Integral

operasi dalam kalkulus
(Dialihkan dari Kalkulus integral)
Integral tertentu suatu fungsi dapat digambarkan sebagai area yang dibatasi oleh kurva fungsinya.

Integral adalah sebuah konsep penjumlahan secara berkesinambungan dalam matematika. Integral dan inversnya, diferensiasi, adalah operasi utama dalam kalkulus. Integral dikembangkan menyusul dikembangkannya masalah dalam diferensiasi, yaitu matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang integral adalah .

Bila diberikan suatu fungsi f dari variabel real x dengan interval [a, b] dari sebuah garis lurus, integral tertentu

didefinisikan sebagai area yang dibatasi oleh kurva f, sumbu-x, sumbu-y, serta garis vertikal x = a dan x = b dengan area yang berada di atas sumbu-x bernilai positif dan area di bawah sumbu-x bernilai negatif.

Kata integral juga dapat digunakan untuk merujuk pada antiturunan, sebuah fungsi F yang turunannya adalah fungsi f. Pada kasus ini, ia disebut sebagai integral tak tentu dan notasinya ditulis sebagai berikut.

Prinsip-prinsip dan teknik integrasi dikembangkan terpisah oleh Isaac Newton dan Gottfried Leibniz pada akhir abad ke-17. Melalui teorema fundamental kalkulus yang mereka kembangkan masing-masing, integral terhubung dengan diferensial: jika f adalah fungsi kontinu yang terdefinisi pada sebuah interval tertutup [a, b], jika antiturunan F dari f diketahui, integral tertentu dari f pada interval tersebut dapat didefinisikan sebagai:

Integral dan diferensial menjadi peranan penting dalam kalkulus dengan berbagai macam aplikasi pada sains dan teknik.

Definisi formalSunting

Ada beberapa cara untuk mendefinisikan integral.

Integral RiemannSunting

Integral Riemann adalah konsep integral yang dasar. Definisi itu mudah dan berguna khususnya untuk fungsi-fungsi yang kontinu atau kontinu 'titik demi titik'.

Integral LebesgueSunting

Integral Lebesgue merupakan suatu perumuman dari integral Riemann.

Mencari nilai integralSunting

SubstitusiSunting

Berikut contoh penyelesaian secara substitusi.

 
 

Dengan menggunakan rumus di atas,

 

Integrasi parsialSunting

Cara 1: RumusSunting

Integral parsial diselesaikan dengan rumus berikut.

 

Berikut contoh penyelesaian secara parsial dengan rumus.

 
 

Dengan menggunakan rumus di atas,

 

Cara 2: TabelSunting

Untuk  , berlaku ketentuan sebagai berikut.

Tanda Turunan Integral
+    
-    
+    

Berikut contoh penyelesaian secara parsial dengan tabel.

 
Tanda Turunan Integral
+    
-    
+    

Dengan tabel di atas,

 

Substitusi trigonometriSunting

Bentuk Trigonometri
   
   
   

Berikut contoh penyelesaian secara substitusi trigonometri.

 
 

Dengan substitusi di atas,

 

Substitusi berikut dapat dibuat.

 
 

Dengan substitusi di atas,

 

Ingat bahwa   berlaku.

 

Integrasi pecahan parsialSunting

Berikut contoh penyelesaian secara parsial untuk persamaan pecahan (rasional).

 

Pertama, pisahkan pecahan tersebut.

 

Kita tahu bahwa   dan   dapat diselesaikan, yaitu   dan  .

 

Rumus integrasi dasarSunting

UmumSunting

 

Eksponen dan bilangan naturalSunting

 
 

Logaritma dan bilangan naturalSunting

 
 
 

TrigonometriSunting

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Inversi
 
 
 

HiperbolikSunting

 
 

Panjang busurSunting

Sumbu x
 
Sumbu y
 

Luas daerahSunting

Satu kurvaSunting

Sumbu x
 
Sumbu y
 

Dua kurvaSunting

Sumbu x
 
Sumbu y
 
atau juga  

Luas permukaan benda putarSunting

Sumbu x sebagai poros
 

dengan

 
Sumbu y sebagai poros
 

dengan

 

Volume benda putarSunting

Satu kurvaSunting

Sumbu x sebagai poros
 
Sumbu y sebagai poros
 

Dua kurvaSunting

Sumbu x sebagai poros
 
Sumbu y sebagai poros
 

ContohSunting

  • Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis   dan batas-batas sumbu y dengan cara integral!
 
  • Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis   dan batas-batas sumbu y dengan cara integral!
 
  • Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis   dan batas-batas sumbu y dengan cara integral!
 
  • Buktikan luas persegi panjang   dengan cara integral!
Dengan posisi   dan titik (p, l),
 
  • Buktikan luas segitiga   dengan cara integral!
Dengan posisi   dan titik (a, t),
 
  • Buktikan volume tabung   dengan cara integral!
Dengan posisi   dan titik (t, r),
 
  • Buktikan volume kerucut   dengan cara integral!
Dengan posisi   dan titik (t, r),
 
  • Buktikan volume bola   dengan cara integral!
Dengan posisi   serta titik (-r, 0) dan (r, 0),
 
  • Buktikan keliling lingkaran   dengan cara integral!
Dengan posisi   serta titik (-r, 0) dan (r, 0),
Kita tahu bahwa turunannya adalah
 
sehingga
 
  • Buktikan luas lingkaran   dengan cara integral!
Dengan posisi   serta titik (-r, 0) dan (r, 0), dibuat trigonometri dan turunannya terlebih dahulu.
 
Dengan turunan di atas,
 
  • Buktikan luas elips   dengan cara integral!
Dengan posisi   serta (-a, 0) dan (a, 0),
 
Dengan anggapan bahwa lingkaran mempunyai memotong titik (-a, 0) dan (a, 0) serta pusatnya setitik dengan pusat elips,
 

Lihat pulaSunting

Pranala luarSunting