Notasi O besar

notasi untuk menggambarkan perilaku yang membatasi sebuah fungsi

Notasi O besar, atau notasi Bachmann–Landau atau notasi asimtotik merupakan notasi matematika yang menjelaskan perilaku pada batas suatu fungsi ketika argumen cenderung menuju ke nilai yang khusus atau takhingga. Notasi O besar merupakan anggota dari keluarga notasi yang ditemukan oleh Paul Bachmann,[1] Edmund Landau,[2] dan matematikawan lain. Notasi O yang dipilih Bachmann mengartikan Ordnung, yang berarti orde aproksimasi.

Contoh notasi O besar: karena ada (yakni, ) dan (yakni, ) sehingga dengan .

Notasi O besar dikaitkan dengan notasi yang berbeda. Ada yang menggunakan o, Ω, ω, dan Θ, yang dipakai untuk menjelaskan jenis batas lain pada laju pertumbuhan asimtotik.

Definisi formalSunting

Misalkan   adalah fungsi bernilai riil ataupun kompleks dan   adalah fungsi bernilai riil, dan keduanya terdefinisi pada sebuah subhimpunan tak hingga dari bilangan riil positif, sedemikian sehingga   bernilai positif untuk semua nilai   yang cukup besar, maka

  ketika  

jika dan hanya jika untuk semua nilai   yang cukup besar, nilai absolut dari   tidak melebihi   dikali dengan sebuah konstanta positif. Dengan kata lain,   jika dan hanya jika terdapat sebuah bilangan riil positif   dan sebuah bilangan riil   sedemikian sehingga

 , untuk semua  .

Dalam banyak kasus, kita hanya tertarik dengan laju pertumbuhan variabel   yang menuju tak hingga sehingga pernyataan tersebut tidak disebutkan lagi, dan hanya ditulis sebagai

 .

Notasi ini juga dapat mendeskripsikan perilaku fungsi   di dekat sebuah bilangan riil   (biasanya  ), maka dapat dikatakan

  ketika  .

jika dan hanya jika terdapat bilangan positif   dan   sedemikian sehingga

  ketika  .

ContohSunting

Dalam penggunaannya, notasi   dapat menyederhanakan fungsi  . Sebagai contoh, misalkan  , fungsi   dapat ditulis sebagai

 .

ReferensiSunting

  1. ^ Bachmann, Paul (1894), Analytische Zahlentheorie [Teori Bilangan Analitik] (dalam bahasa Jerman). Vol. 2. Leipzig: Teubner.
  2. ^ Landau, Edmund (1909). Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen [Pedoman tentang teori dari distribusi bilangan prima] (dalam bahasa Jerman). Leipzig: B. G. Teubner. hlm. 883.

Bacaan lebih lanjutSunting

Pranala luarSunting