Variabel acak

Dalam matematika, variabel acak atau peubah stokastik (bahasa Inggris: random variable) adalah istilah untuk menyebut besaran atau objek yang bergantung pada kejadian acak.^[1]

Secara informal, keacakan umumnya menyatakan suatu aspek kebolehjadian (peluang), seperti ketika melantunkan sebuah dadu, atau menyatakan aspek ketidakpastian, seperti kesalahan pengukuran.^[1] Akan tetapi, interpretasi dari peluang rumit secara filsafat, dan bahkan untuk kasus yang spesifik masih dapat berbelit-belit. Analisis mengenai variabel acak secara matematika tidak bergantung pada interpretasi filsafat (sehingga tidak memiliki kesulitan-kesulitan yang dihadapi ilmu filsafat), dan dapat didasarkan pada kerangka aksioma yang tegas (rigor).

Dalam bahasa matematika formal tentang teori ukuran, variabel acak didefinisikan sebagai fungsi terukur dari sebuah ruang ukuran peluang (disebut dengan ruang sampel) ke suatu ruang terukur. Definisi ini memungkinkan analisis tentang ukuran pushforward, yang disebut distribusi dari variabel acak; akibatnya distribusi dapat diartikan sebagai ukuran peluang pada himpunan semua nilai yang mungkin dari variabel acak. Dua variabel acak dapat memiliki distribusi yang identik namun juga berbeda secara signifikan; contohnya ketika keduanya saling bebas.

Pembahasan mengenai variabel acak umumnya berisi tentang analisis untuk variabel acak diskret dan variabel acak kontinu secara absolut. Kedua analisis tersebut masing-masing bersesuaian paada kasus ketika variabel acak terletak pada himpunan yang diskret (seperti sebuah himpunan hingga) atau terletak pada interval bilangan real. Ada jenis-jenis variabel acak lain yang penting, khususnya dalam teori proses stokastik, yang didalamnya mempelajari barisan-barisan acak dan fungsi-fungsi acak. Terkadang istilah variabel acak digunakan untuk merujuk pada besaran acak yang berupa bilangan real, sedangkan besaran-besaran yang lebih umum disebut dengan elemen acak.

Definisi

Variabel acak adalah sebuah fungsi dari semua himpunan hasil yang mungkin (semesta

Ω

) ke ruang terukur

E

. Setiap elemen terukur

B

di

E

, akan berasosiasi dengan citra inversnya di

Ω

. Perhitungan peluang

\mathbb {P} _{X}

atas

E

selanjutnya ditentukan dari ukuran

\mathbb {P}

atas

Ω

.

Sebuah variabel acak $X$ adalah sebuah fungsi terukur $X\colon \Omega \to E$ dari sebuah himpunan hasil yang mungkin $\Omega$ ke sebuah ruang terukur $E$ . Definisi aksiomatik yang teknis mengharuskan $\Omega$ sebagai sebuah ruang sampel dari tripel peluang $(\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )$ . Variabel acak umum dinyatakan dengan huruf Latin kapital, seperti $X$ , $Y$ , $Z$ , $T$ .^[2]

Peluang $X$ menghasilkan suatu nilai pada suatu himpunan terukur $B\subseteq E$ ditulis sebagai

\operatorname {P} _{X}(B)=\operatorname {P} {\Big (}X^{-1}(B){\Big )}=\operatorname {P} (\{\omega \in \Omega \mid X(\omega )\in B\})

Kasus yang umum

Pada banyak kasus, variabel acak $X$ bernilai real; sebagai contoh, $E=\mathbb {R}$ . Dalam beberapa konteks, istilah elemen acak digunakan untuk menyebut variabel acak yang bukan bernilai real.

Ketika citra (atau range) dari $X$ dapat dihitung, variabel acak itu disebut sebagai variabel acak diskret.^[3]^:399 Distribusi dari variabel acak jenis ini adalah sebuah distribusi peluang diskret, yang dapat didefinisikan dengan sebuah fungsi massa peluang yang memetakan suatu peluang ke setiap nilai pada citra dari $X$ . Tapi jika citra $X$ tidak dapat dihitung (umumnya berupa selang) maka $X$ disebut sebagai variabel acak kontinu.^[4]^[5] Pada kasus khusus citra bersifat kontinu secara absolut, distribusinya dapat dideskripsikan dengan sebuah fungsi kepadatan peluang, yang memetakan peluang ke selang; secara khusus, setiap titik pada variabel acak kontinu secara absolut harus memiliki peluang 0. Tidak semua variabel acak kontinu bersifat kontinu secara absolut,^[6] distribusi gabungan adalah salah satu buktinya: variabel acaknya tidak dapat dideskripsikan lewat fungsi massa peluang maupun fungsi kepadatan peluang.

Setiap variabel acak dapat dideskripsikan lewat fungsi distribusi kumulatif-nya, yang menyatakan peluang variabel acaka akan bernilai kurang dari atau sama dengan suatu nilai tertentu.

Perluasan

Istilah "variabel acak" dalam statistika secara tradisional dibatasi untuk kasus bernilai real ( $E=\mathbb {R}$ ). Dalam kasus ini, struktur dari bilangan real memungkinkan untuk mendefinisikan besaran-besaran seperti nilai ekspektasi dan varians dari sebuah variabel acak, fungsi distribusi kumulatif, dan momen dari distribusinya. Namun definisi variabel acak juga dapat digunakan untuk elemen-elemen acak pada himpunan $E$ yang lain; seperti himpunan vektor, matriks, barisan acak, graf, lipatan, dan fungsi, yang acak.

Konsep elemen acak yang lebih umum ini lebih berguna untuk bidang ilmu seperti teori graf, pemelajaran mesin, pengolahan bahasa alami, dan bidang-bidang di matematika diskret dan ilmu komputer. Bidang-bidang tersebut lebih tertarik untuk memodelkan variasi acak dari struktur data non-numerik. Tapi pada beberapa kasus, representasi setiap elemen di of $E$ sebagai [beberapa] bilangan real lebih disukai. Untuk kasus-kasus ini, elemen acak dapat direpresentasikan sebagai sebuah vektor variabel acak bernilai real (yang didefinisikan pada ruang peluang $\Omega$ yang sama). Sebagai contoh:

Sebuah kata acak dapat direpresentasikan sebagai sebuah bilangan acak yang menyatakan indeks kata tersebut pada suatu kamus berisi semua kata yang mungkin ada. Alternatif lain, kata acak dapat direpresentasikan sebagai sebuah vektor indikator acak $(1\ 0\ 0\ 0\ \cdots )$ , $(0\ 1\ 0\ 0\ \cdots )$ , $(0\ 0\ 1\ 0\ \cdots )$ , yang panjangnya sama dengan panjang kamus dan posisi angka 1 menyatakan kata.
Sebuah graf acak pada suatu $N$ verteks dapat direpresentasikan sebagai sebuah matriks variabel acak berukuran $N\times N$ , yang elemen-elemennya menyatakan matriks ketetanggaan dari graf acak.

Referensi

^ ^a ^b Blitzstein, Joe; Hwang, Jessica (2014). Introduction to Probability. CRC Press. ISBN 9781466575592.
^ "Random Variables". www.mathsisfun.com. Diakses tanggal 2020-08-21.
^ Yates, Daniel S.; Moore, David S; Starnes, Daren S. (2003). The Practice of Statistics (edisi ke-2nd). New York: Freeman. ISBN 978-0-7167-4773-4. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2005-02-09.
^ "Random Variables". www.stat.yale.edu. Diakses tanggal 2020-08-21.
^ Dekking, Frederik Michel; Kraaikamp, Cornelis; Lopuhaä, Hendrik Paul; Meester, Ludolf Erwin (2005). "A Modern Introduction to Probability and Statistics". Springer Texts in Statistics (dalam bahasa Inggris). doi:10.1007/1-84628-168-7. ISBN 978-1-85233-896-1. ISSN 1431-875X.
^ L. Castañeda; V. Arunachalam; S. Dharmaraja (2012). Introduction to Probability and Stochastic Processes with Applications. Wiley. hlm. 67. ISBN 9781118344941.

Pustaka

Fristedt, Bert; Gray, Lawrence (1996). A modern approach to probability theory. Boston: Birkhäuser. ISBN 3-7643-3807-5.
Kallenberg, Olav (1986). Random Measures (edisi ke-4th). Berlin: Akademie Verlag. ISBN 0-12-394960-2. MR 0854102.
Kallenberg, Olav (2001). Foundations of Modern Probability (edisi ke-2nd). Berlin: Springer Verlag. ISBN 0-387-95313-2.
Papoulis, Athanasios (1965). Probability, Random Variables, and Stochastic Processes (edisi ke-9th). Tokyo: McGraw–Hill. ISBN 0-07-119981-0.

Pranala luar

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Random variable", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
Zukerman, Moshe (2014), Introduction to Queueing Theory and Stochastic Teletraffic Models (PDF), arXiv:1307.2968 
Zukerman, Moshe (2014), Basic Probability Topics (PDF)

[:2-1] Blitzstein, Joe; Hwang, Jessica (2014). Introduction to Probability. CRC Press. ISBN 9781466575592.

[2] "Random Variables". www.mathsisfun.com. Diakses tanggal 2020-08-21.

[Yates-3] Yates, Daniel S.; Moore, David S; Starnes, Daren S. (2003). The Practice of Statistics (edisi ke-2nd). New York: Freeman. ISBN 978-0-7167-4773-4. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2005-02-09.

[4] "Random Variables". www.stat.yale.edu. Diakses tanggal 2020-08-21.

[5] Dekking, Frederik Michel; Kraaikamp, Cornelis; Lopuhaä, Hendrik Paul; Meester, Ludolf Erwin (2005). "A Modern Introduction to Probability and Statistics". Springer Texts in Statistics (dalam bahasa Inggris). doi:10.1007/1-84628-168-7. ISBN 978-1-85233-896-1. ISSN 1431-875X.

[6] L. Castañeda; V. Arunachalam; S. Dharmaraja (2012). Introduction to Probability and Stochastic Processes with Applications. Wiley. hlm. 67. ISBN 9781118344941.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]