Akar bilangan

bilangan r yang jika dipangkatkan n, menghasilkan x yaitu r^n = x dimana n adalah derajat dari akar
(Dialihkan dari Akar ke-n)

Dalam matematika, akar pangkat n dari bilangan x adalah suatu bilangan yang apabila dipangkatkan n hasilnya sama dengan x; yaitu suatu bilangan r sedemikian sehingga terpenuhi.

Representasi grafis dari fungsi akar kuadrat
Dalam kotak log-log akar ke- menjadi garis lurus.

Dengan lambang, akar pangkat n dari x sama dengan r dapat ditulis sebagaiDalam hal ini, disebut lambang akar, n disebut pangkat akar dan x disebut radikan.

Pangkat akar merupakan bilangan bulat positif. Akar pangkat 2 biasa disebut akar kuadrat atau akar saja, dan angka pangkat tidak ditulis pada lambang akar .

Radikan, yakni yang diakarkan, biasanya merupakan suatu bilangan, baik bilangan riil atau bilangan kompleks, maupun sesuatu yang dapat dianggap sebagai bilangan, seperti matriks.

Sebagai contoh, 3 adalah akar kuadrat dari 9, karena 32 = 9, dan 3 juga merupakan akar kuadrat dari 9, karena (−3)2 = 9.

Setiap bilangan bukan nol yang dianggap sebagai bilangan kompleks memiliki n akar ke-n yang berbeda, termasuk real (paling banyak dua). Akar ke-n dari 0 adalah nol untuk semua bilangan bulat positif n, setelah 0n = 0. Khususnya, jika n genap dan x adalah bilangan real positif, satunya adalah negatif, dan yang lainnya (ketika n > 2) bilangan kompleks non-real; jika n genap dan x adalah bilangan real negatif, tidak ada satupun akar ke-n yang merupakan real. Jika n ganjil dan x real, satu akar n adalah real dan bertanda sama sebagai x, sedangkan akar lainnya (n – 1) bukanlah real. Akhirnya, jika x bukanlah real, maka tidak ada akar ke-n yang merupakan real.

dengan menunjukkan akar kuadrat positif dari x jika x adalah positif; untuk akar tinggi, menunjukkan akar ke-n yang sebenarnya jika n adalah ganjil, dan akar pangkat n positif jika n adalah genap dan x adalah positif. Dalam kasus lain, simbol tidak umum digunakan sebagai ambigu.

Ketika kompleks akar ke-n dipertimbangkan, sering kali berguna untuk memilih salah satu akar, yang disebut akar utama, sebagai nilai utama. Pilihan umum adalah memilih akar ke-n utama dari x sebagai akar ke-n, dengan bagian real terbesar, dan, jika ada dua (untuk x real dan negatif), yang memiliki bagian imajiner positif. Ini membuat akar ke-n sebagai fungsi real dan positif untuk x real dan positif, dan adalah kontinu diseluruh bidang kompleks, kecuali untuk nilai x real dan negatif.

Kesulitan dengan pilihan ini adalah, untuk bilangan real negatif dan indeks ganjil, akar ke-n utama yang bukan asli. Misalnya, memiliki tiga akar pangkat tiga, , dan Akar pangkat tiga sebenarnya adalah dan akar pangkat tiga utama adalah

Akar yang tidak terselesaikan, terutama yang menggunakan simbol radikal, kadang-kadang disebut sebagai surd[1] atau "radikal".[2] Setiap ekspresi yang mengandung radikal, apakah itu akar kuadrat, akar pangkat tiga, atau akar yang lebih tinggi, disebut ekspresi radikal, dan jika tidak mengandung fungsi transendental atau bilangan transendental disebut ekspresi aljabar.

Akar juga didefinisikan sebagai kasus khusus dari eksponensial, dimana eksponen adalah pecahan:

Akar digunakan untuk menentukan radius konvergensi dari deret pangkat dengan uji akar. Akar ke-n dari 1 disebut akar satuan dan memainkan peran mendasar dalam berbagai bidang matematika, seperti teori bilangan, teori persamaan, dan transformasi Fourier.

Definisi dan notasi

sunting
 
Empat akar ke-4 dari −1,
bukan dari nilai real
 
Tiga akar ke-3 dari −1,
salah satunya adalah real negatif

Sebarang bilangan   yang apabila dipangkatkan   (  bilangan bulat besar dari 1) bernilai sama dengan  , ditulis  , disebut akar pangkat   dari  , dan dilambangkan sebagai  [3]

Setiap bilangan riil positif x memiliki akar pangkat n positif tunggal, yang disebut akar pangkat n utama, yang ditulis sebagai  . Untuk n sama dengan 2 ini disebut akar kuadrat utama dan n yang dihilangkan. Akar ke-n juga dapat direpresentasikan menggunakan eksponensial sebagai x1/n.

Untuk nilai genap n, bilangan positif juga memiliki akar pangkat n negatif, sedangkan bilangan negatif tidak memiliki akar pangkat n real. Untuk nilai ganjil n, setiap bilangan negatif x memiliki akar pangkat n negatif real. Misalnya, 2 memiliki akar ke-5 real,   tetapi -2 tidak memiliki akar ke-6 real.

Setiap bilangan bukan nol x, real atau kompleks, memiliki n akar pangkat n bilangan kompleks yang berbeda. Dalam kasus x real, hitungan ini mencakup akar pangkat n real. Satu-satunya akar kompleks dari 0 adalah 0.

Akar ke-n dari hampir semua bilangan (semua bilangan bulat kecuali pangkat ke-n, dan semua rasional kecuali hasil bagi dua pangkat ke-n) adalah irasional. Misalnya,

 

Semua akar bilangan bulat ke-n adalah bilangan aljabar.

Istilah surd ditelusuri kembali ke al-Khwārizmī (c. 825), yang menyebut bilangan rasional dan irasional sebagai terdengar dan tidak terdengar, masing-masing. Hal ini kemudian menyebabkan kata Arab "أصم" (asamm, yang berarti "tuli" atau "bisu") untuk bilangan irasional diterjemahkan ke dalam bahasa Latin sebagai "surdus" (artinya "tuli" atau "bisu"). Gerard dari Cremona (c. 1150), Fibonacci (1202), dan kemudian Robert Recorde (1551) semuanya menggunakan istilah tersebut untuk merujuk pada akar irasional tak-terselesaikan, yaitu, ekspresi bentuk   dimana   dan   adalah bilangan bulat dan seluruh ekspresi menunjukkan bilangan irasional.[4] Bilangan irasional kuadrat yaitu bilangan irasional dalam bentuk   juga dikenal sebagai "surd kuadrat".

Akar kuadrat

sunting
 
Grafik  .

Akar kuadrat dari bilangan x adalah bilangan r yang ketika kuadrat sebagai x:

 

Setiap bilangan real positif memiliki dua akar kuadrat, satu positif dan satu negatif. Misalnya, dua akar kuadrat dari 25 adalah 5 dan -5. Akar kuadrat positif juga dikenal sebagai akar kuadrat utama, dan dilambangkan dengan tanda radikal:

 

Karena kuadrat dari setiap bilangan real adalah nonnegatif, bilangan negatif tidak memiliki akar kuadrat real. Namun, untuk setiap bilangan real negatif terdapat dua akar kuadrat imajiner. Misalnya, akar kuadrat dari −25 adalah 5i dan 5i, dimana i menyatakan bilangan yang kuadratnya −1.

Akar pangkat tiga

sunting
 
Grafik  .

Sebuah akar pangkat tiga dari bilangan x adalah bilangan r yang kubusnya adalah x:

 

Setiap bilangan real x memiliki tepat satu akar pangkat tiga, ditulis  . Misalnya,

  dan  

Setiap bilangan real memiliki dua akar pangkat tiga kompleks tambahan.

Dasar-dasar matematika

sunting

Deskripsi berikut dari fungsi akar kuadrat sebagai teoretis mengacu pada tubuh yang diatur bilangan real , sehingga sampai batas tertentu pada matematika didatik. Istilah akar yang umum untuk mencakup penjelasan tersebut, dibahas dalam artikel adjungsi.[5]

Koneksi dengan potensi

sunting

Akar kuadrat dengan eksponen akar   dan eksponen dengan eksponen   saling meniadakan. Menurut definisi akar atas, untuk semua bilangan real   dan untuk semua bilangan asli  :

 

Akar kuadrat dengan eksponen akar   melakukan seperti eksponen dengan eksponen  . Menurut kaidah perhitungan untuk kuasa:

 

Oleh karena itu akar kuadrat dengan eksponen akar n juga diartikan sebagai eksponen dengan eksponen 1/n:[6]

 

Akar unik dari bilangan positif

sunting

Meskipun pertanyaan yang disebutkan diawal memiliki dua solusi dengan tanda yang berbeda untuk eksponen akar genap dan radikan positif, yang merupakan notasi dengan tanda akar   pada dasarnya untuk solusi positif.[7][8] Misalnya, persamaan   memiliki dua solusi   dan  . Namun, istilah   memiliki nilai +2 dan yang bukan nilai −2. Oleh karena itu, eksponen tersebut digunakan dalam akar genap

 

Akar bilangan negatif

sunting

Definisi akar dari bilangan negatif bukan seragam. Maka berlaku, yaitu

 

dan   adalah satu-satunya bilangan real kuasa ketiga  . Secara umum, bilangan negatif menghasilkan kuasa ganjil dari bilangan negatif.

Berkenaan dengan akar ganjil dari bilangan negatif, berikut ini diambil:

  • Akar dari bilangan negatif umumnya tidak didefinisikan. Misalnya,   tidak didefinisikan. Solusi dari persamaan   ditulis sebagai  .
  • Akar dari bilangan negatif didefinisikan jika eksponen akar adalah bilangan ganjil (3, 5, 7, ...). Untuk bilangan ganjil   adalah
 .
Definisi ini tidak sesuai dengan beberapa sifat akar yang digunakan untuk radikan positif. Contohnya adalah
 
Definisi ini juga tidak melakukan persamaan  , karena logaritma (secara alamiah) dari bilangan negatif yang tidak didefinisikan (maka,   tetaplah negatif).

Akar kuasa genap dari bilangan negatif tidak berupa bilangan real karena kuasa bilangan real bukanlah negatif. Tidak ada bilangan real  , jadi   tidak dapat menemukan akar   yang terletak pada bilangan real. Dibutuhkan akan akar bilangan negatif disebabkan karena pengenalan bilangan kompleks;[9] namun, dengan konsep akar pada area bilangan kompleks, terdapat kesulitan tertentu dengan identifikasi yang jelas dari salah satu akar, lihat dibawah.

Akar irasional dari bilangan bulat

sunting

Jika   adalah bilangan bulat tidak negatif dan   adalah bilangan bulat positif, jadi   adalah bilangan bulat atau bilangan irasional. Hal ini dibuktikan dengan menerapkan keunikan faktorisasi prima:

Jika  , maka  , yaitu bilangan bulat. Jika tidak, faktorisasi prima unik kecuali urutan faktor   dengan urutan bilangan prima yang berbeda   dan bilangan bulat positif  . Apakah semua   untuk   habis dibagi  , jadi   adalah bilangan bulat.

Untuk menunjukkannya adalah: Apakah ada setidaknya satu   dengan  , sehingga   tidak habis dibagi  , maka   adalah irasional. Bukti irasionalitas tak langsung, juga menyangkal asumsi berlawanan seperti dalam bukti irasional akar 2 dalam Euklides, yang pada dasarnya adalah kasus khusus   dari pembuktian ini.

Misalkan   adalah rasional. Kemudian Anda menulis bilangan tersebut sebagai pecahan dari dua bilangan asli   dan  :

 .

Dengan menaikkan persamaan ke kuasa

 

dan mengikuti

 .

Faktorisasi prima   muncul pada   atau  ,   lebih digunakan daripada   atau  , setidaknya dalam perkalian yang dibagi dengan  , dimana kemunculan 0 tentu saja diizinkan. Pada   disesuaikan dengan prasyarat pada perkalian   yang tidak habis dibagi  . Jadi itu tidaklah muncul pada sisi kiri persamaan yang digunakan dalam perkalian yang habis dibagi  , tetapi pada bagian sebelah kanannya, dan mendapatkan kontradiksi dengan keunikan faktorisasi prima. Oleh karena itu,   adalah irasional.

Hukum Akar

sunting

Aturan perhitungan untuk akar dihasilkan dari aturan untuk kuasa.

Hukum matematika berikut ini berlaku untuk bilangan positif   dan   dan  :

  • Darab:  
  • Pembagian/Hasil bagi:  
  • Iterasi:  
  • Definisi eksponen pecahan:  
  • Definisi eksponen negatif:  
  • Dengan radikan yang sama, berikut ini berlaku:  

Dengan bilangan negatif   dan  , hukum aritmetika ini hanya dapat digunakan, jika   dan   adalah bilangan ganjil. Dalam kasus bilangan kompleks, ia harus dihindari sepenuhnya, atau ekuivalen hanya berlaku dengan pilihan saham sekunder yang sesuai. Dengan kata lain: dalam contoh, akar apa pun (misalnya, nilai utama) dipilih pada sisi kiri, untuk sisi kanan terdapat bilangan sekunder yang sesuai yang memenuhi persamaan—sisi kiri dan kanan berbeda satu akar satuan.

Barisan

sunting

Limit barisan berikut ini berlaku:

  •   untuk  
  •  
Ini mengikuti dari pertidaksamaan  , yang ditunjukkan dengan bantuan teorema binomial.
  •  , dimana   adalah bilangan asli tetap.
  •  ,
seperti dilihat dari representasi eksponensial dari  .

Fungsi akar

sunting

Fungsi berikut ini berlaku dalam bentuk

  atau  

yang disebut juga sebagai fungsi akar. Maka ia adalah fungsi kuasa, yang berlaku  .

Identitas dan sifat

sunting

Mengekspresikan derajat akar pangkat n dalam bentuk eksponen, seperti dalam  , mempermudah manipulasi kuasa dan akar. Jika   adalah bilangan real non-negatif,

 

Setiap bilangan non-negatif memiliki tepat satu akar pangkat n real non-negatif, jadi kaidah untuk operasi dengan surd yang melibatkan radikan non-negatif   dan   langsung dalam bilangan real:

 

Kehalusan dapat terjadi saat mengambil akar pangkat n dari negatif atau bilangan kompleks. Misalnya:

 , namun, lebih tepatnya adalah  

Karena kaidah   hanya berlaku untuk radikan real non-negatif saja, penerapannya mengarah pada ketaksamaan pada langkah pertama diatas.

Bentuk sederhana dari ekspresi radikal

sunting

Ekspresi radikal tak bersarang dikatakan dalam bentuk sederhana jika[10]

  1. Tidak ada faktor radikan yang ditulis sebagai kuasa besar atau sama dengan indeks.
  2. Tidak ada pecahan di bawah tanda radikal.
  3. Tidak ada radikal dalam penyebutnya.

Misalnya, untuk menulis ekspresi akar   dalam bentuk sederhana, kita melanjutkannya sebagai berikut. Pertama, cari kuadrat sempurna di bawah tanda akar kuadrat dan hapus:

 

Selanjutnya, ada pecahan di bawah tanda radikal, yang kita ubah sebagai berikut:

 

Akhirnya, kita menghapus akar dari penyebut sebagai berikut:

 

Ketika ada penyebut yang melibatkan surd, mungkin menemukan faktor untuk mengalikan pembilang dan penyebut dengan cara menyederhanakan ekspresi.[11][12] Misalnya menggunakan faktorisasi jumlah dua kubus:

 

Menyederhanakan ekspresi radikal yang melibatkan radikal tersarang bisa sangat sulit. Misalnya bahwa:

 

Di atas dapat diturunkan melalui:

 

Misalkan  , dengan p dan q berkoprima dan bilangan bulat positif. Maka   adalah rasional jika dan hanya jika keduanya   dan   adalah bilangan bulat, yang berarti bahwa baik p dan q adalah kuasa ke-n dari beberapa bilangan bulat.

Deret tak hingga

sunting

Radikal atau akar yang diwakili oleh deret tak hingga:

 

dengan  . Ekspresi ini diturunkan dari deret binomial.

Menghitung akar utama

sunting

Menggunakan metode Newton

sunting

Akar ke-n dari bilangan A dihitung dengan metode Newton. Mulailah dengan tebakan awal x0 dan kemudian ulangi menggunakan relasi perulangan

 

until the desired precision is reached. Misalnya, untuk mencari akar kelima dari 34, kita masukkan n = 5, A = 34 dan x0 = 2 (tebakan awal). 5 iterasi pertama adalah, kira-kira:
x0 = 2
x1 = 2.025
x2 = 2.024397817
x3 = 2.024397458
x4 = 2.024397458
Perkiraan x4 adalah nilai akurat hingga 25 tempat desimal.

Metode Newton dapat dimodifikasi untuk menghasilkan berbagai pecahan kontinu umum untuk akar pangkat n. Misalnya,

 

Perhitungan digit-kali-digit dari akar utama bilangan desimal (basis 10)

sunting
 
Segitiga Pascal menunjukkan  .

Membangun perhitungan digit-kali-digit dari akar kuadrat, dapat dilihat bahwa rumus yang digunakan di sana,  , atau  , mengikuti pola yang melibatkan segitiga Pascal. Untuk akar pangkat n suatu bilangan   didefinisikan sebagai nilai elemen   pada baris   dari Segitiga Pascal sehingga   dapat ditulis ulang ekspresi sebagai  . Untuk kenyamanan, seruan hasil dari ekspresi ini  . Menggunakan ekspresi yang lebih umum ini, setiap akar utama positif dapat dihitung, digit-kali-digit, sebagai berikut.

Tulis bilangan asli dalam bentuk desimal. Bilangan-bilangan ditulis dengan algoritma pembagian panjang, dan, seperti pada pembagian panjang, akarnya akan ditulis pada baris diatas. Sekarang pisahkan bilangan-bilangan menjadi grup bilangan yang sama dengan akar yang diambil, mulai dari titik desimal dan ke kiri dan kanan. Titik desimal dari akar akan berada diatas titik desimal dari radikan. Satu digit akar akan muncul diatas pada setiap grup digit dari bilangan aslinya.

Dimulai dengan grup digit paling kiri, lakukan prosedur berikut untuk setiap gru0:

  1. Mulai dari kiri, turunkan grup bilangan paling signifikan (paling kiri) yang belum digunakan (jika semua digit telah digunakan, tulis "0" berapa kali untuk membuat grup) dan tuliskan dibagian kanan sisa dari langkah sebelumnya (pada langkah pertama, tidak akan ada sisa). Dengan kata lain, kalikan sisanya dengan   dan tambahkan digit dari grup berikutnya. Ini akan menjadi nilai saat c.
  2. Temukan p dan x, sebagai berikut:
    • Maka   sebagai bagian dari akar yang ditemukan sejauh ini, dengan tidak menggunakan titik desimal apa pun. (Untuk langkah pertama,  ).
    • Tentukan bilangan terbesar   sehingga  .
    • Tempatkan digit   sebagai digit berikutnya dari akar, yaitu, bagian atas grup digit yang baru saja Anda turunkan. Jadi p berikutnya akan menjadi p lama dikalikan 10 ditambah x.
  3. Kurangi   dari   untuk membentuk sisa baru.
  4. Jika sisanya adalah nol dan tidak ada lagi bilangan yang harus diturunkan, maka algoritma telah dihentikan. Jika tidak, kembali ke langkah 1 untuk iterasi lain.

Contoh

sunting

Temukan akar kuadrat dari 152,2756.

          1  2. 3  4 
       /
     \/  01 52.27 56
         01                   100·1·00·12 + 101·2·01·11     ≤      1   <   100·1·00·22   + 101·2·01·21         x = 1
         01                      y = 100·1·00·12   + 101·2·01·12   =  1 +    0   =     1
         00 52                100·1·10·22 + 101·2·11·21     ≤     52   <   100·1·10·32   + 101·2·11·31         x = 2
         00 44                   y = 100·1·10·22   + 101·2·11·21   =  4 +   40   =    44
            08 27             100·1·120·32 + 101·2·121·31   ≤    827   <   100·1·120·42  + 101·2·121·41        x = 3
            07 29                y = 100·1·120·32  + 101·2·121·31  =  9 +  720   =   729
               98 56          100·1·1230·42 + 101·2·1231·41 ≤   9856   <   100·1·1230·52 + 101·2·1231·51       x = 4
               98 56             y = 100·1·1230·42 + 101·2·1231·41 = 16 + 9840   =  9856
               00 00          Perhitungan algoritma terakhir: Jawabannya adalah 12.34

Cari akar pangkat tiga dari 4192 ke perseratusan terdekat.

        1   6.  1   2   4
 3  /
  \/  004 192.000 000 000
      004                      100·1·00·13    +  101·3·01·12   + 102·3·02·11    ≤          4  <  100·1·00·23     + 101·3·01·22    + 102·3·02·21     x = 1
      001                         y = 100·1·00·13   + 101·3·01·12   + 102·3·02·11   =   1 +      0 +          0   =          1
      003 192                  100·1·10·63    +  101·3·11·62   + 102·3·12·61    ≤       3192  <  100·1·10·73     + 101·3·11·72    + 102·3·12·71     x = 6
      003 096                     y = 100·1·10·63   + 101·3·11·62   + 102·3·12·61   = 216 +  1,080 +      1,800   =      3,096
          096 000              100·1·160·13   + 101·3·161·12   + 102·3·162·11   ≤      96000  <  100·1·160·23   + 101·3·161·22   + 102·3·162·21    x = 1
          077 281                 y = 100·1·160·13  + 101·3·161·12  + 102·3·162·11  =   1 +    480 +     76,800   =     77,281
          018 719 000          100·1·1610·23  + 101·3·1611·22  + 102·3·1612·21  ≤   18719000  <  100·1·1610·33  + 101·3·1611·32  + 102·3·1612·31   x = 2
              015 571 928         y = 100·1·1610·23 + 101·3·1611·22 + 102·3·1612·21 =   8 + 19,320 + 15,552,600   = 15,571,928
              003 147 072 000  100·1·16120·43 + 101·3·16121·42 + 102·3·16122·41 ≤ 3147072000  <  100·1·16120·53 + 101·3·16121·52 + 102·3·16122·51  x = 4
                               Presisi yang diinginkan tercapai:
                               Akar pangkat tiga dari 4192 adalah sekitar 16,12

Perhitungan logaritma

sunting

Akar ke-n utama dari bilangan positif dihitung menggunakan logaritma. Dimulai dari persamaan yang mendefinisikan r sebagai akar pangkat n, yaitu   dengan x positif dan oleh karena itu akar utamanya r juga positif, satu mengambil logaritma dari kedua sisi (basis logaritma akan dilakukan) untuk mendapatkan

 

Akar r dengan mengambil antilog:

 

(Catatan: Rumus tersebut menunjukkan kuasa b dengan hasil pembagian, bukan b dikalikan dengan hasil pembagian.)

Untuk kasus dimana x negatif dan n ganjil, ada satu akar real r yang juga negatif. Ini ditemukan dengan mengalikan kedua sisi persamaan yang mendefinisikan dengan 1 untuk mendapatkan   kemudian dilanjutkan sebelumnya untuk menemukan |r|, dan menggunakan r = −|r|.

Konstrukbilitas geometris

sunting

Matematikawan Yunani kuno tahu bagaimana menggunakan kompas dan penggaris untuk membangun panjang yang sama dengan akar kuadrat dari panjang tertentu, ketika garis satuan panjang diberikan. Pada tahun 1837 Pierre Wantzel membuktikan bahwa akar pangkat n dari panjang tertentu tidak dapat dibangun jika n bukanlah kuasa 2.[13]

Akar kompleks

sunting

Setiap bilangan kompleks selain 0 memiliki n akar pangkat n yang berbeda.

Akar kuadrat

sunting
 
Akar kuadrat dari i

Dua akar kuadrat dari bilangan kompleks tetap negatif satu sama lain. Misalnya, akar kuadrat dari −4 adalah 2i dan −2i, dan akar kuadrat dari i adalah

 

Apabila kita menyatakan bilangan kompleks dalam bentuk polar, maka akar kuadrat memperoleh dengan mengambil akar kuadrat dari jari-jari dan membagi dua sudut:

 

Akar utama dari bilangan kompleks dapat dipilih dengan berbagai cara, misalnya

 

yang memperkenalkan cabang potong pafa medan kompleks sepanjang sumbu real positif dengan kondisi 0 ≤ θ < 2π, atau sepanjang sumbu real negatif dengan π < θ ≤ π.

Dengan menggunakan cabang pertama(terakhir) potong akar kuadrat utama   memetakan   ke setengah medan dengan bagian imajiner (real) non-negatif. Cabang potong terakhir diandaikan dalam perangkat lunak matematika seperti Matlab atau Scilab.

Akar satuan

sunting
 
Tiga akar ke-3 dari 1

Bilangan 1 memiliki n akar n yang berbeda pada medan kompleks, yaitu

 

dimana

 

Akar-akar ini ditempatkan secara merata di sekitar lingkaran satuan pada medan kompleks, sudut yang merupakan kelipatan dari  . Misalnya, akar kuadrat dari satuan adalah 1 dan −1, dan akar keempat dari satuan adalah 1,  , −1, dan  .

Akar ke-n

sunting
 
Wakilan geometris dari akar ke-2 hingga ke-6 bilangan kompleks z, dalam bentuk polar re dimana r = |z | dan φ = arg z. If z adalah real, φ = 0 atau π. Akar utama ditampilkan dalam warna hitam.

Setiap bilangan kompleks memiliki n akar pangkat n yang berbeda pada medan kompleks. Maka, ini adalah

 

dimana η adalah akar tunggal ke-n, dan 1, ωω2, ... ωn−1 adalah akar akar satuan ke-n. Misalnya, empat akar keempat yang berbeda dari 2 adalah

 

Dalam bentuk polar, akar pangkat n tunggal dapat ditemukan dengan rumus

 

Disini r adalah magnitudo (modulus, juga disebut nilai absolut) dari bilangan yang akarnya akan diambil; jika bilangan tersebut dapat ditulis sebagai a+bi maka  . Juga,   adalah sudut yang dibentuk sebagai salah satu poros pada titik asal berlawanan arah jarum jam dari sumbu horizontal positif ke sinar dari titik asal ke bilangan; yang memiliki sifat  ,  , dan  

Dengan demikian, menemukan akar pangkat n pada medan kompleks dibagi menjadi dua langkah. Pertama, besar semua akar pangkat n adalah akar pangkat n dari besaran bilangan asli. Kedua, sudut antara sumbu horizontal positif dan sinar dari titik asal ke salah satu akar pangkat n adalah  , dimana   adalah sudut yang didefinisikan dengan cara yang sama untuk bilangan akar yang akan diambil. Selanjutnya, semua n dari akar pangkat n berada pada sudut yang sama jarak satu sama lain.

Jika n adalah genap, akar pangkat n adalah bilangan kompleks, dimana terdapat bilangan genap, datanglah berpasangan aditif invers, sehingga jika suatu bilangan r1 adalah salah satu akar pangkat n maka r2 = –r1 adalah lainnya. Ini karena menaikkan koefisien yang terakhir -1 ke kuasa ke-n untuk genap n menghasilkan 1: yaitu, (–r1)n = (–1)n × r1n = r1n.

Seperti halnya akar kuadrat, rumus atas tidak mendefinisikan fungsi kontinu untuk seluruh medan kompleks, tetapi memiliki cabang potong pada titik dimana θ / n adalah takkontinu.

Menyelesaikan polinomial

sunting

Salah satu konjektur bahwa semua persamaan polinomial sebagai penyelesaian aljabar (yaitu, bahwa semua akar dari polinomial dinyatakan dalam jumlah hingga radikal dan operasi dasar). Namun, sementara ini berlaku untuk polinomial derajat ketiga (kubik) dan polinomial derajat keempat (kuartik), Teorema Abel–Ruffini (1824) menunjukkan bahwa ini tidak benar secara umum ketika derajatnya 5 atau lebih besar. Misalnya, solusi persamaan

 

tidak dinyatakan dalam bentuk radikal. (cf. persamaan kuintik)

Bukti irasionalitas untuk kuasa ke-n taksempurna x

sunting

Asumsikan bahwa   adalah rasional. Artinya, mereduksi menjadi pecahan  , dimana a dan b adalah bilangan bulat tanpa faktor persekutuan.

Ini berarti bahwa  .

Karena x adalah bilangan bulat,   dan   harus memiliki faktor persekutuan jika  . Ini berarti jika  ,   tidak dalam bentuk sederhana. Jadi b harus sama dengan 1.

Karena   dan  ,  .

Ini berarti   dan dengan demikian,  . Maka, ini menyatakan bahwa   adalah bilangan bulat. Karena x bukanlah kuasa ke-n sempurna, kemungkinan tidak. Jadi   adalah irasional.

Sejarah

sunting

Istilah kuno untuk operasi pengambilan akar n adalah radikasi.[14]

Lihat pula

sunting

Referensi

sunting
  1. ^ Bansal, R.K. (2006). New Approach to CBSE Mathematics IX. Laxmi Publications. hlm. 25. ISBN 978-81-318-0013-3. 
  2. ^ Silver, Howard A. (1986). Algebra and trigonometry . Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-021270-2. 
  3. ^ Koesmartono; Rawuh (1973). Matematika Pendahuluan. Bandung: Penerbit ITB. 
  4. ^ "Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics". Mathematics Pages by Jeff Miller. Diakses tanggal 2008-11-30. 
  5. ^ Untuk kesulitan dengan keunikan hukum lihat akar bilangan kompleks.
  6. ^ Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama Mathematik_2008/1
  7. ^ DIN 1302:1999 Allgemeine mathematische Zeichen und Begriffe
  8. ^ EN ISO 80000-2:2020 Größen und Einheiten – Bagian 2: Mathematik
  9. ^ T. Arens, F. Hettlich et al.: Mathematik. 2008, S. 122.
  10. ^ McKeague, Charles P. (2011). Elementary algebra. hlm. 470. ISBN 978-0-8400-6421-9. 
  11. ^ B.F. Caviness, R.J. Fateman, "Simplification of Radical Expressions", Proceedings of the 1976 ACM Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, hal. 329.
  12. ^ Richard Zippel, "Simplification of Expressions Involving Radicals", Journal of Symbolic Computation 1:189–210 (1985) DOI:10.1016/S0747-7171(85)80014-6.
  13. ^ Wantzel, M. L. (1837), "Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 1 (2): 366–372 .
  14. ^ "Arti Radikasi". www.lektur.id.com. 

Pranala luar

sunting

Templat:Hiperorperasi