Ruang topologis

Dalam topologi dan subbidang matematika terkait, ruang topologi dapat didefinisikan sebagai sebuah himpunan titik-titik beserta hubungan persekitaran antara titik-titik tersebut. Pentingnya konsep topologi adalah, ia dapat memberikan ide yang persis tapi umum kepada konsep-konsep kedekatan dan kekontinuitasan. Ruang topologi adalah struktur yang memperkenankan kita untuk memformalkan konsep seperti kekonvergenan, keterhubungan dan kontinuitas.

Terdapat beberapa cara lain yang setara dalam mendefinisikan sebuah topologi atas sebuah himpunan, misalnya melalui himpunan terbuka atau melalui himpunan tertutup. Definisi-definisi ini mungkin tidak seintuitif definisi persekitaran, tetapi sering kali definisi lain secara logis lebih sederhana dan untuk beberapa kasus memberikan metode yang paling baik untuk mendefinisikan sebuah topologi atas sebuah himpunan.

Definisi

Kebergunaan konsep topologi ditunjukkan dengan banyaknya definisi yang setara, sehingga diperlukan pemilihan definisi yang cocok untuk masing-masing aplikasi. Definisi yang paling sering digunakan adalah melalui himpunan terbuka, tetapi definisi yang lebih intuitif mungkin melalui hubungan persekitaran.

Definisi melalui hubungan persekitaran

Aksiomatisasi ini dicetuskan oleh Felix Hausdorff. Misalkan $X$ suatu himpunan (yang kemungkinannya kosong). Anggota dari $X$ sering kali disebut titik, meskipun anggota tersebut sebenarnya dapat dianggap sebagai objek matematika apapun. Misalkan ${\mathcal {N}}$ suatu fungsi yang menetapkan pada setiap titik $x$di dalam $X$ suatu koleksi tak kosong ${\mathcal {N}}(x)$ dari subhimpunan dari $X$. Anggota dari ${\mathcal {N}}(x)$ disebut persekitaran dari $x$ terhadap ${\mathcal {N}}$ (atau cukup disebut persekitaran dari $x$). Fungsi ${\mathcal {N}}$ disebut topologi persekitaran jika aksioma-aksioma di bawah terpenuhi; dan pasangan $(X,{\mathcal {N}})$ adalah suatu ruang topologis:

1. Jika $N$ adalah persekitaran dari $x$, yaitu $N\in {\mathcal {N}}(x)$, maka $x\in N$. Dalam kata lain, tiap-tiap titik dari himpunan $X$ merupakan anggota dari persekitarannya terhadap ${\mathcal {N}}$.
2. Jika $N$ adalah subhimpunan dari $X$ dan memuat suatu persekitaran dari $x$, maka $N$ adalah persekitaran dari $x$. Maksudnya adalah setiap superhimpunan dari persekitaran suatu titik $x\in X$ merupakan persekitaran suatu $x$ pula.
3. Irisan dua persekitaran dari $x$ adalah suatu persekitaran dari $x$ juga.
4. Sebarang persekitaran $N$ dari $x$ memuat persekitaran $M$ dari $x$ sehingga $N$ adalah suatu persekitaran dari tiap-tiap titik di $M$.

Tiga aksioma pertama menggunakan persekitaran memiliki maksud yang jelas. Aksioma keempat memiliki peran penting dalam menentukan struktur teori, yang mengaitkan persekitaran titik-titik yang berbeda dari $X$.

Contoh umum dari hubungan persekitaran adalah sistem persekitaran pada garis bilangan riil $\mathbb {R}$, dengan subhimpunan $N$ adalah persekitaran dari suatu bilangan riil $x$ jika ia memuat sebuah interval terbuka yang memiliki $x$ sebagai anggotanya.

Dengan struktur demikian, sebuah subhimpunan $U$ dari $X$ disebut subhimpunan terbuka jika $U$ merupakan persekitaran bagi seluruh anggotanya. Sebaliknya, ketika diketahui himpunan terbuka suatu ruang topologis, persekitarannya yang memenuhi aksioma-aksioma di atas dapat dinyatakan kembali dengan mendefinisikan $N$ suatu persekitaran dari $x$ jika $N$ menyertakan suatu himpunan terbuka $U$ sehingga $x\in U$.

Definisi melalui himpunan terbuka

Diberikan himpunan tak-kosong X, suatu koleksi $\tau$ yang berisikan himpunan-himpunan bagian dari X dikatakan topologi pada X, jika ia memenuhi

• X dan himpunan kosong $\emptyset$ termuat di dalam $\tau$.
• Sembarang gabungan (berhingga ataupun tak hingga) dari himpunan-himpunan di $\tau$ termuat di $\tau$ pula.
• Irisan berhingga dari himpunan-himpunan di $\tau$ berada di $\tau$ pula.

Pasangan $\left(X,\tau \right)$ dikatakan ruang topologi, dengan koleksi $\tau$ disebut sebagai topologi pada X, serta anggota $\tau$ disebut sebagai himpunan terbuka dari X.

Definisi melalui himpunan tertutup

Menggunakan hukum de Morgan, aksioma-aksioma di atas yang menggunakan himpunan terbuka dapat diubah menjadi aksioma-aksioma menggunakan himpunan tertutup:

1. Himpunan kosong dan X merupakan himpunan tertutup.
2. Sembarang Irisan dari himpunan tertutup juga tertutup.
3. Gabungan berhingga dari himpunan-himpunan tertutup juga tertutup.

Menggunakan aksioma-aksioma ini topologi pada X ditentukan oleh koleksi $\tau$ keluarga subhimpunan tertutup dari X dengan komplemennya adalah himpunan terbuka.

Definisi lain

Ada banyak cara lain yang setara untuk mendefinisikan topologi pada sebuah himpunan, atau dengan kata lain, definisi melalui hubungan persekitaran, himpunan terbuka, maupun himpunan tertutup dapat dibangun kembali dari konsep lain dan masih mematuhi aksioma-aksioma tersebut. Misalnya, melalui aksioma penutupan Kuratowski, dan titik-titik akumulasi dari kumpulan jala.

Referensi

• Armstrong, M. A.; Basic Topology, Springer; 1st edition (May 1, 1997). ISBN 0-387-90839-0.
• Bredon, Glen E., Topology and Geometry (Graduate Texts in Mathematics), Springer; 1st edition (October 17, 1997). ISBN 0-387-97926-3.
• Bourbaki, Nicolas; Elements of Mathematics: General Topology, Addison-Wesley (1966).
• Čech, Eduard; Point Sets, Academic Press (1969).
• Fulton, William, Algebraic Topology, (Graduate Texts in Mathematics), Springer; 1st edition (September 5, 1997). ISBN 0-387-94327-7.
• Lipschutz, Seymour; Schaum's Outline of General Topology, McGraw-Hill; 1st edition (June 1, 1968). ISBN 0-07-037988-2.
• Munkres, James; Topology, Prentice Hall; 2nd edition (December 28, 1999). ISBN 0-13-181629-2.
• Runde, Volker; A Taste of Topology (Universitext), Springer; 1st edition (July 6, 2005). ISBN 0-387-25790-X.
• Steen, Lynn A. and Seebach, J. Arthur Jr.; Counterexamples in Topology, Holt, Rinehart and Winston (1970). ISBN 0-03-079485-4.