Barisan dan deret aritmetika

Dalam matematika, barisan dan deret aritmetika atau dikenal sebagai barisan dan deret hitung adalah barisan yang mempunyai pola tertentu, yakni selisih dua suku berturutan sama dan tetap. Dengan kata lain, setiap suku (kecuali suku pertama) pada barisan aritmetika diperoleh dari suku sebelumnya dengan menambah bilangan tetap.[1] Misalnya,

, , , , , , .

Barisan aritmetika ini dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut:

, , , , .[2]

Suku barisan aritmetikaSunting

Misal  adalah suku barisan ke- , maka

 .
Bukti

Kita mulai mengurutkannya dari suku  . Kita teruskan untuk suku ke-2, 3, hingga  .

 

Dengan memperhatikan pola, kita memperoleh  . [2]

Lebih umumnya, suku barisan ke-  dapat ditulis

 

dimana  .

BedaSunting

Beda, dalam suku barisan aritmetika, merupakan selisih dua suku. Misal   adalah beda antar suku, maka secara matematis dapat ditulis

 .[3]

Suku tengahSunting

Suku tengah ialah suku yang berada di tengah-tengah barisan aritmetika jika banyaknya barisan suku berupa ganjil.[2] Misal   dan   dengan   mengapit sebanyak ganil suku-suku lain pada suatu barisan aritmetika. Karena itu,   maupun   adalah bilangan genap. Suku yang terletak antara   dan   adalah

 

dengan

 .

Kita dapat jabarkan lagi sehingga didapati

 .[4]

Deret aritmetikaSunting

Deret aritmetika ialah jumlah suku barisan aritmetika, dan dapat kita rumuskan sebagai

 [2]
Bukti deret suku
 
Ilustrasi dengan gambar bagaimana rumus deret aritmetika dapat dibuktikan.

Misal   adalah barisan suku aritmetika ke- .

 

 

 

 

 

(1)

Dengan menggunakan sifat komutatif, akan memperoleh

 

 

 

 

 

(2)

Persamaan (1) ditambah (2) menjadi:

 

Karena   sama banyaknya menjadi jumlah  , maka

 

Demikian, kita membuktikannya. [3]

Mirip dengan beda suku aritmetika, selisih antara deret suku memberikan suku ke- .

 .[5]
Bukti selisih antar deret suku

Kita cukup menjabarkan   dan  ,

 
 .  [6]

Barisan aritmetika bertingkatSunting

Pada kasus ini, barisan aritmetika bertingkat ini merupakan barisan aritmetika tingkat yang menghasilkan barisan aritmetika tingkat sebelumnya. Sebagai contohnya, barisan aritmetika tingkat dua dapat didefinisikan barisan aritmetika tingkat kedua yang menghasilkan barisan aritmetika tingkat pertama.[7] Untuk tingkatan  , diperoleh

 ,[8]

dimana   adalah tingkat ke-  pada barisan aritmetika,   adalah suku pertama dari masing-masing barisan pertama, kedua, dan seterusnya. Hasil rumus di atas dapat kita pakai untuk rumusan barisan aritmetika bertingkat dengan uraian berikut.

  • Jika berupa barisan linear (yakni ketika  ), maka  ;
  • Jika berupa barisan berpangkat dua (yakni ketika  ), maka  ;

Hal tersebut berlanjut hingga seterusnya sehingga mendapat rumus umum di atas.[8]

Bentuk rekursifSunting

Pada barisan aritmetika tingkat kedua, kita misalkan  ,   adalah masing-masing suku pada barisan tingkat pertama dan kedua, dengan  . Misalkan juga   adalah bilangan tetap dari barisan tingkat kedua. Secara rekursif, suku   dapat dirumuskan sebagai

 .
Bukti barisan aritmetika tingkat kedua

Karena   adalah barisan tingkat kedua, maka  . Oleh karena itu, kita memperoleh

 
Kita akan mengurangi masing-masing persamaan di atas, dimulai dari   dengan  ,   dengan  , dan seterusnya. Dari kumpulan persamaan-persamaan di atas dapat diperoleh
 
Pada persamaan   dengan  , kita memperoleh
 

Hal yang serupa pada   dengan  ,   dengan  , dst. Dengan mengikuti cara di atas, kita memperoleh

 

Persamaan yang sudah ditulis membentuk pola bahwa

 .  [9]

Kita lakukan lagi pada barisan tingkat tiga. Misalkan  ,  ,   adalah masing-masing suku pada barisan tingkat pertama, kedua, dan ketiga, dengan  . Misalkan   adalah bilangan tetap dari barisan tingkat ketiga. Suku   dapat dirumuskan secara rekursif, yakni

 .
Bukti barisan aritmetika tingkat ketiga

 
Dengan cara yang serupa (pada barisan tingkat dua), kita memperoleh

 
sehingga

 
dan didapati  . Karena  , maka didapati
 

Demikian, kita telah membuktikannya.[10]

Ini akan terus berlanjut untuk barisan tingkat keempat, kelima, dst.

Lihat pulaSunting

ReferensiSunting

  1. ^ Sahid, MSc, Kalkulus Lanjutan, hlm. 4.
  2. ^ a b c d Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 3B Untuk Kelas XII Semester 2 Program IPA. Jakarta: Esis/Erlangga. hlm. 14. ISBN 979-734-505-X. 
  3. ^ a b Sahid, MSc, Kalkulus Lanjutan, hlm. 7.
  4. ^ Sahid, MSc, Kalkulus Lanjutan, hlm. 6.
  5. ^ Atmini Dhoruri, MS, Barisan dan Deret Bilangan, hlm. 6.
  6. ^ Salamah, Umi (2019). Berlogika dengan Matematika untuk Kelas VIII SMP dan MTs. Tiga Serangkai Pustaka Mandiri. hlm. 26. ISBN 978-602-320-165-5. 
  7. ^ Drs. Sumarno Imail, M.Pd, Suku Ke-  Barisan Aritmetika Tingkat Dua, Tiga dan Empat dengan Pendekatan Akar Karakteristik, hlm. 3.
  8. ^ a b Yeni Azrida, Mashadi, Sri Gemawati, Barisan Bertingkat, ISBN 978-979-792-552-9, hlm. 18.
  9. ^ Drs. Sumarno Imail, M.Pd, Suku Ke-  Barisan Aritmetika Tingkat Dua, Tiga dan Empat dengan Pendekatan Akar Karakteristik, hlm. 4-5.
  10. ^ Drs. Sumarno Imail, M.Pd, Suku Ke-  Barisan Aritmetika Tingkat Dua, Tiga dan Empat dengan Pendekatan Akar Karakteristik, hlm. 9–11.

Bacaan lebih lanjutSunting

  • Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 3B Untuk Kelas XII Semester 2 Program IPA. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-505-X.  (Indonesia)
  • Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 3B Untuk Kelas XII Semester 2 Program IPS. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-568-8.  (Indonesia)

Pranala luarSunting

Weisstein, Eric W. "Arithmetic progression". MathWorld. 

  • (Inggris)

Weisstein, Eric W. "Arithmetic series". MathWorld.