Unsur identitas

tipe khusus dari elemen suatu himpunan sehubungan dengan operasi biner pada himpunan itu, yang membiarkan elemen lain tidak berubah saat digabungkan dengannya
(Dialihkan dari Elemen identitas)

Dalam matematika, unsur identitas (bahasa Inggris: identity element), atau unsur netral (bahasa Inggris: neutral element) dari operasi biner yang mengoperasi di himpunan adalah unsur hmpunan yang meninggalkan setiap elemen dari himpunan yang tidak berubah saat diterapkan dengannya.[1][2] Konsep ini digunakan dalam struktur aljabar seperti grup dan gelanggang. Istilah unsur identitas sering disingkat menjadi identitas (seperti pada kasus identitas penambahan dan identitas perkalian), ketika tidak ada kemungkinan yang membingungkan, namun secara implisit, identitas bergantung pada operasi biner yang terkait dengannya.

DefinisiSunting

Misalkan ( S , ∗) adalah himpunan S yang dilengkapi dengan operasi biner ∗. Maka unsur e dari S disebut identitas kiri jika e a = a untuk semua a di S, dan unsur e dari S disebut identitas kanan jika a e = a untuk semua a di S.[3] Jika e adalah identitas kiri dan juga identitas kanan, maka e disebut identitas dwipihak (bahasa Inggris: two-sided identity), atau cukup disebut identitas.[4][5][6][7][8]

Identitas terhadap penjumlahan disebut identitas aditif (seringkali dilambangkan sebagai 0) dan identitas terhadap perkalian disebut identitas perkalian (seringkali dilambangkan sebagai 1). Kedua identitas tersebut tidak harus berupa penjumlahan dan perkalian biasa, karena operasi yang mendasarinya dapat menjadi agak sembarangan. Pada kasus, sebagai contoh, di grup, unsur identitas terkadang dilambangkan dengan simbol  . Perbedaan antara identitas aditif dan perkalian paling sering digunakan untuk himpunan yang mendukung kedua operasi biner, seperti gelanggang, domain integral, and lapangan. Identitas multiplikatif sering disebut kesatuan dalam konteks terakhir (gelanggang dengan persatuan).[9][10][11] Hal ini tidak boleh disamakan dengan unit dalam teori gelanggang, yang merupakan setiap unsur yang memiliki invers perkalian. Karena menurut definisinya sendiri, kesatuannya tersendiri merupakan satu kesatuan.[12][13]

ContohSunting

Himpunan Operasi Identitas
Bilangan real + (penambahan) 0
Bilangan real · (perkalian) 1
Bilangan bulat positif kelipatan persekutuan terkecil 1
Bilangan bulat taknegatif faktor persekutuan terbesar 0 (terhadap sebagian besar definisi faktor persekutuan terbesar)
Matriks   penambahan matriks
Matriks persegi   perkalian matriks In (matriks identitas)
Matriks   ○ (hasil kali Hadamard) Jm, n (matriks satuan)
Semua fungsi dari himpunan, M, ke dirinya. ∘ (komposisi fungsi) fungsi identitas
Semua distribusi di grupG ∗ (konvolusi) δ (Dirac delta)
Bilangan real diperluas Minimum/infimum +∞
Bilangan real diperluas Maksimum/supremum −∞
Subhimpunan dari himpunan M ∩ (irisan) M
Himpunan ∪ (union) ∅ (himpunan kosong)
String, daftar Konkatenansi string kosong, daftar kosong
Aljabar Boole ∧ (logika dan) ⊤ (kebenaran)
Aljabar Boole ∨ (logika atau) ⊥ (kepalsuan)
Aljabar Boole ⊕ (disjungsi eksklusif) ⊥ (kepalsuan)
Buhul jumlah buhul takbuhul
Permukaan kompak # (jumlah terhubung) S2
Grup darab langsung grup trivial
Dua anggota{e, f}  ∗ didefinisikan dengan
ee = fe = e dan
ff = ef = f
e dan f adalah identitas kiri. Namun pada operasi tersebut, tidak ada identitas kanan dan tidak ada identitas dwipihak.
Relasi homogen di himpunan   darab relatif relasi identitas

PropertiSunting

Pada contoh S = {e, f}, dengan persamaan yang dinyatakan (lihat tabel sebelumnya), S merupakan semigrup. Contoh tersebut memperlihatkan kemungkinan untuk ( S , ∗) yang mempunyai beberapa identitas kiri. Bahkan, setiap elemen bisa dapat identitas kiri. Dengan cara yang sama, kemungkinan untuk ( S , ∗) yang juga mempunyai beberapa identitas kanan. Namun, jika ada identitas kanan dan identitas kiri, maka kedua identitas tersebut harus ekuivalen, yang menghasilkan identitas dwipihak.

Untuk memperlihatkannya, perhatikan bahwa jika l adalah identitas kiri dan r adalah identitas kanan, maka l = lr = r. Secara khusus, persamaan tersebut tidak akan pernah ada lebih dari satu identitas dwipihak: jika ada dua unsur, katakanlah e dan f, maka ef harus sama dengan e dan f.

Hal ini mungkin juga ( S , ∗) tidak mempunyai elemen identitas,[14] seperti kasus bilangan bulat genap terhadap operasi perkalian.[15] Contoh umum lainnya adalah perkalian silang dari vektor, dengan ketiadaan elemen identitas terkait dengan fakta bahwa arah dari setiap perkalian silang taknol selalu ortogonal terhadap setiap unsur yang dikalikan. Artinya, perkalian tersebut tidak dapat memperoleh vektor taknol searah dengan aslinya. Namun, contoh lain dari grup tanpa unsur identitas melibatkan semigrup aditif dari bilangan asli positif.

Catatan dan referensiSunting

  1. ^ "The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Identity". Math Vault (dalam bahasa Inggris). 2019-08-01. Diakses tanggal 2019-12-01. 
  2. ^ Weisstein, Eric W. "Identity Element". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2019-12-01. 
  3. ^ (Fraleigh 1976, hlm. 21)
  4. ^ (Beauregard & Fraleigh 1973, hlm. 96)
  5. ^ (Fraleigh 1976, hlm. 18)
  6. ^ (Herstein 1964, hlm. 26)
  7. ^ (McCoy 1973, hlm. 17)
  8. ^ "Identity Element | Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2019-12-01. 
  9. ^ (Beauregard & Fraleigh 1973, hlm. 135)
  10. ^ (Fraleigh 1976, hlm. 198)
  11. ^ (McCoy 1973, hlm. 22)
  12. ^ (Fraleigh 1976, hlm. 198,266)
  13. ^ (Herstein 1964, hlm. 106)
  14. ^ (McCoy 1973, hlm. 22)
  15. ^ "Identity Element". www.encyclopedia.com. Diakses tanggal 2019-12-01. 

Daftar pustakaSunting

Bacaan lebih lanjutSunting

  • M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, Monoids, Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs, De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-015248-7, p. 14–15