Dimensi Hausdorff

Dalam matematika, dimensi Hausdorff adalah pengukuran dimensi suatu bangunan atau objek matematika yang bukan bernilaikan bilangan bulat, atau penjelasan lebih khususnya, dimensi fraktal. Dimensi ini pertama kali diperkenalkan oleh seorang matematikawan yang bernama Felix Hausdorff pada tahun 1918.

Contoh dimensi non-integer. Empat iterasi pertama dari kurva Koch, di mana setelah setiap iterasi, semua segmen garis asli diganti dengan empat, masing-masing merupakan salinan serupa yang panjangnya 1/3 dari aslinya. Salah satu formalisme dimensi Hausdorff menggunakan faktor skala (S = 3) dan jumlah objek yang serupa (N = 4) untuk menghitung dimensi, D, setelah iterasi pertama menjadi D = (log N)/(log S) = (log 4)/(log 3) ≈ 1,26.

Lebih khusus lagi, dimensi Hausdorff adalah bilangan dimensi yang diasosiasikan dengan ruang metrik, yakni himpunan yang jarak antara semua anggotanya ditentukan. Dimensi diambil dari bilangan real yang diperluas, ${\overline {\mathbb {R} }}$, berbeda dengan gagasan dimensi yang lebih intuitif, yang tidak dikaitkan dengan ruang metrik umum, dan hanya mengambil nilai dalam bilangan bulat non-negatif.

Dalam istilah matematika, dimensi Hausdorff menggeneralisasikan pengertian dimensi ruang vektor nyata. Artinya, dimensi Hausdorff dari ruang hasil kali dalam berdimensi n sama dengan n. Hal ini mendasari pernyataan sebelumnya bahwa dimensi Hausdorff suatu titik adalah nol, suatu garis adalah satu, dan seterusnya, dan bahwa himpunan tak beraturan dapat mempunyai dimensi Hausdorff yang bukan bilangan bulat. Misalnya, kepingan salju Koch yang ditunjukkan di sebelah kanan dibuat dari segitiga sama sisi; pada setiap iterasi, ruas garis komponennya dibagi menjadi 3 ruas satuan panjang, ruas tengah yang baru dibuat digunakan sebagai alas segitiga sama sisi baru yang mengarah ke luar, dan ruas alas ini kemudian dihapus sehingga menyisakan objek akhir dari segitiga sama sisi. iterasi satuan panjang 4. Artinya, setelah iterasi pertama, setiap ruas garis asli telah diganti dengan N=4, dengan setiap salinan serupa memiliki panjang 1/S = 1/3 dari aslinya. Dengan kata lain, kita telah mengambil sebuah benda berdimensi Euclidean, D, dan memperkecil skala liniernya sebesar 1/3 pada setiap arah, sehingga panjangnya bertambah menjadi N=S^D. Persamaan ini mudah diselesaikan untuk D, menghasilkan rasio logaritma (atau logaritma natural ) yang muncul pada gambar, dan memberikan—dalam kasus Koch dan kasus fraktal lainnya—dimensi non-integer untuk objek-objek ini.

Dimensi Hausdorff adalah penerus dari dimensi penghitungan kotak atau dimensi Minkowski–Bouligand yang lebih sederhana, tetapi biasanya setara.

Intuisi

Konsep intuitif dalam dimensi objek geometris X adalah jumlah parameter independen yang diperlukan untuk memilih titik unik di dalamnya. Akan tetapi, setiap titik yang ditentukan oleh dua parameter dapat ditentukan oleh satu parameter, karena kardinalitas bidang nyata sama dengan kardinalitas garis nyata (hal ini dapat dilihat dari argumen yang melibatkan penjalinan digit dari dua bilangan untuk menghasilkan satu nomor yang mengkodekan informasi yang sama). Contoh kurva pengisian ruang menunjukkan bahwa seseorang bahkan dapat memetakan garis nyata ke bidang nyata secara surjektif (mengambil satu bilangan real ke dalam pasangan bilangan real sedemikian rupa sehingga semua pasangan bilangan tertutup) dan terus menerus, sehingga benda satu dimensi memenuhi seluruh benda berdimensi lebih tinggi.

Setiap kurva pengisian ruang mengenai beberapa titik berkali-kali dan tidak mempunyai invers kontinu. Tidak mungkin memetakan dua dimensi menjadi satu dengan cara yang kontinu dan dapat dibalik. Dimensi topologi, juga disebut dimensi penutup Lebesgue, menjelaskan alasannya. Dimensi ini adalah bilangan bulat terbesar n sedemikian rupa sehingga dalam setiap penutupan X oleh bola terbuka kecil terdapat paling sedikit satu titik di mana n + 1 bola tumpang tindih. Misalnya, ketika seseorang menutupi suatu garis dengan interval terbuka pendek, beberapa titik harus ditutupi dua kali, sehingga memberikan dimensi n = 1.

Namun dimensi topologi adalah suatu ukuran yang sangat kasar dari ukuran lokal suatu ruang (ukuran di dekat suatu titik). Sebuah kurva yang hampir memenuhi ruang tetap dapat mempunyai dimensi topologi satu, meskipun kurva tersebut memenuhi sebagian besar wilayah suatu wilayah. Fraktal memiliki dimensi topologi bilangan bulat, namun dalam hal jumlah ruang yang ditempatinya, fraktal berperilaku seperti ruang berdimensi lebih tinggi.

Dimensi Hausdorff mengukur ukuran lokal suatu ruang dengan mempertimbangkan jarak antar titik, metrik. Misalkan jumlah N (r) bola berjari-jari paling banyak r yang diperlukan untuk menutupi X seluruhnya. Ketika r sangat kecil, N(r) tumbuh secara polinomial dengan 1/r. Untuk X yang berkelakuan cukup baik, dimensi Hausdorff adalah bilangan unik d sehingga N(r) bertambah ketika 1/^rd ketika r mendekati nol. Lebih tepatnya, ini mendefinisikan dimensi penghitungan kotak, yang sama dengan dimensi Hausdorff ketika nilai d adalah batas kritis antara tingkat pertumbuhan yang tidak cukup untuk menutupi ruang, dan tingkat pertumbuhan yang berlebihan.

Untuk bentuk yang halus, atau bentuk dengan jumlah sudut yang condong sedikit, merupakan bentuk geometri dan sains tradisional, dimensi Hausdorff adalah bilangan bulat yang sesuai dengan dimensi topologi. Namun Benoit Mandelbrot mengamati bahwa fraktal, himpunan dengan dimensi Hausdorff noninteger, ditemukan di mana pun di alam. Dia mengamati bahwa idealisasi yang tepat dari sebagian besar bentuk kasar yang Anda lihat di sekitar Anda bukanlah dalam bentuk ideal yang halus, tetapi dalam bentuk ideal fraktal:

Awan tidak berbentuk bola, gunung tidak berbentuk kerucut, garis pantai tidak berbentuk lingkaran, kulit tidak mulus, dan kilat tidak merambat lurus.

Untuk fraktal yang terdapat di alam, dimensi Hausdorff dan penghitungan kotak bertepatan. Dimensi pengepakan adalah gagasan serupa lainnya yang memberikan nilai yang sama untuk banyak bentuk, namun ada pengecualian yang terdokumentasi dengan baik di mana semua dimensi ini berbeda.

Definisi formal

Definisi formal dimensi Hausdorff dicapai dengan pertama-tama mendefinisikan ukuran Hausdorff dimensi-d, analog dimensi pecahan dari ukuran Lebesgue. Pertama, ukuran luar dibuat: Let $X$ menjadi ruang metrik. Jika $S\subset X$ Dan $d\in [0,\infty )$,

$H_{\delta }^{d}(S)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty }(\operatorname {diam} U_{i})^{d}:\bigcup _{i=1}^{\infty }U_{i}\supseteq S,\operatorname {diam} U_{i}<\delta \right\},$

dimana infimum diambil alih seluruh sampul yang dapat dihitung $U$ dari $S$. Ukuran luar dimensi-d Hausdorff kemudian didefinisikan sebagai ${\mathcal {H}}^{d}(S)=\lim _{\delta \to 0}H_{\delta }^{d}(S)$, dan pembatasan pemetaan pada himpunan terukur membenarkannya sebagai suatu ukuran, yang disebut $d$ -ukuran Hausdorff dimensi.

Dimensi Hausdorff

Dimensi Hausdorff $\dim _{\operatorname {H} }{(X)}$ dari $X$ didefinisikan oleh

$\dim _{\operatorname {H} }{(X)}:=\inf\{d\geq 0:{\mathcal {H}}^{d}(X)=0\}.$

Ini sama dengan himpunan tertinggi dengan $d\in [0,\infty )$ sedemikian rupa sehingga $d$ -ukuran Hausdorff dimensi $X$ tidak terbatas (kecuali ketika kumpulan angka terakhir ini $d$ kosong, dimensi Hausdorff adalah nol).

Konten Hausdorff

Itu $d$-dimensi konten Hausdorff tak terbatas $S$ didefinisikan oleh

$C_{H}^{d}(S):=H_{\infty }^{d}(S)=\inf \left\{\sum _{k=1}^{\infty }(\operatorname {diam} U_{k})^{d}:\bigcup _{k=1}^{\infty }U_{k}\supseteq S\right\}$

Dengan kata lain, $C_{H}^{d}(S)$ memiliki konstruksi ukuran Hausdorff di mana set penutup diperbolehkan memiliki ukuran besar yang sewenang-wenang (Di sini, kami menggunakan konvensi standar bahwa $\inf \varnothing =\infty$ ). Ukuran Hausdorff dan konten Hausdorff keduanya dapat digunakan untuk menentukan dimensi suatu himpunan, tetapi jika ukuran himpunan tersebut bukan nol, nilai sebenarnya mungkin berbeda.

Contoh

Dimensi contoh fraktal selanjutnya. Segitiga Sierpinski, sebuah benda dengan dimensi Hausdorff log(3)/log(2)≈1.58.

• Himpunan terhitung memiliki dimensi Hausdorff 0.
• Ruang Euclidean $\mathbb {R} ^{n}$ memiliki dimensi Hausdorff $n$, dan lingkaran $S^{1}$ memiliki dimensi Hausdorff 1.
• Fraktal sering kali merupakan ruang yang dimensi Hausdorffnya melebihi dimensi topologi. Misalnya, himpunan Cantor, ruang topologi berdimensi nol, adalah gabungan dari dua salinan dirinya sendiri, masing-masing salinan dikecilkan dengan faktor 1/3; maka dapat ditunjukkan bahwa dimensi Hausdorffnya adalah ln(2)/ln(3) ≈ 0,63. Segitiga Sierpinski adalah gabungan dari tiga salinannya sendiri, yang masing-masing salinannya diperkecil sebesar faktor 1/2; ini menghasilkan dimensi Hausdorff ln(3)/ln(2) ≈ 1.58. Dimensi Hausdorff ini terkait dengan "eksponen kritis" teorema Master untuk menyelesaikan hubungan perulangan dalam analisis algoritma.
• Kurva pengisian ruang seperti kurva Peano mempunyai dimensi Hausdorff yang sama dengan ruang yang diisinya.
• Lintasan gerak Brown pada dimensi 2 ke atas diduga merupakan Hausdorff dimensi 2.

  

  Memperkirakan dimensi Hausdorff di pantai Britania Raya

Lewis Fry Richardson melakukan eksperimen terperinci untuk mengukur perkiraan dimensi Hausdorff untuk berbagai garis pantai. Hasilnya bervariasi dari 1,02 untuk garis pantai Afrika Selatan hingga 1,25 untuk pantai barat Inggris Raya.

Sifat dimensi Hausdorff

Misalkan X adalah ruang metrik yang dapat dipisahkan secara sembarang. Ada pengertian topologi dimensi induktif untuk X yang didefinisikan secara rekursif. Itu selalu berupa bilangan bulat (atau +∞) dan dilambangkan dengan dim_ind (X).

Teorema. Misalkan X tidak kosong. Kemudian

$\dim _{\mathrm {Haus} }(X)\geq \dim _{\operatorname {ind} }(X).$

Lebih-lebih lagi,

$\inf _{Y}\dim _{\operatorname {Haus} }(Y)=\dim _{\operatorname {ind} }(X),$

di mana Y berkisar pada ruang metrik homeomorfik hingga X. Dengan kata lain, X dan Y memiliki kumpulan titik dasar yang sama dan metrik d_Y dari Y secara topologi setara dengan d_X.

Hasil ini awalnya dikemukakan oleh Edward Szpilrajn (1907–1976), misalnya, lihat Hurewicz dan Wallman, Bab VII.

Dimensi Hausdorff dan dimensi Minkowski

Dimensi Minkowski mirip dengan dimensi Hausdorff, dan setidaknya sama besarnya dengan, dimensi Hausdorff, dan keduanya setara dalam banyak situasi. Namun himpunan titik rasional pada [0, 1] memiliki dimensi Hausdorff nol dan dimensi Minkowski satu. Ada juga himpunan kompak yang dimensi Minkowskinya lebih besar daripada dimensi Hausdorff.

Dimensi Hausdorff dan ukuran Frostman

Jika ada ukuran μ yang didefinisikan pada himpunan bagian Borel dari ruang metrik X sehingga μ (X) > 0 dan μ (B(x, r )) ≤ r^s berlaku untuk beberapa konstanta s > 0 dan untuk setiap bola B (x, r) di X, lalu dim_Haus(X) ≥ s. Kebalikan sebagian diberikan oleh lemma Frostman.

Perilaku di bawah serikat pekerja dan produk

Jika $X=\bigcup _{i\in I}X_{i}$ adalah kesatuan yang terbatas atau dapat dihitung

$\dim _{\operatorname {Haus} }(X)=\sup _{i\in I}\dim _{\operatorname {Haus} }(X_{i}).$

Hal ini dapat dibuktikan langsung dari definisinya.

Jika X dan Y adalah ruang metrik tak kosong, maka dimensi Hausdorff hasil perkaliannya memenuhi

$\dim _{\operatorname {Haus} }(X\times Y)\geq \dim _{\operatorname {Haus} }(X)+\dim _{\operatorname {Haus} }(Y).$

Ketimpangan ini bisa sangat parah. Dimungkinkan untuk menemukan dua himpunan berdimensi 0 yang produknya berdimensi 1. Dalam arah sebaliknya, diketahui bahwa ketika X dan Y merupakan himpunan bagian Borel dari R ⁿ, dimensi Hausdorff dari X × Y dibatasi dari atas oleh dimensi Hausdorff dari X ditambah dimensi pengepakan atas dari Y. Fakta-fakta ini dibahas dalam Mattila (1995).

Lihat juga

• Dimensi fraktal
• Kurva naga
• Spons Menger
• Kubus satuan
• Karpet Sierpinski