Logaritma

Invers fungsi eksponensial

Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan (atau invers) dari eksponen atau pemangkatan. Artinya, logaritma merupakan operasi dimana nilai yang dicari dari suatu logaritma harus membalikkan fungsi dari eksponensial.[1]

Sebagai contoh, diberikan bentuk ekspresi . Menurut definisi eksponen, . Dengan menggunakan penjelasan logaritma di atas, kita tuliskan . Penulisan merupakan abreviasi dari kata 'logaritma'.

DefinisiSunting

Misal   bilangan positif dan tidak sama dengan 1, yakni   atau   dan   bilangan positif. Secara matematis dapat ditulis sebagai

 

jika dan hanya jika

 .

Pada penulisan matematis di atas,   adalah basis atau bilangan pokok[2] dari logaritma tersebut,   adalah numerus[1] atau bilangan yang dliogaritmakan, dan   adalah hasil logaritma[1][2] atau antilogaritma.

Beberapa buku dan karya ilmiah menuliskan   sebagai  . Notasi yang kedua umumnya ditemukan pada buku dan karya ilmiah yang berbahasa inggris.

 
Grafik logaritma terhadap basis yang berbeda.merah adalah terhadap basis  , hijau adalah terhadap basis  , dan ungu adalah terhadap basis  . Perhatikan bahwa grafik logaritma terhadap basis yang berbeda selalu melewati titik  .

BasisSunting

Logaritma yang paling umum digunakan adalah  ,   atau  , dan  . Fungsi-fungsi tersebut memiliki basis 2, e, dan 10. Contohnya, logaritma dengan basis   juga disebut logaritma natural atau logaritma alami, di mana:[3]

 .

AntilogaritmaSunting

Sedang dikembangkan ...

Sifat logaritmaSunting

Misal   merupakan basis pada logaritma. Adapun sifat-sifat logaritma, yaitu:

Sifat Pembuktian
Sifat dasar  [butuh rujukan]
Klik 'tampil' untuk melihat bukti
Karena  , maka dalam bentuk logaritma,  .
 [butuh rujukan]
Klik 'tampil' untuk melihat bukti
Karena   dimana  , maka dalam bentuk logaritma,  .
 [butuh rujukan]
Klik 'tampil' untuk melihat bukti

Dengan menggunakan sifat  , maka

 .

Karena  , maka

 .
Pemangkatan  [4]
Perkalian dan pembagian  [4]
Klik 'tampil' untuk melihat bukti

Misalkan   dan  . Dengan mengubah ke dalam bentuk eksponen diperoleh   dan  . Maka,

 .

Ambil logaritma basis   pada kedua ruas sehingga

 .[butuh rujukan]
 [4]
 [4]
 [4]
Mengubah basis  [4]
 [4]
Klik 'tampil' untuk melihat bukti
Misal  . Dengan mengubah ke dalam bentuk eksponen, kita memperoleh  . Maka, kita tuliskan sebagai
 

Dengan menggunakan sifat  , maka

 

Substitusi kembali sehingga didapati

 . [5]

NotasiSunting

Di Indonesia, kebanyakan buku pelajaran matematika menggunakan notasi   daripada  . Biasanya, buku-buku matematika dalam versi berbahasa Inggris menggunakan notasi  . Beberapa orang menulis bentuk notasi logaritma sebagai berikut:

  • logaritma alami,   sebagai ganti  .
  • logaritma biasa,   sebagai ganti  .[6]
  • logaritma basis dua,   sebagai ganti  .

KalkulatorSunting

Pada kebanyakan kalkulator, LOG menunjuk kepada logaritma berbasis   dan ln menunjuk kepada logaritma berbasis  . Terkadang Log x (huruf besar L) menunjuk kepada 10log x dan log x (huruf kecil L) menunjuk kepada elog x.[butuh rujukan]

Bahasa pemrogramanSunting

Pada beberapa bahasa pemrograman komputer seperti C,C++, Java dan BASIC, LOG menunjuk kepada logaritma berbasis  .[butuh rujukan]

Mencari nilai logaritmaSunting

Cara untuk mencari nilai logaritma antara lain dengan menggunakan:

Nilai logaritma dengan basis b dapat dihitung dengan rumus dibawah ini.

 

Sedangkan untuk logaritma berbasis e dan berbasis 2, terdapat prosedur-prosedur yang umum, yang hanya menggunakan penjumlahan, pengurangan, pengkalian, dan pembagian.

Kegunaan logaritmaSunting

Logaritma sering digunakan untuk memecahkan persamaan yang pangkatnya tidak diketahui. Turunannya mudah dicari dan karena itu logaritma sering digunakan sebagai solusi dari integral. Dalam persamaan bn = x, b dapat dicari dengan pengakaran, n dengan logaritma, dan x dengan fungsi eksponensial.

Sains dan teknikSunting

Dalam sains, terdapat banyak besaran yang umumnya diekspresikan dengan logaritma. Sebabnya, dan contoh-contoh yang lebih lengkap, dapat dilihat di skala logaritmik.

  • Negatif dari logaritma berbasis 10 digunakan dalam kimia untuk mengekspresikan konsentrasi ion hidronium (pH). Contohnya, konsentrasi ion hidronium pada air adalah 10−7 pada suhu 25 °C, sehingga pH-nya 7.
  • Satuan bel (dengan simbol B) adalah satuan pengukur perbandingan (rasio), seperti perbandingan nilai daya dan tegangan. Kebanyakan digunakan dalam bidang telekomunikasi, elektronik, dan akustik. Salah satu sebab digunakannya logaritma adalah karena telinga manusia mempersepsikan suara yang terdengar secara logaritmik. Satuan Bel dinamakan untuk mengenang jasa Alexander Graham Bell, seorang penemu di bidang telekomunikasi. Satuan desibel (dB), yang sama dengan 0.1 bel, lebih sering digunakan.
  • Skala Richter mengukur intensitas gempa bumi dengan menggunakan skala logaritma berbasis 10.
  • Dalam astronomi, magnitudo yang mengukur terangnya bintang menggunakan skala logaritmik, karena mata manusia mempersepsikan terang secara logaritmik.

Penghitungan yang lebih mudahSunting

Logaritma memindahkan fokus penghitungan dari bilangan normal ke pangkat-pangkat (eksponen). Bila basis logaritmanya sama, maka beberapa jenis penghitungan menjadi lebih mudah menggunakan logaritma::

Penghitungan dengan angka Penghitungan dengan eksponen Identitas Logaritma
     
     
     
     

Sifat-sifat di atas membuat penghitungan dengan eksponen menjadi lebih mudah, dan penggunaan logaritma sangat penting, terutama sebelum tersedianya kalkulator sebagai hasil perkembangan teknologi modern.

Untuk mengkali dua angka, yang diperlukan adalah melihat logaritma masing-masing angka dalam tabel, menjumlahkannya, dan melihat antilog jumlah tersebut dalam tabel. Untuk mengitung pangkat atau akar dari sebuah bilangan, logaritma bilangan tersebut dapat dilihat di tabel, lalu hanya mengkali atau membagi dengan radix pangkat atau akar tersebut.

KalkulusSunting

Turunan fungsi logaritma adalah

 

di mana ln adalah logaritma natural, yaitu logaritma yang berbasis e. Jika b = e, maka rumus di atas dapat disederhanakan menjadi

 

Integral fungsi logaritma adalah

 

Integral logaritma berbasis e adalah

 

Lihat pulaSunting

ReferensiSunting

  1. ^ a b c Entis Sutisna, S.Pd, Fungsi Eksponen dan Fungsi Logaritma Matematika Peminatan Kelas X, hlm. 29.
  2. ^ a b Archangelia Maria Lelu, Desain Pembelajaran Pada Materi Fungsi Logaritma Menggunakan Pendekatan Pembelajaran Berbasis Masalah dan Hasil Pembelajaran Ditinjau dari Kemampuan Komunikasi Matematis Siswa Kelas X MIPA, hlm. 15.
  3. ^ "What is a Logarithm?". www.mclph.umn.edu. Diakses tanggal 2020-08-21. 
  4. ^ a b c d e f g Kanginan, Marthen; Nurdiansyah, Hadi; Akhmad, Ghany (2016). Matematika Untuk Siswa SMA/MA Kelas X. Yrama Widya. hlm. 74. ISBN 978-602-374-554-8. 
  5. ^ Kanginan, Marthen; Nurdiansyah, Hadi; Akhmad, Ghany (2016). Matematika Untuk Siswa SMA/MA Kelas X. Yrama Widya. hlm. 74. ISBN 978-602-374-554-8. 
  6. ^ Copenagle, Academic Support, What is logarithm?, hlm. 1.

Bacaan lebih lanjutSunting

  • Matematika SMA dan MA 1A untuk Kelas X Semester I. Sri Kurnianingsih. Jakarta: Esis. 2007. ISBN 979-304-500-9. 
  • Matematika SMA dan MA 3B untuk Kelas XII Semester II Program IPA. Sri Kurnianingsih. Jakarta: Esis. 2007. ISBN 979-304-505-X. 

Pranala luarSunting