Elemen identitas

tipe khusus dari elemen suatu himpunan sehubungan dengan operasi biner pada himpunan itu, yang membiarkan elemen lain tidak berubah saat digabungkan dengannya

Dalam matematika, elemen identitas, atau elemen netral, adalah tipe khusus dari elemen dari himpunan sehubungan dengan operasi biner pada himpunan itu, yang membiarkan setiap elemen dari himpunan tidak berubah saat digabungkan dengannya.[1][2][3] Konsep ini digunakan dalam struktur aljabar seperti grup dan gelanggang. Istilah elemen identitas sering disingkat menjadi identitas (seperti dalam kasus identitas aditif dan identitas multiplikatif),[4] ketika tidak ada kemungkinan kebingungan, tetapi identitas secara implisit bergantung pada operasi biner yang terkait dengannya.

DefinisiSunting

Misalkan ( S , ∗) adalah himpunan S yang dilengkapi dengan operasi biner ∗. Kemudian elemen e dari S disebut kiri identitas jika e a = a untuk semua a di S, dan ' kanan identitas' if a e = a untuk semua a di S.[5] Jika e adalah identitas kiri dan juga identitas kanan, maka itu disebut identitas dua sisi, atau hanya identitas.[6][7][8][9][10]

Identitas sehubungan dengan penjumlahan disebut identitas aditif (sering dilambangkan sebagai 0) dan identitas sehubungan dengan perkalian disebut identitas perkalian (sering dilambangkan sebagai 1).[4] Ini tidak perlu berupa penjumlahan dan perkalian biasa, karena operasi yang mendasarinya bisa agak sembarangan. Dalam kasus grup misalnya, elemen identitas terkadang dilambangkan dengan simbol  .[11] Perbedaan antara identitas aditif dan perkalian paling sering digunakan untuk himpunan yang mendukung kedua operasi biner, seperti cincin, domain integral, and bidang s. Identitas multiplikatif sering disebut kesatuan dalam konteks terakhir (cincin dengan persatuan).[12][13][14] Hal ini tidak boleh disamakan dengan satuan dalam teori cincin, yang merupakan elemen apa pun yang memiliki pembalikan perkalian. Menurut definisinya sendiri, kesatuan itu sendiri tentu merupakan satu kesatuan.[15][16]

ContohSunting

Himpunan Operasi Identitas
Bilangan riil + (addition) 0
Bilangan riil · (perkalian) 1
Bilangan bulat positif Kelipatan persekutuan terkecil 1
Bilangan bulat bukan negatif Pembagi persekutuan terbesar 0 (di bawah sebagian besar definisi GCD)
m-by-n matriks Penambahan matriks Nol matriks
n-oleh-n matriks persegi Perkalian matriks dari In (matriks identitas)
m-oleh-n matriks ○ (produk Hadamard) Jm, n (matriks satuan)
Semua fungsi dari himpunan, M, ke himpunannya ∘ (komposisi fungsi) Fungsi identitas
All distributions on a groupG ∗ (convolution) δ (Dirac delta)
Extended real numbers Minimum/infimum +∞
Extended real numbers Maximum/supremum −∞
Subsets of a set M ∩ (intersection) M
Sets ∪ (union) ∅ (empty set)
Strings, lists Concatenation Empty string, empty list
A Boolean algebra ∧ (logical and) ⊤ (truth)
A Boolean algebra ∨ (logical or) ⊥ (falsity)
A Boolean algebra ⊕ (exclusive or) ⊥ (falsity)
Knots Knot sum Unknot
Compact surfaces # (connected sum) S2
Groups Direct product Trivial group
Two elements, {e, f}  ∗ defined by
ee = fe = e and
ff = ef = f
Both e and f are left identities,
but there is no right identity
and no two-sided identity
Homogeneous relations on a set X Relative product Identity relation

PropertiSunting

Seperti yang ditunjukkan contoh terakhir (semigroup), mungkin saja ( S , ∗) memiliki beberapa identitas kiri. Padahal, setiap elemen bisa menjadi identitas kiri. Dengan cara yang sama, bisa jadi ada beberapa identitas yang benar. Tetapi jika ada identitas kanan dan identitas kiri, maka keduanya harus setara, menghasilkan identitas dua sisi tunggal.

Untuk melihat ini, perhatikan bahwa jika l adalah identitas kiri dan r adalah identitas kanan, maka l = lr = r. Secara khusus, tidak akan pernah ada lebih dari satu identitas dua sisi: jika ada dua, katakan e dan f, lalu ef harus sama dengan e dan f.

Mungkin juga ( S , ∗) memiliki elemen identitas no ,[17] seperti kasus bilangan bulat genap dalam operasi perkalian.[4] Contoh umum lainnya adalah perkalian silang dari vektor, di mana ketiadaan elemen identitas terkait dengan fakta bahwa arah dari hasil perkalian silang bukan nol selalu ortogonal terhadap elemen apa pun yang dikalikan. Artinya, tidak mungkin untuk mendapatkan vektor bukan nol searah dengan aslinya. Namun contoh lain dari grup tanpa elemen identitas melibatkan aditif semigroup dari positif bilangan asli.

Lihat pulaSunting

Catatan dan referensiSunting

  1. ^ "The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Identity". Math Vault (dalam bahasa Inggris). 2019-08-01. Diakses tanggal 2019-12-01. 
  2. ^ Weisstein, Eric W. "Identity Element". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2019-12-01. 
  3. ^ "Definition of IDENTITY ELEMENT". www.merriam-webster.com. Diakses tanggal 2019-12-01. 
  4. ^ a b c "Identity Element". www.encyclopedia.com. Diakses tanggal 2019-12-01. 
  5. ^ (Fraleigh 1976, hlm. 21)
  6. ^ (Beauregard & Fraleigh 1973, hlm. 96)
  7. ^ (Fraleigh 1976, hlm. 18)
  8. ^ (Herstein 1964, hlm. 26)
  9. ^ (McCoy 1973, hlm. 17)
  10. ^ "Identity Element | Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2019-12-01. 
  11. ^ "Comprehensive List of Algebra Symbols". Math Vault (dalam bahasa Inggris). 2020-03-25. Diakses tanggal 2020-08-13. 
  12. ^ (Beauregard & Fraleigh 1973, hlm. 135)
  13. ^ (Fraleigh 1976, hlm. 198)
  14. ^ (McCoy 1973, hlm. 22)
  15. ^ (Fraleigh 1976, hlm. 198,266)
  16. ^ (Herstein 1964, hlm. 106)
  17. ^ (McCoy 1973, hlm. 22)

BibliografiSunting

Bacaan lebih lanjutSunting

  • M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, Monoids, Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs, De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-015248-7, p. 14–15