Lingkungan (matematika)

Dalam topologi dan bidang matematika yang terkait, sebuah lingkungan (atau persekitaran atau ketetanggaan) merupakan salah satu konsep dasar dalam ruang topologi. Konsep ini terkait erat dengan konsep himpunan terbuka dan interior. Secara intuitif, lingkungan dari suatu titik adalah himpunan titik yang mengandung titik tersebut, di mana seseorang dapat bergerak beberapa langkah ke segala arah dari titik tersebut tanpa keluar dari himpunan tersebut. Sifat-sifat matematika yang terkait dengan lingkungan tertentu disebut lokal, sebagai lawan dari global.

Suatu himpunan di bidang adalah lingkungan titik jika cakram kecil di sekitar termuat dalam .


DefinisiSunting

Lingkungan dari titikSunting

Jika   is a ruang topologi dan   adalah titik dalam  , lingkungan dari titik   adalah himpunan bagian   dari   yang memuat suatu himpunan terbuka   yang memuat   sedemikian sehingga

 

Ini setara dengan titik   termasuk dalam interior dari   dalam  

Lingkungan   tidak harus merupakan suatu himpunan buka dalam  . Tetapi ketika   terbuka dalam  , maka   disebut lingkungan buka.[1] Beberapa penulis mensyaratkan bahwa lingkungan harus terbuka, kesepakatan seperti ini perlu jadi perhatian.

 
Segiempat tutup tidak mempunyai lingkungan pada sebarang sudut atau batasnya.

Suatu himpunan yang menjadi lingkungan bagi semua titik anggotanya adalah buka, karena himpunan itu dapat dinyatakan sebagai gabungan dari himpunan-himpunan buka yang memuat tiap-tiap titiknya. Segiempat tutup, sebagaimana tergambar, bukan merupakan lingkungan dari semua titik-titiknya; titik pada sudut dari segiempat tidak termuat dalam sebarang himpunan buka yang termuat dalam segiempat.

Koleksi dari semua lingkungan dari suatu titik disebut neighbourhood system pada titik.


ReferensiSunting

  1. ^ Dixmier, Jacques (1984). General Topology . Undergraduate Texts in Mathematics. Translated by Sterling K. Berberian. Springer. hlm. 6. ISBN 0-387-90972-9. According to this definition, an open neighborhood of   is nothing more than an open subset of   that contains