Barisan dan deret geometri

Barisan dan deret geometri atau dikenal sebagai barisan dan deret ukur dalam bidang matematika adalah jenis barisan dan deret di mana bilangan berikutnya merupakan perkalian dari bilangan sebelumnya dengan suatu bilangan rasio tertentu. Dengan kata lain, suatu barisan geometri hasil bagi atau rasio setiap suku dengan suku sebelumnya selalu sama.[1]

Barisan geometri dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut:

, , , ,

dengan adalah bilangan rasio pengali () dan adalah faktor skala.

Suku barisan geometriSunting

Misal   adalah suku barisan geometri. Pada barisan di atas, dapat kita rumuskan sebagai

 
Bukti

Kita misalkan  , dan  . Kita teruskan untuk  .

 

Dari kumpulan persamaan di atas, kita mendapati pola, yaitu

 .[1]

Lebih umumnya, diberikan   dan misal suku awal adalah  . Dari hasil di atas, diperoleh

 

dan

 .[1]

RasioSunting

Rasio adalah hasil bagi antara dua suku. Secara matematis dirumuskan

 .

Suku tengahSunting

Deret geometriSunting

Deret geometri atau deret ukur ialah deret dimana suku pada barisan geometri dijumlahkan, maka didapati

 

dengan   adalah deret geometri, dan   adalah suku pertama.

Bukti deret geometri
Kita mulai dari kasus dimana  

 

 

 

 

 

(1)

Dengan mengalikan kedua ruas dengan   memperoleh persamaan baru.

 

 

 

 

 

(2)

Persamaan (1) mengurangi (2) menghasilkan
 

Dengan menggunakan sifat distributif dan membagi kedua ruas dengan   membuktikan bahwa

 .[2]

Cara yang serupa untuk kasus  .  

Jika  , maka deret geometri didapati

 .[2]
Deret geometri takhinggaSunting
 
Diagram yang menunjukkan jumlah   adalah mendekati  .

Untuk deret geometri dengan tak terhingganya banyak suku, kita rumuskan

 

untuk  . Sebagai contoh, pada diagram di samping kanan, diketahui bahwa suku awal (yakni persegi terbesar) adalah   serta  . Dengan menggunakan rumus di atas, maka jumlah keseluruhan pada diagram di samping adalah

 .
Bukti deret geometri, kasus  

Karena  , maka diperoleh

 

Ambil   pada kedua ruas, diperoleh

 

Karena  , maka

 .  [3]

Untuk kasus  ,   tidak mempunyai hasil (karena bernilai  ) sehingga deretnya dapat dikatakan divergen.[4][5]

Deret geometri ganjil dan genapSunting

  untuk bilangan ganjil.
  untuk bilangan genap.

Rumus umumSunting

 
  untuk r < 1
  untuk r > 1
  untuk -1 < r < 1
 
 
 
 
  untuk tingkat berderajat 1

Barisan dan deret geometri bertingkatSunting

Jika bertingkat 2:  
Jika bertingkat 3:  

dst

Catatan tambahanSunting

Rumus banyak bakteri:   dimana  .
Rumus panjang lintasan:   atau  .

Lihat pulaSunting

ReferensiSunting

  1. ^ a b c Sahid, MSc, Kalkulus Lanjutan, hlm. 10.
  2. ^ a b Drs. Win Konadi, M.Si, Barisan dan Deret Geometri serta Contoh Soal
  3. ^ Sahid, MSc, Kalkulus Lanjutan, hlm. 12–13.
  4. ^ Sahid, MSc, Kalkulus Lanjutan, hlm. 12.
  5. ^ H. Karso, Barisan dan Deret, hlm. 14.

Bacaan lebih lanjutSunting

  • Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 3B Untuk Kelas XII Semester 2 Program IPA. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-505-X.  (Indonesia)
  • Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 3B Untuk Kelas XII Semester 2 Program IPS. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-568-8.  (Indonesia)