Logaritma

Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan (atau invers) dari eksponen atau pemangkatan. Artinya, logaritma merupakan operasi dimana nilai yang dicari dari suatu logaritma harus membalikkan fungsi dari eksponensial.

Sebagai contoh, diberikan bentuk ekspresi $2^{3}$. Menurut definisi eksponen, $2^{3}=2\times 2\times 2=8$. Dengan menggunakan penjelasan logaritma di atas, kita tuliskan $^{2}\!\log 8=3$. Penulisan $\log$ merupakan abreviasi dari kata 'logaritma'.

Definisi

Misal $a$ bilangan positif dan tidak sama dengan 1, yakni $0<a<1$ atau $a>1$ dan $b$ bilangan positif. Secara matematis dapat ditulis sebagai

$a^{b}=c$

jika dan hanya jika

$^{a}\!\log c=b$.

Pada penulisan matematis di atas, $a$ adalah basis atau bilangan pokok dari logaritma tersebut, $b$ adalah numerus atau bilangan yang dliogaritmakan, dan $c$ adalah hasil logaritma atau antilogaritma.

Beberapa buku dan karya ilmiah menuliskan ${\textstyle ^{a}\!\log {x}}$ sebagai ${\textstyle \log _{a}{x}}$. Notasi yang kedua umumnya ditemukan pada buku dan karya ilmiah yang berbahasa inggris.

Grafik logaritma terhadap basis yang berbeda.merah adalah terhadap basis $e$, hijau adalah terhadap basis $10$, dan ungu adalah terhadap basis $1.7$. Perhatikan bahwa grafik logaritma terhadap basis yang berbeda selalu melewati titik $(1,0)$.

Basis

Logaritma yang paling umum digunakan adalah $^{2}\!\log {x}$, $^{e}\!\log {x}$ atau $\ln {x}$, dan $^{10}\!\log {x}$. Fungsi-fungsi tersebut memiliki basis 2, e, dan 10. Contohnya, logaritma dengan basis $e$ juga disebut logaritma natural atau logaritma alami, di mana:

$e=\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}\approx 2.718281828459045\dots$.

Antilogaritma

Sedang dikembangkan ...

Sifat logaritma

Lihat pula: Daftar identitas logaritma

Misal $a$ merupakan basis pada logaritma. Adapun sifat-sifat logaritma, yaitu:

	Sifat	Pembuktian
Sifat dasar	$^{a}\!\log a=1$	Klik 'tampil' untuk melihat bukti Karena $a^{1}=a$, maka dalam bentuk logaritma, $^{a}\!\log a=1\quad \blacksquare$.
	$^{a}\!\log 1=0$	Klik 'tampil' untuk melihat bukti Karena $a^{0}=1$ dimana $a\neq 0$, maka dalam bentuk logaritma, $^{a}\!\log 1=0\quad \blacksquare$.
	$^{a}\!\log a^{n}=n$	Klik 'tampil' untuk melihat bukti Dengan menggunakan sifat $^{a}\!\log b^{n}=n\,^{a}\log b$, maka $^{a}\log a^{n}=n\,^{a}\!\log a$. Karena $^{a}\!\log a=1$, maka $^{a}\log a^{n}=n\quad \blacksquare$.
Pemangkatan	$^{a}\!\log b^{n}=n\,^{a}\!\log b$
Perkalian dan pembagian	$^{a}\!\log bc=\,^{a}\!\log b+\,^{a}\!\log c$	Klik 'tampil' untuk melihat bukti Misalkan $^{a}\!\log b=x$ dan $^{a}\!\log c=y$. Dengan mengubah ke dalam bentuk eksponen diperoleh $b=a^{x}$ dan $c=a^{y}$. Maka, $bc=a^{x+y}$. Ambil logaritma basis $a$ pada kedua ruas sehingga $^{a}\!\log bc=\,^{a}\!\log a^{x+y}=x+y=\,^{a}\!\log b+\,^{a}\!\log c\quad \blacksquare$.
	$^{a}\!\log \left({\frac {b}{c}}\right)=\,^{a}\!\log b-\,^{a}\!\log c$
	$^{a^{n}}\!\log b^{m}={\frac {m}{n}}\,^{a}\!\log b$
	$^{a}\!\log b\cdot \,^{b}\!\log c=\,^{a}\!\log c$
Mengubah basis	$^{a}\!\log b={\frac {1}{^{b}\!\log a}}$
	$^{a}\!\log b={\frac {^{c}\!\log b}{^{c}\!\log a}}$	Klik 'tampil' untuk melihat bukti Misal $^{a}\!\log b=y$. Dengan mengubah ke dalam bentuk eksponen, kita memperoleh $a^{y}=b$. Maka, kita tuliskan sebagai $^{c}\!\log b=^{c}\!\log a^{y}$ Dengan menggunakan sifat $^{a}\!\log b^{n}=n\,^{a}\!\log b$, maka ${\begin{aligned}^{c}\!\log b&=y\,^{c}\!\log a\\y&={\frac {^{c}\!\log b}{^{c}\!\log a}}\end{aligned}}$ Substitusi kembali sehingga didapati $^{a}\!\log b={\frac {^{c}\!\log b}{^{c}\!\log a}}\quad \blacksquare$.

Notasi

Di Indonesia, kebanyakan buku pelajaran matematika menggunakan notasi $^{b}\!\log a$ daripada $\log _{a}b$. Biasanya, buku-buku matematika dalam versi berbahasa Inggris menggunakan notasi $\log _{b}a$. Beberapa orang menulis bentuk notasi logaritma sebagai berikut:

• logaritma alami, $\ln a$ sebagai ganti $^{e}\!\log a$.
• logaritma biasa, $\log a$ sebagai ganti $^{10}\!\log a$.
• logaritma basis dua, $\operatorname {ld} a$ sebagai ganti $^{2}\!\log a$.

Kalkulator

Pada kebanyakan kalkulator, LOG menunjuk kepada logaritma berbasis $10$ dan ln menunjuk kepada logaritma berbasis $e$. Terkadang Log x (huruf besar L) menunjuk kepada ¹⁰log x dan log x (huruf kecil L) menunjuk kepada ^elog x.

Bahasa pemrograman

Pada beberapa bahasa pemrograman komputer seperti C,C++, Java dan BASIC, LOG menunjuk kepada logaritma berbasis $e$.

Mencari nilai logaritma

Cara untuk mencari nilai logaritma antara lain dengan menggunakan:

• Tabel
• Kalkulator (yang sudah dilengkapi fitur log)

Nilai logaritma dengan basis b dapat dihitung dengan rumus dibawah ini.

$\log _{b}(x)={\frac {\log _{e}(x)}{\log _{e}(b)}}\qquad {\mbox{ atau }}\qquad \log _{b}(x)={\frac {\log _{2}(x)}{\log _{2}(b)}}$

Sedangkan untuk logaritma berbasis e dan berbasis 2, terdapat prosedur-prosedur yang umum, yang hanya menggunakan penjumlahan, pengurangan, pengkalian, dan pembagian.

Kegunaan logaritma

Logaritma sering digunakan untuk memecahkan persamaan yang pangkatnya tidak diketahui. Turunannya mudah dicari dan karena itu logaritma sering digunakan sebagai solusi dari integral. Dalam persamaan bⁿ = x, b dapat dicari dengan pengakaran, n dengan logaritma, dan x dengan fungsi eksponensial.

Sains dan teknik

Dalam sains, terdapat banyak besaran yang umumnya diekspresikan dengan logaritma. Sebabnya, dan contoh-contoh yang lebih lengkap, dapat dilihat di skala logaritmik.

• Negatif dari logaritma berbasis 10 digunakan dalam kimia untuk mengekspresikan konsentrasi ion hidronium (pH). Contohnya, konsentrasi ion hidronium pada air adalah 10⁻⁷ pada suhu 25 °C, sehingga pH-nya 7.
• Satuan bel (dengan simbol B) adalah satuan pengukur perbandingan (rasio), seperti perbandingan nilai daya dan tegangan. Kebanyakan digunakan dalam bidang telekomunikasi, elektronik, dan akustik. Salah satu sebab digunakannya logaritma adalah karena telinga manusia mempersepsikan suara yang terdengar secara logaritmik. Satuan Bel dinamakan untuk mengenang jasa Alexander Graham Bell, seorang penemu di bidang telekomunikasi. Satuan desibel (dB), yang sama dengan 0.1 bel, lebih sering digunakan.
• Skala Richter mengukur intensitas gempa bumi dengan menggunakan skala logaritma berbasis 10.
• Dalam astronomi, magnitudo yang mengukur terangnya bintang menggunakan skala logaritmik, karena mata manusia mempersepsikan terang secara logaritmik.

Penghitungan yang lebih mudah

Logaritma memindahkan fokus penghitungan dari bilangan normal ke pangkat-pangkat (eksponen). Bila basis logaritmanya sama, maka beberapa jenis penghitungan menjadi lebih mudah menggunakan logaritma::

Penghitungan dengan angka	Penghitungan dengan eksponen	Identitas Logaritma
$\!\,ab$	$\!\,A+B$	$\!\,\log(ab)=\log(a)+\log(b)$
$\!{\frac {a}{b}}$	$\!\,A-B$	$\!\,\log({\frac {a}{b}})=\log(a)-\log(b)$
$\!\,a^{b}$	$\!\,Ab$	$\!\,\log(a^{b})=b\log(a)$
$\!\,{\sqrt[{b}]{a}}$	$\!\,{\frac {A}{b}}$	$\!\,\log({\sqrt[{b}]{a}})={\frac {\log(a)}{b}}$

Sifat-sifat di atas membuat penghitungan dengan eksponen menjadi lebih mudah, dan penggunaan logaritma sangat penting, terutama sebelum tersedianya kalkulator sebagai hasil perkembangan teknologi modern.

Untuk mengkali dua angka, yang diperlukan adalah melihat logaritma masing-masing angka dalam tabel, menjumlahkannya, dan melihat antilog jumlah tersebut dalam tabel. Untuk mengitung pangkat atau akar dari sebuah bilangan, logaritma bilangan tersebut dapat dilihat di tabel, lalu hanya mengkali atau membagi dengan radix pangkat atau akar tersebut.

Kalkulus

Turunan fungsi logaritma adalah

${\frac {d}{dx}}\log _{b}(x)={\frac {d}{dx}}{\frac {\ln(x)}{\ln(b)}}={\frac {1}{x\ln(b)}}={\frac {\log _{b}(e)}{x}}$

di mana ln adalah logaritma natural, yaitu logaritma yang berbasis e. Jika b = e, maka rumus di atas dapat disederhanakan menjadi

${\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}.$

Integral fungsi logaritma adalah

$\int \log _{b}(x)\,dx=x\log _{b}(x)-{\frac {x}{\ln(b)}}+C=x\log _{b}\left({\frac {x}{e}}\right)+C$

Integral logaritma berbasis e adalah

$\int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C\,$

Lihat pula

• Logaritma natural
• Logaritma biner
• Fungsi eksponensial

Bacaan lebih lanjut

• Matematika SMA dan MA 1A untuk Kelas X Semester I. Sri Kurnianingsih. Jakarta: Esis. 2007. ISBN 979-304-500-9. 
• Matematika SMA dan MA 3B untuk Kelas XII Semester II Program IPA. Sri Kurnianingsih. Jakarta: Esis. 2007. ISBN 979-304-505-X. 

Pranala luar

• Media terkait Logaritma di Wikimedia Commons
• Definisi kamus logaritma di Wiktionary
• Khan Academy: Logarithms, free online micro lectures
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Logarithmic function", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Colin Byfleet, Educational video on logarithms, diakses tanggal 2010-10-12 
• Edward Wright, Translation of Napier's work on logarithms, diarsipkan dari versi asli tanggal 2007-06-27, diakses tanggal 2010-10-12