Ruang topologis

himpunan titik dan himpunan lingkungan yang memenuhi aksioma yang menghubungkan titik-titik tersebut dengan lingkungan tersebut
(Dialihkan dari Ruang topologi)

Dalam topologi dan subbidang matematika terkait, ruang topologi dapat didefinisikan sebagai sebuah himpunan titik-titik beserta hubungan persekitaran antara titik-titik tersebut. Pentingnya konsep topologi adalah, ia dapat memberikan ide yang persis tapi umum kepada konsep-konsep kedekatan dan kekontinuitasan. Ruang topologi adalah struktur yang memperkenankan kita untuk memformalkan konsep seperti kekonvergenan, keterhubungan dan kontinuitas.

Terdapat beberapa cara lain yang setara dalam mendefinisikan sebuah topologi atas sebuah himpunan, misalnya melalui himpunan terbuka atau melalui himpunan tertutup. Definisi-definisi ini mungkin tidak seintuitif definisi persekitaran, tetapi sering kali definisi lain secara logis lebih sederhana dan untuk beberapa kasus memberikan metode yang paling baik untuk mendefinisikan sebuah topologi atas sebuah himpunan.[1]

Definisi

sunting

Kebergunaan konsep topologi ditunjukkan dengan banyaknya definisi yang setara, sehingga diperlukan pemilihan definisi yang cocok untuk masing-masing aplikasi. Definisi yang paling sering digunakan adalah melalui himpunan terbuka, tetapi definisi yang lebih intuitif mungkin melalui hubungan persekitaran.

Definisi melalui hubungan persekitaran

sunting

Aksiomatisasi ini dicetuskan oleh Felix Hausdorff. Misalkan   suatu himpunan (yang kemungkinannya kosong). Anggota dari   sering kali disebut titik, meskipun anggota tersebut sebenarnya dapat dianggap sebagai objek matematika apapun. Misalkan   suatu fungsi yang menetapkan pada setiap titik  di dalam   suatu koleksi tak kosong   dari subhimpunan dari  . Anggota dari   disebut persekitaran dari   terhadap   (atau cukup disebut persekitaran dari  ). Fungsi   disebut topologi persekitaran jika aksioma-aksioma di bawah terpenuhi;[2] dan pasangan   adalah suatu ruang topologis:

  1. Jika   adalah persekitaran dari  , yaitu  , maka  . Dalam kata lain, tiap-tiap titik dari himpunan   merupakan anggota dari persekitarannya terhadap  .
  2. Jika   adalah subhimpunan dari   dan memuat suatu persekitaran dari  , maka   adalah persekitaran dari  . Maksudnya adalah setiap superhimpunan dari persekitaran suatu titik   merupakan persekitaran suatu   pula.
  3. Irisan dua persekitaran dari   adalah suatu persekitaran dari   juga.
  4. Sebarang persekitaran   dari   memuat persekitaran   dari   sehingga   adalah suatu persekitaran dari tiap-tiap titik di  .

Tiga aksioma pertama menggunakan persekitaran memiliki maksud yang jelas. Aksioma keempat memiliki peran penting dalam menentukan struktur teori, yang mengaitkan persekitaran titik-titik yang berbeda dari  .

Contoh umum dari hubungan persekitaran adalah sistem persekitaran pada garis bilangan riil  , dengan subhimpunan   adalah persekitaran dari suatu bilangan riil   jika ia memuat sebuah interval terbuka yang memiliki   sebagai anggotanya.

Dengan struktur demikian, sebuah subhimpunan   dari   disebut subhimpunan terbuka jika   merupakan persekitaran bagi seluruh anggotanya. Sebaliknya, ketika diketahui himpunan terbuka suatu ruang topologis, persekitarannya yang memenuhi aksioma-aksioma di atas dapat dinyatakan kembali dengan mendefinisikan   suatu persekitaran dari   jika   menyertakan suatu himpunan terbuka   sehingga  .[3]

Definisi melalui himpunan terbuka

sunting

Diberikan himpunan tak-kosong X, suatu koleksi   yang berisikan himpunan-himpunan bagian dari X dikatakan topologi pada X, jika ia memenuhi

  • X dan himpunan kosong   termuat di dalam  .
  • Sembarang gabungan (berhingga ataupun tak hingga) dari himpunan-himpunan di   termuat di   pula.
  • Irisan berhingga dari himpunan-himpunan di   berada di   pula.

Pasangan   dikatakan ruang topologi, dengan koleksi   disebut sebagai topologi pada X, serta anggota   disebut sebagai himpunan terbuka dari X.

Definisi melalui himpunan tertutup

sunting

Menggunakan hukum de Morgan, aksioma-aksioma di atas yang menggunakan himpunan terbuka dapat diubah menjadi aksioma-aksioma menggunakan himpunan tertutup:

  1. Himpunan kosong dan X merupakan himpunan tertutup.
  2. Sembarang Irisan dari himpunan tertutup juga tertutup.
  3. Gabungan berhingga dari himpunan-himpunan tertutup juga tertutup.

Menggunakan aksioma-aksioma ini topologi pada X ditentukan oleh koleksi   keluarga subhimpunan tertutup dari X dengan komplemennya adalah himpunan terbuka.

Definisi lain

sunting

Ada banyak cara lain yang setara untuk mendefinisikan topologi pada sebuah himpunan, atau dengan kata lain, definisi melalui hubungan persekitaran, himpunan terbuka, maupun himpunan tertutup dapat dibangun kembali dari konsep lain dan masih mematuhi aksioma-aksioma tersebut. Misalnya, melalui aksioma penutupan Kuratowski, dan titik-titik akumulasi dari kumpulan jala.

Referensi

sunting
  1. ^ Ronald,, Brown, (June 2006). Topology and Groupoids. North Charleston: CreateSpace. ISBN 9781419627224. OCLC 712629429. Pemeliharaan CS1: Banyak nama: authors list (link) Pemeliharaan CS1: Tanda baca tambahan (link)
  2. ^ Brown 2006, section 2.1.
  3. ^ Brown 2006, section 2.2.