Elips

jenis lengkung pada suatu bidang

Dalam matematika, sebuah elips atau oval yang beraturan adalah gambar yang menyerupai lingkaran yang telah dipanjangkan ke satu arah. Elips adalah salah satu contoh dari irisan kerucut dan dapat didefinisikan sebagai lokus dari semua titik, dalam satu bidang, yang memiliki jumlah jarak yang sama dari dua titik tetap yang telah ditentukan sebelumnya (disebut fokus).

Elips dan sifat-sifat matematisnya
Irisan kerucut dalam suatu bidang datar dapat membentuk elips
Elips (merah) diperoleh sebagai persimpangan kerucut dengan bidang miring.
Elips: notasi
Elips: contoh dengan eksentrisitas yang meningkat

Dalam bahasa Indonesia, selain istilah elips atau oval yang beaturan, juga sering dikenal istilah sepadan, yakni bulat lonjong (atau lonjong saja), bulat bujur, dan bulat panjang.

Definisi sebagai lokus poinSunting

 
Elips: definisi dengan jumlah jarak ke fokus
 
Elips: definisi berdasarkan fokus dan directrix melingkar

Elips dapat didefinisikan secara geometris sebagai satu set atau lokus titik dalam bidang Euclidean:

Diberi dua poin tetap   disebut fokus dan jarak   yang lebih besar dari jarak antara fokus, elips adalah himpunan poin   sedemikian rupa sehingga jumlah dari jarak   adalah sama dengan  : 

Titik tengah   dari segmen garis yang bergabung dengan fokus disebut pusat elips. Garis melalui fokus disebut sumbu utama , dan garis tegak lurus melalui pusat adalah sumbu minor . Sumbu utama memotong elips pada titik- titik simpul  , yang memiliki jarak   ke pusat. Jarak   dari fokus ke pusat disebut jarak fokus atau eksentrisitas linier. Hasil bagi   adalah eksentrisitas .

Kasus   dapat dilihat dengan cara yang berbeda (lihat gambar):

Jika   adalah lingkaran dengan titik tengah  , maka jarak suatu titik   ke lingkaran   sama dengan jarak ke fokus  :
 

  disebut directrix melingkar (terkait dengan fokus  ) of the ellipse.[1][2] Properti ini tidak boleh disamakan dengan definisi elips menggunakan garis directrix di bawah ini.

Dengan menggunakan bola Dandelin , orang dapat membuktikan bahwa setiap bagian bidang kerucut dengan bidang adalah elips, dengan asumsi bidang tidak mengandung puncak dan memiliki kemiringan kurang dari garis pada kerucut.

Sistem Koordinat KartesiusSunting

Persamaan standarSunting

Bentuk standar elips dalam koordinat Cartesian mengasumsikan bahwa asal adalah pusat elips, x- sumbu adalah sumbu utama, dan:

fokus adalah poinnya

 ,

simpulnya adalah  .

Untuk titik arbitrer   jarak ke fokus   adalah   dan ke fokus lainnya  . Karena itu intinya   is on the ellipse whenever:

 

Menghapus radikal dengan squarings yang sesuai dan menggunakan   menghasilkan persamaan standar elips:

 

atau, memecahkan y:

 

Keliling lebar dan tinggi   disebut sumbu semi mayor dan semi minor . Poin atas dan bawah  

Ini mengikuti dari persamaan bahwa elips simetris sehubungan dengan sumbu koordinat dan karenanya sehubungan dengan asal.

KelilingSunting

Sumbu semi mayor dan semi minorSunting

Sepanjang artikel ini   Sebuah adalah sumbu semi-mayor, yaitu   Secara umum persamaan elips kanonik   mungkin   (dan karenanya elips akan lebih tinggi daripada lebar); dalam bentuk ini sumbu semi-mayor akan menjadi  . Formulir ini dapat dikonversi ke formulir standar dengan mentransposisi nama variabel

Eksentritas linearSunting

Ini adalah jarak dari pusat ke fokus:  .

KeanehanSunting

Eksentrisitas dapat dinyatakan sebagai:

 ,

Rektum semi-lekturSunting

Panjang akord melalui satu fokus, tegak lurus terhadap sumbu utama, disebut rektum latus . Separuh di antaranya adalah rektum semi-latus   Perhitungan menunjukkan:

 [3]

Garis singgungSunting

Garis arbitrer   memotong sebuah elips pada 0, 1, atau 2 poin, masing-masing disebut garis eksterior , garis singgung dan garis potong . Melalui setiap titik elips ada garis singgung yang unik. Garis singgung pada suatu titik   dari elips   memiliki persamaan koordinat:

 

Persamaan parametrik vektor garis singgung adalah:

  with  

Bukti: Biarkan   be a point on an ellipse and   menjadi persamaan garis apa pun   mengandung  . Memasukkan persamaan garis ke dalam persamaan elips dan menghormati   yields:

 

Elips bergeserSunting

Jika elips standar digeser untuk memiliki pusat  , persamaannya adalah

 

Sumbu masih sejajar dengan sumbu x dan y.

Luas elipsSunting

Luas elips adalah  

Keliling elipsSunting

Keliling elips adalah

Keliling I
 
Keliling II (model Ramanujan)
 

dan

  di mana  
Keliling III (model integral)
 

dan

 

Lihat pulaSunting

ReferensiSunting

  1. ^ Apostol, Tom M.; Mnatsakanian, Mamikon A. (2012), New Horizons in Geometry, The Dolciani Mathematical Expositions #47, The Mathematical Association of America, hlm. 251, ISBN 978-0-88385-354-2 
  2. ^ Istilah Jerman untuk lingkaran ini adalah Leitkreis yang dapat diterjemahkan sebagai "Lingkaran Direktur", tetapi istilah itu memiliki arti yang berbeda dalam literatur bahasa Inggris (lihat Director circle).
  3. ^ (Protter & Morrey 1970, hlm. 304,APP-28)

Pranala luarSunting