Wikipedia

Dimensi fraktal

Dalam matematika, khususnya dalam geometri fraktal, dimensi fraktal adalah rasio yang memberikan kompleksitas indeks statistik dengan membandingkan bagaimana detail dalam pola fraktal berubah skalanya pada saat diukur. Hal ini juga telah dikarakteristikkan sebagai ukuran dari kapasitas kurva space-filling dari sebuah pola yang memperlihatkan bagaimana skala fraktal berbeda dengan ruang yang melekat pada pola tersebut; dimensi fraktal tidak harus berupa bilangan bulat.[1][2][3]

Coastline of Britain measured using a 200 km scale
11.5 x 200 = 2300 km
Coastline of Britain measured using a 100 km scale
28 x 100 = 2800 km
Coastline of Britain measured using a 50 km scale
70 x 50 = 3500 km
Gambar 1. Karena panjang tongkat kayu yang dipakai untuk mengukur diskalakan dengan semakin mengecil, maka panjang total garis pantai yang diukur menjadi meningkat.

Gagasan penting mengenai dimensi yang "fraktur" ("patah") memiliki sejarah yang panjang dalam matematika, tetapi istilah itu sendiri diangkat ke permukaan oleh Benoit Mandelbrot berdasarkan makalahnya tahun 1967 mengenai kemiripan-diri yang membahas soal dimensi fraksional.[4] Dalam makalah tersebut, Mandelbrot mengutip karya Lewis Fry Richardson sebelumnya yang menjelaskan gagasan kontra-intuitif bahwa panjang garis pantai yang diukur berubah seiring dengan panjang tongkat pengukur yang digunakan. Dalam pengertian tersebut, dimensi fraktal garis pantai mengkuantifikasi berapa banyak tongkat pengukur berskala yang diperlukan untuk mengukur garis pantai berubah seiring dengan skala yang diterapkan pada tongkat tersebut.[5]

Pola fraktal berubah seiring dengan skala pengukurannya. Ini juga merupakan ukuran kapasitas pengisian ruang suatu pola, dan ini menunjukkan bagaimana skala fraktal berbeda, dalam dimensi fraktal (non-integer).[6][7][8]

Pada akhirnya, istilah dimensi fraktal menjadi ungkapan yang paling nyaman bagi Mandelbrot sendiri sehubungan dengan merangkum arti kata fraktal, sebuah istilah yang ia ciptakan. Setelah beberapa kali pengulangan selama bertahun-tahun, Mandelbrot memutuskan penggunaan bahasa ini: "... menggunakan fraktal tanpa definisi yang berlebihan, menggunakan dimensi fraktal sebagai istilah umum yang berlaku untuk semua varian."[9]

Salah satu contoh yang tidak sepele adalah dimensi fraktal kepingan salju Koch . Ia mempunyai dimensi topologi 1, namun sama sekali tidak dapat diperbaiki : panjang kurva antara dua titik pada kepingan salju Koch tidak terhingga . Tidak ada bagian kecil darinya yang berbentuk garis, melainkan terdiri dari segmen-segmen yang jumlahnya tak terhingga yang disatukan pada sudut yang berbeda-beda. Dimensi fraktal suatu kurva dapat dijelaskan secara intuitif dengan menganggap garis fraktal sebagai objek yang terlalu detail untuk menjadi satu dimensi, namun terlalu sederhana untuk menjadi dua dimensi.[10] Oleh karena itu, dimensinya paling baik dijelaskan bukan dengan dimensi topologi biasa yaitu 1 tetapi dengan dimensi fraktalnya, yang sering kali berupa angka antara satu dan dua; dalam kasus kepingan salju Koch, nilainya kira-kira 1,2619.

Sejarah

sunting

Istilah dimensi fraktal dan fraktal diciptakan oleh Mandelbrot pada tahun 1975,[11] sekitar satu dekade setelah ia menerbitkan makalahnya tentang kesamaan diri di garis pantai Inggris. Berbagai otoritas sejarah memuji dia karena juga mensintesis karya matematika dan teknik teoretis yang rumit selama berabad-abad dan menerapkannya dengan cara baru untuk mempelajari geometri kompleks yang tidak dapat dijelaskan dalam istilah linier biasa.[12][13][14] Akar paling awal dari apa yang disintesis Mandelbrot sebagai dimensi fraktal telah ditelusuri dengan jelas kembali ke tulisan-tulisan tentang fungsi-fungsi yang tak terdiferensiasi dan serupa-diri, yang penting dalam definisi matematis fraktal, sekitar waktu kalkulus ditemukan pada pertengahan tahun 1600-an.[15] Terdapat jeda dalam penerbitan karya mengenai fungsi-fungsi tersebut beberapa saat setelah itu, kemudian pembaruan dimulai pada akhir tahun 1800-an dengan penerbitan fungsi dan himpunan matematika yang sekarang disebut fraktal kanonik (seperti karya eponymous von Koch,[16] Sierpiński, dan Julia ), tetapi pada saat perumusannya sering dianggap sebagai "monster" matematika yang bertentangan.[12][14] Karya-karya ini mungkin disertai dengan poin paling penting dalam pengembangan konsep dimensi fraktal melalui karya Hausdorff di awal tahun 1900-an yang mendefinisikan dimensi "fraksional" yang kemudian dinamai menurut namanya dan sering digunakan dalam mendefinisikan fraktal modern.[17][15][18][13]

Referensi

sunting
  1. ^ Falconer, Kenneth (2003). Fractal Geometry. Wiley. hlm. 308. ISBN 978-0-470-84862-3. 
  2. ^ Sagan, Hans (1994). Space-Filling Curves. Springer-Verlag. hlm. 156. ISBN 0-387-94265-3. 
  3. ^ Vicsek, Tamás (1992). Fractal growth phenomena. World Scientific. hlm. 10. ISBN 978-981-02-0668-0. 
  4. ^ Mandelbrot, B. (1967). "How Long is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension". Science. 156 (3775): 636–8. Bibcode:1967Sci...156..636M. doi:10.1126/science.156.3775.636. PMID 17837158. 
  5. ^ Benoit B. Mandelbrot (1983). The fractal geometry of nature. Macmillan. ISBN 978-0-7167-1186-5. Diakses tanggal 1 February 2012. 
  6. ^ Falconer, Kenneth (2003). Fractal Geometry . Wiley. hlm. 308. ISBN 978-0-470-84862-3. 
  7. ^ Sagan, Hans (1994). Space-Filling Curves . Springer-Verlag. hlm. 156. ISBN 0-387-94265-3. 
  8. ^ Vicsek, Tamás (1992). Fractal growth phenomena. World Scientific. hlm. 10. ISBN 978-981-02-0668-0. 
  9. ^ Edgar, Gerald (2007). Measure, Topology, and Fractal Geometry. Springer. hlm. 7. ISBN 978-0-387-74749-1. 
  10. ^ Harte, David (2001). Multifractals . Chapman & Hall. hlm. 3–4. ISBN 978-1-58488-154-4. 
  11. ^ Albers; Alexanderson (2008). "Benoit Mandelbrot: In his own words". Mathematical people : profiles and interviews . AK Peters. hlm. 214. ISBN 978-1-56881-340-0. 
  12. ^ a b Edgar, Gerald, ed. (2004). Classics on Fractals. Westview Press. ISBN 978-0-8133-4153-8. 
  13. ^ a b Gordon, Nigel (2000). Introducing fractal geometry. Duxford: Icon. hlm. 71. ISBN 978-1-84046-123-7. 
  14. ^ a b Trochet, Holly (2009). "A History of Fractal Geometry". MacTutor History of Mathematics. Diarsipkan dari versi asli tanggal 12 March 2012. 
  15. ^ a b Benoit B. Mandelbrot (1983). The fractal geometry of nature. Macmillan. ISBN 978-0-7167-1186-5. Diakses tanggal 1 February 2012. 
  16. ^ Helge von Koch, "On a continuous curve without tangents constructible from elementary geometry" In Edgar 2004
  17. ^ Mandelbrot, B. (1967). "How Long is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension". Science. 156 (3775): 636–8. Bibcode:1967Sci...156..636M. doi:10.1126/science.156.3775.636. PMID 17837158. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2021-10-19. Diakses tanggal 2020-11-12. 
  18. ^ Mandelbrot, Benoit (2004). Fractals and Chaos. Springer. hlm. 38. ISBN 978-0-387-20158-0. A fractal set is one for which the fractal (Hausdorff-Besicovitch) dimension strictly exceeds the topological dimension 
Diperoleh dari "https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Dimensi_fraktal&oldid=26041988"