Geometri kompleks

Dalam matematika, geometri kompleks adalah studi tentang manifold kompleks, varietas aljabar kompleks, dan fungsi beberapa variabel kompleks. Penerapan metode transendental ke geometri aljabar termasuk dalam kategori ini, bersama dengan lebih banyak aspek geometris analisis kompleks.

Contoh tipikal dari ruang kompleks adalah garis proyektif kompleks. Ini dapat dilihat baik sebagai bola, lipatan halus yang timbul dari geometri diferensial, atau bola Riemann, perpanjangan dari bidang kompleks dengan menambahkan titik tak terhingga.

Secara umum, geometri kompleks berkaitan dengan ruang dan Geometri objek geometris yang dimodelkan, dalam arti tertentu, pada bidang kompleks. Fitur bidang kompleks dan analisis kompleks variabel tunggal, seperti gagasan intrinsik orientabilitas (yaitu, mampu secara konsisten memutar 90 derajat berlawanan arah jarum jam di setiap titik dalam bidang kompleks), dan kekakuan fungsi holomorfik (yaitu, keberadaan turunan kompleks tunggal menyiratkan diferensiabilitas kompleks untuk semua ordo) terlihat terwujud. Sebagai contoh, setiap lipatan kompleks dapat diorientasikan secara kanonik, dan bentuk Teorema Liouville berpegang pada kompak lipatan kompleks atau proyektif varietas aljabar kompleks.

Manifold Kähler

Lipatan kompleks dapat dipelajari dari perspektif geometri diferensial, di mana lipatan tersebut dilengkapi dengan struktur geometris tambahan seperti metrik Riemannian atau bentuk simplektis. Agar struktur tambahan ini relevan dengan geometri kompleks, seseorang harus memintanya agar kompatibel dengan struktur kompleks dalam pengertian yang sesuai. A Manifol Kähler adalah lipatan kompleks dengan metrik Riemannian dan struktur simplektis yang kompatibel dengan struktur kompleks. Setiap submanifold kompleks dari lipatan Kähler adalah Kähler, dan secara khusus setiap affine non-singular atau variasi kompleks proyektif adalah Kähler, setelah membatasi metrik Hermitian standar pada $\mathbb {C} ^{n}$ or the Fubini-Study metric on $\mathbb {CP} ^{n}$ respectively.

Contoh penting lainnya dari lipatan Kähler termasuk permukaan Riemann, permukaan K3 s, dan lipatan Calabi-Yau.

Manifold Stein

Teorema GAGA Serre menegaskan bahwa varietas analitik kompleks proyektif sebenarnya adalah aljabar. Walaupun ini tidak sepenuhnya benar untuk varietas affine, ada kelas lipatan kompleks yang bertindak sangat mirip dengan varietas aljabar kompleks affine, yang disebut manifold Stein. A berjenis $X$ adalah Stein jika secara holomorfis cembung dan dapat dipisahkan secara holomorfis (lihat artikel tentang manifold Stein untuk definisi teknisnya). Namun dapat ditunjukkan bahwa ini setara dengan $X$ menjadi submanifold yang kompleks $\mathbb {C} ^{n}$ untuk beberapa $n$. Cara lain di mana manifold Stein serupa dengan variasi aljabar kompleks affine adalah bahwa Teorema Cartan A dan B berlaku untuk lipatan Stein.

Contoh manifold Stein termasuk permukaan Riemann non-kompak dan varietas aljabar kompleks affine non-singular.

Lipatan Hiper-Kähler

Kelas khusus lipatan kompleks adalah lipatan hiper-Kähler, yang merupakan lipatan Riemannian yang memiliki tiga kompatibilitas berbeda Struktur-struktur yang hampir kompleks yang dapat diintegrasikan $I,J,K$ which satisfy the quaternionic relations $I^{2}=J^{2}=K^{2}=IJK=-\operatorname {Id}$. Jadi lipatan hyper-Kähler adalah lipatan Kähler dalam tiga cara berbeda, dan selanjutnya memiliki struktur geometris yang kaya.

Manifold Calabi-Yau

Sepotong dua dimensi nyata dari lipatan Calabi-Yau kuintik tiga

Seperti disebutkan, kelas tertentu lipatan Kähler diberikan oleh lipatan Calabi-Yau. Ini diberikan oleh lipatan Kähler dengan bundel kanonik sepele $K_{X}=\Lambda ^{n}T_{1,0}^{*}X$. Biasanya definisi manifold Calabi-Yau juga membutuhkan $X$ agar ringkas. Dalam hal ini bukti Yau dari konjektur Calabi menyiratkan bahwa $X$ mengakui metrik Kähler dengan kelengkungan Ricci menghilang, dan ini dapat dianggap sebagai definisi yang setara untuk Calabi-Yau.

Manifol Calabi-Yau telah digunakan dalam teori string dan simetri cermin, di mana mereka digunakan untuk memodelkan ruangwaktu 6 dimensi ekstra dalam model teori string 10 dimensi. Contoh lipatan Calabi-Yau diberikan oleh kurva elips s, permukaan K3, dan kompleks varietas Abelian.

Lihat pula

• Bivector (complex)
• Calabi–Yau manifold
• Cartan's theorems A and B
• Complex analytic space
• Complex Lie group
• Complex polytope
• Complex projective space
• Cousin problems
• Deformation Theory#Deformations of complex manifolds
• Enriques–Kodaira classification
• GAGA
• Hartogs' extension theorem
• Hermitian symmetric space
• Hodge decomposition
• Hopf manifold
• Imaginary line (mathematics)
• Kobayashi metric
• Kobayashi–Hitchin correspondence
• Kähler manifold
• Lelong number
• List of complex and algebraic surfaces
• Mirror symmetry
• Multiplier ideal
• Projective variety
• Pseudoconvexity
• Several complex variables
• Stein manifold

Referensi

• Huybrechts, Daniel (2005). Complex Geometry: An Introduction. Springer. ISBN 3-540-21290-6. 
• Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994), Principles of algebraic geometry, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-05059-9, MR 1288523 
• Hörmander, Lars (1990) [1966], An Introduction to Complex Analysis in Several Variables, North–Holland Mathematical Library, 7 (edisi ke-3rd (Revised)), Amsterdam–London–New York–Tokyo: North-Holland, ISBN 0-444-88446-7, MR 1045639, Zbl 0685.32001 
• Templat:Kobayashi-Nomizu
• E. H. Neville (1922) Prolegomena to Analytical Geometry in Anisotropic Euclidean Space of Three Dimensions, Cambridge University Press.