Integral substitusi

Dalam bidang kalkulus, integral substitusi atau substitusi-u adalah salah satu metode untuk mencari integral dengan mensubstitusi salah satu variabel dan mengubahnya menjadi bentuk yang lebih sederhana.

PengantarSunting

Sebelum menyatakan hasilnya dengan teliti, mari kita periksa kasus sederhana menggunakan integral tak tentu.

Menghitung  .[1]

Kumpulan nilai  . Hal tersebut berarti  , atau, dalam bentuk diferensial pada  . Sekarang

 

Prosedur tersebut sering digunakan, tetapi tidak semua integral dalam bentuk yang memungkinkan penggunaannya. Bagaimanapun, hasil harus diverifikasi dengan membedakan dan membandingkan dengan integral asli.

 

Untuk integral tertentu, batas integrasi juga harus disesuaikan, tetapi prosedurnya sebagian besar sama.

Integral pastiSunting

Misalkan φ : [a,b] → I menjadikan fungsi yang dapat dibedakan dengan turunan kontinu, darimana IR adalah sebuah interval. Seandainya nilai pada f : IR adalah fungsi berkelanjutan. Kemudian, apakah u = φ(x)[2]

 

Dalam notasi Leibniz, substitusi pada u = φ(x) menghasilkanmenghasilkan nilai

 

Bekerja secara heuristik dengan infinitesimal, menghasilkan persamaan

 

Hasil rumus substitusi di atas. (Persamaan ini dapat diletakkan di atas dasar yang kuat dengan menafsirkannya sebagai pernyataan tentang bentuk diferensial.) Seseorang dapat melihat metode integrasi dengan substitusi sebagai justifikasi parsial pada notasi Leibniz untuk integral dan turunan.


BuktiSunting

Integrasi dengan substitusi dapat diturunkan dari teorema dasar kalkulus sebagai berikut. Mari cari nilai f dan φ menjadi dua fungsi yang memenuhi hipotesis di atas itu f terus menerus I dan φ dapat diintegrasikan pada interval tertutup [a,b]. Setelah itu fungsi pada f(φ(x))φ′(x)

 

dan

 

darimana u = φ(x) pada kenyataannya ada, dan tetap menunjukkan bahwa mereka setara.

Setelah φ dapat dibedakan, menggabungkan aturan rantai dan definisi pemberian antiturunan

 

Menerapkan teorema dasar kalkulus dua kali memberi

 

yang merupakan aturan substitusi.

ContohSunting

Perhatikan integral berikut
 

Jika kita melakukan substitusi u = (x2 + 1), maka diperoleh du = 2x dx, sehingga x dx = ½du. Lalu kita substitusikan ke dalam integralnya:

 

Perlu diingat bahwa di sini batas bawah x = 0 diganti dengan u = 02 + 1 = 1, dan batas atas x = 2 diganti dengan u = 22 + 1 = 5, sehingga dalam kasus ini u tidak perlu diubah kembali menjadi x.

Untuk integral
 

Substitusi yang sebaiknya dilakukan adalah x = sin(u), dx = cos(udu, karena  :

 

dimana  

Metode substitusi dapat digunakan untuk mencari antiturunan, yaitu dengan menentukan hubungan antara x dan u serta dx dan du. Berikut adalah contohnya
 

CatatanSunting

<div class="reflist reflist-columns references-column-width reflist-lower-alpha " style="column-width:

  1. ^ 39 tahun Swokowsi 1983, p. 258
  2. ^ 11 tahun Briggs & Cochran 2011, pg.361

; ">

ReferensiSunting