Buka menu utama

Dalam matematika, irisan kerucut adalah lokus dari semua titik yang membentuk kurva dua-dimensi, yang terbentuk oleh irisan sebuah kerucut dengan sebuah bidang. Tiga jenis kurva yang dapat terjadi adalah Parabola, Elips, dan Hiperbola. Apollonius dari Perga adalah matematikawan Yunani yang pertama mempelajari irisan kerucut secara sistematik pada awal abad ke-2 SM.

GeometriSunting

 
Geometri irisan kerucut dan jenis-jenisnya

Dalam memahami geometri irisan kerucut, sebuah kerucut dianggap memiliki dua kulit yang membentang sampai tak berhingga di kedua arah. Sebuah generator adalah sebuah garis yang dapat dibuat pada kulit kerucut, dan semua generator saling berpotongan di satu titik yang disebut verteks kerucut.

Jenis-jenis irisan kerucutSunting

Jika sebuah bidang mengiris kerucut sejajar dengan satu dan hanya satu generator, maka irisannya adalah parabola. Jika bidang pengiris sejajar dengan dua generator, maka irisannya akan memotong kedua kulit dan membentuk sebuah hiperbola. Sebuah elips terjadi jika bidang pengiris tidak sejajar dengan generator mana pun. Lingkaran adalah kasus khusus dari elips, yang terbentuk jika bidang pengiris memotong semua generator dan tegak lurus sumbu kerucut.

Kasus degenerasiSunting

Kasus-kasus degenerasi terjadi jika bidang-bidang pengiris melalui verteks kerucut. Irisan-irisannya dapat berupa titik, garis lurus, dan dua garis lurus yang saling berpotongan. Sebuah titik terjadi jika bidang pengiris melalui verteks kerucut namun tidak memotong generator mana pun. Kasus ini merupakan elips yang terdegenerasi. Jika bidang pengiris melalui verteks kerucut, dan hanya satu generator, maka yang terjadi adalah sebuah garis lurus, dan merupakan parabola yang terdegenerasi. Sebuah hiperbola terdegenerasi terjadi jika bidang pengiris melalui verteks kerucut dan dua generator sehingga memberikan dua garis lurus yang saling berpotongan.

Geometri analitisSunting

Secara geometri analitis, irisan kerucut dapat didefinisikan sebagai:

 
Eksentrisitas adalah rasio antara FM dan M'M.Elips (e=1/2), parabola (e=1) dan hiperbola (e=2) dengan fokus (F) dan direktriks yang tetap.

Rasio yang konstan tersebut disebut eksentrisitas, dilambangkan dengan e, dan merupakan bilangan non-negatif. Untuk e = 0, irisan kerucut tersebut adalah lingkaran, 0 < e < 1 sebuah elips, e = 1 sebuah parabola, dan e > 1 sebuah hiperbola.

Koordinat KartesiusSunting

Dalam koordinat kartesius, grafik dari persamaan kuadrat dengan dua variabel selalu menghasilkan irisan kerucut, dan semua irisan kerucut dapat dihasilkan dengan cara ini.

Jika terdapat persamaan dengan bentuk:

 

maka:

  • Jika h2 = ab, persamaan ini menghasilkan parabola.
  • Jika h2 < ab, persamaan ini menghasilkan elips.
  • Jika h2 > ab, persamaan ini menghasilkan hiperbola.
  • Jika a = b dan h = 0, persamaan ini menghasilkan lingkaran.
  • Jika a + b = 0, persamaan ini menghasilkan hiperbola persegi.

Bentuk persamaan umumSunting

Bentuk persamaan umum sebagai berikut:

 

] kesimpulan:

  • Jika A = B = 0 maka persamaan adalah garis lurus/linear
  • Jika A = B = 0 tetapi tidak kedua-duanya maka persamaan adalah parabola/kuadrat
  • Jika A = B maka persamaan adalah lingkaran
  • Jika A ≠ B dan bertanda positif maka persamaan adalah elips
  • Jika A ≠ B dan bertanda negatif maka persamaan adalah hiperbola

Sekilas irisan kerucutSunting

Lingkaran
Titik pusat (0,0):  
Titik pusat (h,k):   atau  

dengan   maka  

Parabola
Vertikal Horisontal
Titik pusat (0,0)
Persamaan    
Sumbu simetri sumbu y sumbu x
Fokus    
Direktris    
Titik pusat (h,k)
Persamaan    
Sumbu simetri    
Fokus    
Direktris    
Elips
Vertikal Horisontal
Titik pusat (0,0)
Persamaan    
Panjang sumbu mayor    
Panjang sumbu minor    
Panjang Latus Rectum    
Fokus    
Puncak    
Direktris    
Eksentrisitas    
Titik pusat (h,k)
Persamaan    
Panjang sumbu mayor    
Panjang sumbu minor    
Panjang Latus Rectum    
Fokus    
Puncak    
Direktris    
Eksentrisitas    

dimana  

Hiperbola
Vertikal Horisontal
Titik pusat (0,0)
Persamaan    
Panjang sumbu mayor    
Panjang sumbu minor    
Panjang Latus Rectum    
Fokus    
Puncak    
Asimtot    
Eksentrisitas    
Titik pusat (h,k)
Persamaan    
Panjang sumbu mayor    
Panjang sumbu minor    
Panjang Latus Rectum    
Fokus    
Puncak    
Asimtot    
Eksentrisitas    

dimana  

Persamaan garis singgungSunting

bergradien   ( )
Vertikal Horisontal
Titik pusat (0,0)
Lingkaran  
Parabala    
Elips    
Hiperbola    
Titik pusat (h,k)
Lingkaran  
Parabala    
Elips    
Hiperbola    
jika persamaan garis lurus bergradien sejajar maka  
jika persamaan garis lurus bergradien tegak lurus maka  
melalui titik  

dengan cara bagi adil

Vertikal Horisontal
Titik pusat (0,0)
Lingkaran  
Parabola    
Elips    
Hiperbola    
Titik pusat (h,k)
Lingkaran   atau
 
Parabola    
Elips    
Hiperbola    
jika titik   berada di dalam bentuknya maka ada 1 persamaan garis singgung (1 langkah).
jika titik   berada di luar bentuknya maka ada 2 persamaan garis singgung (2 langkah).

Contoh:

Titik pusat (0,0)
  • Tentukan persamaan garis singgung yang bergradien 2 terhadap  !

jawab:

 
 
  • Tentukan persamaan garis singgung yang melalui (4,8) terhadap  !

jawab:

  (dalam)

dengan cara bagi adil

 
 
  (dibagi 8)
 
  • Tentukan persamaan garis singgung yang melalui (1,5) terhadap  !

jawab:

  (luar)

dengan cara bagi adil

 
 
 
 

masukkan lah  

 
 
 
  (dibagi 16/25)
 

maka kita mencari nilai x

 
 
 
  atau  

maka kita mencari nilai y

untuk  
 
 
 

jadi  

untuk  
 
 
 

jadi  

kembali dengan cara bagi adil

untuk persamaan singgung pertama
 
 
 
untuk persamaan singgung kedua
 
 
 
Titik pusat (h,k)
  • Tentukan persamaan garis singgung   melalui persamaan yang tegak lurus  !

jawab: ubah ke bentuk sederhana

 
 
 

cari gradien persamaan  

 
 

gradien ( ) = 2 karena tegak lurus menjadi  

cari  

 
 
  • Tentukan persamaan garis singgung   yang berordinat 6!

jawab: ubah ke bentuk sederhana

 
 
 

cari absis dimana ordinat 6

 
 
 
 

dengan cara bagi adil

 
 
 
 
 
 
  • Tentukan persamaan garis singgung yang melalui (1,6) terhadap  !

ubah ke bentuk sederhana

 
 
 
  (luar)

dengan cara bagi adil

 
 
 
 
 
 

masukkan lah  

 
 
 
  (dibagi 8/9)
 

maka kita mencari nilai x

 
 
 
  atau  

maka kita mencari nilai y

untuk  
 

jadi  

untuk  
 

jadi  

kembali dengan cara bagi adil

untuk persamaan singgung pertama
 
 
 
 
  (dibagi 4)
 
untuk persamaan singgung kedua
 
 
 
 
  (dibagi 2)
 

ReferensiSunting

  1. ^ Leithold, Louis (1981). "13". The Calculus with Analytic Geometry. New York: Harper & Row, Publisher, Inc. hlm. 657. ISBN 0-06-043935-1.