Sifat komutatif

sifat operasi biner yang menyatakan bahwa perubahan urutan operand tidak mempengaruhi hasil akhir

Dalam matematika, suatu operasi biner memiliki sifat komutatif jika mengubah urutan operan tidak mengubah hasilnya. Ini adalah sifat fundamental dari banyak operasi biner, dan banyak pembuktian matematika bergantung pada sifat ini. Sifat ini paling dikenal sebagai nama sifat yang mengatakan "3 + 4 = 4 + 3" atau "2 × 5 = 5 × 2". Sifat ini juga dapat digunakan dalam situasi yang lebih rumit. Nama ini diperlukan karena ada operasi, seperti pembagian dan pengurangan, yang tidak memilikinya (misalnya, "3 − 5 ≠ 5 − 3"); operasi semacam itu tidak bersifat komutatif, dan demikian disebut sebagai operasi nonkomutatif. Gagasan bahwa operasi sederhana, seperti perkalian dan penjumlahan bilangan, bersifat komutatif telah diasumsikan secara implisit selama bertahun-tahun. Dengan demikian, properti ini tidak dinamai sampai abad ke-19, ketika matematika mulai menjadi formal.[1][2] Sifat yang terkait ada untuk relasi biner; suatu relasi biner dikatakan simetris jika relasi berlaku terlepas dari urutan operannya; misalnya, kesamaan bersifat simetris karena dua objek matematika yang sama adalah sama terlepas dari urutannya.[3]

Sebuah operasi adalah komutatif jika dan hanya jika untuk setiap dan . Gambar ini mengilustrasikan sifat ini dengan konsep dari sebuah operasi sebagai suatu "mesin kalkulasi". Hasil dari atau tidak dipengaruhi oleh urutan dari argumen dan – hasil akhirnya sama.

Penggunaan umumSunting

Properti komutatif (atau hukum komutatif ) adalah properti yang umumnya terkait dengan operasi biner dan fungsi. Jika properti komutatif berlaku untuk sepasang elemen di bawah operasi biner tertentu, maka kedua elemen tersebut dikatakan ngelaju di bawah operasi.

Definisi MatematikaSunting

Istilah "komutatif" digunakan dalam beberapa pengertian terkait.[4][5]

  1. Operasi biner   pada himpunan S disebut komutatif jika:
     
    Operasi yang tidak memenuhi properti di atas disebut non-komutatif.
  2. Seseorang mengatakan bahwa x perjalanan dengan y di bawah   jika:
     
  3. Fungsi biner   disebut komutatif jika:
     

ContohSunting

Operasi komutatif dalam kehidupan sehari-hariSunting

 
Akumulasi apel, yang dapat dilihat sebagai penjumlahan bilangan asli, bersifat komutatif.
  • Mengenakan kaus kaki menyerupai operasi pergantian karena mengenakan kaus kaki terlebih dahulu tidaklah penting. Bagaimanapun, hasilnya (memakai kedua kaus kaki), adalah sama. Sebaliknya, mengenakan pakaian dalam dan celana panjang tidak bersifat komutatif.
  • Komutatifitas penambahan diamati saat membayar barang dengan uang tunai. Terlepas dari urutan penyerahan tagihan, mereka selalu memberikan jumlah yang sama.

Operasi komutatif dalam matematikaSunting

 
Penambahan vektor bersifat komutatif, karena  .

Dua contoh operasi biner komutatif yang terkenal:[4]

 
Misalnya 4 + 5 = 5 + 4, karena ekspresi sama dengan 9.
 
Misalnya, 3 × 5 = 5 × 3, karena kedua ekspresi sama dengan 15.
Sebagai konsekuensi langsung dari ini, itu juga berlaku bahwa ekspresi pada bentuk y% dari z dan y% dari z% adalah komutatif untuk semua bilangan real y dan z.[6] Misalnya 64% dari 50 = 50% dari 64, karena kedua ekspresi sama dengan 32, dan 30% dari 50% = 50% dari 30%, karena kedua ekspresi tersebut sama dengan 15%.
Misalnya, fungsi biconditional logis p ↔ q ekivalen dengan q ↔ p. Fungsi ini juga ditulis sebagai p IFF q, atau sebagai p ≡ q, atau sebagai Epq.
Bentuk terakhir adalah contoh notasi paling ringkas dalam artikel tentang fungsi kebenaran, yang mencantumkan enam belas kemungkinan fungsi kebenaran biner yang delapan diantaranya adalah komutatif: Vpq = Vqp; Apq (ATAU) = Aqp; Dpq (NAND) = Dqp; Epq (IFF) = Eqp; Jpq = Jqp; Kpq (DAN) = Kqp; Xpq (MAUPUN) = Xqp; Opq = Oqp.

Operasi nonkomutatif dalam kehidupan sehari-hariSunting

  • Rangkaian, tindakan menggabungkan string karakter bersama-sama, adalah operasi noncommutative. Sebagai contoh,
EA + T = EAT ≠ TEA = T + EA
  • Mencuci dan mengeringkan pakaian menyerupai operasi noncommutative; pencucian dan kemudian pengeringan menghasilkan hasil yang sangat berbeda dengan pengeringan dan kemudian pencucian.
  • Memutar buku 90 ° di sekitar sumbu vertikal kemudian 90 ° di sekitar sumbu horizontal menghasilkan orientasi yang berbeda dibandingkan saat rotasi dilakukan dalam urutan yang berlawanan.
  • Liku-liku dari Kubus Rubik tidak komunikatif. Ini dapat dipelajari dengan menggunakan teori grup.
  • Proses berpikir bersifat nonkomutatif: Seseorang mengajukan pertanyaan (A) dan kemudian pertanyaan (B) dapat memberikan jawaban yang berbeda untuk setiap pertanyaan daripada yang ditanyakan orang pertama (B) dan kemudian (A), karena mengajukan pertanyaan dapat mengubah keadaan pikiran orang tersebut.
  • Tindakan berpakaian bisa komutatif atau non-komutatif, tergantung pada itemnya. Mengenakan pakaian dalam dan pakaian biasa tidak bersifat komutatif. Mengenakan kaus kaki kiri dan kanan bersifat komutatif.
  • Mengocok setumpuk kartu tidak bersifat komutatif. Diberikan dua cara, A dan B, untuk mengocok setumpuk kartu, melakukan A terlebih dahulu dan kemudian B secara umum tidak sama dengan melakukan B terlebih dahulu dan kemudian A.

Operasi nonkomutatif dalam matematikaSunting

Beberapa operasi biner nonkomutatif:[7]

Pembagian dan penguranganSunting

Pembagian adalah nonkomutatif, sejak  .

Pengurangan bersifat nonkomutatif, karena  . Namun itu diklasifikasikan lebih tepatnya sebagai anti-komutatif, karena  .

Fungsi kebenaranSunting

Beberapa fungsi kebenaran adalah nonkomutatif, karena tabel kebenaran untuk fungsi berbeda ketika seseorang mengubah urutan operan. Misalnya, tabel kebenaran untuk (A ⇒ B) = (¬A ∨ B) dan (B ⇒ A) = (A ∨ ¬B) adalah

A B A ⇒ B B ⇒ A
F F T T
F T T F
T F F T
T T T T


Komposisi fungsi fungsi linierSunting

Komposisi fungsi dari fungsi linier dari bilangan real ke bilangan real hampir selalu nonkomutatif. Misalnya, misalkan   dan  . Kemudian

 

dan

 

Ini juga berlaku lebih umum untuk linier dan transformasi affine dari ruang vektor ke dirinya sendiri (lihat di bawah untuk representasi Matriks).

Perkalian matriksSunting

Matriks perkalian matriks kuadrat hampir selalu nonkomutatif, misalnya:

 

Produk vektorSunting

Produk vektor (atau perkalian silang) dari dua vektor dalam tiga dimensi adalah anti-komutatif; yaitu, b × a = −(a × b).

Sejarah dan etimologiSunting

 
Penggunaan istilah pertama yang diketahui dalam Jurnal Prancis yang diterbitkan pada tahun 1814

Rekaman penggunaan implisit dari properti komutatif kembali ke zaman kuno. Para Mesir ian menggunakan properti komutatif dari perkalian untuk menyederhanakan komputasi produk.[8][9] Euklides diketahui telah mengasumsikan properti komutatif perkalian dalam bukunya Elemen .[10] Penggunaan formal properti komutatif muncul pada akhir abad ke-18 dan awal abad ke-19, ketika ahli matematika mulai mengerjakan teori fungsi. Saat ini properti komutatif adalah properti terkenal dan dasar yang digunakan di sebagian besar cabang matematika.

Penggunaan istilah komutatif yang tercatat pertama kali dalam sebuah memoar oleh François Servois pada tahun 1814,[1][11] yang menggunakan kata komutatif saat mendeskripsikan fungsi yang memiliki apa yang sekarang disebut properti komutatif. Kata tersebut merupakan kombinasi dari kata Perancis commuter yang berarti "mengganti atau mengganti" dan sufiks -ative yang berarti "cenderung ke" sehingga kata tersebut secara harfiah berarti "cenderung mengganti atau beralih". Istilah tersebut kemudian muncul dalam bahasa Inggris pada tahun 1838[2] dalam artikel Duncan Farquharson Gregory berjudul "Tentang sifat sebenarnya dari aljabar simbolik" yang diterbitkan pada tahun 1840 di Transaksi Royal Society of Edinburgh.[12]

Logika proposisionalSunting

Templat:Kaidah transformasi

Kaidah penggantianSunting

Dalam logika proposisional riil-fungsional, pergantian,[13][14] atau komutatif[15] mengacu pada dua valid kaidah penggantian. Kaidah memungkinkan untuk mengubah urutan variabel proposisional dalam ekspresi logika dalam bukti logis. Rumusnya adalah:

 

and

 

dimana " " adalah metalogika dari simbol yang menggunakan "bukti dengan formal".

Konektor fungsional riilSunting

Komutatifita adalah sifat dari beberapa koneksi logika fungsi riil logika proposisional. Persamaan logika berikut menunjukkan bahwa komutativitas adalah sifat dari penghubung tertentu. Berikut ini adalah riil-fungsional tautologi.

Komutatifitas konjungsi
 
Komutatifitas disjungsi
 
Komutatifitas implikasi (disebut juga hukum permutasi)
 
Komutatifitas kesetaraan (disebut juga hukum ekuivalen komutatif kompleks)
 

Teori himpunanSunting

Dalam grup dan teori himpunan, struktur aljabar disebut sebagai komutatif ketika operan tertentu memenuhi sifat komutatif. Dalam cabang matematika yang lebih tinggi, yaitu analisis dan aljabar linear komutatifitas operasi terkenal (yaitu penambahan dan perkalian pada bilangan riil dan kompleks) sering digunakan (atau diasumsikan secara implisit) dalam pembuktian.[16][17][18]

Struktur matematika dan komutatifSunting

Sifat terkaitSunting

AsosiatifSunting

Sifat asosiatif terkait erat dengan sifat komutatif. Sifat asosiatif dari ekspresi yang berisi dua atau lebih dari operasi yang sama; bahwa operasi urutan dilakukan tidak dipengaruhi hasil akhir, sebagai urutan persyaratan yang tidak dapat diubah. Sebaliknya, sifat komutatif; bahwa urutan suku tidak mempengaruhi hasil akhir.

Sebagian besar operasi komutatif yang ditemukan dalam praktik bersifat asosiatif. Namun, komutativitas tidak menyiratkan asosiatif. Sebuah contoh luar adalah fungsi

 

yang jelas sifat komutatif (mengganti x dan y tidak mempengaruhi hasil), tetapi tidak asosiatif (misalnya,   but  ). Contoh lainnya dapat ditemukan di magma non-asosiatif komutatif.

DistributifSunting

SimetriSunting

 
Grafik yang menunjukkan kesimetrian fungsi penjumlahan

Beberapa bentuk simetri dapat langsung dikaitkan dengan komutatifitas. Ketika operasi komutatif ditulis sebagai fungsi biner maka fungsi yang dihasilkan adalah simetris dengan melintasi garis y = x. Sebagai contoh, jika fungsi f menggunakan penjumlahan (operasi komutatif) sehingga f(x,y) = x + y, maka f adalah fungsi simetris yang dapat dilihat pada gambar di sebelahnya.

Untuk relasi, relasi simetri adalah analogi dengan operasi komutatif, dimana jika relasi R simetris, maka  .

Operator non-komuter dalam mekanika kuantumSunting

Dalam mekanika kuantum seperti yang dirumuskan oleh Schrödinger, variabel fisik diwakili oleh operator linier seperti x (artinya dikalikan dengan x), dan  . Kedua operator ini tidak bolak-balik seperti yang terlihat dengan mempertimbangkan efek komposisi mereka   dan   (juga disebut produk operator) pada fungsi gelombang satu dimensi  :

 

Menurut prinsip ketidakpastian dari Heisenberg, jika dua operator yang mewakili sepasang variabel tidak bolak-balik, maka pasangan variabel itu saling komplementer, yang artinya tidak dapat diukur atau diketahui secara bersamaan. Misalnya, posisi dan momentum linier dalam arah x sebuah partikel diwakili oleh operator   and  , masing-masing (di mana   adalah konstanta Planck tereduksi). Ini adalah contoh yang sama kecuali konstanta  , jadi sekali lagi operator tidak bolak-balik dan arti fisiknya adalah bahwa posisi dan momentum linear dalam arah tertentu saling melengkapi.

Lihat pulaSunting

CatatanSunting

  1. ^ a b Cabillón and Miller, Commutative and Distributive
  2. ^ a b Flood, Raymond; Rice, Adrian; Wilson, Robin, ed. (2011). Mathematics in Victorian Britain. Oxford University Press. hlm. 4. 
  3. ^ (Inggris) Weisstein, Eric W. "Symmetric Relation". MathWorld. 
  4. ^ a b Krowne, p.1
  5. ^ Weisstein, Commute, p.1
  6. ^ "Compatible Numbers to Simplify Percent Problems". Diakses tanggal 2020-07-17. 
  7. ^ Yark, p.1.
  8. ^ Lumpkin, p.11
  9. ^ Gay and Shute, p.?
  10. ^ O'Conner and Robertson, Real Numbers
  11. ^ O'Conner and Robertson, Servois
  12. ^ D. F. Gregory (1840). "On the real nature of symbolical algebra". Transactions of the Royal Society of Edinburgh. 14: 208–216. 
  13. ^ Moore and Parker
  14. ^ Copi, Irving M.; Cohen, Carl (2005). Introduction to Logic. Prentice Hall. 
  15. ^ Hurley, Patrick (1991). A Concise Introduction to Logic 4th edition . Wadsworth Publishing. 
  16. ^ Axler, p.2
  17. ^ a b Gallian, p.34
  18. ^ p. 26,87
  19. ^ Gallian p.236
  20. ^ Gallian p.250

ReferensiSunting

BukuSunting

  • Axler, Sheldon (1997). Linear Algebra Done Right, 2e. Springer. ISBN 0-387-98258-2. 
Abstract algebra theory. Covers commutativity in that context. Uses property throughout book.
  • Copi, Irving M.; Cohen, Carl (2005). Introduction to Logic. Prentice Hall. 
  • Gallian, Joseph (2006). Contemporary Abstract Algebra, 6e. Boston, Mass.: Houghton Mifflin. ISBN 0-618-51471-6. 
Linear algebra theory. Explains commutativity in chapter 1, uses it throughout.
  • Goodman, Frederick (2003). Algebra: Abstract and Concrete, Stressing Symmetry, 2e. Prentice Hall. ISBN 0-13-067342-0. 
Abstract algebra theory. Uses commutativity property throughout book.
  • Hurley, Patrick (1991). A Concise Introduction to Logic 4th edition. Wadsworth Publishing. 

ArtikelSunting

Article describing the mathematical ability of ancient civilizations.
  • Robins, R. Gay, and Charles C. D. Shute. 1987. The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text. London: British Museum Publications Limited. ISBN 0-7141-0944-4
Translation and interpretation of the Rhind Mathematical Papyrus.

Sumber berbasis onlineSunting

Definition of commutativity and examples of commutative operations
  • (Inggris)

Weisstein, Eric W. "Commute". MathWorld. , Accessed 8 August 2007.

Explanation of the term commute
Examples proving some noncommutative operations
Article giving the history of the real numbers
Page covering the earliest uses of mathematical terms
Biography of Francois Servois, who first used the term