurva ini telah diformalkan dalam matematika modern sebagai: Sebuah Kurva adalah gambar fungsi kontinu dari suatu interval ke ruang topologi. Dalam beberapa konteks, fungsi yang mendefinisikan kurva disebut parametrization, dan kurva adalah kurva parametrik. Dalam artikel ini, kurva ini kadang-kadang disebut kurva topologi untuk membedakannya dari kurva yang lebih terbatas seperti kurva yang dapat dibedakan. Definisi ini mencakup sebagian besar kurva yang dipelajari dalam matematika; pengecualian yang menonjol adalah kurva level (yang merupakan gabungan dari kurva dan titik yang terisolasi), dan kurva aljabar (lihat di bawah). Kurva level dan kurva aljabar kadang-kadang disebut kurva implisit, karena mereka umumnya didefinisikan oleh persamaan implisit.

Namun demikian, kelas kurva topologi sangat luas, dan mengandung beberapa kurva yang tidak terlihat seperti yang diharapkan seseorang untuk kurva, atau bahkan tidak dapat ditarik. Ini adalah kasus kurva mengisi ruang dan kurva fraktal. Untuk mengasuransikan lebih banyak keteraturan, fungsi yang mendefinisikan suatu kurva seringkali dianggap dapat dibedakan, dan kurva tersebut kemudian dikatakan kurva yang berbeda.

SejarahSunting

 
Seni megalitik dari Newgrange menunjukkan minat awal pada kurva

Ketertarikan pada kurva dimulai jauh sebelum mereka menjadi subjek studi matematika. Ini dapat dilihat dalam banyak contoh penggunaan dekoratif mereka dalam seni dan pada benda sehari-hari sejak zaman prasejarah.[2] Kurva, atau setidaknya representasi grafisnya, mudah dibuat, misalnya dengan tongkat di pasir di pantai.

Secara historis, garis istilah digunakan sebagai pengganti kurva istilah yang lebih modern. Oleh karena itu frase garis lurus dan garis kanan digunakan untuk membedakan apa yang sekarang disebut garis dari garis lengkung. Misalnya, dalam Buku I Elemen Euclid, sebuah garis didefinisikan sebagai "panjang tanpa lebar" (Def. 2), sedangkan garis lurus didefinisikan sebagai "garis yang terletak secara merata dengan titik-titik pada dirinya sendiri" (Def. 4) . Gagasan Euclid tentang sebuah garis barangkali diklarifikasi dengan pernyataan "Ekstremitas dari suatu garis adalah poin," (Def. 3). Kemudian komentator selanjutnya mengklasifikasikan baris-baris berdasarkan berbagai skema.

Kurva yang berbedaSunting

Secara dalam, kurva yang berbeda adalah kurva yang didefinisikan sebagai gambar fungsi yang dapat dibedakan secara lokal   dari interval dari bilangan real menjadi bermacam-macam X, seringkali  

Panjang kurvaSunting

Jika   adalah   ruang-dimensi Euclidean , dan jika   adalah fungsi injeksi dan terus menerus dapat dibedakan, kemudian panjang   didefinisikan sebagai kuantitas

 

Panjang kurva tidak tergantung pada parameterisasi  .

Khususnya, panjangnya   dari grafik fungsi yang terus dapat dibedakan   didefinisikan pada interval tertutup   adalah

 

Lebih umum, jika   adalah ruang metrik dengan metrik  , maka kita bisa mendefinisikan panjang kurva   dengan

 

di mana supremum diambil alih semua   dan semua partisi   dari  .

Kurva yang dapat diperbaiki adalah kurva dengan panjang yang terbatas. Kurva   disebut alami (atau satuan kecepatan parametrized oleh panjang busur) jika ada   seperti yang  , kita mempunyai

 

Jika   adalah fungsi berkelanjutan Lipschitz, maka secara otomatis dapat diperbaiki. Selain itu, dalam hal ini, seseorang dapat menentukan kecepatan (atau turunan metrik) dari   pada   sebagai

 

dan kemudian ditunjukkan itu

 

Geometri diferensialSunting

Sementara contoh pertama kurva yang dipenuhi sebagian besar adalah kurva bidang (yaitu, dalam kata sehari-hari, garis lengkung dalam ruang dua dimensi), ada contoh nyata seperti helix yang ada secara alami dalam tiga dimensi. Kebutuhan geometri, dan juga misalnya mekanika klasik harus memiliki gagasan tentang kurva dalam ruang dari sejumlah dimensi. Dalam relativitas umum, garis dunia adalah kurva dalam ruang waktu.

Jika   adalah manifold terdiferensiasi, maka kita dapat mendefinisikan gagasan kurva terdiferensiasi dalam  . Gagasan umum ini cukup untuk mencakup banyak aplikasi kurva dalam matematika. Dari sudut pandang lokal seseorang dapat mengambil  menjadi ruang Euclidean. Di sisi lain, berguna untuk menjadi lebih umum, dalam hal itu (misalnya) dimungkinkan untuk mendefinisikan vektor garis singgung ke   dengan melalui pengertian kurva ini.

Jika   adalah manifold yang halus, kurva yang mulus di   adalah peta yang halus

 .

Ini adalah gagasan dasar. Ada juga gagasan yang semakin terbatas. Jika   adalah  manifold (mis., manifold yang grafiknya adalah   kali terus menerus dapat dibedakan), maka sebuah   kurva dalam   adalah kurva yang hanya diasumsikan   (yaitu.   kali terus menerus dibedakan). Jika   adalah manifold analitik (yaitu terdiferensiasi tak terhingga dan bagan dapat dinyatakan sebagai seri daya), dan   adalah peta analitik, lalu   dikatakan sebagai kurva analitik.

Kurva yang dapat dibedakan dikatakan teratur jika turunannya tidak pernah hilang. (Dengan kata lain, kurva biasa tidak pernah melambat ke berhenti atau mundur dengan sendirinya.) Dua   kurva terdiferensiasi

  dan
 

dikatakan setara jika ada kata sifat peta  

 

sedemikian rupa sehingga peta terbalik

 

juga  , dan

 

untuk semua  . Peta   disebut reparametrisasi dari  ; dan ini membuat hubungan kesetaraan pada kumpulan semua   kurva terdiferensiasi dalam  . Sebuah busur   adalah kelas ekivalensi dari   kurva di bawah hubungan reparametrisasi.

CatatanSunting

  1. ^ Dalam penggunaan matematika saat ini, garis lurus. Garis-garis sebelumnya bisa melengkung atau lurus.

ReferensiSunting

  1. ^ In (rather old) French: "La ligne est la première espece de quantité, laquelle a tant seulement une dimension à sçavoir longitude, sans aucune latitude ni profondité, & n'est autre chose que le flux ou coulement du poinct, lequel […] laissera de son mouvement imaginaire quelque vestige en long, exempt de toute latitude." Pages 7 and 8 of Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide Megarien, traduits de Grec en François, & augmentez de plusieurs figures & demonstrations, avec la corrections des erreurs commises és autres traductions, by Pierre Mardele, Lyon, MDCXLV (1645).
  2. ^ Lockwood p. ix

Pranala luarSunting