Sebuah segitiga adalah poligon dengan tiga ujung dan tiga simpul. Ini adalah salah satu bentuk dasar dalam geometri. Segitiga dengan simpul A, B, dan C dilambangkan .

triangle, tri, three, angle
Triangle = Tri (tiga) + Angle (sudut)

Dalam geometri Euclidean, setiap tiga titik, ketika non-collinear, menentukan segitiga unik dan sekaligus, sebuah bidang unik (yaitu ruang Euclidean dua dimensi). Dengan kata lain, hanya ada satu bidang yang mengandung segitiga itu, dan setiap segitiga terkandung dalam beberapa bidang. Jika seluruh geometri hanya bidang Euclidean, hanya ada satu bidang dan semua segitiga terkandung di dalamnya; namun, dalam ruang Euclidean berdimensi lebih tinggi, ini tidak lagi benar. Artikel ini adalah tentang segitiga dalam geometri Euclidean, dan khususnya, bidang Euclidean, kecuali jika disebutkan sebaliknya.

Tipe SegitigaSunting

 
Diagram euler dari jenis segitiga, menggunakan definisi bahwa segitiga sama kaki memiliki setidaknya 2 sisi yang sama (mis., Segitiga sama sisi sama kaki).

Dengan panjang sisiSunting

Segitiga dapat diklasifikasikan menurut panjang sisinya:

  • Segitiga sama sisi (bahasa Inggris: equilateral triangle) adalah segitiga yang ketiga sisinya sama panjang. Sebagai akibatnya semua sudutnya juga sama besar, yaitu 60o.[1]
  • Segitiga sama kaki (bahasa Inggris: isoceles triangle) memiliki dua sisi dengan panjang yang sama. Segitiga sama kaki juga memiliki dua sudut dengan ukuran yang sama, yaitu sudut yang berlawanan dengan dua sisi dengan panjang yang sama; fakta ini adalah isi dari teorema segitiga sama kaki, yang dikenal oleh Euclid. Beberapa ahli matematika mendefinisikan segitiga sama kaki untuk memiliki tepat dua sisi yang sama, sedangkan yang lain mendefinisikan segitiga sama kaki sebagai satu dengan setidaknya dua sisi yang sama.[2] Definisi terakhir akan membuat semua segitiga sama sisi segitiga sama kaki. Segitiga kanan 45–45–90, yang muncul pada ubin persegi tetrakis, adalah sama kaki.
  • Segitiga sembarang (bahasa Inggris: scalene triangle) adalah segitiga yang ketiga sisinya berbeda panjangnya. Besar semua sudutnya juga berbeda.
     
Segitiga sama sisi Segitiga sama kaki Segitiga sembarang

Dari sudut internalSunting

Segitiga juga dapat diklasifikasikan menurut sudut internalnya, diukur dalam derajat.

  • Segitiga siku-siku (bahasa Inggris: right triangle) memiliki salah satu sudut interiornya yang berukuran 90°(sudut kanan). Sisi yang berlawanan dengan sudut kanan adalah sisi miring, sisi terpanjang dari segitiga. Dua sisi lainnya disebut kaki atau catheti[3] (tunggal: cathetus) dari segitiga. Segitiga kanan mematuhi teorema Pythagoras: jumlah kuadrat dari panjang kedua kaki sama dengan kuadrat dari panjang sisi miring : a2 + b2 = c2, di mana a dan b adalah panjang kaki dan c adalah panjang sisi miring. Segitiga siku-siku khusus adalah segitiga siku-siku dengan sifat tambahan yang membuat melibatkan perhitungan mereka lebih mudah. Salah satu dari dua yang paling terkenal adalah segitiga siku-siku 3–4–5, di mana 32 + 42 = 52. Dalam situasi ini, 3, 4, dan 5 adalah triple Pythagoras. Yang lainnya adalah segitiga sama kaki yang memiliki 2 sudut yang masing-masing berukuran 45 derajat.
  • Segitiga yang tidak memiliki sudut berukuran 90 ° disebut segitiga miring.
  • Segitiga dengan semua sudut interior berukuran kurang dari 90 ° adalah segitiga lancip atau segitiga siku lancip. Jika c adalah panjang sisi terpanjang, maka a2 + b2 > c2, dengan a dan b adalah panjang sisi lainnya.
  • Segitiga dengan satu sudut dalam berukuran lebih dari 90 ° adalah segitiga tumpul atau segitiga sudut tumpul. Jika c adalah panjang sisi terpanjang, maka a2 + b2 < c2, dengan a dan b adalah panjang sisi lainnya.
  • Segitiga dengan sudut bagian dalam 180 ° (dan simpul kollinear) mengalami degenerasi.
  • Segitiga degenerasi kanan memiliki simpul-simpul kollinear, dua di antaranya bertepatan.
     
siku-siku tumpul lancip
   
  Miring

Fakta dasarSunting

 
Sebuah segitiga, menunjukkan sudut eksterior d.

Segitiga diasumsikan sebagai figur bidang dua dimensi, kecuali jika konteksnya menentukan sebaliknya (lihat Segitiga non-planar, di bawah). Dalam teori yang ketat, segitiga karenanya disebut 2-simpleks (lihat juga Polytope). Fakta-fakta dasar tentang segitiga disajikan oleh Euclid dalam buku 1-4 dari buku Elements, sekitar 300 SM.

 
Ukuran sudut interior segitiga selalu bertambah hingga 180 derajat (warna yang sama untuk menunjukkan bahwa mereka sama).

Jumlah ukuran sudut interior segitiga di ruang Euclidean selalu 180 derajat.[4] Fakta ini setara dengan dalil paralel Euclid. Ini memungkinkan penentuan ukuran sudut ketiga dari segitiga mana pun yang diberi ukuran dua sudut. Sudut eksterior segitiga adalah sudut yang merupakan pasangan linier (dan karena supplemen) ke sudut interior. Ukuran sudut eksterior segitiga sama dengan jumlah ukuran dua sudut interior yang tidak berdekatan dengannya; ini adalah teorema sudut eksterior. Jumlah langkah-langkah dari tiga sudut eksterior (satu untuk setiap titik) dari setiap segitiga adalah 360 derajat.[note 1]

Segitiga sama kakiSunting

 
Teorema Pythagoras

Teorema sentral adalah teorema Pythagoras, yang menyatakan dalam segitiga siku-siku, kuadrat panjang sisi miring sama dengan jumlah kuadrat dari panjang kedua sisi lainnya. Jika sisi miring mempunyai panjang c, dan kaki panjang a dan b, maka teorema menyatakan itu

 

Kebalikannya benar: jika panjang sisi-sisi segitiga memenuhi persamaan di atas, maka segitiga memiliki sudut kanan berlawanan sisi c.

Beberapa fakta lain tentang segitiga siku-siku:

 
  • Jika kaki-kaki dari segitiga siku-siku memiliki panjang yang sama, maka sudut-sudut yang berseberangan dengan kaki-kaki itu memiliki ukuran yang sama. Karena sudut-sudut ini saling melengkapi, maka masing-masing berukuran 45 derajat. Dengan teorema Pythagoras, panjang sisi miring adalah panjang kali kaki 2.
  • Dalam segitiga siku-siku dengan sudut akut berukuran 30 dan 60 derajat, sisi miring adalah dua kali panjang sisi yang lebih pendek, dan sisi yang lebih panjang sama dengan panjang sisi kali yang lebih pendek 3:
 
 

Untuk semua segitiga, sudut dan sisi terkait oleh hukum cosinus dan hukum sinus (juga disebut aturan cosinus dan aturan sinus).

Wujud segitigaSunting

Kondisi di sisiSunting

Ketidaksetaraan segitiga menyatakan bahwa jumlah panjang dari setiap dua sisi segitiga harus lebih besar dari atau sama dengan panjang sisi ketiga. Jumlah itu bisa sama dengan panjang sisi ketiga hanya dalam kasus segitiga degenerasi, satu dengan simpul collinear. Tidak mungkin jumlah itu kurang dari panjang sisi ketiga. Sebuah segitiga dengan tiga panjang sisi positif yang diberikan ada jika dan hanya jika panjang sisi tersebut memenuhi ketimpangan segitiga.

Kondisi di sudutSunting

Tiga sudut yang diberikan membentuk segitiga non-degenerasi (dan memang merupakan ketidakterbatasannya) jika dan hanya jika kedua kondisi ini berlaku: (a) masing-masing sudutnya positif, dan (b) sudut-sudutnya berjumlah 180°. Jika segitiga degenerasi diizinkan, sudut 0° diizinkan.

Kondisi trigonometriSunting

Tiga sudut positif α, β, dan γ, masing-masing kurang dari 180°, adalah sudut segitiga jika dan hanya jika salah satu dari kondisi berikut berlaku:

 [5]
 [5]
 
 [6]
 

persamaan terakhir berlaku hanya jika tidak ada sudut adalah 90 ° (sehingga nilai fungsi tangen selalu terbatas).

Lingkaran singgung segitigaSunting

Perumusannya sebagai berikut:

 
 
 

Pembuktian untuk Ra sebagai berikut:

Dahulukan mencari nilai p:

 
 
 
 
 
 
 

lalu kesamaan luas ADOF sebagai berikut:

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Menghitung sisi dan sudutnyaSunting

LuasSunting

 

KelilingSunting

 

Menghitung luas segitigaSunting

 
Luas segitiga dapat diperlihatkan, misalnya dengan menggunakan kongruensi segitiga, sebagai setengah dari luas jajaran genjang yang memiliki panjang dan tinggi alas yang sama.
 
Derivasi grafik dari rumus   yang menghindari prosedur biasa menggandakan area segitiga dan kemudian membagi dua.

Menghitung luas T dari segitiga adalah masalah elementer yang sering dijumpai dalam berbagai situasi. Formula paling dikenal dan paling sederhana adalah:

 

di mana b adalah panjang dasar segitiga, dan h adalah tinggi atau ketinggian segitiga. Istilah "alas" menunjukkan sisi mana pun, dan "tinggi" menunjukkan panjang tegak lurus dari puncak yang berlawanan dengan alas ke garis yang berisi alas. Pada 499 M Aryabhata, menggunakan metode ilustrasi ini dalam Aryabhatiya (bagian 2.6).[7]

Meskipun sederhana, formula ini hanya berguna jika ketinggiannya dapat dengan mudah ditemukan, yang tidak selalu terjadi. Misalnya, surveyor bidang segitiga mungkin merasa relatif mudah untuk mengukur panjang masing-masing sisi, tetapi relatif sulit untuk membangun 'ketinggian'. Berbagai metode dapat digunakan dalam praktik, tergantung pada apa yang diketahui tentang segitiga. Berikut ini adalah pilihan rumus yang sering digunakan untuk luas segitiga.[8]

Menggunakan trigonometriSunting

 
Menerapkan trigonometri untuk menemukan ketinggian h.

Ketinggian segitiga dapat ditemukan melalui aplikasi trigonometri.

Mengenal SAS: Menggunakan label pada gambar di sebelah kanan, ketinggiannya h = a sin  . Mengganti ini dalam formula   diturunkan di atas, luas segitiga dapat dinyatakan sebagai:

 

(di mana α adalah sudut interior di A, β adalah sudut interior di B,   adalah sudut interior di C dan c adalah garis AB).

Seterusnya, sejak sin α = sin (π − α) = sin (β +  ), dan juga untuk dua sudut lainnya:

 

Mengetahui AAS:

 

dan secara analogis jika sisi yang diketahui adalah a atau c.

Mengetahui ASA:[9]

 

dan secara analogis jika sisi yang diketahui adalah b atau c.

Menggunakan rumus HeronSunting

Bentuk segitiga ditentukan oleh panjang sisi. Oleh karena itu, area tersebut juga dapat diturunkan dari panjang sisi. Dengan rumus Heron:

 

yang dimana   adalah semiperimeter, atau setengah dari perimeter segitiga.

Tiga cara lain yang setara untuk menulis rumus Heron adalah

 
 
 

Menghitung sisi dan sudutnyaSunting

Ada berbagai metode standar untuk menghitung panjang sisi atau ukuran sudut. Metode tertentu cocok untuk menghitung nilai dalam segitiga siku-siku; metode yang lebih kompleks mungkin diperlukan dalam situasi lain.

Rasio trigonometri dalam segitiga siku-sikuSunting

 
Segitiga kanan selalu mencakup sudut 90° (π/2 radian), di sini dengan label C. Sudut A dan B dapat bervariasi. Fungsi trigonometri menentukan hubungan antara panjang sisi dan sudut interior segitiga siku-siku.

Dalam segitiga siku-siku, rasio trigonometri sinus, kosinus dan garis singgung dapat digunakan untuk menemukan sudut yang tidak diketahui dan panjang sisi yang tidak diketahui. Sisi-sisi segitiga dikenal sebagai berikut:

  • Sisi miring adalah sisi yang berlawanan dengan sudut kanan, atau didefinisikan sebagai sisi terpanjang dari segitiga siku-siku, dalam hal ini h.
  • Sisi yang berlawanan adalah sisi yang berlawanan dengan sudut yang kita minati, dalam hal ini a.
  • Sisi adjacent adalah sisi yang bersentuhan dengan sudut yang kita minati dan sudut yang tepat, maka namanya. Dalam hal ini sisi adjacent adalah b.

Sinus, kosinus dan garis singgungSunting

Sudut sinus adalah perbandingan antara panjang sisi yang berlawanan dengan panjang sisi miring. Dalam kasus kami

 

Rasio ini tidak tergantung pada segitiga siku-siku tertentu yang dipilih, asalkan mengandung sudut A, karena semua segitiga itu sama.

Cosinus dari sudut adalah perbandingan panjang sisi adjacent dengan panjang sisi miring. Dalam kasus kami

 

Garis singgung dari sudut adalah perbandingan panjang sisi yang berlawanan dengan panjang sisi adjacent. Dalam kasus kami

 

Singkatan "SOH-CAH-TOA" adalah mnemonik yang berguna untuk rasio ini.

Fungsi inversSunting

Fungsi trigonometri terbalik dapat digunakan untuk menghitung sudut internal untuk segitiga siku kanan dengan panjang dua sisi.

Arcsin dapat digunakan untuk menghitung sudut dari panjang sisi yang berlawanan dan panjang sisi miring.

 

Arccos dapat digunakan untuk menghitung sudut dari panjang sisi adjacent dan panjang sisi miring.

 

Arctan dapat digunakan untuk menghitung sudut dari panjang sisi yang berlawanan dan panjang dari sisi adjacent.

 

Dalam kursus pengantar geometri dan trigonometri, notasi sin−1, cos−1, etc., sering digunakan sebagai pengganti arcsin, arccos, dll. Namun, notasi arcsin, arccos, dll., adalah standar dalam matematika yang lebih tinggi di mana fungsi trigonometrik umumnya dinaikkan menjadi kekuatan, karena ini menghindari kebingungan antara invers multiplikatif dan invers komposisi.

Aturan sinus, kosinus, dan garis singgungSunting

 
Segitiga dengan sisi panjang a, b dan c dan sudut α, β dan γ masing-masing.

Hukum sinus, atau aturan sinus,[10] menyatakan bahwa rasio panjang sisi ke sinus sudut berlawanan yang sesuai adalah konstan, yaitu

 

Rasio ini sama dengan diameter lingkaran yang dibatasi dari segitiga yang diberikan. Interpretasi lain dari teorema ini adalah bahwa setiap segitiga dengan sudut α, β dan γ mirip dengan segitiga dengan panjang sisi sama dengan sin α, sin β dan sin γ. Segitiga ini dapat dibangun dengan terlebih dahulu membangun lingkaran dengan diameter 1, dan menuliskan di dalamnya dua sudut segitiga. Panjang sisi-sisi segitiga itu adalah sin α, sin β dan sin γ. Sisi yang panjangnya adalah sin α berlawanan dengan sudut yang ukurannya adalah α, dll.

Hukum cosinus, atau aturan cosinus, menghubungkan panjang sisi segitiga yang tidak diketahui dengan panjang sisi lainnya dan sudut yang berlawanan dengan sisi yang tidak diketahui.[10] Sesuai hukum:

Untuk segitiga dengan panjang sisi a, b, c dan sudut α, β, γ masing-masing, diberikan dua panjang segitiga a dan b yang diketahui, dan sudut antara kedua sisi yang diketahui γ (atau sudut yang berlawanan dengan yang tidak diketahui) sisi c), untuk menghitung sisi ketiga c, rumus berikut dapat digunakan:

 
 
 

Jika panjang dari ketiga sisi segitiga diketahui, tiga sudut dapat dihitung:

 
 
 

Hukum garis singgung, atau aturan garis singgung, dapat digunakan untuk menemukan sisi atau sudut ketika dua sisi dan sudut atau dua sudut dan sisi diketahui. Ini menyatakan bahwa:[11]

 

Solusi segitigaSunting

"Solusi segitiga" adalah masalah trigonometri utama: untuk menemukan karakteristik segitiga yang hilang (tiga sudut, panjang tiga sisi, dll.) Ketika setidaknya tiga dari karakteristik ini diberikan. Segitiga dapat terletak di pesawat atau di bola. Masalah ini sering terjadi pada berbagai aplikasi trigonometri, seperti geodesi, astronomi, konstruksi, navigasi dll.

Pengukuran sudut dan jarakSunting

SudutSunting

Pengukuran sudut terbagi menjadi tiga jenis yakni:

  • garis dengan garis
  • garis dengan bidang
  • bidang dengan bidang

JarakSunting

Pengukuran sudut terbagi menjadi enam jenis yakni:

  • titik dengan titik
  • titik dengan garis
  • titik dengan bidang
  • garis dengan garis
  • garis dengan bidang
  • bidang dengan bidang

Lihat pulaSunting

ReferensiSunting

  1. ^ "Eric W. Weisstein". Wikipedia (dalam bahasa Inggris). 2020-05-31. 
  2. ^ "Eric W. Weisstein". Wikipedia (dalam bahasa Inggris). 2020-05-31. 
  3. ^ "Bronshtein and Semendyayev". Wikipedia (dalam bahasa Inggris). 2019-12-30. 
  4. ^ "Euclid's Elements, Book I, Proposition 32". 
  5. ^ a b Vardan Verdiyan & Daniel Campos Salas, "Simple trigonometric substitutions with broad results", Mathematical Reflections no 6, 2007.
  6. ^ Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama LH
  7. ^ The Āryabhaṭīya by Āryabhaṭa (translated into English by Walter Eugene Clark, 1930) hosted online by the Internet Archive.
  8. ^ (Inggris) Eric W. Weisstein, Triangle area di MathWorld.
  9. ^ (Inggris) Eric W. Weisstein, Triangle di MathWorld.
  10. ^ a b Prof. David E. Joyce. "The Laws of Cosines and Sines". Clark University. Diakses tanggal 1 November 2008. 
  11. ^ Weisstein, Eric W. "Law of Tangents". Wolfram MathWorld. Diakses tanggal 26 July 2012. 

CatatanSunting

  1. ^ The n external angles of any n-sided convex polygon add up to 360 degrees.

Pranala luarSunting