Logaritma

Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan (invers) dari eksponensiasi (pemangkatan). Artinya, logaritma merupakan operasi pencarian eksponen supaya basis tertentu dipangkatkan dengan eksponen ini menghasilkan nilai dimasukkan.

Logaritma
Domain dan Citra
Domain dari fungsi	$(0,\infty )$
Daerah hasil fungsi	$(-\infty ,\infty )$
Nilai-nilai spesifik
Nilai di $+\infty$	$\infty$
Nilai maksimum	Tidak ada
Nilai minimum	Tidak ada
Sifat khusus
Akar	$1$
Invers	$x=b^{y}$
Turunan	${\frac {1}{x\ln b}}$
Antiturunan	$x\log _{b}x-{\frac {x}{\ln b}}+C$

Grafik logaritma terhadap basis yang berbeda.merah adalah terhadap basis $e$, hijau adalah terhadap basis $10$, dan ungu adalah terhadap basis $1.7$. Perhatikan bahwa grafik logaritma terhadap basis yang berbeda selalu melewati titik $(1,0)$.

Sebagai contoh, diberikan bentuk ekspresi $2^{3}$. Menurut definisi eksponen, $2^{3}=2\times 2\times 2=8$. Dengan menggunakan penjelasan logaritma di atas, kita tuliskan $^{2}\!\log 8=3$. Penulisan $\log$ merupakan abreviasi dari kata 'logaritma'.

Secara matematis, logaritma, yakni fungsi bilangan positif, dapat didefinisikan sebagai

$b^{x}=c\iff ^{b}\!\log c=x$.

Pada penulisan matematis di atas, $b$, bilangan positif dan tidak sama dengan 1, adalah basis atau bilangan pokok dari logaritma tersebut, dengan syarat $0<b<1$ atau $b>1$, $x$ adalah numerus atau bilangan yang dilogaritmakan, dan $c$ adalah hasil logaritma atau antilogaritma, yang mensyaratkan bilangan positif.

Beberapa buku dan karya ilmiah menuliskan logaritma dengan basis tidak diletakkan sebelum notasi $\log$, melainkan diletakkan sesudah $\log$ (pada bagian bawah kanan), sehingga notasinya seperti ${\textstyle \log _{b}{c}}$. Notasi yang kedua umumnya ditemukan pada buku dan karya ilmiah dalam versi lain.

Skala logaritma mengurangi jumlah luas ke lingkup yang lebih kecil. Misalnya, desibel (dB) adalah satuan yang digunakan untuk menyatakan rasio sebagai logaritma, sebagian besar untuk kekuatan sinyal dan amplitudo (pada tekanan suara adalah contoh umum). Dalam kimia, pH adalah ukuran logaritmik untuk asamitas dari larutan berair. Logaritma biasa dalam rumus ilmiah, dan dalam pengukuran kompleksitas algoritma dan objek geometris yang disebut fraktal. Mereka membantu untuk menggambarkan frekuensi rasio interval musik, muncul dalam rumus yang menghitung bilangan prima atau perkiraan faktorial, menginformasikan beberapa model dalam psikofisika, dan dapat membantu dalam akuntansi forensik.

Dengan cara yang sama seperti logaritma eksponensial pembalikan, logaritma kompleks adalah fungsi invers dari fungsi eksponensial, baik diterapkan pada bilangan real atau bilangan kompleks. Modular logaritma diskret adalah varian lain; logaritma juga memiliki kegunaan dalam kriptografi kunci publik.

Motivasi

grafik dari basis logaritma 2 memotong sumbu-x antara x = 1 dan melewati titik (2, 1), (4, 2), dan (8, 3) yang menggambarkan log₂(8) = 3 dan 2³ = 8. Grafik secara arbiter mendekati sumbu-y, tetapi tak-memenuhinya.

Penjumlahan, perkalian, dan eksponen adalah tiga dari operasi aritmetika yang paling mendasar. Kebalikan dari penjumlahan adalah pengurangan, dan kebalikan dari perkalian adalah pembagian. Sehingga, logaritma adalah operasi kebalikan dari eksponen. Eksponen adalah ketika suatu bilangan b, basis dipangkatkan ke pangkat tertentu y, eksponen untuk memberikan nilai x; dilambangkan

$b^{y}=x.$

Misalnya, dipangkatkan 2 ke pangkat 3 menghasilkan 8, adalah: $2^{3}=8$

Logaritma basis b adalah operasi kebalikan, yang memberikan keluaran y dari masukan x. Artinya, $y=^{b}\!\log x$ sama dengan $x=b^{y}$ jika b adalah bilangan real positif. (Jika b dalam bukan bilangan real positif, eksponensial dan logaritma didefinisikan, tetapi mungkin memerlukan beberapa nilai, yang membuat definisi menjadi lebih rumit.)

Salah satu motivasi historis utama memperkenalkan rumus logaritma adalah

$^{b}\!\log(xy)=^{b}\!\log x+^{b}\!\log y$,

yang memungkinkan (sebelum ditemukannya komputer) untuk mengurangi perhitungan perkalian dan pembagian menjadi penambahan, pengurangan dan pencarian tabel logaritma.

Definisi

Logaritma dapat dipahami secara matematis sebagai anggota fungsi (yang keseluruhannya dilambangkan dengan $b$) dari $\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R}$. Fungsi logaritma masing-masing hanya berbeda (tetapi tidak sama dengan nol) kelipatan satu sama lain.

Ini diperkenalkan dengan cara yang berbeda pada bilangan real positif. Tergantung pada latar belakang dan niat, Anda akan memilih satu atau pendekatan didaktik lainnya. Definisi yang berbeda dari logaritma real antara satu sama lain ekuivalen dan dibuat dengan fokus khusus pada logaritma alami, yang terjadi secara alami dari sudut pandang para matematikawan, seperti yang dilihat dalam akses melalui integral tak tentu dari ${\tfrac {1}{t}}$.

Sebagai fungsi invers dari fungsi eksponensial

Logaritma ke basis $b$ adalah fungsi invers dari fungsi eksponensial pada basis positif $b$, yaitu:

$x\mapsto b^{x}.$

Oleh karena itu, fungsi $b^{x}$ dan $^{b}\!\log x$ adalah fungsi invers satu sama lain. Logaritma membalikkan eksponensial dan sebaliknya:

$b^{^{b}\!\log x}=x\quad {\text{dan}}\quad ^{b}\!\log(b^{x})=x.$

Hasil logaritma alami dari basis $b=\mathrm {e}$, dimana

$\mathrm {e} =2{,}718281828459\ldots$

yang adalah bilangan Euler.

Sebagai solusi untuk persamaan fungsional

Fungsi logaritma adalah solusi kontinu non-trivial $L$ dari persamaan fungsional

$L(x\cdot y)=L(x)+L(y).$

Solusi dapat memenuhi $L(1)=0$ dan bahkan dapat diturunkan. Logaritma alami kemudian diperoleh secara bersama dengan kondisi tambahan

$L'(1)=1.$

Kondisi tambahan adalah salah satu alasan untuk sebutan logaritma yang diperoleh secara alami. Jikalau mendapatkan logaritma ke basis lain $b$ melalui kondisi tambahan, maka yang harus dilakukan adalah

$L'(1)={\frac {1}{\ln b}}$

dan selalu membutuhkan logaritma alami lagi.

Solusi trivial dari persamaan fungsional atas adalah fungsi null $L(x)=0$, yang tidak dianggap sebagai fungsi logaritmik, dan satu-satunya solusi dari persamaan fungsional yang juga didefinisikan $L(0)$.

Karena persamaan fungsional atas, maka dari itu logaritma menyampaikan khususnya pemetaan pelestarian struktur dari bilangan real positif dengan struktur perkalian. Apabila seseorang juga menemukan secara eksplisit ini sebagai suatu kondisi dan dengan demikian sampai pada turunan.

Sebagai isomorfisme

Logaritma bernilai real adalah kontinu dari isomorfisme

$L\colon (\mathbb {R} ^{+}\!,\,\cdot \,)\longrightarrow (\mathbb {R} ,+)$.

Definisi ini dengan jelas mendefinisikan fungsi $L$ kecuali untuk konstanta perkalian.

Pendekatan aljabar menekankan seperti pendekatan melalui persamaan fungsional signifikansi secara historis logaritma sebagai bantuan perhitungan: Ini memungkinkan perkalian untuk "dikonversi" menjadi penjumlahan.

Sebagai antiturunan dari f dengan f(x)=1/x

Logaritma alami sebagai luas bawah grafik 1/x

Fungsinya adalah

$L\colon t\mapsto \int _{1}^{t}{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x$

dengan $t>0$ adalah logaritma alami: Ini adalah $L=\ln$. Logaritma dengan basis $b$ diperoleh dengan membagi fungsi $L$ dengan konstanta $L(b)=\ln b$. Sebagai integral tak wajar dari $f$, atau batas integrasi bawah arbiter (positif), dianggap hanya akan mendapatkan satu tambahan, konstanta aditif, tetapi hanya mendapatkan logaritma ke basis $\mathrm {e}$.

Sebagai deret pangkat

Logaritma alami dapat dinyatakan sebagai deret pangkat, yaitu

$\ln(1+x)=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {x^{k}}{k}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\dotsb$

Deret ini adalah konvergensi untuk $|x|<1$ dan untuk $x=1$.

Untuk perhitungan numerik dari nilai $\ln(1+x)$ untuk $x>1$ pada relasi $\ln(1+x)=-\ln {\Bigl (}1+{\Bigl (}-{\frac {x}{1+x}}{\Bigr )}{\Bigr )}$ yang digunakan.

Catatan

Definisi ini juga dapat digunakan untuk mendapatkan logaritma pada struktur matematika lainnya, seperti: sebuah bilangan pada bilangan kompleks. Ini mengasumsikan bahwa konsep yang digunakan untuk definisi ada dalam struktur yang bersangkutan.

Misalnya, untuk mendefinisikan logaritma diskret pada grup, Konsep seperti diferensiasi/integrasi tidak dapat digunakan karena mereka bahkan tidak digunakan. Definisi terjadi karena sebagai inversi eksponen dengan seluruh eksponen, yang pada gilirannya didefinisikan oleh beberapa penggunaan pranala satu grup.

Sejarah

Artikel utama: Sejarah logaritma

Sejarah logaritma dimulai dari Eropa abad ketujuh belas adalah penemuan fungsi baru yang memperluas ranah analisis luar cakupan metode aljabar. Metode logaritma dikemukakan secara terbuka oleh John Napier pada tahun 1614, dalam sebuah buku berjudul Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Deskripsi Kaidah Logaritma yang Menakjubkan). Sebelum penemuan Napier, ada teknik lain dengan cakupan serupa, seperti prosthafaeresis atau penggunaan tabel progresi, yang dikembangkan secara ekstensif oleh Jost Bürgi sekitar tahun 1600. Napier menciptakan istilah untuk logaritma dalam bahasa Latin Tengah, “logaritmus” yang berasal dari bahasa Yunani, secara harfiah berarti, “rasio-bilangan,” dari logos “proporsi, rasio, kata” + arithmos “bilangan”.

Logaritma umum suatu bilangan adalah indeks pangkat sepuluh yang sama dengan bilangan tersebut. Berbicara tentang angka yang membutuhkan banyak angka adalah kiasan kasar untuk logaritma umum, dan disebut oleh Archimedes sebagai “urutan bilangan”. Logaritma real pertama adalah metode heuristik untuk mengubah perkalian menjadi penjumlahan, sehingga memudahkan komputasi yang cepat. Beberapa metode ini menggunakan tabel yang diturunkan dari identitas trigonometri. Metode seperti itu disebut prosthafaeresis.

Penemuan fungsi sekarang dikenal sebagai logaritma alami dimulai sebagai upaya untuk kuadratur persegi panjang hiperbola oleh Grégoire de Saint-Vincent ia adalah seorang Yesuit Belgia yang tinggal di Praha. Archimedes telah menulis The Quadrature of the Parabola pada abad ketiga SM, tetapi kuadratur untuk hiperbola menghindari semua upaya sampai Saint-Vincent menerbitkan hasilnya pada tahun 1647. Relasi yang disediakan logaritma antara barisan dan deret geometri dalam argumen dan nilai barisan dan deret aritmetika, A. A. de Sarasa diminta untuk membuat hubungan kuadratur Saint-Vincent dan tradisi logaritma dalam prosthafaeresis, mengarah ke istilah "logaritma hiperbolik", sebuah kata sinonim untuk logaritma alami. Dengan segera, fungsi baru tersebut dihargai oleh Christiaan Huygens, dan James Gregory. Notasi $\log y$ diadopsi oleh Leibniz pada tahun 1675, dan tahun berikutnya dia menghubungkannya ke integral ${\textstyle \int {\frac {dy}{y}}.}$

Sebelum Euler mengembangkan konsep modernnya tentang logaritma alami kompleks, Roger Cotes memiliki hasil yang hampir sama ketika ia menunjukkan pada tahun 1714 bahwa

$\log(\cos \theta +i\sin \theta )=i\theta$.

Tabel logaritma, kaidah geser, dan aplikasi historis

1797 Encyclopædia Britannica penjelasan logaritma

Dengan menyederhanakan perhitungan yang sulit sebelum kalkulator dan komputer tersedia, logaritma berkontribusi pada kemajuan ilmu pengetahuan, khususnya astronomi. Mereka sangat penting untuk kemajuan dalam survei, navigasi langit, dan domain lainnya. Pierre-Simon Laplace menyebutkan tentang logaritma

"...[sebuah] kecerdasan mengagumkan yang mengurangi menjadi beberapa hari kerja berbulan-bulan, menggandakan kehidupan astronom, dan menghindarkannya dari kesalahan dan rasa jijik yang tak terpisahkan dari perhitungan panjang."

Sebagai fungsi $f(x)=b^{x}$ yang merupakan fungsi invers dari $^{b}\!\log x$ disebut juga sebagai antilogaritma. Saat ini, fungsi ini lebih sering disebut fungsi eksponensial.

Tabel log

Alat utama yang memungkinkan penggunaan praktis logaritma adalah tabel logaritma. Tabel tersebut pertama kali disusun oleh Henry Briggs pada tahun 1617, setelah penemuan Napier tetapi dengan inovasi menggunakan 10 sebagai basis. Tabel pertama Briggs berisi logaritma umum dari semua bilangan bulat dalam rentang 1 hingga 1000, dengan presisi 14 digit. Selanjutnya, tabel dengan cakupan yang meningkat ditulis. Tabel ini mencantumkan nilai $^{10}\!\log x$ untuk bilangan apa pun $x$ dalam rentang tertentu, pada presisi tertentu. Logaritma basis-10 digunakan secara universal untuk komputasi, oleh karena itu disebut logaritma umum, karena bilangan yang berbeda dengan faktor 10 memiliki logaritma yang berbeda dengan bilangan bulat. Logaritma umum $x$ dipisahkan menjadi bagian bilangan bulat dan bagian pecahan, yang dikenal sebagai karakteristik dan mantissa. Tabel logaritma hanya perlu menyertakan mantissa, karena karakteristiknya dapat dengan mudah ditentukan dengan menghitung angka dari titik desimal. Karakteristik $10\times x$ adalah satu plus karakteristik $x$, dan mantissanya sama. Jadi dengan menggunakan tabel log tiga digit, logaritma dari 3542 didekati dengan

$^{10}\!\log 3542=^{10}\!\log(1000\cdot 3.542)=3+^{10}\!\log 3.542\approx 3+^{10}\!\log 3.54\,$

Akurasi besar dapat diperoleh dengan interpolasi:

$^{10}\!\log 3542\approx 3+^{10}\!\log 3.54+0.2(^{10}\!\log 3.55-^{10}\!\log 3.54)\,$

Nilai $10^{x}$ dapat ditentukan dengan pencarian terbalik pada tabel yang sama, karena logaritma adalah fungsi monoton.

Komputasi

Hasil kali dan hasil bagi dua bilangan positif $c$ dan $d$ secara rutin dihitung sebagai jumlah dan selisih logaritmanya. Produk $cd$ atau hasil bagi $c/d$ berasal dari antilogaritma dari jumlah atau selisih, melalui tabel yang sama:

$cd=10^{\,^{10}\!\log c}\,10^{\,^{10}\!\log d}=10^{\,^{10}\!\log c\,+\,^{10}\!\log d}$

dan

${\frac {c}{d}}=cd^{-1}=10^{\,^{10}\!\log c\,-\,^{10}\!\log d}.$

Untuk perhitungan manual yang menuntut ketelitian yang cukup besar, melakukan pencarian kedua logaritma, menghitung jumlah atau perbedaannya, dan mencari antilogaritma jauh lebih cepat daripada melakukan perkalian dengan metode sebelumnya seperti prostafaeresis, yang mengandalkan identitas trigonometri.

Perhitungan pangkat dan akar-akar direduksi menjadi perkalian atau pembagian dan pencarian dengan

$c^{d}=\left(10^{\,^{10}\!\log c}\right)^{d}=10^{\,d^{10}\!\log c}$

dan

${\sqrt[{d}]{c}}=c^{\frac {1}{d}}=10^{{\frac {1}{d}}^{10}\!\log c}.$

Perhitungan trigonometri difasilitasi oleh tabel yang berisi logaritma umum fungsi trigonometri.

Kaidah geser

Aplikasi penting lainnya adalah kaidah geser, sepasang skala yang dibagi secara logaritmik yang digunakan dalam perhitungan. Skala logaritmik non-geser, kaidah Gunter, ditemukan tak lama setelah penemuan Napier. William Oughtred menyempurnakannya untuk membuat kaidah geser—sepasang skala logaritmik yang dapat dipindahkan terhadap satu sama lain. Bilangan yang ditempatkan pada skala geser pada jarak sebanding dengan perbedaan antara logaritma mereka. Menggeser skala atas dengan tepat berarti menambahkan logaritma secara mekanis, seperti yang diilustrasikan berikut ini:

Penggambaran skema dari kaidah slide. Mulai dari 2 pada skala bawah, tambahkan jarak ke 3 pada skala atas untuk mencapai produk 6. Kaidah geser berfungsi karena ditandai sedemikian rupa sehingga jarak dari 1 ke $x$ sebanding dengan logaritma $x$.

Misalnya, menambahkan jarak dari 1 ke 2 pada skala yang lebih rendah ke jarak dari 1 ke 3 pada skala atas menghasilkan produk 6, yang dibacakan bagian bawah. Penggaris geser adalah alat penghitung penting bagi para insinyur dan ilmuwan hingga tahun 1970-an, karena memungkinkan, dengan mengorbankan presisi, komputasi yang jauh lebih cepat daripada teknik berdasarkan tabel.

Identitas logaritmik

Artikel utama: Daftar identitas logaritma

Beberapa rumus penting, terkadang disebut identitas logaritmik atau hukum logaritma, menghubungkan logaritma satu sama lain. Adapun sifat-sifat logaritma untuk suatu basis $b$, yaitu:

	Sifat	Pembuktian
Sifat dasar	$^{b}\!\log b=1$	Klik 'tampil' untuk melihat bukti Karena $b^{1}=b$, maka dalam bentuk logaritma, $^{b}\!\log b=1\quad \blacksquare$.
	$^{b}\!\log 1=0$	Klik 'tampil' untuk melihat bukti Karena $b^{0}=1$ dimana $b\neq 0$, maka dalam bentuk logaritma, $^{b}\!\log 1=0\quad \blacksquare$.
	$^{b}\!\log b^{n}=n$	Klik 'tampil' untuk melihat bukti Dengan menggunakan sifat $^{b}\!\log b^{n}=n\,^{b}\log b$, maka $^{b}\log b^{n}=n\,^{b}\!\log a$. Karena $^{b}\!\log b=1$, maka $^{b}\log b^{n}=n\quad \blacksquare$.
Pemangkatan	$^{b}\!\log b^{n}=n\,^{b}\!\log b$	Klik 'tampil' untuk melihat bukti Mengingat bahwa $x^{n}={\underset {n}{\underbrace {x\cdots x} }}$, maka $^{b}\!\log x^{n}=\,^{b}\!\log \left({\underset {n}{\underbrace {x\cdots x} }}\right)$ Dengan menggunakan sifat perkalian, maka kita memperoleh $^{b}\!\log x^{n}=\left({\underset {n}{\underbrace {^{b}\!\log x+\cdots +\,^{b}\!\log x} }}\right)=n\,^{b}\!\log x$. $\blacksquare$
Perkalian dan pembagian	$^{b}\!\log xy=\,^{b}\!\log x+\,^{b}\!\log y$	Klik 'tampil' untuk melihat bukti Misalkan $^{b}\!\log x=u$ dan $^{b}\!\log y=v$. Dengan mengubah ke dalam bentuk eksponen diperoleh $x=b^{u}$ dan $y=b^{v}$. Maka, $xy=b^{u+v}$. Ambil logaritma basis $a$ pada kedua ruas sehingga $^{b}\!\log xy=\,^{b}\!\log x^{u+v}=u+v=\,^{b}\!\log x+\,^{b}\!\log y\quad \blacksquare$.
	$^{b}\!\log \left({\frac {x}{y}}\right)=\,^{b}\!\log x-\,^{b}\!\log y$	Klik 'tampil' untuk melihat bukti Misalkan $^{b}\!\log x=u$ dan $^{b}\!\log y=v$. Dengan mengubah ke dalam bentuk eksponen diperoleh $x=b^{u}$ dan $y=b^{v}$. Maka, ${\frac {x}{y}}=a^{u-v}$ Ambil logaritma basis $a$ pada kedua ruas sehingga $^{b}\!\log {\frac {x}{y}}=\,^{b}\!\log x^{u-v}=u-v=\,^{b}\!\log x-\,^{b}\!\log y\quad \blacksquare$.
	$^{b^{n}}\!\log x^{m}={\frac {m}{n}}\,^{b}\!\log x$
	$^{b}\!\log x\cdot \,^{x}\!\log y=\,^{b}\!\log y$	Klik 'tampil' untuk melihat bukti Lagi, sifat di atas dapat kita pakai untuk membuktikan sifat yang ini. $^{b}\!\log x\cdot ^{x}\!\log y={\frac {^{p}\!\log x}{^{p}\!\log b}}\cdot {\frac {^{p}\!\log y}{^{p}\!\log x}}$. Dengan membatalkan $^{p}\!\log x$, maka kita memperoleh $^{b}\!\log x\cdot \,^{x}\!\log y={\frac {^{p}\!\log y}{^{p}\!\log b}}=\,^{b}\!\log y$. $\blacksquare$
Mengubah basis	$^{b}\!\log x={\frac {^{p}\!\log b}{^{p}\!\log x}}$	Klik 'tampil' untuk melihat bukti Misal $^{b}\!\log x=y$. Dengan mengubah ke dalam bentuk eksponen, kita memperoleh $b^{y}=x$. Maka, kita tuliskan sebagai $^{p}\!\log x=^{p}\!\log b^{y}$ Dengan menggunakan sifat sebelumnya, maka ${\begin{aligned}^{p}\!\log x&=y\,^{p}\!\log b\\y&={\frac {^{p}\!\log x}{^{p}\!\log b}}\end{aligned}}$ Substitusi kembali sehingga didapati $^{b}\!\log x={\frac {^{p}\!\log x}{^{p}\!\log b}}\quad \blacksquare$.
	$^{a}\!\log b={\frac {1}{^{b}\!\log a}}$	Klik 'tampil' untuk melihat bukti Dengan menggunakan sifat sebelumnya, maka diperoleh $^{a}\!\log b=\,{\frac {^{p}\!\log b}{^{p}\!\log a}}$. Jika kita misalkan $p=b$, maka $^{a}\!\log b={\frac {^{b}\!\log b}{^{b}\!\log a}}={\frac {1}{^{b}\!\log a}}$.

Pada sifat pertama, sifat logaritma di atas untuk suatu bilangan $b$ dapat bernilai $0$, sebagai eksepsi $b\neq 0$. Sebagai contoh, tinjau $b=3$, maka $^{3}\!\log 3=1$. Sifat kedua juga memberikan syarat yang sama. Sifat yang ketiga di atas dapat kita pakai sebagai kalkulasi yang efisien terhadap bentuk-bentuk yang rumit. Sebagai contoh, tinjau $^{2}\!\log 64$. Berdasarkan sifat dasar, kita dapat mengubah $64$ menjadi $2^{6}$. Kita tuliskan $^{2}\!\log 64$ sebagai $^{2}\log 2^{6}=6$. Sifat keempat dapat dilakukan dengan hal yang serupa, tinjau $^{2}\!\log 27$, yang mana $27=3^{3}$. Kita bisa tulis $^{2}\!\log 27=\,^{2}\!\log 3^{3}=3\,^{2}\!\log 3$.

Pada sifat perkalian dan pembagian, dapat kita jabarkan bentuknya sebagai penambahan dan pengurangan antar logaritma. Misalnya, tinjau $^{2}\!\log 18$ dan $^{2}\!\log {\frac {2}{3}}$. Berdasarkan sifat di atas, dapat kita tuliskan bentuknya sebagai

$^{2}\!\log 2\cdot 3^{2}=\,^{2}\!\log 2+\,^{2}\!\log 3^{2}=1+2\,^{2}\!\log 3$ dan $^{2}\!\log 2-\,^{2}\!\log 3^{2}=1-2\,^{2}\!\log 3$.

Dalam perubahan basis, kalkulator ilmiah tipikal menghitung logaritma ke basis 10 dan e. Logaritma sehubungan dengan basis apa pun b ditentukan menggunakan salah satu dari dua logaritma ini dengan rumus sebelumnya:

$\log _{b}x={\frac {^{10}\!\log x}{^{10}\!\log b}}={\frac {^{e}\!\log x}{^{e}\!\log b}}.$

Diberikan angka x dan logaritmanya y = log_b x ke basis tak-diketahui b, basisnya diberikan oleh:

$b=x^{\frac {1}{y}},$

yang dilihat dari mengambil persamaan pendefinisian $x=b^{^{b}\!\log x}=b^{y}$ ke kuasa (pangkat) ${\tfrac {1}{y}}$.

Basis

Plot logaritma untuk basis 0,5, 2, dan $e$

Di antara semua pilihan untuk basis, ketiganya adalah basis khusus. Ini adalah $b=10$, $b=e$ (irasional adalah konstanta matematika ≈ 2,71828), dan $b=2$ (logaritma biner). Dalam analisa matematika, basis logaritma $e$ tersebar luas karena sifat analitik yang dijelaskan dibawah ini. Di sisi lain, logaritma basis-10 mudah digunakan untuk perhitungan manual dalam sistem bilangan desimal:

$^{10}\!\log(10x)=^{10}\!\log 10+^{10}\!\log x=1+^{10}\!\log x.\$

Jadi, $^{10}\!\log(x)$ berhubungan dengan jumlah digit desimal dari bilangan bulat positif $x$: jumlah digit adalah bilangan bulat terkecil yang lebih besar dari $^{10}\!\log(x)$. Misalnya, $^{10}\!\log(1430)$ adalah kira-kira 3,15. Bilangan bulat berikutnya adalah 4, yang merupakan jumlah digit 1430. Baik logaritma alami dan logaritma ke basis dua digunakan dalam teori informasi, sesuai dengan penggunaan nat atau bit sebagai satuan dasar informasi masing-masing. Logaritma biner juga digunakan dalam ilmu komputer, dimana sistem biner ada di mana-mana; dalam teori musik, di mana rasio nada dua (oktaf) ada di mana-mana dan sen adalah logaritma biner (skala 1200) rasio antara dua nada yang bertemperatur sama di musik klasik Eropa; dan dalam fotografi untuk mengukur nilai eksposur.

Tabel berikut mencantumkan notasi umum untuk logaritma ke basis ini dan medan dimana mereka digunakan. Banyak disiplin menulis $\log x$ yang dialihkan ke $^{b}\!\log x$, ketika dasar yang dimaksud ditentukan dari konteksnya. Notasi $^{b}\!\log x$ juga muncul. Kolom "notasi ISO" mencantumkan penunjukan yang disarankan oleh Organisasi Internasional untuk Standardisasi (ISO 80000-2). Karena notasi $\log x$ telah digunakan untuk ketiga basis (atau jika basisnya tidak tentu atau tidak material), dasar yang dimaksud sering kali harus disimpulkan berdasarkan konteks atau disiplin. Dalam ilmu komputer, $\log$ biasanya mengacu pada $^{2}\!\log$, dan dalam matematika $\log$ biasanya mengacu pada $^{e}\!\log$. Dalam konteks lain, $log$ sering disebut sebagai $^{10}\!\log$.

Basis $b$	Nama logaritma	Notasi ISO	Notasi lain	Bidang yang dipakai
$2$	logaritma biner	$\operatorname {lb} x$	$\operatorname {ld} x$, $\log x$, $\lg x$, $^{2}\!\log x$	ilmu komputer, teori informasi, bioinformatika, teori musik, fotografi
$e$	logaritma alami	$\ln x$	$\log x$ (dalam matematika dan bahasa pemrograman lainnya), $^{e}\!\log x$	matematika. fisika, kimia, statistika, ekonomi, teori informatika, ilmu teknik
$10$	logaritma umum	$\lg x$	$\log x$, $^{10}\!\log x$(dalam ilmu teknik, biologi, dan astronomi)	berbagai bidang ilmu teknik
$b$	logarithm basis $b$	$^{b}\!\log x$	-	matematika

Logaritma yang umum digunakan adalah $^{2}\!\log {x}$, $^{e}\!\log {x}$ atau $\ln {x}$, dan $^{10}\!\log {x}$ (logaritma yang paling umum digunakan menurut sejarah). Fungsi-fungsi tersebut memiliki basis 2, e, dan 10. Contohnya, logaritma dengan basis $e$ juga disebut logaritma alami atau logaritma alami, dimana:

$e=\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}\approx 2.718281828459045\dots$.

Di Indonesia, kebanyakan notasi logaritma menuliskan basis logaritma di sebelah kiri atas abreviasi kata logaritma, $^{b}\!\log x$, daripada peletakan basis logaritma di pertengahan abreviasi kata logaritma dengan variabel $x$, $^{b}\!\log x$. Galibnya, buku-buku matematika dalam versi lain menggunakan notasi $^{b}\!\log a$.

Kalkulator, dan bahasa pemrograman

Dalam kalkulator, tombol "log" digunakan logaritma basis 10), sedangkan tombol "ln" untuk basis $e$.

Pada kebanyakan kalkulator, LOG menunjuk kepada logaritma berbasis $10$ dan ln menunjuk kepada logaritma berbasis $e$. Terkadang "Log x" menunjuk kepada $^{10}\!\log x$ dan $\log x$ (huruf kecil L) menunjuk kepada $^{e}\!\log x$.

Pada beberapa bahasa pemrograman komputer seperti C,C++, Java dan BASIC, LOG menunjuk kepada logaritma berbasis $e$. Di LaTeX, logaritma dapat dituliskan sebagai \log .

Penerapan logaritma

Pengguna logaritma begitu ekstensif sehingga logaritma dapat diterapkan pada bidang sains, yaitu kimia, fisika, astronomi, dan lain sebagainya. Galibnya, terdapat banyak besaran yang umumnya diekspresikan dengan logaritma.

pH

Artikel utama: pH

Dalam kimia, pH mengekspresikan negatif dari logaritma biasa dari aktivitas ion hidrogen dalam larutan berpelarut air. Ini dirumuskan sebagai

$\mathrm {pH} =-^{10}\!\log \left[{\mbox{H}}^{+}\right]$.

Contohnya, konsentrasi ion hidronium pada air adalah 10⁻⁷ pada suhu 25 °C, sehingga

$\mathrm {pH} =-^{10}\!\log \left[10^{-7}\right]=7$.

Desibel

Artikel utama: Desibel

Dalam satuan fisika, satuan bel (dengan simbol B) adalah satuan pengukur perbandingan (rasio), seperti perbandingan nilai daya dan tegangan. Kebanyakan digunakan dalam bidang telekomunikasi, elektronik, dan akustik. Salah satu sebab digunakannya logaritma adalah karena telinga manusia mempersepsikan suara yang terdengar secara logaritmik. Satuan Bel dinamakan untuk mengenang jasa Alexander Graham Bell, seorang penemu di bidang telekomunikasi. Satuan desibel (dB), yang sama dengan 0.1 bel, lebih sering digunakan.

Skala Richter

Artikel utama: Skala Richter

Skala Richter, dinamai dari Charles Francis Richter, merupakan skala yang mengukur intensitas gempa bumi dengan menggunakan skala logaritma berbasis 10, yang dirumuskan sebagai

$M_{\mathrm {L} }=^{10}\!\log A-^{10}\!\log A_{\mathrm {0} }(\delta )=^{10}\!\log {\frac {A}{A_{\mathrm {0} }(\delta )}}$

dimana $A$ adalah ekskursi maksimum dari seismograf Wood–Anderson.

Skala logaritmik

Artikel utama: Skala logaritmik

Dalam astronomi, magnitudo yang mengukur terangnya bintang menggunakan skala logaritmik, karena mata manusia mempersepsikan terang secara logaritmik.

Logaritma dalam cabang matematika lainnya

Logaritma dalam kalkulus

Hubungan logaritma dalam kalkulus, yakni turunan dan integral logaritma. Untuk memulai pencarian turunan fungsi logaritma, kita perhatikan bahwa $y=^{b}\!\log x$ jika dan hanya jika $x=b^{y}$, maka kita memperoleh $\ln x=y\cdot \ln b$. Dengan substitusi kembali, diperoleh

$^{b}\!\log x={\frac {\ln x}{\ln b}}$.

Jika kita turunkan, maka kita mendapatkan

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}^{b}\!\log(x)={\frac {1}{x\ln(b)}}$

di mana $\ln$ adalah logaritma natural atau logaritma alami, yakni logaritma basis $e$. Turunannya juga dapat dituliskan sebagai

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}^{b}\!\log x={\frac {^{b}\!\log(e)}{x}}$

Dengan rumus di atas, kita bisa mencari turunan logaritma natural. Ambil $b=e$, maka rumus di atas dapat disederhanakan menjadi

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ln(x)={\frac {1}{x}}$.

Pada kasus mengenai invers dari turunan, Integral fungsi logaritma adalah

$\int ^{b}\!\log(x)\,dx=x^{b}\!\log(x)-{\frac {x}{\ln(b)}}+C=x^{b}\!\log \left({\frac {x}{e}}\right)+C$

Dengan cara yang serupa, yaitu mensubstitusikan $b=e$, kita memperoleh integral dari logaritma natural.

$\int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C\,$.

Logaritma dalam analisis kompleks

Artikel utama: Fungsi logaritma kompleks

Lihat pula

• Akar ke-$n$
• Daftar identitas logaritma
• Eksponensiasi dan fungsi eksponensial
• Kologaritma
• Indeks artikel logaritma
• Logaritma alami atau logaritma natural, logaritma berbasis $e$.
• Logaritma biner, logaritma dengan basis 2.
• Logaritma umum atau logaritma biasa, logaritma dengan basis $10$.

Pranala luar

• Media terkait Logaritma di Wikimedia Commons
• Definisi kamus logaritma di Wiktionary
• Khan Academy: Logarithms, free online micro lectures
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Logarithmic function", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Colin Byfleet, Educational video on logarithms, diakses tanggal 2010-10-12 
• Edward Wright, Translation of Napier's work on logarithms, diarsipkan dari versi asli tanggal 2007-06-27, diakses tanggal 2010-10-12