Eksponensiasi

sebuah operasi matematika, ditulis sebagai b, melibatkan dua bilangan, basis atau bilangan pokok b dan eksponen atau pangkat n
(Dialihkan dari Eksponen)

Eksponensial adalah matematika operasi, ditulis sebagai bn, melibatkan dua angka, basis b dan eksponen atau kuasa n, dan diucapkan sebagai "b sebagai kuasa n".[1][2] Ketika n adalah bilangan bulat positif, eksponensial sesuai dengan perkalian berulang dari basis: yaitu, bn adalah darab dari perkalian n basis:[2]

Grafik y = bx untuk sebagai basis b:   basis 10,   basis e,   basis 2,   basis 12. Setiap kurva melewati titik (0, 1) karena setiap bilangan bukan nol kuasa 0 adalah 1. Pada x = 1, nilai y sama dengan basis karena setiap bilangan yang dipangkatkan 1 adalah bilangan itu sendiri.

Eksponen biasanya ditampilkan sebagai superskrip sebelah kanan basis. Dalam hal ini, bn disebut "b kuasa ke n", "b kuasa n",[1] "kuasa n dari b", "b ke kuasa n",[3] atau disingkat sebagai "b ke n".

Satu memiliki b1 = b, dan, untuk sembarang bilangan bulat positif m dan n, apabila memiliki bnbm = bn+m. Untuk memperluas properti ini ke eksponen bilangan bulat non-positif, b0 didefinisikan sebagai 1, dan bn (dengan n bilangan bulat positif dan b bukan nol) didefinisikan sebagai 1bn. Khususnya, b−1 sama dengan 1b, timbal balik dari b.

Definisi eksponensial diperluas untuk memungkinkan eksponen real atau kompleks. Eksponen dengan eksponen bilangan bulat juga dapat didefinisikan untuk berbagai macam struktur aljabar, termasuk matriks.

Eksponen digunakan secara luas di banyak bidang, termasuk ekonomi, biologi, kimia, fisika, dan ilmu komputer, dengan aplikasi seperti bunga majemuk, pertumbuhan populasi, kinetika reaksi kimia, perilaku gelombang, dan kriptografi kunci publik.

Sejarah notasiSunting

Istilah kuasa (bahasa Latin: potentia, potestas, dignitas) adalah terjemahan yang salah[4][5] dari Yunani kuno (dúnamis, "amplifikasi"[4]) yang digunakan oleh matematikawan Yunani Euklides untuk garis kuadrat,[6] mengikuti Hippocrates dari Chios.[7] Dalam The Sand Reckoner, Archimedes menemukan dan membuktikan hukum eksponen, 10a ⋅ 10b = 10a+b, diperlukan untuk memanipulasi kuasa 10.[butuh rujukan] Pada abad ke-9, matematikawan Persia Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī menggunakan istilah ال (māl, "harta", "properti") untuk persegi— kaum muslimin, "seperti kebanyakan matematikawan pada masa itu dan sebelumnya, menganggap bilangan kuadrat sebagai penggambaran suatu area, terutama tanah, bahkan properti"[8]—dan كَعْبَة (kaʿbah, "kubus") untuk kubus, yang kemudian matematikawan Islam diwakili dalam notasi matematika sebagai huruf mīm (m) dan kāf (k), masing-masing, pada abad ke-15, seperti yang terlihat dalam karya Abū al-Hasan ibn Alī al-Qalasādī.[9]

Pada akhir abad ke-16, Jost Bürgi menggunakan bilangan Romawi untuk eksponen.[10]

Nicolas Chuquet menggunakan bentuk notasi eksponensial pada abad ke-15, yang kemudian digunakan oleh Henricus Grammateus dan Michael Stifel pada abad ke-16. Kata "eksponen" diciptakan pada tahun 1544 oleh Michael Stifel.[11][12] Samuel Jeake memperkenalkan istilah indeks pada tahun 1696.[6] Pada abad ke-16, Robert Recorde menggunakan istilah persegi, kubus, zenzizenzic (kuasa keempat), padatan (kelima), kubuszenzi (keenam), padatan kedua (ketujuh), dan zenzizenzizenzik (kedelapan).[8] Biquadrate telah digunakan untuk merujuk pada kuasa keempat juga.

Pada awal abad ke-17, bentuk pertama dari notasi eksponensial modern diperkenalkan oleh René Descartes dalam teksnya yang berjudul La Géométrie; terdapat, notasi diperkenalkan di Buku I.[13]

Beberapa matematikawan (seperti Isaac Newton) menggunakan eksponen hanya untuk pangkat yang lebih besar dari dua, lebih memilih untuk merepresentasikan kuadrat sebagai perkalian berulang. Jadi ketika akan menulis polinomial, misalnya, sebagai ax + bxx + cx3 + d.

Sinonim sejarah lainnya[butuh klarifikasi] dalam penggunaan involusi,[14] dan jangan bingung dengan artinya yang lebih umum.

Pada tahun 1748, Leonhard Euler memperkenalkan eksponen variabel, dan, secara implisit, eksponen non-bilangan bulat dengan menulis:

"pertimbangkan eksponensial atau kuasa dimana eksponen itu sendiri adalah variabel. Jelaskan besaran-besaran seperti ini bukanlah fungsi aljabar, karena eksponennya harus konstan."[15]

TerminologiSunting

Ekspresi b2 = b b disebut "persegi dari b" atau "b kuadrat", karena luas persegi dengan panjang sisi b adalah b2.

Demikian pula, ekspresi b3 = b b b disebut "kubus dari b" atau "b pangkat tiga", karena volume kubus dengan panjang rusuk b adalah b3.

Ketika itu adalah bilangan bulat positif, eksponen menunjukkan berapa banyak salinan dari basis yang dikalikan bersama. Misalnya, 35 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 243. Basis 3 muncul 5 kali dalam perkalian, karena eksponennya adalah 5. Maka, 243 adalah kuasa ke-5 dari 3, atau 3 terkuasa ke-5.

Kata "terkuasa" biasanya dihilangkan, dan terkadang "kuasa" juga, jadi 35 dapat dibaca "3 ke 5", atau "3 ke 5 ". Oleh karena itu, eksponensial bn dinyatakan sebagai "b untuk kuasa n", "b untuk kuasa ke-n", "b untuk ke-n", atau disingkat juga sebagai "b untuk n ".

Rumus dengan eksponensial bertingkat, seperti 357 (yang berarti 3(57) dan bukan (35)7), disebut juga sebagai menara kuasa, atau hanya menara.

Eksponen bilangan bulatSunting

Operasi eksponensial dengan eksponen bilangan bulat didefinisikan langsung dari operasi aritmetika dasar.

Eksponen positifSunting

Definisi eksponensial sebagai perkalian teriterasi dibuktikan secara formalisasi dengan menggunakan induksi,[16] dan definisi ini digunakan segera apabila memiliki perkalian asosiasi:

Kasus dasarnya adalah

 

dan pengulangan adalah

 

Asosiasi perkalian menyatakan bahwa untuk sembarang bilangan bulat positif m dan n, adalah

 

dan

 

Eksponen nolSunting

Menurut definisi, setiap bilangan bukan nol yang terkuasa ke kuasa 0 adalah 1:[17][2]

 

Definisi ini adalah satu-satunya kemungkinan yang memungkinkan perluasan rumus

 

ke nol eksponen. Ini digunakan pada setiap struktur aljabar dengan perkalian yang memiliki identitas.

Secara intuitif,   diartikan sebagai darab kosong dari salinan b. Jadi, persamaan   adalah kasus khusus dari konvensi umum untuk darab kosong.

Kasus 00 adalah lebih rumit. Dalam konteks dimana kuasa bilangan bulat yang dipertimbangkan, nilai 0 umumnya ditetapkan ke   namun, jika tidak, pilihan apakah akan menetapkan nilai dan nilai apa yang akan ditetapkan mungkin bergantung pada konteks.

Eksponen negatifSunting

Eksponen dengan eksponen negatif didefinisikan oleh identitas berikut, yang berlaku untuk sembarang bilangan bulat n dan bukan nol b:

 [2]

Menaikkan 0 ke eksponen negatif tidak ditentukan, tetapi dalam beberapa keadaan, apabila ditafsirkan sebagai tak hingga ( ).

Definisi eksponen dengan eksponen negatif ini adalah satu-satunya yang memungkinkan perluasan identitas   ke eksponen negatif (pertimbangkan kasus  ).

Definisi yang sama berlaku untuk elemen terbalikkan dalam monoid perkalian, yaitu, struktur aljabar dengan perkalian asosiatif dan identitas perkalian yang dilambangkan 1 (misalnya, matriks persegi dari dimensi tertentu). Secara khusus, dalam struktur ini, invers dari elemen terbalikkan x secara standar dilambangkan sebagai  

Identitas dan sifatSunting

Identitas berikut ini, sering disebut sebagai kaidah eksponen, untuk semua eksponen bilangan bulat, asalkan basisnya bukan nol:[2]

 

Tidak seperti penjumlahan dan perkalian, eksponensial bukanlah komutatif. Misalnya, 23 = 8 ≠ 32 = 9. Juga tidak seperti penjumlahan dan perkalian, eksponensial tidak asosiatif. Misalnya, (23)2 = 82 = 64, dimana 2(32) = 29 = 512. Tanpa tanda kurung, urutan operasi konvensional untuk deret eksponensial dalam notasi superskrip adalah top-down (atau asosiatif-kanan), bukan bottom-up[18][19][20][21] (atau asosiatif-kiri). Maka,

 

yang secara umum berbeda dengan

 

Kuasa jumlahSunting

Kuasa jumlah biasanya dihitung dari kuasa penjumlahan dengan rumus binomial

 

Namun, rumus ini hanya berlaku jika jumlah komuter (yaitu ab = ba), yang menyatakan apabila ia termasuk dalam struktur yaitu komutatif. Jika tidak, a dan b adalah matriks persegi dengan ukuran yang sama, rumus ini tidak dapat digunakan. Oleh karena itu dalam aljabar komputer, banyak algoritma yang melibatkan eksponen bilangan bulat diubah ketika basis eksponensial tidak komuter. Beberapa tujuan umum sistem aljabar komputer menggunakan notasi yang berbeda (terkadang, ^^ sebagai gantinya adalah ^) untuk eksponensial dengan basis non-komuter, yang kemudian disebut eksponensial non-komutatif.

Interpretasi kombinatorialSunting

Untuk bilangan bulat tak negatif n dan m, nilai dari nm adalah jumlah fungsi dari himpunan elemen m ke himpunan elemen n (lihat eksponensial kardinal). Fungsi tersebut direpresentasikan sebagai rangkap-m dari elemen himpunan-n (atau sebagai kata huruf m dari alfabet huruf n). Beberapa contoh untuk nilai m dan n tertentu diberikan dalam tabel berikut:

nm nm kemungkinan rangkap-m elemen dari himpunan (1, ..., n}
05 = 0 tidak ada
14 = 1 (1, 1, 1, 1)
23 = 8 (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (2, 2, 2)
32 = 9 (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)
41 = 4 (1), (2), (3), (4)
50 = 1 ()

Basis tertentuSunting

Kuasa sepuluhSunting

Dalam sistem bilangan basis sepuluh (desimal), kuasa bilangan bulat 10 ditulis sebagai digit 1 diikuti atau didahului oleh sejumlah nol yang ditentukan oleh tanda dan besaran eksponen. Misalnya, 103 = 1000 dan 10−4 = 00.001.

Eksponen dengan basis 10 digunakan dalam notasi ilmiah untuk menyatakan bilangan besar atau kecil. Misalnya, 299.792.458 m/s (kecepatan cahaya dalam ruang hampa), dalam meter per detik) dapat ditulis sebagai 299.792.458×108 m/s dan kemudian perkiraan sebagai 2998×108 m/s.

Awalan SI berdasarkan kuasa 10 yang juga digunakan untuk menggambarkan jumlah kecil atau besar. Misalnya, awalan kilo berarti 103 = 1000, jadi satu kilometer adalah 1000 m.

Kuasa duaSunting

Pangkat negatif pertama 2 biasanya digunakan, dan memiliki nama khusus, misalnya: setengah dan kuarterner.

Kuasa 2 muncul di teori himpunan, karena himpunan dengan anggota n memiliki himpunan kuasa, himpunan semua himpunan bagian-nya, yang memiliki anggota 2n.

Kuasa bilangan bulat 2 penting dalam ilmu komputer. Bilangan bulat positif kuasa 2n memberikan jumlah bilangan yang mungkin untuk bitn bilangan bulat bilangan biner; misalnya, bita dapat mengambil 28 = 256 nilai yang berbeda. Sistem bilangan biner menyatakan bilangan sebagai jumlah dari kuasa 2, dan menyatakannya sebagai urutan 0 dan 1, dipisahkan oleh titik biner, dimana 1 menunjukkan kuasa 2 yang muncul dalam penjumlahan; eksponen ditentukan oleh tempat 1 ini: eksponen nonnegatif adalah kuasa 1 sebelah kiri titik (mulai dari 0), dan eksponen negatif ditentukan oleh peringkat sebelah kanan titik.

Kuasa satuSunting

Kuasa satu adalah semua satu: 1n = 1.

Kuasa nolSunting

Jika eksponen n positif (n > 0), kuasa ke-n dari nol adalah nol: 0n = 0.

Jika eksponen n negatif (n < 0), kuasa ke-n dari nol 0 n tidak ditentukan, karena itu harus sama dengan   dengan n > 0, dan ini sebagai menjadi  .

Ekspresi 00 didefinisikan sebagai 1, atau maka tidak terdefinisi (lihat Nol untuk kuasa nol).

Kuasa negatif satuSunting

Jika n adalah bilangan bulat genap, maka (−1)n = 1.

Jika n adalah bilangan bulat ganjil, maka (−1)n = −1.

Oleh karena itu, kuasa −1 berguna untuk menyatakan sebagai urutan bergantian. Untuk diskusi serupa tentang kuasa bilangan kompleks i, lihat § Kuasa bilangan kompleks.

Eksponen besarSunting

Limit barisan kuasa dari bilangan besar dari satu divergen; dengan kata lain, barisan tersebut terikat tanpa batas:

bn → ∞ sebagai n → ∞ jika b > 1

Apabila dibaca sebagai "b kuasa n cenderung +∞ sebagai n cenderung tak hingga ketika b memiliki nilai besar daripada satu".

Kuasa suatu bilangan dengan nilai absolut kurang dari satu cenderung nol:

bn → 0 sebagai n → ∞ jika |b| < 1

Setiap kuasa satu tetap satu:

bn = 1 untuk semua n jika b = 1

Kuasa –1 berganti antara 1 dan –1 sebagai n berganti antara genap dan ganjil, dan dengan demikian tidak cenderung ke limit apabila sebagai pertumbuhan n.

Jika b < –1, bn, berganti sebagai bilangan positif dan negatif besar dan n berganti sebagai genap dan ganjil, dan dengan demikian tidak cenderung ke limit apabila sebagai pertumbuhan n.

Jika bilangan eksponen berubah cenderung ke 1 karena eksponen cenderung tak hingga, maka limitnya belum tentu salah satu atas. Kasus yang sangat penting adalah

(1 + 1/n)ne sebagai n → ∞

Lihat § Fungsi eksponensial dibawah ini.

Limit lain, khususnya ekspresi yang menggunakan bentuk antara, dijelaskan dalam § Kuasa limit dibawah.

Fungsi kuasaSunting

 
Fungsi kuasa untuk  
 
Fungsi kuasa untuk  

Fungsi real dari bentuk  , dimana  , terkadang disebut sebagai fungsi pangkat.[butuh rujukan] Ketika   adalah bilangan bulat dan  , maka terdapat dua keluarga keujudan, yaitu: untuk   genap, dan untuk   ganjil. Secara umum untuk  , bila   genap   cenderung ke arah positif ketakterhinggaan dengan penambahan  , dan juga menuju tak hingga positif dengan turunan  . Semua grafik dari keluarga fungsi pangkat genap memiliki bentuk umum  , yang merata ditengah sebagai tingkatan  .[22] Fungsi dengan simetri ( ) seperti ini disebut fungsi genap.

Ketika   ganjil, perilaku asimptotik   berbalik dari   positif ke   negatif. Untuk  ,   juga cenderung ke arah positif ketakterhinggaan dengan tingkatan  , tetapi menuju ketakterhinggaan negatif dengan turunan  . Semua grafik dari keluarga fungsi kuasa ganjil memiliki bentuk umum  , merata ditengah ketika tingkatan   dan kehilangan semua kerataan di garis lurus untuk  . Fungsi dengan simetri seperti ini ( ) disebut fungsi ganjil.

Untuk  , perilaku asimtotik berlawanan berlaku untuk setiap kasus.[22]

Daftar kuasa bilangan bulatSunting

n n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10
2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
3 9 27 81 243 729 2187 6561 19.683 59.049
4 16 64 256 1024 4096 16.384 65.536 262.144 1.048.576
5 25 125 625 3125 15.625 78.125 390.625 1.953.125 9.765.625
6 36 216 1296 7776 46.656 279.936 1.679.616 10.077.696 60.466.176
7 49 343 2401 16.807 117.649 823.543 5.764.801 40.353.607 282.475.249
8 64 512 4096 32.768 262.144 2.097.152 16.777.216 134.217.728 1.073.741.824
9 81 729 6561 59.049 531.441 4.782.969 43.046.721 387.420.489 3.486.784.401
10 100 1000 10.000 100.000 1.000.000 10.000.000 100.000.000 1.000.000.000 10.000.000.000

Eksponen rasionalSunting

 
Dari atas ke bawah: x1/8, x1/4, x1/2, x1, x2, x4, x8.

Jika x adalah bilangan real nonnegatif, dan n adalah bilangan bulat positif,   atau   menunjukkan real positif unik akar ke-n dari x, yaitu, bilangan real positif unik y sehingga  

Jika x adalah bilangan real positif, dan   adalah bilangan rasional, dengan p dan q ≠ 0 bilangan bulat, maka   didefinisikan sebagai

 

Persamaan sebelah kanan diturunkan dengan menetapkan   dan menulis  

Jika r adalah bilangan rasional positif,   menurut definisi.

Semua definisi ini diperlukan untuk memperluas identitas   ke eksponen rasional.

Di sisi lain, ada masalah dengan perluasan definisi ini ke basis yang bukan bilangan real positif. Misalnya, bilangan real negatif memiliki akar ke-n real, yang negatif jika n adalah ganjil, dan tidak memiliki akar real jika n genap. Dalam kasus terakhir, kompleks mana pun akar ke-n memilih satu untuk   identitas  . Misalnya,

 

Lihat § Eksponen real dengan basis negatif dan § Kuasa bilangan kompleks untuk detail tentang cara menangani masalah ini.

Eksponen realSunting

Untuk bilangan real positif, eksponensial untuk kuasa real dapat didefinisikan dalam dua cara yang setara, baik dengan memperluas kuasa rasional ke real dengan kontinuitas (§ Limit eksponen rasional, dibawah), atau dalam hal logaritma dari basis dan fungsi eksponensial (§ Kuasa melalui logaritma, dibawah). Hasilnya bilangan real positif, dan identitas dan sifat yang ditunjukkan atas untuk eksponen bilangan bulat tetap benar dengan definisi ini untuk eksponen real. Definisi kedua lebih umum digunakan, karena digeneralisasikan secara langsung ke kompleks eksponen.

Di sisi lain, eksponensial ke kuasa real dari bilangan real negatif jauh lebih sulit untuk didefinisikan secara konsisten, karena mungkin non-real dan memiliki beberapa nilai (lihat § Eksponen real dengan basis negatif). Apabila memilih salah satu dari nilai-nilai ini, yang disebut nilai utama, tetapi tidak ada pilihan nilai utama yang identitasnya

 

adalah benar; lihat § Kegagalan kuasa dan identitas logaritma. Oleh karena itu, eksponensial dengan basis yang bukan bilangan real positif umumnya dipandang sebagai fungsi multinilai.

Limit eksponen rasionalSunting

 
Limit e1/n adalah e0 = 1 ketika n cenderung ketakterhinggaan.

Karena bilangan irasional dapat dinyatakan sebagai limit barisan dari bilangan rasional, eksponen bilangan real positif b dengan eksponen real arbitrer x didefinisikan oleh kontinuitas dengan kaidah[23]

 

dimana limitnya diambil alih nilai rasional r saja. Limit ini ada untuk setiap b positif dan setiap x real.

Misalnya, jika x = π, diwakilankan desimal tanpa π = 3.14159... dan monotonisitas dari kuasa rasional digunakan untuk mendapatkan interval dibatasi oleh kuasa rasional sekecil yang diinginkan, dan dilambangkan sebagai  

 

Jadi, batas atas dan batas bawah interval membentuk dua barisan yang memiliki limit yang sama, dilambangkan dengan sebagai  

Apabila mendefinisikan   untuk setiap b positif dan x positif sebagai fungsi kontinu dari b dan x.

Fungsi eksponensialSunting

Fungsi eksponensial didefinisikan sebagai   dimana   adalah bilangan Euler. Untuk menghindari penalaran lingkar, definisi ini tidak dapat digunakan di sini. Jadi, diberikan definisi fungsi eksponensial, dinotasikan   dan dari bilangan Euler bebas dari eksponensial. Kemudian sebuah bukti dibuat sketsa, bahwa apabila jika menggunakan definisi eksponensial yang diberikan pada bagian sebelumnya, maka memiliki:

 

Terdapat banyak cara ekuivalen untuk mendefinisikan fungsi eksponensial, salah satunya adalah mendefinisikannya sebagai fungsi invers dari logaritma alami. Tepatnya, logaritma natural adalah antiturunan dari   yang mengambil nilai 0 untuk x = 1 :

 

Apabila mendefinisikan logaritma sebagai fungsi meningkat dari real positif ke bilangan real. Fungsi invers dan fungsi eksponensial dengan demikian merupakan fungsi naik dari bilangan real ke real positif, yang biasa dilambangkan exp. Satu satunya, memiliki

 

dan identitas eksponensial

 

untuk setiap x dan y.

Bilangan Euler didefinisikan sebagai  . Maka, ini mengikuti dari persamaan sebelumnya bahwa   dengan x adalah bilangan bulat (ini hasil dari definisi perkalian berulang dari eksponensial). Jika x adalah real,   dihasilkan dari definisi yang diberikan pada bagian sebelumnya, dengan menggunakan identitas eksponensial jika x adalah rasional, dan kontinuitas fungsi eksponensial sebaliknya.

Fungsi eksponensial memenuhi persamaan

 

Karena deret konvergen untuk setiap kompleks nilai x dengan persamaan yang memungkinkan pendefinisian fungsi eksponensial, dan demikian pula   untuk argumen kompleks z. Fungsi eksponensial diperluas masih memenuhi identitas eksponensial, dan biasanya digunakan untuk mendefinisikan eksponensial untuk basis kompleks dan eksponen.

Kuasa melalui logaritmaSunting

Definisi ex sebagai fungsi eksponensial didefinisikan bx untuk setiap bilangan real positif b, dalam hal fungsi eksponensial dan logaritmik. Secara khusus, bahwa logaritma natural ln(x) adalah invers dari fungsi eksponensial e x maka ia memiliki

 

untuk setiap b > 0. Untuk mempertahankan identitas   maka ia memiliki

 

Jadi,   digunakan sebagai definisi alternatif dari bx untuk setiap real positif b. Ini sesuai dengan definisi yang diberikan di atas menggunakan eksponen rasional dan kontinuitas, dengan memperluas secara langsung ke eksponen kompleks mana pun.

Eksponen kompleks dengan basis real positifSunting

Jika b adalah bilangan real positif, eksponen dengan basis b dan kompleks eksponen didefinisikan melalui fungsi eksponensial dengan argumen kompleks (lihat dibagian akhir § Fungsi eksponensial, diatas) sebagai

 

dimana   menunjukkan logaritma natural dari b.

Maka, ini memenuhi identitas

 

Secara umum,   tidak didefinisikan, karena bz bukan bilangan real. Jika suatu arti diberikan pada eksponen bilangan kompleks (lihat § Kuasa bilangan kompleks, dibawah), secara umum,

 

kecuali z adalah real atau w adalah bilangan bulat.

Rumus Euler   mengekspresikan bentuk polar dari   dalam hal bagian real dan imajiner dari z, yaitu

 

dimana nilai absolut dari faktor trigonometri adalah satu. Maka, hasilnya adalah

 

Kuasa bilangan kompleks non-bilangan bulatSunting

Pada bagian sebelumnya, eksponen dengan eksponen non-bilangan bulat telah didefinisikan hanya untuk basis real positif. Untuk basis lain, kesulitan muncul dengan kasus sederhana dari akar ke-n, yaitu, dari eksponen   dimana n adalah bilangan bulat positif. Meskipun teori umum eksponensial dengan eksponen bukan bilangan bulat yang berlaku untuk akar ke-n, kasus ini layak untuk dipertimbangkan terlebih dahulu, karena tidak perlu menggunakan logaritma kompleks, dan karena itu lebih mudah dipahami.

Akar ke-n pada bilangan kompleksSunting

Setiap bilangan kompleks bukan nol z dapat ditulis dalam bentuk polar sebagai

 

dimana   adalah nilai absolut dari z, dan   adalah argumen. Argumen didefinisikan hingga bilangan bulat kelipatan 2π; ini berarti, jika   adalah argumen dari bilangan kompleks, maka   juga merupakan argumen dari bilangan kompleks yang sama.

Bentuk polar dari darab dua bilangan kompleks diperoleh dengan mengalikan nilai absolut dan menambahkan argumen. Oleh karena itu, bentuk kutub dari akar ke-n dari bilangan kompleks diperoleh dengan mengambil akar ke-n dari nilai absolut dan membagi argumennya dengan n:

 

Jika   ditambahkan ke   maka bilangan kompleks tersebut tidak berubah, tetapi ini menambahkan   ke argumen akar ke-n, dan diberikan akar ke-n yang baru. Ini dilakukan kali n, dan diberikan kepada akar ke-n n dari bilangan kompleks.

Biasanya memilih salah satu dari akar ke-n n sebagai akar utama. Pilihan umum adalah memilih akar ke-n sebagai   yaitu, akar ke-n yang memiliki bagian real terbesar, dan jika keduanya adalah dua dari bagian imajiner positif tersebut. Ini membuat akar ke-n utama sebuah fungsi kontinu dalam seluruh bidang kompleks, kecuali untuk nilai real negatif dari radikan. Fungsi ini sama dengan akar ke-n biasa untuk radikan real positif. Untuk radikan real negatif, dan eksponen ganjil, akar ke-n utama bukanlah real, meskipun akar ke-n yang biasa adalah real. Kelanjutan analitik menunjukkan bahwa prinsip akar ke-n utama adalah fungsi unik diferensial kompleks yang memperluas fungsi akar ke-n medan kompleks tanpa bilangan real yang bukan positif.

Jika bilangan kompleks dipindahkan sekitar nol dengan meningkatkan argumennya, setelah kenaikan   bilangan kompleks kembali ke posisi awal, dan akar ke-n-nya adalah permutasi lingkar (yang dikalikan dengan  ). Ini menunjukkan bahwa tidak mungkin untuk mendefinisikan fungsi akar ke-n yang tidak kontinu pada seluruh medan kompleks.

Akar satuanSunting

 
Tiga akar ke-3 dari 1

Bilangan kompleks w sedemikian rupa sehingga wn = 1 untuk bilangan bulat positif n adalah akar satuan ke-n. Secara geometris, akar satuan ke-n terletak pada lingkaran satuan dari medan kompleks pada simpul-simpul dari gon-n beraturan dengan satu simpul pada bilangan real 1.

Jika wn = 1 akan tetapi wk 1 untuk semua bilangan asli k sehingga 0 < k < n, maka w disebut akar satuan ke-n primitif. Satuan negatif −1 adalah satu-satunya akar kuadrat primitif dari satuan. satuan imajiner i adalah salah satu dari dua akar ke-4 primitif dari satuan; yang lainnya adalah −i.

Bilangan e2πin adalah akar satuan n primitif dengan argumen positif terkecil. Hal ini terkadang disebut akar kesatuan ke-n utama, meskipun terminologi ini tidaklah universal dan tidak boleh disamakan dengan nilai utama dari n1, yaitu 1.[24][25][26]) Akar satuan ke-n yang lain dinyatakan sebagai bentuk akar ke-n utama, yaitu

 
untuk 2 ≤ kn.

Eksponensial kompleksSunting

Mendefinisikan eksponensial dengan basis kompleks menyebabkan kesulitan serupa dengan yang dijelaskan pada bagian sebelumnya, kecuali, bahwa, secara umum, ada banyak kemungkinan nilai untuk  . Jadi, salah satu nilai utama didefinisikan yang bukan kontinu untuk nilai z real dan nonpositif, atau   didefinisikan sebagai fungsi multinilai.

Dalam semua kasus, logaritma kompleks digunakan untuk mendefinisikan eksponensial kompleks, sebagai

 

dimana   adalah varian dari logaritma kompleks yang digunakan, yaitu, fungsi atau fungsi multinilai sedemikian rupa sehingga

 

untuk setiap z dalam ranah definisi.

Nilai utamaSunting

Nilai utama dari logaritma kompleks adalah fungsi unik, biasanya dilambangkan   sehingga, untuk setiap bilangan kompleks bukan nol z,

 

dan bagian imajiner dari z memenuhi

 

Nilai utama dari logaritma kompleks tidak didefinisikan untuk   hal itu disebut juga sebagai tidak kontinu pada nilai real negatif z, dan holomorfik (yaitu, terdiferensial kompleks) pada bagian lain. Jika z adalah real dan positif, nilai utama dari logaritma kompleks adalah logaritma alami:  

Nilai utama   didefinisikan sebagai   dimana   adalah nilai utama dari logaritma.

Fungsi   adalah holomorfik kecuali diantara titik-titik dimana z adalah real dan non-positif.

Jika z adalah real dan positif, nilai utama   sama dengan nilai biasa yang didefinisikan di atas. Jika   dimana n adalah bilangan bulat, nilai utama ini sama dengan yang didefinisikan di atas.

Fungsi multinilaiSunting

Dalam beberapa konteks, terdapat masalah dengan diskontinuitas pada nilai-nilai utama   dan   pada nilai real negatif z. Dalam hal ini, akan berguna untuk mempertimbangkan fungsi-fungsi ini sebagai fungsi multinilai.

Jika   menunjukkan salah satu nilai dari logaritma multinilai (biasanya nilai utamanya), nilai lainnya adalah   dimana k adalah bilangan bulat. Demikian pula, jika   adalah salah satu nilai eksponensial, maka nilai lainnya diberikan oleh

 

dimana k adalah bilangan bulat.

Nilai k berbeda memberikan nilai   yang berbeda kecuali w adalah bilangan rasional, yaitu, apabila bilangan bulat d sehingga dw adalah bilangan bulat. Maka hasil dari periodisitas ini dari fungsi eksponensial, bahwa   jika dan hanya jika   adalah kelipatan bilangan bulat dari  

Jika   adalah bilangan rasional dengan m dan n bilangan bulat koprima dengan   maka   memiliki nilai persis n. Dalam kasus   nilai-nilai ini sama dengan yang dijelaskan dalam §akar ke-n bilangan kompleks. Jika w adalah bilangan bulat, maka hanya ada satu nilai yang sesuai dengan § Eksponen bilangan bulat.

Kuasa multinilai adalah holomorfik untuk   dalam arti bahwa grafik-nya terdiri dari beberapa lembar yang mendefinisikan setiap fungsi holomorfik pada sekitar setiap titik. Jika variasi z terus menerus sepanjang lingkaran pada sekitar 0, maka, setelah titik balik, nilai   berubah dari lapisan.

KomputasiSunting

Bentuk kanonik   dari   dihitung dari bentuk kanonik z dan w. Meskipun ini dapat dijelaskan dengan satu rumus, lebih jelas untuk membagi perhitungan dalam beberapa langkah.

  • Bentuk polar dari z. Jika   adalah bentuk kanonik dari z (a dan b sebagai real), maka bentuk polar-nya adalah
     
    dimana   dan   (lihat atan2 untuk definisi fungsi ini).
  • logaritma dari z. Nilai utama dari logaritma ini adalah   dimana   menunjukkan logaritma alami. Nilai logaritma lainnya diperoleh dengan menambahkan   untuk sembarang bilangan bulat k.
  • Bentuk kanonik dari   Jika   dengan real c dan d, nilai   adalah
     
    nilai utama yang sesuai dengan  
  • Hasil akhir. Menggunakan identitas   dan   satu-satunya menggunakan
     
    dengan   untuk nilai utama.
ContohSunting
  •  
    Bentuk polar i adalah   dan dengan demikian nilai   adalah
     
    Oleh karena itu
     
    Jadi, semua nilai real   utama adalah
     
  •  
    Similarly, bentuk polar dari −2 adalah   Jadi, metode yang dijelaskan di atas diberikan nilai
     
    Dalam hal ini, semua nilai memiliki argumen   yang sama dan nilai absolut yang berbeda.

Dalam kedua contoh, semua nilai   memiliki argumen yang sama. Secara umum, ini benar jika dan hanya jika bagian real dari w adalah bilangan bulat.

Kegagalan kuasa dan identitas logaritmaSunting

Beberapa identitas untuk kuasa dan logaritma untuk bilangan real positif akan gagal untuk bilangan kompleks, tidak peduli seberapa kuasa kompleks dan logaritma kompleks didefinisikan sebagai fungsi bernilai tunggal. Misalnya:

  • Identitas log(bx) = x ⋅ log b berlaku setiap b adalah bilangan real positif dan x adalah bilangan real. Tetapi untuk cabang utama dari logaritma kompleks yang dimiliki
     

    Terlepas dari cabang logaritma mana yang digunakan, kegagalan identitas yang serupa akan tetap ada. Yang terbaik yang bisa dikatakan (jika hanya menggunakan hasil ini) adalah bahwa:

     

    Identitas ini tidak berlaku bahkan ketika mempertimbangkan log sebagai fungsi multinilai. Nilai yang mungkin menggunakan log(wz) berisi z log w sebagai himpunan bagian. Menggunakan Log(w) untuk nilai utama log(w) dan m, n sebagai bilangan bulat, nilai yang berasal dari kedua sisi adalah:

     
  • Identitas (bc)x = bxcx dan (b/c)x = bx/cx adalah absah jika b dan c adalah bilangan real positif dan x adalah bilangan real. Tetapi perhitungan menggunakan cabang utama menunjukkan bahwa
     

    dan

     

    Di sisi lain, ketika x adalah bilangan bulat, identitas absah-nya untuk semua bilangan kompleks bukan nol.

    Jika eksponensial dianggap sebagai fungsi multinilai maka nilai yang mungkin dari (−1 ⋅ 1)1/2 adalah {1, −1}. Identitasnya berlaku, tetapi mengatakan {1} = {(−1 ⋅ 1)1/2} adalah salah.
  • Identitas (ex)y = exy berlaku untuk bilangan real x dan y, tetapi dengan asumsi kebenarannya untuk bilangan kompleks mengarah ke paradoks berikut, ditemukan pada tahun 1827 oleh Clausen:[27] Untuk sembarang bilangan bulat n, memiliki:
    1.  
    2.   (mengambil ke-  kuasa kedua sisi)
    3.   (menggunakan   dan memperluas eksponen)
    4.   (menggunakan  )
    5.   (membagi dengan e)
    tetapi ini salah jika bilangan bulat n adalah bukan nol. Kesalahannya adalah sebagai berikut: menurut definisi,   adalah notasi untuk   fungsi yang sebenarnya, dan   adalah notasi untuk   yang merupakan fungsi multinilai. Jadi notasi ambigunya ketika x = e. Maka, sebelum memperluas eksponen, baris kedua seharusnya
     
    Oleh karena itu, ketika memperluas eksponen, apabila implisit menduga bahwa   untuk nilai kompleks z adalah nilai salah, karena logaritma kompleksnya adalah multinilai. Dengan kata lain, identitas salah (ex)y = exy harus diganti dengan identitas
     
    yang merupakan identitas hakiki antara fungsi multinilai.

Eksponen irasionalSunting

Jika b adalah real positif bilangan aljabar, dan x adalah bilangan rasional, telah ditunjukkan di atas bahwa bx adalah bilangan aljabar. Ini sisa hakiki bahkan apabila jika menerima bilangan aljabar untuk b, dengan satu-satunya perbedaan bahwa bx mengambil beberapa nilai (bilangan terbatas, lihat di bawah), yang merupakan aljabar. Teorema Gelfond–Schneider diberikan beberapa informasi tentang sifat bx ketika x adalah irasional (yaitu, bukan rasional). Maka, ini menyatakan:

Jika b adalah bilangan aljabar yang berbeda dari 0 dan 1, dan x adalah bilangan aljabar irasional, maka semua nilai bx (banyaknya, tak hingga) adalah transendental (bukan aljabar).

Kuasa bilangan bulat dalam aljabarSunting

Definisi eksponen dengan eksponen bilangan bulat positif sebagai perkalian berulang yang berlaku untuk operasi asosiatif apa pun yang dilambangkan sebagai perkalian.[nb 1] Definisi   memerlukan keberadaan identitas perkalian lebih lanjut.[28]

Sebuah struktur aljabar yang terdiri dari himpunan bersama dengan operasi asosiatif yang dilambangkan dengan perkalian, dan identitas perkalian yang dilambangkan dengan 1 adalah monoid. Dalam monoid, eksponensial elemen x didefinisikan secara induktif oleh

  •  
  •   untuk setiap bilangan bulat nonnegatif n.

Jika n adalah bilangan bulat negatif,   didefinisikan hanya jika x memiliki invers perkalian.[29] Dalam hal ini, invers dari x dinotasikan   dan   didefinisikan sebagai  

Eksponen dengan eksponen bilangan bulat mematuhi hukum berikut, untuk x dan y dalam struktur aljabar, dan m dan n bilangan bulat:

 

Definisi ini banyak digunakan di banyak bidang matematika, terutama untuk geup, gelanggang, medan, matriks persegi (yang membentuk gelanggang). Mereka berlaku juga untuk fungsi dari himpunan ke diri-sendiri, yang membentuk monoid bawah komposisi fungsi. Ini termasuk, sebagai contoh spesifik, transformasi geometris, dan endomorfisme dari struktur matematika.

Ketika ada beberapa operasi ulangan, adalah umum untuk menunjukkan operasi berulang/ulangan dengan menempatkan simbolnya di superskrip, sebelum eksponen. Misalnya, jika f adalah fungsi real yang nilainya dapat dikalikan,   menunjukkan eksponensial terhadap perkalian, dan   ditunjukkan eksponensial sehubungan dengan komposisi fungsi. Yaitu,

 

dan

 

Biasanya,   dinotasikan   sedangkan   dilambangkan  

Dalam sebuah grupSunting

Sebuah grup perkalian adalah himpunan dengan operasi asosiatif dilambangkan sebagai perkalian, yang memiliki elemen identitas, dan setiap elemen memiliki invers.

Jadi, jika G adalah grup,   didefinisikan untuk setiap   dan setiap bilangan bulat n.

Himpunan dari semua kuasa suatu elemen dari grup membentuk subgrup. Sebuah gruprup (atau subgrup) yang terdiri dari semua kuasa dari elemen tertentu x adalah grup siklik yang dihasilkan oleh x. Jika semua kuasa x berbeda, grupnya adalah isomorfik pada grup aditif   dari bilangan bulat. Jika tidak, grup siklik adalah hingga (memiliki jumlah elemen hingga), dan jumlah elemennya adalah urutan dari x. Jika urutan x adalah n, maka   dan grup siklik yang dihasilkan oleh x terdiri dari n kuasa pertama x (mulai dengan acuh tak acuh dari eksponen 0 atau 1).

Urutan elemen memainkan peran mendasar dalam teori grup. Misalnya, urutan suatu elemen dalam grup hingga selalu merupakan pembagi dari jumlah elemen grup tersebut ("urutan" grup). Kemungkinan urutan elemen grup penting dalam studi struktur grup (lihat teorema Sylow), dan dalam klasifikasi grup sederhana hingga.

Notasi superskrip juga digunakan untuk konjugasi; yaitu, gh = h−1gh, dimana g dan h adalah elemen dari grup. Notasi ini tidak diubah dengan eksponensial, karena superskrip bukan bilangan bulat. Motivasi dari notasi ini adalah bahwa konjugasi memenuhi beberapa hukum eksponensial, yaitu   dan  

Dalam sebuah gelanggangSunting

Dalam sebuah gelanggang, bahwa beberapa elemen bukan nol memenuhi   untuk beberapa bilangan bulat n. Unsur tersebut disebut juga nilpoten. Dalam gelanggang komutatif, unsur-unsur nilpoten membentuk ideal, disebut juga nilradikal dari gelanggang.

Jika nilradikal direduksi menjadi ideal nol (yaitu, jika   menyatakan   untuk setiap bilangan bulat positif n), ring komutatif dikatakan tereduksi. Gelanggang tereduksi penting dalam geometri aljabar, karena gelanggang koordinat dari himpunan aljabar Affin merupakan gelanggang tereduksi.

Lebih umum, diberikan ideal I dalam gelanggang komutatif R, himpunan elemen R yang memiliki kuasa I adalah ideal, yang disebut radikal dari I. Nilradikal adalah radikal dari zero ideal. Sebuah ideal radikal adalah ideal yang sama dengan radikal-diri. Dalam gelanggang polinomial   atas medan k, sebuah ideal adalah radikal jika dan hanya jika itu adalah himpunan semua polinomial yang nol pada himpunan aljabar affin (ini adalah konsekuensi dari Hilbertscher Nullstellensatz).

Matriks dan operator linearSunting

Jika A adalah matriks bujur sangkar, maka hasil kali A dengan n itu sendiri disebut kuasa matriks. Juga   didefinisikan sebagai matriks identitas,[30] dan jika A adalah invers, maka  .

Kuasa matriks sering muncul dalam konteks sistem dinamik diskret, dimana matriks A menyatakan transisi dari vektor keadaan x dari beberapa sistem ke keadaan berikutnya Ax dari sistem.[31] Ini adalah interpretasi standar dari rantai Markov, misalnya, apabila   adalah status sistem setelah dua langkah waktu, dan seterusnya: maka,   adalah status sistem setelah langkah kali n. Matriks kuasa   adalah matriks transisi antara keadaan sekarang dan keadaan pada langkah kali n ke depan. Jadi menghitung kuasa matriks setara dengan memecahkan evolusi sistem dinamis. Dalam banyak kasus, kuasa matriks dihitung dengan menggunakan nilai eigen dan vektor eigen.

Selain matriks, operator linear yang umum juga merupakan eksponen. Contohnya adalah turunan operator kalkulus,   salah satu operator linear yang melakukan fungsi   untuk menghasilkan fungsi baru, yaitu  . Kuasa ke-n dari operator diferensiasi adalah turunan ke-n:

 

Contoh-contoh ini adalah untuk eksponen diskret dari operator linear, tetapi dalam keadaan juga diinginkan untuk mendefinisikan kuasa dari operator tersebut dengan eksponen kontinu. Ini adalah titik awal dari teori matematika semigrup.[32] Sama seperti kuasa matriks komputasi dengan eksponen diskret memecahkan sistem dinamis diskret, begitu pula kuasa matriks komputasi dengan eksponen kontinu memecahkan sistem dengan dinamika kontinu. Contohnya termasuk pendekatan untuk menyelesaikan persamaan panas, persamaan Schrödinger, persamaan gelombang, dan persamaan diferensial parsial lainnya yang termasuk evolusi waktu. Kasus khusus eksponensial operator turunan ke kuasa non-bilangan bulat disebut turunan pecahan, yang bersama dengan integral pecahan, merupakan operasi dasar dari kalkulus pecahan.

Medan hinggaSunting

Sebuah medan adalah struktur aljabar dimana perkalian, penambahan, pengurangan, dan pembagian didefinisikan dan memenuhi sifat-sifatnya yang sudah dikenal; khususnya, perkaliannya adalah asosiatif, dan setiap elemen bukan nol memiliki perkalian invers. Ini menyatakan bahwa eksponen dengan eksponen bilangan bulat didefinisikan dengan baik, kecuali untuk kuasa nonpositif 0. Contoh umum adalah bilangan kompleks dan submedan, bilangan rasional dan bilangan real yang telah dibahas sebelumnya dalam artikel ini, dan semua tak hingga.

Sebuah medan hingga adalah medan dengan elemen bilangan hingga. Jumlah elemen ini adalah bilangan prima atau kuasa prima; yaitu, memiliki bentuk   dimana p adalah bilangan prima, dan k adalah bilangan bulat positif. Untuk setiap q tersebut, ada medan dengan elemen q. Medan dengan elemen q semuanya adalah isomorfik, yang memungkinkan, bekerja seolah-olah hanya ada satu medan dengan elemen q, dilambangkan  

Satu-satunya adalah

 

untuk setiap  

Sebuah elemen primitif di   adalah elemen g seperti pada himpunan q − 1 kuasa pertama g (yaitu,  ) sama dengan himpunan elemen bukan nol dari   Ada   elemen primitif dalam   dimana   adalah fungsi totient Euler.

Dalam   identitas impian Fresman

 

adalah hakiki untuk eksponen p. Seperti   di peta   maka

 

adalah linear atas   dan merupakan automorfisme medan, disebut automorfisme Frobenius. Jika   medan   memiliki k automorfisme, yang merupakan kuasa pertama k (antara komposisi) dari F. Dengan kata lain, grup Galois dari   adalah siklik urutan k, yang dihasilkan oleh automorfisme Frobenius.

Pertukaran kunci Diffie–Hellman adalah aplikasi eksponensial dalam Medan hingga yang banyak digunakan untuk komunikasi aman. Ini menggunakan fakta bahwa eksponensial secara komputasi tidak mahal, sedangkan operasi kebalikannya, logaritma diskret, secara komputasi mahal. Lebih tepatnya, jika g adalah elemen primitif dalam   maka   dihitung secara efisien dengan eksponensial dari kuadrat untuk e, bahkan jika q besar, sementara tidak ada algoritma yang diketahui memungkinkan pengambilan e dari   jika nilai q adalah besar.


Atas himpunanSunting

Jika n adalah bilangan asli, dan A adalah himpunan sembarang, maka ekspresi An sering digunakan untuk menyatakan himpunan dari rangkap-n elemen A. Apabila ditulis An menyatakan himpunan fungsi dari himpunan {0, 1, 2, ..., n − 1} ke himpunan A; rangkap-n (a0, a1, a2 , ..., an−1) mewakili fungsi i ke ai.

Untuk bilangan kardinal tak hingga dan himpunan A, notasi Aκ juga digunakan untuk menyatakan himpunan semua fungsi dari himpunan ukuran hingga A. Ini terkadang ditulis κA untuk membedakannya dari eksponensial utama, yang didefinisikan di bawah ini.

Eksponensial umum ini juga didefinisikan untuk operasi pada himpunan atau untuk himpunan dengan struktur tambahan. Misalnya, dalam aljabar linear, untuk indeks jumlah langsung dari ruang vektor melalui himpunan indeks arbitrer. Artinya, apabila berbicara tentang

 

dimana setiap Vi adalah ruang vektor.

Kemudian jika Vi = V untuk setiap i, jumlah langsung yang dihasilkan ditulis dalam notasi eksponensial sebagai VN, atau cukup VN dengan pengertian bahwa jumlah langsung adalah bawaan. Maka, ini bisa diganti kembali himpunan N dengan bilangan kardinal n untuk mendapatkan Vn, meskipun tanpa memilih himpunan standar tertentu dengan kardinalitas n, yang didefinisikan isomorfisme hingga saja. Diberikan V sebagai medan-R dari bilangan real (yang sebagai ruang vektor atas) dan n menjadi beberapa bilangan asli, maka, ini mendapatkan ruang vektor umum yang dipelajari dalam aljabar linear, dan ruang vektor real-Rn.

Jika basis operasi eksponensial adalah himpunan, operasi eksponensial adalah darab Kartesius kecuali dinyatakan yang lain. Karena beberapa darab Cartesian menghasilkan rangkap-n, yang diwakili oleh suatu fungsi pada himpunan kardinalitas yang sesuai, SN sebagai himpunan semua fungsi dari N hingga S dalam kasus ini:

 

Ini cocok dengan eksponen bilangan kardinal, dalam arti bahwa |SN| = |S||N|, dimana |X| adalah kardinalitas X. Ketika "2" didefinisikan sebagai {0, 1}, maka memiliki |2X| = 2|X|, dimana 2X, biasanya dilambangkan dengan P(X), adalah himpunan kuasa dari X; masing-masing himpunan bagian Y dari X berkorespondensi secara unik dengan fungsi pada X yang mengambil nilai 1 untuk xY dan 0 untuk xY.

Dalam teori kategoriSunting

Dalam kategori tertutup Kartesius, operasi eksponensial digunakan untuk kenaikkan objek arbitrer ke kuasa objek lain. Ini menggeneralisasi darab Kartesius dalam kategori himpunan. Jika 0 adalah objek awal dalam kategori tertutup Kartesius, maka objek eksponensial 00 adalah isomorfik ke objek terminal 1.

Dari bilangan kardinal dan ordinalSunting

Dalam teori himpunan, ada operasi eksponensial untuk kardinal dan bilangan ordinal.

Jika κ dan λ adalah bilangan kardinal, ekspresi κλ mewakili kardinalitas himpunan fungsi dari sembarang himpunan kardinalitas λ ke himpunan kardinalitas κ.[33] Jika κ dan λ adalah hingga, maka ini sesuai dengan operasi eksponensial aritmetika biasa. Misalnya, himpunan rangkap-3 elemen dari himpunan elemen-2 memiliki kardinalitas 8 = 23. Dalam aritmetika kardinal, κ0 adalah 1 (bahkan jika κ adalah kardinal tak hingga atau nol).

Eksponen bilangan kardinal berbeda dari eksponensial bilangan kardinal, yang didefinisikan oleh proses batas yang melibatkan induksi transfinit.

Eksponensial berulangSunting

Sama seperti eksponensial bilangan asli dimotivasi oleh perkalian berulang, adalah mendefinisikan operasi berdasarkan eksponensial berulang; operasi ini terkadang disebut hiper-4 atau tetrasi. Tetrasi-iterasi mengarah ke operasi lain, dan seterusnya, sebuah konsep bernama hiperoperasi. Urutan operasi ini dinyatakan oleh fungsi Ackermann dan notasi panah atas Knuth. Sama seperti eksponensial pertumbuhan cepat daripada perkalian, pertumbuhan cepat dari penambahan, tetrasi adalah pertumbuhan cepat dari eksponensial. Dinilai pada (3, 3), fungsi penjumlahan, perkalian, eksponensial, dan tetrasi menghasilkan 6, 9, 27, dan 7.625.597.484.987 masing-masing pada (= 327 = 333 = 33).

Limit kuasaSunting

Nol untuk kuasa nol memberikan sejumlah contoh limit yang berbentuk bentuk tak tentu 00. Limit dalam contoh ini ada, tetapi memiliki nilai yang berbeda, menunjukkan bahwa fungsi dua variabel xy tidak memiliki limit pada titik (0, 0). Apabila mempertimbangkan pada titik mana fungsi ini memiliki limit.

Lebih tepatnya, perhatikan fungsi f(x, y) = xy didefinisikan pada D = {(x, y) ∈ R2 : x > 0}. Kemudian D dilihat sebagai himpunan bagian dari R2 (yaitu, himpunan semua pasangan (x, y) dengan x, y memiliki garis bilangan real diperluas R = [−∞, +∞], dengan darab topologi), yang berisi titik-titik dimana fungsi f memiliki limit.

Faktanya, f memiliki limit di semua titik akumulasi dari D, kecuali (0, 0), (+∞, 0), (1, +∞) dan (1, −∞).[34] Dengan demikian, apabila ini untuk mendefinisikan kuasa xy dengan kontinuitas 0 ≤ x ≤ +∞, −∞ ≤ y ≤ +∞, kecuali untuk 00, (+∞)0, 1+∞ dan 1−∞, yang tetap bentuk tak tentu.

Dibawah definisi ini dengan kontinuitas, maka memperoleh:

  • x+∞ = +∞ dan x−∞ = 0, bila 1 < x ≤ +∞.
  • x+∞ = 0 dan x−∞ = +∞, bila 0 ≤ x < 1.
  • 0y = 0 dan (+∞)y = +∞, bila 0 < y ≤ +∞.
  • 0y = +∞ dan (+∞)y = 0, bila −∞ ≤ y < 0.

Kuasa ini diperoleh dengan mengambil limit xy untuk nilai positif dari x. Metode ini tidak mengizinkan definisi xy ketika x < 0, karena pasangan (x, y) dengan x < 0 bukan merupakan titik akumulasi dari D.

Disisi lain, ketika n adalah bilangan bulat, maka kuasa xn bermakna untuk semua nilai x, termasuk yang negatif. Maka, ini membuat definisi 0n = +∞ yang diperoleh diatas untuk n negatif menjadi bermasalah ketika nilainya adalah n, karena dalam kasus ini xn → +∞ karena x cenderung 0 melalui nilai positif, tetapi bukan nilai negatif.

Komputasi yang efisien dengan eksponen bilangan bulatSunting

Komputasi bn menggunakan perkalian berulang membutuhkan n − 1 operasi perkalian, tetapi itu dapat dihitung lebih efisien dari itu, seperti yang diilustrasikan oleh contoh berikut. Untuk menghitung 2100, terapkan kaidah Horner ke eksponen 100 yang ditulis dalam biner:

 .

Kemudian hitung suku-suku berikut secara berurutan, baca kaidah Horner dari kanan ke kiri.

22 = 4
2 (22) = 23 = 8
(23)2 = 26 = 64
(26)2 = 212 = 4096
(212)2 = 224 = 16.777.216
2 (224) = 225 = 33.554.432
(225) 2 2 = 250 = 1.125.899.906.842.624
(225)2 = 2100 = 1.267.650.600.228.229.401.496.703.205.376

Rangkaian langkah ini hanya membutuhkan 8 perkalian, bukan 99.

Secara umum, jumlah operasi perkalian yang diperlukan untuk menghitung bn dikurangi menjadi   dengan menggunakan kuasa dengan kuadrat, dimana   menunjukkan jumlah 1 dalam wakilan biner dari n. Untuk beberapa eksponen (100 tidak termasuk di antaranya), jumlah perkalian dikurangi lebih lanjut dengan menghitung dan menggunakan kuasa kaidah-tambahan minimal. Menemukan barisan perkalian minimal (kaidah penambahan panjang minimal untuk eksponen) untuk bn adalah soal yang sulit, yang saat ini tidak ada algoritma efisien yang diketahui (lihat Masalah jumlah himpunan bagian), tetapi banyak algoritma heuristik yang cukup efisien tersedia.[35] Namun, dalam perhitungan praktis, eksponensial dengan mengkuadratkan cukup efisien, dan jauh lebih mudah diimplementasikan.

Fungsi teriterasiSunting

Komposisi fungsi adalah operasi biner yang didefinisikan pada fungsi sehingga kodomain dari fungsi yang ditulis sebelah kanan termasuk dalam domain dari fungsi yang ditulis sebelah kiri. Ini dilambangkan   dan didefinisikan sebagai

 

untuk setiap x dalam domain f.

Jika domain suatu fungsi f sama dengan kodomainnya, maka ia menyusun fungsi dengan sendiri dalam jumlah waktu yang berubah-ubah, dan ini mendefinisikan kuasa ke-n dari fungsi di bawah komposisi, biasanya disebut iterasi ke-n dari fungsi tersebut. Jadi   secara umum menunjukkan iterasi ke-n dari f; misalnya,   berarti  [36]

Ketika perkalian didefinisikan pada kodomain fungsi, ini mendefinisikan perkalian pada fungsi, perkalian sesetitik, yang menginduksi eksponensial lain. Saat menggunakan notasi fungsional, dua jenis eksponensial umumnya dibedakan dengan menempatkan eksponen dari iterasi fungsional sebelum tanda kurung yang melampirkan argumen fungsi, dan menempatkan eksponen perkalian sesetitik setelah tanda kurung. Jadi   dan   Ketika notasi fungsional tidak digunakan, disambiguasi yang dilakukan dengan menempatkan simbol komposisi sebelum eksponen; misalnya   dan   Untuk alasan historis, eksponen dari perkalian berulang ditempatkan sebelum argumen untuk beberapa fungsi tertentu, biasanya fungsi trigonometri. Jadi,   dan   berarti keduanya   dan bukan   yang jarang dipertimbangkan. Secara historis, beberapa varian notasi ini digunakan oleh penulis yang berbeda.[37][38][39]

Dalam konteks ini, eksponen   selalu menunjukkan fungsi invers, jika ada. Jadi   Untuk pecahan perkalian invers umumnya digunakan seperti pada  

Dalam bahasa pemrogramanSunting

Bahasa pemrograman umumnya menyatakan eksponensial baik sebagai operator infiks atau sebagai fungsi (awalan), karena mereka adalah notasi linear yang tidak mendukung superskrip:

Many other programming languages lack syntactic support for exponentiation, but provide library functions:

Untuk eksponen tertentu ada cara khusus untuk menghitung xy jauh lebih cepat daripada melalui eksponen umum. Kasus ini mencakup bilangan bulat positif dan negatif kecil (memilih x · x daripada x2; memilih 1/x daripada x−1) dan root (memilih sqrt(x) daripada x0.5, memilih cbrt(x) daripada x1/3</ sup>).

Tidak semua bahasa pemrograman menggunakan konvensi asosiasi yang sama untuk eksponensial: sedangkan Wolfram Language, Google Penelusuran dan lainnya menggunakan pengaitan kanan (yaitu a^b^c dievaluasi sebagai a^(b^c)), banyak program komputer seperti Microsoft Office Excel dan Matlab mengasosiasikan ke kiri (yaitu a^b^c dievaluasi sebagai (a^b)^c).

Lihat pulaSunting

CatatanSunting

  1. ^ Lebih umum, asosiasi kuasa sudah cukup untuk definisi.

ReferensiSunting

  1. ^ a b "Compendium of Mathematical Symbols". Math Vault (dalam bahasa Inggris). 2020-03-01. Diakses tanggal 2020-08-27. 
  2. ^ a b c d e Nykamp, Duane. "Basic rules for exponentiation". Math Insight. Diakses tanggal Agustus 27, 2020. 
  3. ^ Weisstein, Eric W. "Power". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-08-27. 
  4. ^ a b Rotman, Joseph J. (2015). Advanced Modern Algebra, Part 1. Graduate Studies in Mathematics. 165 (edisi ke-3rd). Providence, RI: American Mathematical Society. p. 130, fn. 4. ISBN 978-1-4704-1554-9. 
  5. ^ Szabó, Árpád (1978). The Beginnings of Greek Mathematics. Synthese Historical Library. 17. Diterjemahkan oleh A.M. Ungar. Dordrecht: D. Reidel. hlm. 37. ISBN 90-277-0819-3. 
  6. ^ a b O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Etymology of some common mathematical terms", Arsip Sejarah Matematika MacTutor, Universitas St Andrews .
  7. ^ Ball, W. W. Rouse (1915). A Short Account of the History of Mathematics (edisi ke-6th). London: Macmillan. hlm. 38. 
  8. ^ a b Quinion, Michael. "Zenzizenzizenzic". World Wide Words. Diakses tanggal 2020-04-16. 
  9. ^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Abu'l Hasan ibn Ali al Qalasadi", Arsip Sejarah Matematika MacTutor, Universitas St Andrews .
  10. ^ Cajori, Florian (1928). A History of Mathematical Notations. 1. London: Open Court Publishing Company. hlm. 344. 
  11. ^ Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics
  12. ^ Stifel, Michael (1544). Arithmetica integra. Nuremberg: Johannes Petreius. hlm. 235v. 
  13. ^ Descartes, René (1637). "La Géométrie". Discourse de la méthode [...]. Leiden: Jan Maire. hlm. 299. Et aa, ou a2, pour multiplier a par soy mesme; Et a3, pour le multiplier encore une fois par a, & ainsi a l'infini  (Dan aa, atau a2, untuk mengalikan a dengan dirinya sendiri; dan a3, untuk mengalikannya sesekali)
  14. ^ Penggunaan terbaru dalam pengertian ini yang dikutip oleh OED adalah dari tahun 1806 ("involution". Oxford English Dictionary. Oxford University Press. 2nd ed. 1989.).
  15. ^ Euler, Leonhard (1748). Introductio in analysin infinitorum (dalam bahasa Latin). I. Lausanne: Marc-Michel Bousquet. hlm. 69, 98–99. Primum ergo considerandæ sunt quantitates exponentiales, seu Potestates, quarum Exponens ipse est quantitas variabilis. Perspicuum enim est hujusmodi quantitates ad Functiones algebraicas referri non posse, cum in his Exponentes non nisi constantes locum habeant. 
  16. ^ Hodge, Jonathan K.; Schlicker, Steven; Sundstorm, Ted (2014). Abstract Algebra: an inquiry based approach. CRC Press. hlm. 94. ISBN 978-1-4665-6706-1. 
  17. ^ Achatz, Thomas (2005). Technical Shop Mathematics (edisi ke-3rd). Industrial Press. hlm. 101. ISBN 978-0-8311-3086-2. 
  18. ^ Robinson, Raphael Mitchel (Oktober 1958) [1958-04-07]. "A report on primes of the form k · 2n + 1 and on factors of Fermat numbers" (PDF). Proceedings of the American Mathematical Society. Universitas California, Berkeley, California, AS. 9 (5): 673–681 [677]. doi:10.1090/s0002-9939-1958-0096614-7 . Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2020-06-28. Diakses tanggal 2020-06-28. 
  19. ^ Bronstein, Ilja Nikolaevič; Semendjajew, Konstantin Adolfovič (1987) [1945]. "2.4.1.1. Definition arithmetischer Ausdrücke" [Definisi ekspresi aritmetika]. Ditulis di Leipzig, Germany. Dalam Grosche, Günter; Ziegler, Viktor; Ziegler, Dorothea. Taschenbuch der Mathematik [Pocketbook of mathematics] (dalam bahasa Jerman). 1. Diterjemahkan oleh Ziegler, Viktor. Weiß, Jürgen (edisi ke-23). Thun, Switzerland / Frankfurt am Main, Germany: Verlag Harri Deutsch (dan B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig). hlm. 115–120, 802. ISBN 3-87144-492-8. 
  20. ^ Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel W.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W., ed. (2010). NIST Handbook of Mathematical Functions. Institut Standar dan Teknologi Nasional (NIST), A.S. Departemen Perdagangan, Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19225-5. MR 2723248. [1]
  21. ^ Zeidler, Eberhard; Schwarz, Hans Rudolf; Hackbusch, Wolfgang; Luderer, Bernd; Blath, Jochen; Schied, Alexander; Dempe, Stephan; Wanka, Gert; Hromkovič, Juraj; Gottwald, Siegfried (2013) [2012]. Zeidler, Eberhard, ed. Springer-Handbuch der Mathematik I (dalam bahasa Jerman). I (edisi ke-1). Berlin / Heidelberg, Germany: Springer Spektrum, Springer Fachmedien Wiesbaden. hlm. 590. doi:10.1007/978-3-658-00285-5. ISBN 978-3-658-00284-8.  (xii+635 pages)
  22. ^ a b Anton, Howard; Bivens, Irl; Davis, Stephen (2012). Calculus: Early Transcendentals  (edisi ke-9th). John Wiley & Sons. hlm. 28. ISBN 9780470647691. 
  23. ^ Denlinger, Charles G. (2011). Elements of Real Analysis. Jones and Bartlett. hlm. 278–283. ISBN 978-0-7637-7947-4. 
  24. ^ Cormen, Thomas H.; Leiserson, Charles E.; Rivest, Ronald L.; Stein, Clifford (2001). Introduction to Algorithms (edisi ke-second). MIT Press. ISBN 978-0-262-03293-3.  Online resource Diarsipkan 2007-09-30 di Wayback Machine.
  25. ^ Cull, Paul; Flahive, Mary; Robson, Robby (2005). Difference Equations: From Rabbits to Chaos (edisi ke-Undergraduate Texts in Mathematics). Springer. ISBN 978-0-387-23234-8.  Didefinisikan pada hal. 351
  26. ^ "Principal root of unity", MathWorld.
  27. ^ Steiner, J.; Clausen, T.; Abel, Niels Henrik (1827). "Aufgaben und Lehrsätze, erstere aufzulösen, letztere zu beweisen" [Problems and propositions, the former to solve, the later to prove]. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 2: 286–287. 
  28. ^ Bourbaki, Nicolas (1970). Algèbre. Springer. , I.2
  29. ^ Bloom, David M. (1979). Linear Algebra and Geometry . hlm. 45. ISBN 978-0-521-29324-2. 
  30. ^ Bab 1, Aljabar Linear Dasar, 8E, Howard Anton
  31. ^ Strang, Gilbert (1988), Linear algebra and its applications (edisi ke-3rd), Brooks-Cole , Bab 5.
  32. ^ E. Hille, R. S. Phillips: Analisis Fungsional dan Semi-Grup. Masyarakat Matematika Amerika, 1975.
  33. ^ Nicolas Bourbaki, Elemen Matematika, Teori Himpunan, Springer-Verlag, 2004, III.§3.5.
  34. ^ Nicolas Bourbaki, Topologie générale, V.4.2.
  35. ^ Gordon, D. M. (1998). "A Survey of Fast Exponentiation Methods" (PDF). Journal of Algorithms. 27: 129–146. CiteSeerX 10.1.1.17.7076 . doi:10.1006/jagm.1997.0913. 
  36. ^ Peano, Giuseppe (1903). Formulaire mathématique (dalam bahasa Prancis). IV. hlm. 229. 
  37. ^ Herschel, John Frederick William (1813) [1812-11-12]. "On a Remarkable Application of Cotes's Theorem". Philosophical Transactions of the Royal Society of London. London: Royal Society of London, printed by W. Bulmer and Co., Cleveland-Row, St. James's, sold by G. and W. Nicol, Pall-Mall. 103 (Part 1): 8–26 [10]. doi:10.1098/rstl.1813.0005 . JSTOR 107384. 
  38. ^ Herschel, John Frederick William (1820). "Part III. Section I. Examples of the Direct Method of Differences". A Collection of Examples of the Applications of the Calculus of Finite Differences. Cambridge, UK: Printed by J. Smith, sold by J. Deighton & sons. hlm. 1–13 [5–6]. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2020-08-04. Diakses tanggal 2020-08-04.  [2] (NB. Inhere, Herschel refers to his Templat:Citeref and mentions Hans Heinrich Bürmann's older work.)
  39. ^ Cajori, Florian (1952) [March 1929]. A History of Mathematical Notations. 2 (edisi ke-3rd). Chicago, USA: Open court publishing company. hlm. 108, 176–179, 336, 346. ISBN 978-1-60206-714-1. Diakses tanggal 2016-01-18. 
  40. ^ Daneliuk, Timothy "Tim" A. (1982-08-09). "BASCOM - A BASIC compiler for TRS-80 I and II". InfoWorld. Software Reviews. 4 (31). Popular Computing, Inc. hlm. 41–42. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2020-02-07. Diakses tanggal 2020-02-06. [...] Jika [...] mengkuadratkan dilakukan dengan fungsi eksponensial (panah atas) TRS-80 BASIC, interpreter waktu berjalan adalah 22 menit 20 detik, dan waktu berjalan yang dikompilasi adalah 20 menit 3 detik. [...] 
  41. ^ "80 Contents". 80 Micro. 1001001, Inc. (45): 5. October 1983. ISSN 0744-7868. Diakses tanggal 2020-02-06. [...] Tanda kurung kiri, [, menggantikan panah atas yang digunakan oleh RadioShack untuk menunjukkan eksponensial pada hasil cetakan kami. Saat memasukkan program yang diterbitkan di 80 Micro, Anda harus membuat perubahan ini. [...]  (catatan Pada titik kode 5Bh TRS-80 character set memiliki simbol panah atas "↑" menggantikan ASCII braket siku kiri "[".)

Templat:Hiperoperasi