Dalam matematika modern, Integral Lebesgue suatu konsep integral.

KonstruksiSunting

Ruang ukuranSunting

Integral Lebesgue dapat definisikan untuk fungsi pada suatu ruang ukuran  .

Integral dari fungsi sederhanaSunting

Fungsi karakteristik   untuk himpunan   adalah

 

Suatu fungsi   tersebut fungsi sederhana, jika

 

untuk  ,   dan  .

Kita mendefinisikan integral Lebesgue dari fungsi sederhana   sebagai

 

Integral dari fungsi tak negatifSunting

Misalnya   suatu fungsi terukur dan tak negatif, di mana   aljabar σ Borel. Maka, mendefinisikan integralnya sebagai

 

Perhatikan bahwa  .

Integral dari fungsi terukur sembarangSunting

Misalnya   suatu fungsi terukur. Selanjutnya fungsi tak negatif   dan   adalah didefinisikan tik demi tik sebagai   dan  . Perhatikan bahwa   dan  .

Jika   dan  , maka   dikatakan terintegralkan dan kita mendefinisikan

 

Jelas,   terintegralkan jika dan hanya jika  .

Sifat-sifat dasarSunting

  • Integral itu linear, yaitu jika   dan   fungsi terintegralkan, maka   juga terintegralkan dengan
 
  • Integral itu monoton, yaitu jika   fungsi terintegralkan dan  , maka