Misalkan adalah ruang vektor atas lapangan dan adalah dua vektor dalam . Kombinasi linear dari dan adalah vektor-vektor yang diperoleh melalui operasi perkalian skalar dan penjumlahan terhadap kedua vektor tersebut.[1] Pada ruang vektor berlaku operasi penjumlahan dan perkalian skalar. Artinya vektor dan dapat dikalikan dengan skalar , sehingga terbentuk dan . Dengan menjumlah kedua vektor, diperoleh . Vektor inilah yang disebut sebagai kombinasi linear dari dan .[2]

DefinisiSunting

Misalkan   adalah lapangan dan   adalah ruang vektor atas lapangan  . Anggota-anggota   disebut vektor dan anggota-anggota   disebut skalar. Kombinasi linear dari vektor-vektor   adalah vektor-vektor yang dapat ditulis sebagai

 

untuk suatu skalar  .

ContohSunting

Ruang Vektor EuclideanSunting

Himpunan   adalah ruang vektor atas lapangan  . Vektor   merupakan kombinasi linear dari   dan  , sebab terdapat skalar   sehingga

 

Lebih lanjut, setiap vektor dalam   dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari   dan  . Ini terjadi karena sebarang vektor   dapat ditulis sebagai

 

PolinomialSunting

Himpunan   merupakan ruang vektor atas lapangan  . Himpunan ini berisi polinomial-polinomial berderajat kurang dari atau sama dengan 2, di mana koefisiennya diambil dari  . Misalkan   dan  . Apakah polinomial   merupakan kombinasi linear dari   dan  ? Untuk menjawabnya, perlu diperiksa apakah terdapat skalar   yang memenuhi persamaan

 

Persamaan di atas dapat ditulis sebagai

 

Dua polinomial bernilai sama jika dan hanya jika koefisien suku-suku yang bersesuaian bernilai sama. Perhatikan bahwa koefisien suku yang memuat   pada ruas kiri adalah 1, sedangkan koefisien pada ruas kanan adalah 0. Akibatnya, kedua polinomial tidak mungkin bernilai sama. Artinya, tidak ada skalar   yang memenuhi persamaan

 

Dengan demikian,   bukan kombinasi linear dari   dan  .

ReferensiSunting

  1. ^ Strang, Gilbert (2016). Introduction to Linear Algebra (5th ed). Wellesley - Cambridge Press. ISBN 978-0-9802327-7-6.
  2. ^ Izzulhaq, Agung. "Kombinasi Linear: Materi dan Contoh Soal". www.kimiamath.com. Diakses tanggal 2020-03-02. 

Pranala luarSunting