Hiperkubus

Proyeksi perspektif
Hexahedron.svg Hypercube.svg
Kubus (Kubus 3D) Tesseract (Kubus 4D)

Dalam geometri, Hiperkubus adalah analog dari ruang dimensi n dari sebuah Persegi pada bagian (1=n=2) dan untuk bagian kubus pada (1=n =3). Hal tersebut adalah dari himpunan tertutup dengan ruang kompak, polytope cembung hanya memiliki 1 kerangka terdiri dari kelompok berlawanan dengan parallel segmen garis disejajarkan di setiap dimensi ruang, tegak lurus satu sama lain dan memiliki panjang yang sama. Diagonal terpanjang sebuah hiperkubus dalam dimensi n sama dengan .[1][2]

KontruksiSunting

 
Diagram yang menunjukkan cara membuat tesseract dari suatu titik.
 
Animasi yang menunjukkan cara membuat Tesseract dari suatu titik.

Hiperkubus dapat ditentukan dengan menambah jumlah dimensi bentuk:

0 – Adalah hiperkubus pada titik dimensi nol.
1 – Jika seseorang memindahkan titik tersebut pada satuan panjang, hal tersebut akan menyapu ruas garis, yang merupakan hiperkubus satuan dimensi satu.
2
3 – Jika seseorang menggerakkan persegi pada satuan panjang ke arah tegak lurus dengan bidang tempatnya berada, maka hal tersebut akan menghasilkan kubus 3 dimensi.
4 – Jika seseorang memindahkan kubus ke satuan panjang ke dimensi keempat, itu menghasilkan hiperkubus pada satuan 4 dimensi ke satuan tesseract.

Hal tersebut dapat digeneralisasikan ke sejumlah dimensi. Proses tersebut dapat diformalkan secara matematis sebagai jumlah Minkowski: hiperkubus dengan berdimensi d adalah jumlah Minkowski dari segmen garis panjang unit d yang saling tegak lurus oleh karena itu salah satu contoh dari zonotop.

Koordinat pada HiperkubusSunting

hiperkubus dari unit pada dimensi n adalah diagram convex suatu titik yang diberikan oleh semua permutasi tanda dari bagian koordinat kartesius . Hal tersebut memiliki panjang sisi 1 dan volume dari dimensi n 1.

Dimensi dari n hiperkubus sering dianggap sebagai diagram convex dari semua permutasi tanda koordinat dari  . Formulir tersebut sering terpilih karena mudahnya dalam menuliskan koordinat. Panjang tepi dari 2.

ElemenSunting

Setiap dari Kubus pada-n untuk n > 0 terdiri dari elemen atau Kubus pada-n dari dimensi yang lebih rendah, pada bagian n−1-permukaan dimensi pada hiperkubus dari induk. Sisi adalah elemen apa pun dari n−1 dimensi hiperkubus induk. Sebuah hiperkubus dimensi n mempunyai 2n sisi pada (a 1-garis dimensi memiliki 2 titik ujung; bujur sangkar 2 dimensi memiliki 4 sisi atau tepi; kubus 3 dimensi memiliki 6 permukaan 2 dimensi; Tesseract 4 dimensi memiliki 8 sel). Jumlah simpul (titik) dari hiperkubus adalah   (kubus memiliki   simpul, misalnya).

Jumlah dari m-hiperkubus dengan dimensi pada batas sebuah n-kubus adalah:

 ,[3]     darimana   dan n! menunjukkan faktorial dari n.

Identitas tersebut dapat dibuktikan dengan argumen kombinatorial; masing-masing pada   simpul mendefinisikan simpul dalam m-batas dimensi. Ada   cara memilih garis mana ("sisi") yang menentukan subruang di mana batasnya berada. Tapi, setiap sisi dihitung   kali karena memiliki banyak simpul, kita perlu membaginya dengan nomor ini.

Identitas ini juga dapat digunakan untuk menghasilkan rumus n-dimensi luas permukaan kubus. Luas permukaan hiperkubus adalah

 .

Angka-angka tersebut juga dapat dihasilkan oleh relasi pengulangan linier

 ,     with  ,  dan elemen tak terdefinisi (darimana  ,  , atau   )  .

Misalnya, memperluas persegi melalui 4 simpulnya menambahkan satu garis ekstra (sisi) per simpul, dan juga menambahkan kuadrat kedua terakhir, untuk membentuk sebuah kubus, memberikan   = 12 baris secara total.

Elemen Hiperkubus   (barisan A038207 pada OEIS)
m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n Kubus pada-n Nama Schläfli
Coxeter
Puncak
Wajah dari nilai-0
Tepi
Wajah dari nilai-1
Wajah
Wajah dari nilai-2
Sel
Wajah dari nilai-3

Wajah dari nilai-4

Wajah dari nilai-5

Wajah dari nilai-6

Wajah dari nilai-7

Wajah dari nilai-8

Wajah dari nilai-9

Wajah dari nilai-10
0 Kubus pada nilai-0 Point
Monon
( )
 
1
1 Kubus pada nilai-1 Segmen garis
Dion[4]
{}
 
2 1
2 Kubus pada nilai-2 Persegi
Tetragon
{4}
   
4 4 1
3 Kubus pada nilai-3 Kubus
Hexahedron
{4,3}
     
8 12 6 1
4 Kubus pada nilai-4 Tesseract
Octachoron
{4,3,3}
       
16 32 24 8 1
5 Kubus pada nilai-5 Penteract
Deka-5-tope
{4,3,3,3}
         
32 80 80 40 10 1
6 Kubus pada nilai-6 Hexeract
Dodeka-6-tope
{4,3,3,3,3}
           
64 192 240 160 60 12 1
7 Kubus pada nilai-7 Hepteract
Tetradeka-7-tope
{4,3,3,3,3,3}
             
128 448 672 560 280 84 14 1
8 Kubus pada nilai-8 Octeract
Hexadeka-8-tope
{4,3,3,3,3,3,3}
               
256 1024 1792 1792 1120 448 112 16 1
9 Kubus pada nilai-9 Enneract
Oktadeka-9-tope
{4,3,3,3,3,3,3,3}
                 
512 2304 4608 5376 4032 2016 672 144 18 1
10 Kubus pada nilai-10 Dekeract
Ikosa-10-tope
{4,3,3,3,3,3,3,3,3}
                   
1024 5120 11520 15360 13440 8064 3360 960 180 20 1

GrafikSunting

- Dalam pengembangan -

Keluarga terkait dari polytopesSunting

- Dalam pengembangan -

Hubungan dengan (n−1)-kesederhanaanSunting

- Dalam pengembangan -

Generalisasi HiperkubusSunting

- Dalam pengembangan -

Lihat pulaSunting

CatatanSunting

  1. ^ Elte, E. L. (1912). "IV, Polytope semiregular lima dimensi". Polytope Semiregular dari RuangHiper. Belanda: University of Groningen. ISBN 141817968X. 
  2. ^ Coxeter 1973, hlm. 122-123, §7.2 lihat ilustrasi Gambar 7.2C.
  3. ^ Coxeter 1973, hlm. 122, §7·25.
  4. ^ Johnson, Norman W.; Geometri dan Transformasi, Cambridge University Press, 2018, p.224.

ReferensiSunting

Pranala luarSunting

  • (Inggris)

Weisstein, Eric W. "Hypercube". MathWorld. 

  • (Inggris)

Weisstein, Eric W. "Hypercube graphs". MathWorld.