Turunan

operasi dalam kalkulus

Dalam matematika, turunan atau derivatif dari sebuah fungsi adalah cara mengukur sensitivitas perubahan nilai fungsi terhadap perubahan pada nilai variabelnya. Sebagai contoh, turunan dari posisi sebuah benda bergerak terhadap waktu mengukur kecepatan benda bergerak ketika waktu berjalan. Turunan adalah alat penting dalam kalkulus.

Grafik fungsi (warna hitam) dan garis tangen pada fungsi (warna merah). Kemiringan dari garis tangen sama dengan turunan fungsi pada titik tersebut.

Turunan sebuah fungsi satu variabel di suatu titik, jika itu ada, adalah kemiringan dari garis singgung dari grafik fungsi di titik tersebut. Garis singgung adalah hampiran (aproksimasi) linear terbaik dari fungsi di sekitar titik tersebut. Konsep turunan dapat diperumum untuk fungsi multivariabel. Dalam perumuman ini, turunan dianggap sebagai transformasi linear, dengan translasi yang sesuai, menghasilkan hampiran linear dari grafik fungsi multivariabel tersebut. Matriks Jacobi adalah matriks yang merepresentasikan transformasi linear terhadap suatu basis yang ditentukan. Matriks ini dapat ditentukan dengan turunan parsial dari variabel-variabel independen. Pada fungsi multivariabel bernilai real, matriks Jacobi tereduksi menjadi vektor gradien.

Proses menemukan turunan disebut diferensiasi. Kebalikan proses ini disebut dengan antiturunan. Teorema fundamental kalkulus menyatakan hubungan diferensiasi dengan integrasi. Turunan dan integral adalah dua operasi dasar dalam kalkulus satu-variabel.

Konsep turunan fungsi yang universal banyak digunakan dalam berbagai cabang matematika maupun bidang ilmu yang lain. Dalam bidang ekonomi, turunan digunakan untuk menghitung biaya marginal, total penerimaan, dan biaya produksi. Bidang biologi menggunakan turunan untuk menghitung laju pertumbuhan mikroorganisme, dalam bidang fisika untuk menghitung kepadatan kawat, dalam bidang kimia untuk menghitung laju pemisahan, dalam bidang geografi untuk menghitung laju pertumbuhan penduduk, dan masih banyak lagi.

PendahuluanSunting

Secara informal, turunan dari sebuah fungsi y = f(x) dengan variabel x adalah ukuran dari rasio perubahan nilai y terhadap perubahan nilai variabel x. Jika x dan y adalah bilangan real, dan jika grafik fungsi f diplot terhadap x, besar turunan dari fungsi ini pada sembarang titik menandakan kemiringan dari grafik fungsi pada titik tersebut.

 
Kemiringan dari fungsi linear y = f(x) = mx + b adalah  

Kasus sederhana dari fungsi f(x) adalah fungsi linear yang memiliki persamaan y = f(x) = mx + b, dengan bilangan real m dan b. Kemiringan dari fungsi ini, m, dinyatakan dengan

 

dengan simbol Δ (Delta) adalah singkatan untuk "perubahan nilai", dan simbol   dan   masing-masing menyatakan besar perubahan yang terjadi. Sebagai contoh,

 
Persamaan di atas berlaku, karena
 
dan menghasilkan persamaan   yang memberikan persamaan kemiringan dari suatu garis.
Nilai perubahan sebagai nilai limit
Gambar 1. Garis singgung pada (x, f(x))
Gambar 2. Garis sekan pada grafik fungsi y= f(x) yang melalui titik (x, f(x)) dan (x + h, f(x + h))
Gambar 3. Garis singgung sebagai limit dari garis sekan
Gambar 4. Ilustrasi animasi: garis singgung (turunan) sebagai limit dari garis-garis sekan

Jika fungsi f tidak linear (maksudnya grafik fungsi bukan berupa garis lurus), maka perubahan nilai y dibagi dengan perubahan nilai x dapat berubah-ubah tergantung nilai perubahan nilai x yang dipilih. Turunan adalah metode untuk menentukan nilai unik dari perbandingan perubahan nilai tersebut, yang tidak tergantung besar perubahan   melainkan titik x yang dipilih. Metode menentukan turunan dapat diilustrasikan lewat Gambar 1 sampai Gambar 3, yang menggambarkan nilai limit dari perbandingan Δy / Δx dengan besar Δx menuju 0.

Asal-usul definisiSunting

 
Garis sekan yang berubah menjadi garis singgung ketika  .

Salah satu cara umum untuk menyatakan cara diferensiasi yang intuitif ke dalam definisi yang matematis adalah dengan mendefinisikan turunan sebagai limit dari perbandingan dua bilangan real.[1] Pendekatan ini dapat dijabarkan sebagai berikut.

Misalkan f adalah fungsi bernilai real yang terdefinisi pada suatu lingkungan buka dari suatu bilangan real a. Dalam geometri, garis singgung dari grafik fungsi f di a adalah suatu garis unik yang melalui titik (a, f(a)) dan tidak memotong fungsi f di sekitar titik (a, f(a)). Turunan dari y terhadap x di a secara geometris adalah besar kemiringan dari garis singgung grafik f di (a, f(a)). Besar kemiringan garis singgung akan sangat mirip dengan besar kemiringan garis yang melalui titik (a, f(a)) dan sebuah titik lain di grafik yang dekat dengannya, sebagai contoh (a + h, f(a + h)). Garis yang didefinisikan ini disebut dengan garis sekan. Nilai h yang dekat dengan nol akan memberikan hampiran (dugaan, aproksimasi) yang baik mengenai besar kemiringan garis singgung; dan secara umum, nilai (mutlak) h yang semakin kecil akan memberikan hampiran yang lebih baik. Besar kemiringan m dari garis sekan adalah perbedaan nilai y antara dua titik tersebut, dibagi dengan perbedaan nilai x pada dua titik yang sama, dengan kata lain

 
Limit digunakan untuk mengubah nilai hampiran ke nilai yang pasti (exact). Jika nilai dari limit ketika h menuju nol ada, maka nilai ini menyatakan besar kemiringan dari garis singgung fungsi di titik (a, f(a)). Limit ini didefinisikan sebagai turunan dari fungsi f di a:

 

Jika nilai limit ada, f dikatakan terdiferensialkan di a. Notasi   adalah salah satu notasi umum untuk turunan. Definisi turunan ini mengandung hubungan yang intuitif bahwa suatu fungsi terdiferensialkan f bersifat menaik jika dan hanya jika turunannya bernilai positif, dan menurun jika dan hanya jika turunannya bernilai negatif. Fakta ini sering digunakan dalam analisis mengenai perilaku fungsi, contohnya dalam menentukan titik ekstrem fungsi.

Selain itu, turunan juga memenuhi sifat

 

yang menghasilkan interpretasi yang intuitif (lihat Gambar 1) bahwa garis singgung fungsi f di a memberikan hampiran linear terbaik

 

untuk nilai fungsi f di sekitar a (yakni, untuk nilai h yang kecil). Interpretasi ini adalah konsep termudah yang dapat diperumum ke kasus-kasus lainnya.

Metode subtitusi h dengan nol pada perbandingan beda tidak dapat dilakukan karena menghasilkan pembagian oleh nol. Hal ini menyebabkan besar kemiringan dari garis singgung tidak dapat ditemukan secara langsung lewat subtitusi. Besar kemiringan dapat ditentukan mendefinisikan Q(h) menjadi perbandingan (quotinent) beda sebagai fungsi dari h:

 

  secara geometris menyatakan kemiringan dari garis sekan yang melalui   dan  . Jika f adalah fungsi kontinu, secara informal mengartikan grafik fungsinya berupa kurva tak putus dan tidak mengandung celah, maka fungsi Q kontinu selain di  . Jika limit   ada, maka ada cara lain memilih nilai untuk Q(0) yang membuat Q menjadi fungsi kontinu, membuat fungsi f terdiferensialkan di a, dan besar turunannya di a sama dengan Q(0). Pada praktiknya, keberadaan Q(h) yang kontinu di   ditunjukkan dengan mengubah ekspresi pada pembilang agar dapat "mencoret" semua suku h pada penyebut. Manipulasi seperti itu memungkinkan nilai limit dari Q untuk nilai h yang kecil terlihat jelas, walaupun Q masih tidak terdefinisi di  . Proses manipulasi ini dapat sangat panjang dan melelahkan untuk fungsi yang rumit, dan banyak jalan pintas digunakan untuk menyederhanakan proses.

Contoh perhitunganSunting

 
Fungsi kuadrat

Fungsi kuadrat memiliki persamaan f(x) = x2 dan diferensialkan di x = 3, dengan nilai turunan fungsi di titik tersebut adalah 6. Hasil ini didapatkan dari menghitung limit dengan h menuju nol, dari persamaan beda f(3):

 
Ekspresi terakhir menunjukkan persamaan beda sama dengan ekspresi 6 + h saat   dan tidak terdefinisi saat h = 0, karena definisi dari persamaan beda. Tetapi, definisi dari limit menyatakan persamaan beda tidak harus terdefinisi saat h = 0. Nilai limit adalah hasil dari membuat variabel h menuju nol, mengartikan ekspresi 6 + h saat nilai h menuju sekecil mungkin akan menjadi:
 
Mengartikan kemiringan dari grafik fungsi kuadrat di titik (3, 9) adalah 6, dan turunannya di x = 3 adalah  . Secara umum, perhitungan yang sama dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa turunan fungsi kuadrat di x = a adalah  :
 

SejarahSunting

Kalkulus, atau dikenal dalam sejarah lebih awalnya, kalkulus infinitesimal, merupakan cabang matematika yang berfokus pada konsep limit, fungsi, turunan, integral, dan deret takhingga. Isaac Newton dan Gottfried Leibniz menemukan kalkulus secara terpisah pada pertengahan abad ke-17. Namun dalam pertikaian yang pahit, Leibniz dituduh bahwa ia mencuri karya Newton dan sebaliknya. Pertikaian ini berlanjut hingga kematian mereka berdua.

DefinisiSunting

Sebuah fungsi dengan variabel real,  , dikatakan terdiferensialkan atau dapat diturunkan pada suatu titik   di domainnya, jika domain fungsi tersebut mengandung suatu interval buka   yang beranggotakan  , dan nilai limit

 
ada. Hal ini mengartikan bahwa, untuk setiap bilangan real positif   (bahkan jika nilainya sangat kecil), akan ada suatu bilangan real positif   sedemikian sehingga, untuk semua h yang memenuhi   dan  , menyebabkan nilai   terdefinisi dan
 
dengan bar vertikal menyatakan nilai mutlak (lihat definisi epsilon-delta dari limit).

Jika fungsi   terdiferensialkan di  , dengan kata lain jika nilai limit   ada, maka nilai limit ini disebut turunan dari   di  , dan dinyatakan dengan   atau   (dibaca "turunan dari   terhadap   di  " atau "dy per dx di  ").

Kekontinuan dan keterdiferensialanSunting

 
Fungsi tangga tidak memiliki turunan pada titik berwarna merah, karena fungsi tidak kontinu di titik tersebut.

Fungsi   yang terdiferensialkan di suatu titik  , juga akan bersifat kontinu di titik tersebut. Sebagai contoh dari sifat ini, misalkan f adalah fungsi tangga yang menghasilkan nilai 1 untuk semua x kurang dari nilai a, dan menghasilkan nilai yang berbeda, misalnya 10, untuk semua nilai x yang lebih besar atau sama dengan a. Fungsi f tidak dapat memiliki turunan di titik a. Untuk nilai h yang negatif, titik a + h akan terletak di sisi rendah dari fungsi tangga, menjadikan garis sekan dari a ke a + h akan sangat curam; dan semakin curam saat h menuju nol. Sedangkan nilai h yang positif, maka a + h terletak pada sisi tinggi dari fungsi tangga, sehingga garis sekan dari a ke a + h tidak memiliki kemiringan (datar). Alhasil garis-garis sekan tidak menuju besar kemiringan yang sama, mengakibatkan nilai limit dari persamaan beda tidak ada.

 
Fungsi nilai mutlak bersifat kontinu, namun tidak dapat didiferensiasi di x = 0 karena garis sekannya tidak menghasilkan kemiringan yang sama ketika dihitung dari kiri dan dari kanan.

Tetapi, bahkan jika fungsi kontinu di suatu titik, fungsi tersebut mungkin tidak terdiferensialkan di sana. Sebagai contoh, fungsi nilai mutlak f(x) = |x| bersifat kontinu di x = 0, namun tidak terdiferensialkan di titik itu. Jika h positif, maka kemiringan dari garis sekan dari 0 ke h bernilai 1, sedangkan jika h negatif, maka kemiringan garis sekan dari 0 ke h bernilai -1. Bahkan fungsi mulus tidak dapat diturunkan di titik yang garis singgungnya merupakan garis vertikal: Sebagai contoh, fungsi f(x) = x1/3 tidak terdiferensialkan di x = 0.

Secara singkat, fungsi yang terdiferensialkan adalah fungsi yang kontinu, tetapi ada fungsi kontinu yang tidak dapat didiferensialkan.

Sebagian besar fungsi pada praktiknya memiliki turunan di semua titik atau hampir semua titik. Pada awal sejarah kalkulus, banyak matematikawan mengasumsikan fungsi kontinu dapat diturunkan di banyak titik. Pada kondisi yang standar, hal ini berlaku karena kebanyakan fungsi adalah fungsi monoton atau fungsi Lipschitz. Tetapi pada tahun 1872, Weierstrass menemukan contoh pertama dari fungsi yang kontinu dimanapun namun tidak terdiferensialkan dimanapun. Contoh tersebut sekarang dikenal sebagai fungsi Weierstrass.

Turunan sebagai sebuah fungsiSunting

 
Turunan di berbagai titik berbeda pada suatu fungsi terdiferensialkan. Pada kasus ini, besar turunannya sama dengan: 

Misalkan f adalah fungsi yang memiliki turunan di setiap titik di domainnya. Seseorang dapat mendefinisikan sebuah fungsi yang memetakan setiap titik x ke nilai dari turunan f di x. Salah satu notasi untuk menulis fungsi ini adalah  , dan disebut sebagai fungsi turunan atau turunan dari f. Terkadang f memiliki turunan pada sebagian besar, tapi tidak semua, titik di domainnya. Fungsi yang nilainya di a sama dengan   kapanpun nilai   terdefinisi, dan tidak terdefinisi di nilai-nilai yang lainnya, juga disebut turunan dari f. Fungsi ini memiliki domain yang lebih kecil daripada domain dari f.

Menggunakan ide tersebut, turunan dapat dianggap sebagai fungsi dari fungsi: Turunan adalah sebuah operator dengan domainnya adalah himpunan semua fungsi yang memiliki turunan di semua titik pada domain mereka, dan citra-nya (range) adalah himpunan berisi fungsi-fungsi. Jika operator ini dinyatakan dengan D, maka D(f) sama dengan fungsi  . Selain itu, karena D(f) adalah sebuah fungsi, nilainya dapat dihitung di titik a. Dengan menggunakan definisi dari fungsi turunan,  

Sebagai contoh, pertimbangkan fungsi f(x) = 2x; f adalah fungsi satu variabel yang bernilai real, mengartikan fungsi ini menerima sebuah angka lalu menghasilkan sebuah angka:

 

Operator D di sisi lain, tidak menerima maupun menghasilkan angka, melainkan fungsi:

 

Karena D menghasilkan sebuah fungsi, hasil dari D dapat dievaluasi di suatu titik. Sebagai contoh, ketika D diterapkan pada fungsi kuadrat xx2, D akan menghasilkan fungsi x ↦ 2x, yang dapat diberi nama f(x). Fungsi hasil ini selanjutnya dapat digunakan untuk menghitung f(1) = 2, f(2) = 4, dan seterusnya.

Notasi turunanSunting

Beberapa notasi untuk menyatakan turunan dikembangkan pada awal perkembangan kalkulus, dan beberapa notasi tersebut masih digunakan saat ini.

Notasi LeibnizSunting

 
Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646 - 1716), filsuf Jerman, matematikawan, dan nama notasi matematika yang paling luas digunakan dalam kalkulus.

Simbol  ,  , dan   diperkenalkan oleh Gottfried Wilhelm Leibniz pada tahun 1675.[2] Notasi ini masih umum digunakan ketika persamaan   ingin dipandang sebagai hubungan antara variabel terikat dan variabel bebas. Turunan pertama dengan notasi ini ditulis sebagai

 
dan awalnya dianggap sebagai perbandingan dua besaran infinitesimal ("infinitely small", "yang tak hingga kecilnya"). Turunan tingkat tinggi, yakni turunan ke-n dari  , dituliskan sebagai
 
Notasi tersebut merupakan 'singkatan' dari penerapan operator turunan secara berulang. Sebagai contoh, notasi turunan kedua[3]
 

Dengan menggunakan notasi Leibniz, turunan dari   di titik   dapat ditulis dalam dua cara berbeda:

 

Notasi Leibniz memungkinkan penulisan variabel diferensiasi (sebagai penyebut), yang berperan dalam turunan parsial. Notasi ini juga dapat digunakan untuk menulis aturan rantai sebagai[Note 1]

 

Selain itu, notasi Leibniz memperlihatkan hubungan variabel yang sesuai dengan analisis dimensi. Sebagai contoh, turunan kedua   memiliki dimensi yang sama dengan  .

Notasi LagrangeSunting

Terkadang disebut dengan notasi petik/prima (prime notation),[4] salah satu notasi turunan yang umum lainnya adalah notasi yang diperkenalkan Joseph-Louis Lagrange. Notasi ini menggunakan simbol prima, yang mirip dengan simbol petik. Turunan dari fungsi   dituliskan sebagai  . Serupa dengan itu, turunan kedua dan ketiga dari fungsi ditulis sebagai

    dan    

Untuk menyatakan turunan tingkat tinggi, beberapa penulis menggunakan angka Romawi yang ditulis sebagai tika atas, sedangkan yang lain menuliskan angka dalam simbol kurung:

    atau    

Notasi yang kedua dapat diperumum untuk menghasilkan notasi   untuk turunan ke-n dari  . Notasi ini ringkas dan paling berguna ketika turunan dianggap sebagai fungsi tersendiri, berbeda dengan notasi Leibniz yang mengganggap turunan sebagai hubungan antar variabel. Nilai fungsi turunan ke-n di   dituliskan sebagai  .

Notasi NewtonSunting

Notasi Newton untuk turunan juga disebut sebagai notasi dot/titik. Notasi ini menggunakan titik yang diletakkan di atas nama fungsi, untuk merepresentasikan turunan terhadap waktu. Jika  , maka

    dan    

masing-masing menyatakan turunan pertama dan turunan kedua dari  . Notasi Newton saat ini hanya digunakan untuk turunan terhadap waktu atau terhadap panjang busur, yang umum ditemukan dalam persamaan diferensial di fisika dan geometri diferensial.[5][6] Notasi Newton, malangnya, sulit digunakan untuk turunan tingkat tinggi (turunan ke-4 atau lebih), dan tidak dapat digunakan untuk fungsi multivariabel.

Notasi EulerSunting

Notasi yang diperkenalkan Leonhard Euler menggunakan operator diferensial  , yang ketika diterapkan pada sebuah fungsi   akan menghasilkan turunan pertama  . Turunan ke-n dengan notasi ini ditulis sebagai  . Jika   adalah variabel terikat, maka tika bawah   umum dilekatkan ke   untuk memperjelas   adalah variabel bebas. Notasi Euler selanjutnya dapat ditulis sebagai

    atau   ,

walaupun tika bawah umumnya tidak digunakan jika konteks variabel   dapat dipahami, contohnya ketika   adalah satu-satunya variabel bebas dalam ekspresi. Notasi Euler berguna dalam menyatakan dan menyelesaikan sistem persamaan diferensial linear.

Kaidah dalam menentukan turunan fungsiSunting

Definisi turunan dapat digunakan untuk menentukan turunan suatu fungsi, seperti   dan  . Proses ini dilakukan membuat persamaan perbandingan beda, lalu menghitung limitnya. Tapi pada praktiknya proses ini seringkali melelahkan. Dalam pendidikan terkait kalkulus diferensial, proses ini hanya dilakukan pada awal pembelajaran. Selanjutnya, menentukan turunan fungsi dilakukan dengan merujuk pada tabel/daftar turunan fungsi yang umum maupun dengan menggunakan aturan-aturan turunan.

Kaidah untuk fungsi-fungsi dasarSunting

Setiap aturan pada bagian ini dapat dihasilkan dengan membuat persamaan beda, lalu menghitung limit  . Proses tersebut memerlukan strategi yang berbeda untuk mendapatkan hasil turunan, tergantung jenis fungsinya. Pada bagian ini,   berupa bilangan real.

  • Turunan pangkat:
     
  • Fungsi eksponensial dan logaritma:
     
     
     
     
  • Fungsi trigonometri:
     
     
     
  • Fungsi invers trigonometri:
     
     
     

Kaidah untuk fungsi kompositSunting

Beberapa aturan berikut dapat digunakan untuk menentukan turunan komposisi fungsi dengan membaginya menjadi masalah-masalah turunan yang lebih sederhana. Pada bagian ini,  ,  , dan   adalah fungsi yang terdiferensialkan pada selang  .

  • Aturan konstanta:
      untuk   berupa fungsi konstan.
  • Kaidah jumlah:
      untuk semua fungsi f dan g, dan untuk semua bilangan real   dan  .
  • Kaidah darab:
      untuk semua fungsi f dan g. Aturan ini mencakup kasus yang istimewa, yakni fakta bahwa   dengan   berupa konstanta. Karena menurut aturan konstanta,  .
  • Kaidah hasil-bagi:
      untuk semua fungsi   dan  , di semua titik   di   yang memenuhi  . Pada kasus   berupa fungsi konstan bernilai  , akan didapatkan hubungan  
  • Aturan rantai untuk komposisi fungsi:
    Jika fungsi   terdiferensialkan pada selang  , dan fungsi   terdiferensialkan pada selang   (  adalah citra dari   yang dihasilkan fungsi  ), maka komposisi fungsi   terdiferensialkan di   dan
     
  • Kaidah fungsi invers:
    Jika fungsi   bersifat bijektif, dan   adalah invers dari fungsi tersebut, maka
     
    Hubungan ini berlaku sembarang titik   yang memenuhi  

Contoh perhitunganSunting

Turunan dari fungsi

 

dapat dilakukan dengan pertama kali menerapkan kaidah jumlah; turunan dari penjumlahan fungsi-fungsi sama dengan penjumlahan dari turunan fungsi-fungsi:

 
Tahap selanjutnya adalah menghitung turunan dari masing-masing fungsi. Kaidah rantai digunakan untuk menentukan turunan dari  , sedangkan kaidah darab digunakan untuk menentukan turunan  :
 

Turunan tingkat tinggiSunting

Misalkan   adalah fungsi terdiferensialkan, dan   adalah fungsi turunannya. Turunan dari   (jika ada) ditulis sebagai   dan disebut turunan kedua dari  . Serupa dengan itu, turunan dari turunan kedua, jika ada, ditulis sebagai   dan disebut turunan ketiga dari  ; dan seterusnya. Turunan berulang ini disebut turunan tingkat tinggi. Turunan ke-n juga dapat dituliskan sebagai  . Jika   menyatakan posisi suatu objek pada waktu  , maka turunan tingkat tinggi dari   memiliki interpretasi khusus dalam bidang fisika. Turunan pertama dari   menyatakan kecepatan objek, turunan kedua menyatakan besar akselerasinya, sedangkan turunan ketiga dari   menyatakan sentakan.

Fungsi mulusSunting

Sebuah fungsi yang dapat diturunkan tak hingga kali disebut fungsi mulus. Tidak semua fungsi merupakan fungsi mulus; sebagai contoh, fungsi   yang tidak kontinu tidak dapat diturunkan. Serupa dengan itu, bahkan jika   memiliki turunan, fungsi turunan keduanya mungkin tidak ada. Sebagai contoh, misalkan fungsi

 

Perhitungan menunjukkan bahwa   adalah fungsi yang terdiferensialkan namun tidak memiliki turunan di nol. Jika suatu fungsi dapat diturunkan k kali berturut-turut dan turunan ke-k-nya bersifat kontinu, maka fungsi tersebut merupakan anggota kelas keterdiferensialan Ck.

Polinomial Taylor dengan sisaSunting

Pada garis bilangan real, setiap fungsi polinomial terdiferensialkan tak hingga kali. Dengan menggunakan kaidah turunan pangkat, sebuah polinomial berderajat n akan menjadi fungsi konstan jika diturunkan sebanyak n kali. Semua turunan fungsi tersebut selanjutnya sama dengan 0 (fungsi konstan). Hal ini mengartikan fungsi polinomial termasuk fungsi mulus.

Turunan tingkat tinggi dari sebuah fungsi   di suatu titik  , akan memberikan hampiran polinomial terbaik untuk fungsi tersebut di sekitar titik  . Sebagai contoh, jika   terdiferensialkan dua kali, maka

 

dalam artian bahwa

 

Jika   terdiferensialkan tak hingga kali, maka persamaan turunan kedua dapat diteruskan menjadi deret Taylor untuk fungsi   yang dievaluasi di x + h sekitar titik x.

Kaidah untuk turunan tingkat tinggiSunting

  • Aturan Leibniz
    Jika   dan   dapat diturunkan sebanyak   kali, maka turunan ke-  dari fungsi   adalah
     
    Ekspresi   yang muncul pada persamaan tersebut menandakan koefisien binomial. Aturan ini adalah perumuman dari kaidah darab.

Turunan pada sistem bilangan kompleksSunting

Definisi dan aturan-aturan terkait turunan dapat diperumum untuk fungsi dengan variabel kompleks dan nilai kompleks. Perumuman ini dapat dilakukan karena bilangan kompleks juga memiliki sifat penjumlahan, perkalian, dan pembagian; sama seperti bilangan real. Selain itu, konsep jarak (Euklides) antar bilangan pada bilangan kompleks dapat dijelaskan secara sederhana.

Jika   berupa himpunan buka, dan   adalah fungsi bernilai kompleks, maka   dikatakan terdiferensialkan di titik   bila nilai limit

 

ada.[7] Turunan kompleks ini disimbolkan dengan   Definisi ini memungkinkan untuk menggunakan konsep kelinearan: turunan menyatakan besar "kemiringan" dari fungsi [kompleks] linear terbaik yang menghampiri fungsi   Tapi, perhatian lebih diperlukan karena nilai   pada limit berupa bilangan kompleks. Berbeda dengan limit pada bilangan real yang hanya memerlukan dua arah ("limit dari kanan" dan "limit dari kiri"), limit pada bilangan kompleks dapat "bergerak" dari takhingga banyaknya arah. Akibatnya, konsep turunan fungsi kompleks jauh lebih ketat ketimbang pada fungsi bernilai real. Sebagai contoh fungsi nilai mutlak kompleks tidak memiliki turunan dimanapun. Sebuah fungsi kompleks dapat diturunkan pada suatu titik, jika dan hanya jika fungsi tersebut memenuhi persamaan Cauchy-Riemann di titik tersebut.

Walaupun (atau tepatnya karena) konsep turunan yang jauh lebih ketat, aturan-aturan perhitungan turunan pada fungsi bilangan real dapat digunakan untuk fungsi bilangan kompleks. Hal ini mencakup aturan jumlah, darab, dan rantai, juga aturan fungsi invers. Banyak fungsi kompleks, seperti eksponensial dan logaritma, memiliki sifat turunan yang mirip dengan versi realnya.

Jika fungsi   terdiferensialkan di keseluruhan domain  , maka fungsi   disebut fungsi holomorfik di  .[8] Fungsi kompleks yang terdiferensialkan di keseluruhan   disebut fungsi entire. Fungsi holomorfik memiliki beberapa sifat yang unik. Sebagai contoh, teorema Picard menyimpulkan bahwa citra (range) dari fungsi entire hanya dapat berupa:  ,  , atau   untuk suatu  . Hasil ini dapat digunakan untuk menyimpulkan bahwa, jika fungsi kompleks   tidak pernah menghasilkan nilai   maupun nilai  , maka   adalah fungsi konstan.

Turunan untuk fungsi bernilai vektorSunting

 
Grafik dari fungsi bernilai vektor  yang berbentuk heliks. Panah menandakan vektor yang dihasilkan fungsi di  .

Sebuah fungsi bernilai vektor   dengan variabel real, adalah fungsi yang memetakan bilangan real ke suatu vektor di suatu ruang vektor  . Fungsi bernilai vektor dapat dibagi menjadi fungsi-fungsi koordinatnya,  . Hal ini mengartikan fungsi   dapat ditulis sebagai  . Contoh dari fungsi bernilai vektor adalah kurva parametrik di   atau  . Fungsi-fungsi koordinat adalah fungsi bernilai real, mengakibatkan definisi turunan dapat diterapkan bagi mereka semua. Turunan dari fungsi   didefinisikan sebagai sebuah vektor, disebut vektor singgung, yang koordinatnya adalah nilai turunan dari semua fungsi koordinatnya. Dengan kata lain,

 
Bentuk tersebut dapat dihasilkan dari menghitung
 
dengan mengasumsikan limit dari fungsi tersebut ada. Sebagai contoh, bila   adalah vektor yang menandakan posisi suatu partikel pada waktu  , turunan   dapat dipandang sebagai vektor kecepatan dari partikel pada waktu  .

Turunan untuk fungsi multivariabelSunting

Pembahasan pada bagian-bagian sebelumnya hanya memperhatikan fungsi dengan satu variabel. Fungsi yang memetakan vektor ke vektor maupun vektor ke bilangan juga dapat memiliki turunan. Tetapi, garis singgung pada grafik fungsi tersebut belum tentu unik, karena ada banyak arah yang mungkin untuk membuat garis tersebut. Oleh karena itu, perumuman turunan diperlukan untuk jenis fungsi ini.

Keterdiferensialan dan matriks JacobiSunting

Turunan parsialSunting

Grafik dari fungsi  . Pada turunan parsial dengan nilai variabel   konstan, garis singgung yang dihasilkan akan sejajar dengan bidang-xz.
Irisan dari grafik fungsi di bidang-xz  . Dua sumbu yang disajikan di sini memiliki skala yang berbeda. Kemiringan dari garis singgung di titik   sama dengan 3.

Misalkan   adalah fungsi multivariabel, sebagai contoh   Fungsi   dapat dianggap sebagai keluarga fungsi satu variabel yang diindeks oleh variabel-variabel yang lain:

 

Dalam contoh ini, setiap nilai   akan menghasilkan sebuah fungsi   yang merupakan fungsi satu variabel. Hal ini dapat dinyatakan dengan pemetaan

 
 

Setelah suatu nilai   dipilih, misalnya  , maka   selanjutnya menentukan sebuah fungsi   yang memetakan   ke  , juga dapat ditulis sebagai  . Dalam ekspresi tersebut   adalah sebuah konstanta dan bukan sebuah variabel, menjadikan   sebagai fungsi satu variabel. Alhasil, definisi turunan untuk fungsi satu variabel berlaku:

 

Prosedur ini dapat diterapkan untuk sembarang pemilihan nilai  . Menggunakan notasi Leibniz, turunan ini menyampaikan perbandingan perubahan nilai fungsi   dalam arah  :

 

dan disebut sebagai turunan berarah dari   terhadap  . Dalam ekspresi tersebut, simbol adalah huruf d melengkung yang disebut sebagai simbol turunan parsial. Untuk membedakannya dengan huruf d yang digunakan dalam turunan satu variabel, ∂ terkadang dilafalkan sebagai "der", "del", atau "parsial", ketimbang "de".

Secara umum, turunan parsial sebuah fungsi   dalam arah   di titik   didefinisikan sebagai

 

Dalam perbandingan beda di atas, semua nilai variabel kecuali   dibuat konstan. Tindakan membuat konstan variabel-variabel ini akan menghasilkan fungsi satu variabel

 

dan dari definisi,

 

Ekspresi ini juga menunjukkan bahwa perhitungan turunan parsial dapat disederhanakan menjadi perhitungan turunan satu variabel.

Turunan parsial juga memainkan peran penting dalam pembahasan terkait fungsi bernilai vektor. Misalkan   sebagai fungsi bernilai vektor. Jika semua turunan parsial   terdefinisi di titik  , turunan-turunan parsial ini mendefinisikan sebuah vektor

 

yang disebut sebagai gradien dari   di  . Jika   terdiferensialkan di setiap titik di suatu domain, maka gradien adalah sebuah fungsi bernilai vektor   yang memetakan titik   ke vektor  . Akibatnya, gradien menentukan suatu medan vektor.

Turunan berarahSunting

 
Plot kontur dari fungsi  . Vektor gradien ditandai oleh warna hitam, dan vektor unit   yang dikali dengan turunan berarah  dalam arah   ditandai wana jingga. Vektor gradien lebih panjang daripada vektor turunan berarah, karena vektor gradien menunjuk pada arah dengan perubahan nilai fungsi paling besar.

Jika   adalah fungsi bernilai real di  , maka turunan parsial   mengukur variasi turunan dalam arah sumbu koordinat. Sebagai contoh, jika   adalah fungsi dari   dan  , maka turunan parsial   mengukur variasi di   dalam arah   dan  . Tapi, turunan   tidak mengukur secara langsung variasi   pada setiap arah lainnya, contohnya di sepanjang garis diagonal  . Ini diukur menggunakan turunan berarah. Misalkan vektor

 

turunan berarah   dalam arah   di titik x didefinisikan melalui limit

 

Dalam beberapa kasus, menghitung atau menaksir turunan berarah akan lebih mudah setelah panjang vektor diubah. Proses ini seringkali dilakukan dengan mengubah suatu masalah menjadi perhitungan berupa turunan berarah dalam arah satuan vektor. Sebagai contoh, misalkan   dan   adalah satuan vektor pada arah  . Mensubstitusi   ke perbandingan beda di ruas kanan persamaan, akan menghasilkan bentuk

 

Dengan mengambil limit   menuju nol dari persamaan di atas, didapatkan hubungan turunan berarah   dalam arah vektor   sama saja dengan   kali turunan berarah   dalam arah vektor satuan  . Oleh karena itu,  . Karena sifat penskalaan ini, turunan berarah seringkali digunakan hanya untuk vektor satuan.

Jika semua turunan parsial   ada dan kontinu di  , maka semua turunan parsial menentukan turunan berarah   pada arah   melalui rumus berikut:

 

Rumus di atas merupakan akibat dari definisi turunan total. Rumus ini juga menunjukkan bahwa turunan berarah bersifat linear di  , dalam artian  .

Definisi yang sama juga berlaku ketika   berupa fungsi yang memiliki nilai di  ; dengan menerapkan definisi pada setiap komponen vektor. Pada kasus ini, turunan berarah merupakan vektor di  .

Diferensial total dan matriks JacobiSunting

Jika   merupakan sebuah fungsi dari himpunan terbuka dari   ke  , maka turunan berarah   dalam arah yang dipilih merupakan hampiran linear terbaik ke   di titik dan arah tersebut. Tetapi jika  , maka tidak ada turunan berarah tunggal yang dapat memberikan gambaran lengkap mengenai perilaku fungsi  . Turunan total memberikan gambaran lengkap dengan meninjau semua arah sekaligus. Dalam artian, untuk suatu vektor   yang dimulai dari  , terdapat rumus hampiran linear yang berlaku sebagai:

 

Sama seperti turunan satu variabel,   dipilih sehingga galat hampiran tersebut dapat dibuat sekecil mungkin.

Jika   dan   bernilai 1, maka turunan   merupakan sebuah nilai dan bentuk   merupakan hasil kali dari dua bilangan. Tetapi dalam dimensi yang lebih tinggi,   tidak dapat berupa sebuah bilangan. Jika   adalah sebuah bilangan, maka   akan berupa vektor di  . Sedangkan bentuk-bentuk lainnya berupa vektor di   sehingga rumus hampiran linear menjadi tidak masuk akal. Agar rumus hampiran linear menjadi masuk akal,   harus sebuah fungsi yang memetakan vektor di   ke vektor di  , dan   harus menyatakan fungsinya dapat dihitung di  .

Untuk menentukan jenis fungsi apakah tersebut, perhatikan bahwa rumus hampiran linear dapat ditulis ulang sebagai

 

Perhatikan bahwa jika vektor lain dipilih, katakanlah  , maka persamaan hampiran tersebut menentukan persamaan hampiran lain dengan memasukkan   ke  . Ini menentukan persamaan aproksimasi ketiga dengan memasukan nilai   ke   dan   ke  . Dengan mengurangi kedua persamaan tersebut akan mendapatkan persamaan berikut.

 

Jika diasumsikan bahwa   bernilai kecil dan bahwa perubahan turunan kontinu di  , maka   kira-kira sama dengan  . Karena itu, ruas kanan pada persamaan tersebut kira-kira sama dengan nol. Ruas kiri pada persamaan dapat ditulis ulang dalam cara yang berbeda dengan menggunakan rumus hampiran linear, dengan   dimasukkan  . Rumus hampiran linear menyiratkan:

 

Rumus tersebut menyarankan bahwa   merupakan transformasi linear dari ruang vektor   ke ruang vektor  . Bahkan rumus ini dapat membuat sebuah turunan yang tepat dengan mengukur galat pada hampirannya. Asumsi bahwa galat pada rumus hampiran linear dibatasi oleh hasil kali dari konstanta dengan  , dengan konstantanya bebas dari   namun kontinu bergantung pada  . Setelah menambahkan sebuah bentuk galat yang sesuai, maka semua persamaan hampiran di atas dapat ditulis ulang sebagai pertidaksamaan. Khususnya,   merupakan sebuah transformasi linear hingga bentuk galat kecil. Dalam limit, ketika   dan   menuju ke nol,   harus berupa transformasi linear. Karena turunan total didefinisikan dengan mengambil limit ketika   menuju ke nol,   harus berupa transformasi linear.

Kaidah untuk turunan fungsi multivariabelSunting

Turunan implisitSunting

Contoh penerapanSunting

Turunan pada sistem bilangan hiperrealSunting

Dalam matematika, bilangan hiperreal adalah sebuah cara memaknai besaran tak hingga dan infinitesimal (tak hingga kecilnya tapi tidak nol). Hiperreal adalah perumuman dari himpunan bilangan real  , dan mencakup bilangan-bilangan yang lebih besar daripada   (untuk sembarang terhingga banyaknya suku). Pada sistem bilangan ini, turunan fungsi real   di titik real   dapat didefinisikan sebagai bayangan perbandingan yx untuk infinitesimal x, dengan y = f(x + ∆x) − f(x). Perluasan (perumuman, ekstensi) alami fungsi   untuk hiperreal masih dilambangkan sebagai  , dan turunannya dikatakan ada jika besar bayangan tidak bergantung pada pemilihan infinitesimal.

PerumumanSunting

Konsep turunan dapat diperluas menjadi perumuman lainnya. Kaitan yang paling umumnya adalah turunan fungsi di sebuah titik disajikan sebagai hampiran linear dari fungsi pada titik tersebut.

  • Perumuman penting mengenai turunan melibatkan fungsi kompleks dari variabel kompleks, seperti fungsi (dengan domain) bilangan kompleks   ke  . Gagasan turunan fungsi kompleks diperoleh dengan menggantikan variabel real dengan variabel kompleks melalui definisi berikut: Jika   diidentifikasi sebagai   dengan menulis bilangan kompleks   sebagai  , maka sebuah fungsi terdiferensialkan dari   ke   pasti terdiferensialkan sebagai sebuah fungsi dari   ke   (dalam artian bahwa semua turunan parsial juga ada), tetapi kebalikannya tidak benar pada umumnya: turunan kompleks hanya ada jika turunan real merupakan linear kompleks dan turunan kompleks memaksakan kaitannya antara turunan parsial yang disebut sebagai persamaan Cauchy–Riemann – lihat fungsi holomorfik.
  • Perumuman lainnya melibatkan fungsi antara manifold terdiferensialkan atau manifold mulus. Secara intuitif, manifold   dikatakan sebagai ruang yang dapat dihampiri mendekati setiap titik   melalui sebuah ruang vektor yang disebut sebagai ruang garis singgung: contoh prototipikalnya adalah permukaan mulus di  . Turunan (atau diferensial) dari peta (terdiferensialkan)   di antara manifold, di sebuah titik   di  , merupakan peta linear dari ruang singgung   di   ke ruang singgung   di  , sehingga turunan fungsi menjadi sebuah peta antara berkas garis singgung   dan  . Definisi tersebut merupakan bentuk dasar dalam geometri diferensial, dan definisi tersebut mempunyai banyak kegunaan – lihat pushforward dan pullback.
  • Diferensiasi juga dapat didefinisikan sebagai pemetaan antara ruang vektor dimensi takhingga, seperti ruang Banach dan ruang Fréchet. Perumuman dari turunan berarah disebut turunan Gateaux, dan perumuman dari diferensial disebut turunan Fréchet.
  • Salah satu kekurangan turunan biasa adalah bahwa ada sangat banyak sekali fungsi yang tidak terdiferensialkan. Namun ada cara memperluas gagasan turunan sehingga semua fungsi kontinu dan fungsi lainnya dapat diturunkan melalui konsep yang dikenal sebagai turunan lemah. Tujuannya adalah agar memasukkan fungsi kontinu dalam sebuah ruang yang lebih besar yang disebut ruang distribusi, dan tujuan ini hanya mengharuskan bahwa fungsi "rata-rata" terdiferensialkan.
  • Pengenalan dan studi mengenai banyak topik yang serupa dalam aljabar dan topologi diilhami melalui sifat-sifat turunan — sebagai contoh, lihat aljabar diferensial.
  • Definisi turunan yang ekuivalen diskret adalah beda hingga. Dalam kalkulus skala waktu, studi mengenai kalkulus diferensial disatukan dengan kalkulus beda hingga.

Lihat pulaSunting

Catatan kakiSunting

  1. ^ Dalam formulasi kalkulus menggunakan konsep limit, simbol du digunakan untuk menyatakan banyak hal oleh banyak penulis. Beberapa penulis tidak memandang du tidak memiliki makna tersendiri, dan hanya terdefinisi sebagai bagian dari simbol du/dx. Penulis yang lain mendefinisikan dx sebagai variabel bebas, dan du' sebagai  . Dalam analisis non-standar, du didefinisikan sebagai suatu infinitesimal, dan juga dapat dipandang sebagai turunan eksterior dari fungsi u. Lihat diferensial (matematika) untuk informasi lebih lanjut.

ReferensiSunting

  1. ^ Spivak 1994, chapter 10.
  2. ^ Manuscript of November 11, 1675 (Cajori vol. 2, page 204)
  3. ^ Perhatikan bahwa   adalah notasi ringkas untuk  , atau, dalam kata lain diferensial kedua dari y terhadap kuadrat dari diferensial pertama dari x. Penyebut bukanlah diferensial dari x2, atau diferensial kedua dari x.
  4. ^ "The Notation of Differentiation". MIT. 1998. Diakses tanggal 24 October 2012. 
  5. ^ Evans, Lawrence (1999). Partial Differential Equations. American Mathematical Society. hlm. 63. ISBN 0-8218-0772-2. 
  6. ^ Kreyszig, Erwin (1991). Differential Geometry. New York: Dover. hlm. 1. ISBN 0-486-66721-9. 
  7. ^ Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1, 4. Auflage, Springer, S. 35.
  8. ^ Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1, 4. Auflage, Springer, S. 45.

Daftar pustakaSunting

Buku cetakSunting

Buku daringSunting

Pranala luarSunting

Weisstein, Eric W. "Derivative". MathWorld.