Poligon (/ˈpɒlɪɡɒn/)(secara literal "banyak sudut", dari Bahasa Yunani Kuno "poly" banyak + "gon" sudut) merupakan bangun datar yang terdiri dari garis lurus yang bergabung untuk membentuk rantai tertutup atau sirkuit.

Berbagai macam poligon.
Beberapa macam poligon yang lain.

EtimologiSunting

Kata poligon berasal dari kata sifat Yunani πολύς (polús) "banyak", "banyak" dan γωνία (gōnía) "sudut" atau "sudut ". Hal itu telah disarankan γόνυ (gónu) "knee" mungkin asal dari gon.[1]

KlasifikasiSunting

 
Beberapa jenis poligon

Jumlah sisiSunting

Poligon diklasifikasikan berdasarkan jumlah sisinya. Lihat tabel di bawah.

Convexity dan non-convexitySunting

Poligon dapat dicirikan oleh konveksitas atau jenis non-konveksitasnya:

  • Cembung: garis apa pun yang ditarik melalui poligon (dan tidak bersinggungan dengan tepi atau sudut) memenuhi batasnya tepat dua kali. Akibatnya, semua sudut interiornya kurang dari 180 °. Secara ekivalen, setiap segmen garis dengan titik-titik ujung pada batas hanya melewati titik-titik interior di antara titik-titik ujungnya.
  • Non-cembung: sebuah garis dapat ditemukan yang memenuhi batasnya lebih dari dua kali. Secara ekivalen, terdapat ruas garis antara dua titik batas yang melewati poligon.
  • Sederhana: batas poligon tidak memotong dirinya sendiri. Semua poligon cembung sederhana.
  • Cekung: Tidak cembung dan sederhana. Setidaknya ada satu sudut interior yang lebih besar dari 180°.
  • Berbentuk bintang: keseluruhan interior terlihat dari setidaknya satu titik, tanpa melewati tepi apa pun. Poligon harus sederhana, dan mungkin cembung atau cekung. Semua poligon cembung berbentuk bintang.
  • Tidak beraturan: batas poligon tidak beraturan. Istilah kompleks terkadang digunakan berbeda dengan sederhana, tetapi penggunaan ini berisiko menimbulkan kebingungan dengan gagasan poligon kompleks sebagai salah satu yang ada di bidang kompleks Hilbert yang terdiri dari dua kompleks.
  • Poligon Bintang: poligon tidak beraturan secara teratur. Poligon tidak boleh berbentuk bintang dan bintang.

Kesetaraan dan simetriSunting

MiscellaneousSunting

  • Bujursangkar: sisi-sisi poligon bertemu pada sudut siku-siku, yaitu semua sudut interiornya 90 atau 270 derajat.
  • Monoton terhadap garis tertentu L: setiap garis ortogonal ke L memotong poligon tidak lebih dari dua kali.

Properti dan rumusSunting

Geometri euklides diasumsikan seluruhnya.

SudutSunting

Poligon apa pun memiliki banyak sudut karena memiliki banyak sisi. Setiap sudut memiliki beberapa sudut. Dua hal terpenting adalah:

  • Sudut interior – Jumlah dari sudut interior huruf n-gon adalah (n − 2)π radian atau (n − 2) × 180 derajat. Hal ini karena setiap sederhana n-gon (memiliki sisi n) dapat dianggap terdiri dari ( n -2) segitiga, masing-masing memiliki jumlah sudut π radian atau 180 derajat. Ukuran setiap sudut interior cembung biasa n-gon adalah   radian atau   derajat. Sudut interior poligon bintang beraturan pertama kali dipelajari oleh Poinsot, dalam makalah yang sama di mana ia menjelaskan empat polihedra bintang biasa: sebagai  -gon (a p-gon dengan kepadatan pusat q), setiap sudut interior   radian atau   derajat.[2]
  • Sudut eksterior – Sudut eksterior adalah sudut tambahan ke sudut interior. Menelusuri sekitar cembung n-gon, sudut "belok" di suatu sudut adalah sudut luar atau luar. Menelusuri seluruh poligon membuat satu putaran penuh, jadi jumlah sudut luar harus 360 °. Argumen ini dapat digeneralisasikan menjadi poligon sederhana yang cekung, bila sudut luar yang berbelok ke arah berlawanan dikurangi dari total putaran. Menelusuri sekitar n-gon secara umum, jumlah dari sudut luar (jumlah total yang berputar pada simpul) dapat berupa kelipatan bilangan bulat d dari 360°, misalnya 720° untuk pentagram dan 0° untuk sudut "delapan" atau antiparallelogram, dengan d adalah massa jenis atau sifat starriness poligon. Lihat juga orbit (dinamika).

LuasSunting

 
Koordinat segi lima non-cembung.

Pada bagian ini, simpul dari poligon yang sedang dipertimbangkan akan diambil   dalam urutan. Untuk kemudahan dalam beberapa rumus, notasi (xn, yn) = (x0, y0) juga akan digunakan.

Jika poligon tidak berpotongan sendiri (yaitu, sederhana), tanda luas adalah

 

atau, menggunakan determinan

 

dimana   adalah jarak kuadrat antara   dan   [3][4]

Luas bertanda tergantung pada urutan simpul dan orientasi dari bidang. Biasanya, orientasi positif ditentukan oleh rotasi (berlawanan arah jarum jam) yang memetakan positif x-sumbu ke positif y-sumbu. Jika simpul diurutkan berlawanan arah jarum jam (yaitu, menurut orientasi positif), luas yang ditandatangani positif; jika tidak, itu negatif. Dalam kedua kasus tersebut, rumus luasnya benar di nilai absolut. Hal tersebut biasanya disebut rumus tali sepatu atau rumus Surveyor.[5]

Luas L poligon sederhana juga dapat dihitung jika panjang sisinya, a1, a2, …, an dan sudut eksterior, θ1, θ2, …, θn diketahui, dari:

 

Rumusnya dijelaskan oleh Lopshits pada tahun 1963.[6]

Bila poligon dapat digambar pada grid yang berjarak sama sehingga semua simpulnya adalah titik grid, Teorema Pilih memberikan rumus sederhana untuk luas poligon berdasarkan jumlah interior: angka sebelumnya ditambah setengah angka terakhir, minus 1.

In every polygon with perimeter p and area A , the isoperimetric inequality   holds.[7]

Untuk dua poligon sederhana yang luasnya sama, Teorema Bolyai–Gerwien menyatakan bahwa poligon pertama dapat dipotong menjadi potongan poligonal yang dapat dipasang kembali untuk membentuk poligon kedua.

Panjang sisi poligon secara umum tidak menentukan luasnya.[8] Namun, jika poligonnya siklik maka sisi menentukan luasnya.[9] .[10]

Poligon beraturanSunting

Banyak rumus khusus yang diterapkan pada bidang poligon beraturan.

Luas poligon beraturan diberikan dalam radius r dari lingkaran tertulis dan kelilingnya p oleh

 

Jari-jari ini juga disebut apotema dan sering direpresentasikan sebagai a.

Luas beraturan n-gon dengan sisi yang tertulis dalam lingkaran satuan tersebut

 

Luas sebuah n-gon dalam hal jari-jari R dari lingkaran berbatas dan kelilingnya p diberikan oleh

 

Luas sebuah n beraturan-gon tertulis dalam lingkaran jari-jari satuan, dengan sisi s dan sudut interior   juga dapat dinyatakan secara trigonometri sebagai

 

CentroidSunting

Menggunakan konvensi yang sama untuk koordinat puncak seperti pada bagian sebelumnya, koordinat dari pusat massa dari poligon sederhana yang solid adalah

 
 

Dalam rumus ini, nilai area yang ditandatangani   harus digunakan.


GeneralisasiSunting

Ide ide penemuan poligon telah digeneralisasikan dengan berbagai cara. Beberapa yang lebih penting termasuk:

  • Poligon bola adalah rangkaian lingkaran besar (sisi) dan titik sudut pada permukaan bola. Hal ini memungkinkan digon, poligon yang hanya memiliki dua sisi dan dua sudut, yang tidak mungkin dilakukan pada bidang datar. Poligon bola memainkan peran penting dalam kartografi (pembuatan peta) dan dalam konstruksi Wythoff dari polihedra seragam.
  • Poligon miring tidak terletak pada bidang datar, tetapi zigzag dalam tiga dimensi. Poligon Petrie dari politop biasa adalah contoh yang terkenal.
  • Apeirogon adalah urutan sisi dan sudut tak hingga, yang tidak tertutup tetapi tidak memiliki ujung karena memanjang tanpa batas di kedua arah.
  • Apeirogon miring adalah barisan sisi dan sudut tak hingga yang tidak terletak pada bidang datar.
  • poligon kompleks adalah konfigurasi analog dengan poligon biasa, hanya ada dalam bidang kompleks dari dua bilangan riil.
  • Poligon abstrak adalah bagian dari aljabar himpunan berurutan sebagian yang mewakili berbagai elemen (sisi, simpul, dll.) Dan konektivitasnya. Sebuah poligon geometris nyata dikatakan sebagai Deka-5-top dari poligon abstrak. Bergantung pada pemetaan, semua generalisasi yang dijelaskan di sini dapat direalisasikan.
  • Polihedra adalah benda padat tiga dimensi yang dibatasi oleh permukaan poligonal datar, dianalogikan dengan poligon dalam dua dimensi. Bentuk yang sesuai dalam empat atau lebih dimensi disebut politop.[11] (Dalam konvensi lain, kata polyhedron dan politop digunakan dalam dimensi apa pun, dengan perbedaan antara keduanya bahwa sebuah politop harus dibatasi.[12])

Nama dan jenisSunting

Poligon adalah dinamakan sesuai dengan jumlah tepi, bergabung satu dengan awalan angka dalam bahasa Yunani dengan akhiran -gon. Contoh pentagon, dodekagon. Segitiga, sisi empat, dan nonagon adalah pengecualian-pengecualian. Untuk nomor-nomor lebih besar, ahli matematika menulis angka sendiri, contoh 17-gon. Satu variabel dapat juga digunakan, biasanya n-gon. Ini adalah jika jumlah berguna untuk tepi adalah digunakan dalam satu rumus.

Nama poligon
Nama Bilangan sisi
henagon (atau monogon) 1
digon 2
segi tiga (atau trigon) 3
segi empat (atau tetragon) 4
segi lima (atau pentagon) 5
heksagon (atau seksagon) 6
heptagon (elakkan "septagon" = Latin [sept-] + Greek) 7
oktagon 8
nonagon (atau enneagon) 9
dekagon 10
hendekagon (elakkan "undekagon" = Latin [un-] + Greek) 11
dodekagon (elakkan "duodekagon" = Latin [duo-] + Greek) 12
tridekagon atau triskaidekagon (MathWorld) 13
tetradekagon atau tetrakaidekagon interal angle approx 154.2857 degrees.(MathWorld) 14
pentadekagon (atau quindekagon) atau pentakaidekagon 15
heksadekagon atau heksakaidekagon 16
heptadekagon atau heptakaidekagon 17
oktadekagon atau oktakaidekagon 18
enneadekagon atau enneakaidekagon atau nonadekagon 19
ikosagon 20
triakontagon 30
tetrakontagon 40
pentakontagon 50
heksakontagon (MathWorld) 60
heptakontagon 70
oktakontagon 80
nonakontagon 90
hektagon (juga hektogon) (elakkan "sentagon" = Latin [cent-] + Greek) 100
kiliagon 1000
miriagon 10,000
dekemiriagon 100,000
hekatommiragon (atau dekatommiriagon) 1,000,000

Penamaan poligonSunting

Poligon yang memiliki sisi lebih dari 20 sisi dan kurang dari 100 sisi dinamakan dengan menggunakan kombinasi kata nama berikut:

Angka Puluh dan Angka Sa Imbuhan Akhir
-kai- 1 -hena- -gon
20 icosa- 2 -di-
30 triaconta- 3 -tri-
40 tetraconta- 4 -tetra-
50 pentaconta- 5 -penta-
60 hexaconta- 6 -hexa-
70 heptaconta- 7 -hepta-
80 octaconta- 8 -octa-
90 enneaconta- 9 -ennea-

Contohnya, untuk poligon bersisi 42 akan dinamakan seperti berikut:

Angka puluh dan Angka sa Imbuhan akhir Nama penuh Poligon
tetraconta- -kai- -di- -gon tetracontakaidigon

dan untuk objek bersisi 50

Angka Puluh dan Angka Sa Imbuhan akhir Nama penuh Poligon
pentaconta-   -gon pentacontagon

Namun begitu, poligon yang melebihi nonagons dan decagons, pakar matematika lebih gemar menggunakan angka notasi tersebut (misalnya, MathWorld memiliki artikel tentang 17-gons dan 257-gons).

SejarahSunting

 
historical image of polygons (1699)

Poligon telah dikenal sejak zaman dahulu. Poligon reguler diketahui orang sejak zaman Yunani kuno, dan pentagram, poligon beraturan yang tidak cembung (poligon bintang), muncul pada vas bunga Aristophonus, Caere, tertanggal abad-ke 7 Sebelum Masehi.[butuh rujukan] Non-convex polygons in general were not systematically studied until the 14th century by Thomas Bradwardine.[13]

In 1952, Geoffrey Colin Shephard generalized the idea of polygons to the complex plane, where each real dimension is accompanied by an imaginary one, to create complex polygons.[14]

ReferensiSunting

  1. ^ Craig, John (1849). Sebuah teknologi etimologi universal baru, dan kamus pengucapan bahasa Inggris. Oxford University. hlm. 404.  Extract of p. 404
  2. ^ Kappraff, Jay (2002). Luar biasa: tur berpemandu melintasi alam, mitos, dan angka. World Scientific. hlm. 258. ISBN 978-981-02-4702-7. 
  3. ^ B.Sz. Nagy, L. Rédey: Eine Verallgemeinerung der Inhaltsformel von Heron. Publ. Math. Debrecen 1, 42–50 (1949)
  4. ^ Bourke, Paul (Juli 1988). "Menghitung Luas Dan Sentroid Poligon" (PDF). Diakses tanggal 6 Feb 2013. 
  5. ^ Bart Braden (1986). "Formula Luas Surveyor" (PDF). The College Mathematics Journal. 17 (4): 326–337. doi:10.2307/2686282. Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2012-11-07. 
  6. ^ A.M. Lopshits (1963). Perhitungan bidang angka berorientasi. translators: J Massalski and C Mills, Jr. D C Heath and Company: Boston, MA. 
  7. ^ Dergiades, Nikolaos, "An elementary proof of the isoperimetric inequality", Forum Mathematicorum 2, 2002, 129–130.
  8. ^ Robbins, "Poligon tertulis dalam lingkaran," American Mathematical Monthly 102, June–July 1995.
  9. ^ Pak, Igor (2005). "Area poligon siklik: kemajuan terbaru pada dugaan Robbins". Advances in Applied Mathematics. 34 (4): 690–696. arXiv:math/0408104 . doi:10.1016/j.aam.2004.08.006. MR 2128993. 
  10. ^ Chakerian, G. D. "Tampilan Geometri yang Terdistorsi." Ch. 7 in Plum Matematika (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Asosiasi Matematika Amerika, 1979: 147.
  11. ^ Coxeter (3rd Ed 1973)
  12. ^ Günter Ziegler (1995). "Kuliah tentang Politop". Springer Teks Pascasarjana dalam Matematika, ISBN 978-0-387-94365-7. p. 4.
  13. ^ Coxeter, H.S.M.; Regular Polytopes, 3rd Edn, Dover (pbk), 1973, p.114
  14. ^ Shephard, G.C.; "Regular complex polytopes", Proc. London Math. Soc. Series 3 Volume 2, 1952, pp 82-97