Logaritma alami

Logaritma alami atau logaritma natural (Inggris: natural logarithm) adalah suatu logaritma yang berbasis e, di mana

$e\approx 2.718281828459045\dots$.

Logaritma alami terdefinisikan untuk semua bilangan real (riil) positif $x$ dan dapat juga didefinisikan untuk bilangan kompleks yang bukan $0$.

Grafik logaritma alami $y=\ln x$ dengan $x>0$

Fungsi logaritma alami merupakan invers atau kebalikan dari fungsi eksponensial.

$\ e^{\ln(x)}=x\,\!$ untuk semua $x$ yang positif dan

$\ln(e^{x})=x\,\!$ untuk semua $x$ yang real.

Logaritma dapat didefinisikan untuk basis lainnya, asal positif, tidak hanya e, dan biasanya berguna untuk memecahkan persamaan yang variabel tidak diketahuinya merupakan pangkat dari variabel lain.

Sejarah

Artikel utama: Sejarah logaritma

Notasi logaritma alami

Dalam matematika, para matematikawan biasanya menggunakan $\ln(x)$ atau $\log(x)$ untuk menotasikan $\log _{e}(x)$. Begitu juga dengan para insinyur, ahli biologi dan bidang-bidang yang lain. Dalam alat hitung, yakni kalkulator, tombol ln diartikan sebagai logaritma alami.

Definisi

Secara formal, ln(a) dapat didefinisikan sebagai luas di bawah grafik (integral) dari 1/x dihitung dari 1 ke a, atau,

$\ln(a)=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx.$

Definisi tersebut mendefinisikan suatu logaritma, karena memenuhi sifat fundamental dari logaritma, yaitu:

$\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)\,\!$

Ini dapat ditunjukkan dengan mendefinisikan $\phi (t)=at$ dan dengan menggunakan rumus substitusi:

${\begin{aligned}\ln(ab)&=\int _{1}^{ab}{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x\\&=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x+\int _{a}^{ab}{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x\\&=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x+\int _{1}^{b}{\frac {1}{t}}\,\mathrm {d} t\\&=\ln(a)+\ln(b)\end{aligned}}$

Bilangan e, selanjutnya dapat didefinisikan sebagai bilangan real (riil) yang unik yaitu a di mana $\ln(a)=1$.

Sifat

Beberapa sifat logaritma alami berkaitan dengan logaritma biasa (lihat Sifat Logaritma), di antaranya.

• $\ln 1=0$
• $\ln e=1$
• $\ln ab=\ln a+\ln b$
• $\ln {\frac {a}{b}}=\ln a-\ln b$

Lihat pula

• Logaritma natural dari 2