Grup Abelian

grup yang hasil penerapan grup operasi ke dua elemen grup tidak bergantung pada urutan penulisannya
(Dialihkan dari Grup abelian)

Dalam matematika, grup Abelian, juga disebut grup komutatif, adalah grup dimana hasil penerapan grup operasi ke dua elemen grup tidak bergantung pada urutan penulisannya. Artinya, operasi grup adalah komutatif. Dengan tambahan sebagai operasi, bilangan bulat dan bilangan riil membentuk grup abelian, dan konsep grup abelian dapat dilihat sebagai generalisasi dari contoh ini. Grup Abelian dinamai matentikawan awal abad ke-19 Niels Henrik Abel.[1]

Konsep grup abelian mendasari struktur aljabar fundamental, seperti bidang, gelanggang, ruang vektor, dan aljabar. Teori grup abelian umumnya lebih sederhana dari teori rekan non-abelian, dan grup abelian hingga sangat dipahami dan diklasifikasikan.

DefinisiSunting

Struktur grup
Totalitasα Asosiatif Identitas Invers Komutativitas
Semigrupoid Tidak dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkan
Kategori Kecil Tidak dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkan
Grupoid Tidak dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan
Magma Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkan
Kuasigrup Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan
Magma Unital Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkan
Loop Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan
Semigrup Dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkan
Semigrup invers Dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan
Monoid Dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkan
Monoid komutatif Dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Dibutuhkan
Grup Dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan
Grup Abelian Dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan
Penutupan, yang digunakan dalam banyak sumber, merupakan aksioma yang setara dengan totalitas, meskipun didefinisikan secara berbeda.

Grup abelian adalah himpunan   dengan operasi   yang menggabungkan dua elemen   dan   dari   untuk membentuk elemen lain dari   dilambangkan  . Simbol   adalah placeholder umum untuk operasi diberikan secara konkret. Untuk memenuhi syarat sebagai grup abelian, himpunan dan operasi   harus memenuhi lima persyaratan yang dikenal sebagai aksioma grup abelian:

Penutupan
Untuk  ,   dengan  , hasil operasi   dengan  .
Asosiatif
Untuk  ,  , dan   dalam  , persamaan  .
Elemen identitas
Elemen   dalam  , maka untuk semua elemen   dengan   adalah persamaan  .
Elemen invers
Untuk   dengan  , elemen   dalam   maka  , dimana   adalah elemen identitas.
Komutatif
Untuk  ,   dengan  ,  .

Grup operasi merupakan grup tersebut tidak komutatif disebut "grup non-abelian" atau "grup non-komutatif".

FaktaSunting

NotasiSunting

Ada dua ketentuan notasi utama untuk grup abelian pada aditif dan perkalian.

Konvensi Operasi Identitas Pangkat Invers
Penambahan   0    
Perkalian   atau   1    

Umumnya, notasi perkalian adalah notasi umum untuk grup, sedangkan notasi penjumlahan adalah notasi umum untuk modul dan gelanggang. Notasi aditif digunakan untuk menekankan bahwa grup tertentu adalah abelian, setiap kali grup abelian dan non-abelian beberapa pengecualian penting adalah dekat gelanggang dan grup terurut sebagian, dimana operasi ditulis secara aditif bahkan ketika non-abelian.

Tabel perkalianSunting

Untuk memverifikasi bahwa grup hingga adalah abelian dengan tabel (matriks) yang dikenal sebagai tabel Cayley. Dengan cara menggunakan tabel perkalian. Jika grup   di bawah operasi  , ke   entri tabel ini menggunakan produk  .

Grup tersebut adalah abelian jika dan hanya jika tabel tersebut simetris dengan diagonal utama. Karena grup tersebut adalah abelian jika dan hanya jika   untuk  , jika di luar   entri tabel sama dengan   entri untuk  , yaitu tabel simetris dengan diagonal utama.

ContohSunting

  • Untuk bilangan bulat dan operasi penambahan   dilambangkan  , operasi + menggabungkan dua bilangan bulat untuk membentuk bilangan bulat ketiga, penambahan bersifat asosiatif, sedangkan nol adalah identitas aditif, setiap bilangan bulat   dengan menggunakan aditif invers,   dan operasi penambahan bersifat komutatif karena   untuk dua bilangan bulat   dan  .
  • Setiap grup siklik   adalah abelian, karena jika ,   dengan  , maka  . Maka bilangan bulat,  , membentuk grup abelian dengan penambahan, sebagai contoh bilangan bulat modulo   dan  .
  • Setiap gelanggang adalah grup abelian dengan operasi penjumlahan. Dalam gelanggang komutatif elemen invers atau unit membentuk abelian grup perkalian. Secara khusus, bilangan riil adalah grup abelian di bawah penjumlahan, dan bilangan riil bukan nol adalah grup abelian dalam perkalian.
  • Setiap subgrup dari grup abelian adalah normal, maka setiap subgrup adalah grup hasil bagi. Subgrup, hasil, dan jumlah langsung adalah grup abelian. Grup abelian sederhana hingga merupakan grup siklik dari urutan prima.[2]
  • Konsep grup abelian dan modul- . Lebih khusus, setiap modul-  adalah grup abelian dengan operasi penjumlahan, dan setiap grup abelian adalah modul di atas gelanggang bilangan bulat   dengan cara unik.

Secara umum, matriks bahkan matriks invers, tidak membentuk grup abelian dalam perkalian karena perkalian matriks umumnya tidak komutatif. Namun, beberapa grup matriks adalah grup abelian dalam perkalian matriks, salah satu contohnya adalah grup   pada matriks rotasi.

Catatan sejarahSunting

Camille Jordan menamai grup abelian setelah matematikawan asal norsk Niels Henrik Abel, karena Abel menemukan bahwa komutatifitas grup polinomial bahwa akar polinomial dapat dihitung dengan menggunakan akar.[3]:144–145

SifatSunting

Jika   adalah bilangan asli dan   adalah elemen dari grup abelian   yang ditulis secara aditif, maka   bisa didefinisikan sebagai   ( ) dan  . Dengan cara ini,   sebagai modul di atas gelanggang   dari bilangan bulat. Maka, modul lebih dari   diidentifikasikan dengan grup abelian.

Teorema tentang grup abelian (yaitu modul di atas domain ideal utama  ) digeneralisasikan ke teorema tentang modul melalui domain ideal prinsipal arbitrer. Contoh tipikal adalah klasifikasi grup abelian yang dihasilkan secara hingga merupakan spesialisasi dari teorema struktur untuk modul yang dihasilkan secara hingga di atas domain ideal utama. Dalam kasus grup abelian yang dihasilkan secara hingga, teorema tersebut bahwa grup abelian terbagi sebagai jumlah langsung dari grup torsi dan grup abelian bebas. Yang pertama dapat ditulis sebagai jumlah langsung dari banyak grup bentuk tak hingga   untuk prima  , dan yang terakhir adalah jumlah langsung dari banyak salinan  .

Jika   adalah dua homomorfisme grup di antara grup abelian, kemudian jumlah semua  , ditentukan oleh   adalah homomorfisme (ini tidak tentu benar jika   adalah grup non-abelian). Himpunan   dari semua homomorfisme grup dari   hingga   merupakan grup abelian dalam itu sendiri.

Agak mirip dengan dimensi dari ruang vektor, setiap grup abelian memiliki peringkat. Ini didefinisikan sebagai kardinalitas maksimal dari satu himpunan elemen bebas linear (di atas bilangan bulat) grup.[4]:49–50 Grup abelian hingga dan grup torsi memiliki peringkat nol, dan setiap grup abelian dengan peringkat nol adalah grup torsi. Bilangan bulat dan bilangan rasional memiliki peringkat satu, serta setiap bukan nol subgrup aditif dari rasio. Di sisi lain, grup perkalian dari rasio bukan nol memiliki pangkat tak hingga, karena ini adalah grup abelian bebas dengan himpunan bilangan prima sebagai basis (dari hasil dari teorema fundamental aritmetika).

Pusat   dari grup   adalah himpunan elemen dengan setiap elemen  . Grup   adalah abelian jika dan hanya jika sama dengan pusatnya  . Pusat dari grup   merupakan karakteristik subgrup abelian dari  . Jika grup hasil bagi   grup dengan pusat siklik   adalah abelian.[5]

Grup abelian hinggaSunting

Grup siklik dari bilangan bulat modulo  ,   termasuk di antara contoh pertama grup. Ternyata grup abelian hingga trivial adalah isomorfik dari sejumlah langsung grup siklik hingga dari tatanan pangkat utama, dan tatanan ini ditentukan secara unik, membentuk sistem invarian kompleks. Grup automorfisme dari grup abelian hingga dapat dijelaskan secara langsung dalam istilah invarian. Teori ini pertama kali dikembangkan pada makalah tahun 1879 oleh Georg Frobenius, Ludwig Stickelberger, dan kemudian disederhanakan dan digeneralisasikan untuk modul yang dihasilkan secara halus, membentuk bab penting dari aljabar linear.

Setiap grup tatanan utama isomorfik ke grup siklik dan adalah abelian. Setiap grup yang urutannya adalah kuadrat dari bilangan prima juga adalah abelian.[6] Maka, untuk setiap bilangan prima   (isomorfisme hingga) tepat dua grup tatanan  , yaitu   dan  .

KlasifikasiSunting

Teorema fundamental dari grup abelian hingga menyatakan bahwa setiap grup abelian hingga   dapat diekspresikan sebagai jumlah langsung subgrup siklik dari prima dengan urutan pangkat; hal tersebut dikenal sebagai teorema dasar untuk grup abelian hingga.[7] Digeneralisasikan dengan teorema fundamental dari grup abelian yang dihasilkan secara hingga, dengan grup hingga menjadi kasus khusus ketika G memiliki nol peringkat; merujuk banyak generalisasi lebih lanjut.

Klasifikasi ini dibuktikan oleh Leopold Kronecker pada tahun 1870, meskipun tidak disebutkan dalam istilah teori-grup modern sampai sekarang, dan didahului oleh klasifikasi serupa dari bentuk kuadrat oleh Carl Friedrich Gauss pada tahun 1801; lihat sejarah untuk detailnya.

Grup siklik   dengan urutan   isomorfik dengan jumlah langsung dari   dan   jika dan hanya jika   dan   adalah koprima. Oleh karena itu, setiap grup abelian hingga   adalah isomorfik dengan jumlah langsung dari bentuk

 

dengan salah satu cara kanonik berikut:

  • bilangan   adalah pangkat bilangan prima (tidak harus berbeda),
  • bilangan   membagi  , dimana   dibagi  .

Sebagai contoh,   dapat dinyatakan sebagai jumlah langsung dari dua subgrup siklik tatanan 3 dan 5:  . Hal yang sama dapat dikatakan untuk setiap grup abelian tatanan 15, yang mengarah pada kesimpulan bahwa semua grup abelian urutan 15 adalah isomorfis.

Untuk contoh lain, setiap grup abelian berorde 8 isomorfik untuk   (bilangan bulat 0 hingga 7 di bawah tambahan modulo 8),   (bilangan bulat ganjil 1 sampai 15 dalam perkalian modulo 16), atau  .

Lihat pula daftar grup kecil untuk grup abelian hingga tatanan 30 atau kurang.

AutomorfismeSunting

Menerapkan teorema fundamental untuk menghitung (dan terkadang menentukan) automorfisme dari grup abelian terbatas yang diberikan  . Untuk menggunakan fakta bahwa jika   membagi sebagai jumlah langsung   dari subgrup koprima urutan, maka  .

Dengan ini, teorema fundamental menunjukkan bahwa untuk menghitung grup automorfisme dari   itu cukup untuk menghitung grup automorfisme dari Sylow   subgrup secara terpisah (yaitu, semua jumlah langsung subkelompok siklik, masing-masing dengan urutan pangkat  ). Perbaiki bilangan prima   dan anggaplah eksponen   dari faktor siklik dari subgrup Sylow   disusun dalam urutan yang meningkat:

 

untuk beberapa  . Seseorang perlu menemukan automorfisme

 

Satu kasus khusus adalah ketika  , maka hanya ada satu faktor daya utama siklik pada subgrup Sylow   dengan  . Dalam hal ini teori automorfisme grup siklik hingga digunakan. Kasus khusus lainnya adalah kapan   trivial tetapi   untuk  . Mempertimbangkan   menjadi bentuk

 

jadi elemen subgrup ini dapat dilihat sebagai terdiri dari ruang vektor berdimensi   di atas bidang hingga elemen   pada  . Oleh karena itu, automorfisme subgrup ini diberikan oleh transformasi linear invers, maka

 

dimana   adalah grup linear umum yang sesuai, dengan mudah terbukti memiliki tatanan

 

Dalam kasus umum, dimana   dan   berubah-ubah, grup automorfisme lebih sulit ditentukan. Diketahui, bagaimanapun, bahwa jika mendefinisikan

 

dan

 

maka seseorang memilikinya secara khusus  ,  , dan

 

Hal itu dapat memeriksa bahwa ini menghasilkan tatanan dalam contoh sebelumnya sebagai kasus khusus (lihat Hillar, C., & Rhea, D.).

Grup abelian yang dihasilkan tak hinggaSunting

Grup abelian A tanpa batas jika himpunan elemen hingga (disebut generator)   sedemikian rupa maka setiap elemen grup adalah kombinasi linear dengan koefisien bilangan bulat elemen G.

Misalkan L menjadi grup abelian bebas dengan basis   Homomorfisme grup unik   sebagai

 

Homomorfisme ini adalah surjektif, dan kernel-nya dihasilkan secara halus (karena bilangan bulat membentuk gelanggang Noetherian). Pertimbangkan matriks M dengan entri bilangan bulat, sehingga entri dari kokernel ke j adalah koefisien dari generalisasi kernel j. Maka, grup abelian bersifat isomorfik terhadap kokernel dari peta linear yang ditentukan M. Sebaliknya, setiap matriks bilangan bulat mendefinisikan grup abelian yang dihasilkan secara hingga.

Oleh karena itu, studi tentang grup abelian yang dihasilkan hingga setara dengan studi tentang matriks bilangan bulat. Secara khusus, mengubah himpunan pembangkit A sama dengan mengalikan M sebelah kiri dengan matriks unimodular (yaitu, matriks bilangan bulat inversnya merupakan matriks bilangan bulat). Mengubah himpunan pembangkit kernel M sama dengan mengalikan M sebelah kanan dengan matriks unimodular.

Bentuk normal Smith dari M adalah sebuah matriks

 

dimana U dan V unimodular, dan S adalah matriks sehingga semua entri non-diagonal adalah nol, entri diagonal bukan-nol   adalah yang pertama, dan   adalah pembagi dari   untuk i > j. Keberadaan dan bentuk normal Smith membuktikan bahwa grup abelian yang dihasilkan tak hingga A adalah jumlah langsung

 

dimana r adalah jumlah baris nol di bagian bawah r (dan peringkat grup). Ini adalah teorema fundamental dari grup abelian yang dihasilkan secara hingga.

Adanya algoritma untuk bentuk normal Smith menunjukkan bahwa dalil dasar grup abelian yang dihasilkan tak hingga bukan hanya dalil eksistensi abstrak, tetapi menyediakan cara untuk menghitung ekspresi grup abelian yang dihasilkan secara terbatas sebagai jumlah langsung.

Grup abelian tak hinggaSunting

Grup abelian tak hingga paling sederhana adalah grup siklik tak hingga  . Grup abelian yang dihasilkan secara hingga   isomorfik jumlah langsung   salinan dari   dan grup abelian hingga, diuraikan menjadi jumlah langsung dari banyak grup siklik dari tatanan pangkat utama. Meskipun dekomposisinya tidak unik, bilangan   atau disebut peringkat dari  , dan pangkat utama yang memberikan urutan puncak siklik hingga ditentukan secara unik.

Sebaliknya, klasifikasi grup abelian umum yang dihasilkan tanpa batas masih jauh dari lengkap. Grup divisibel yaitu grup abelian   dimana persamaan   sebagai solusi   untuk bilangan asli   dan elemen   dari  , merupakan satu kelas penting dari grup abelian tak hingga yang dapat sepenuhnya dicirikan. Setiap grup divisibel adalah isomorfik ke jumlah langsung, dengan penjumlahan isomorfik sebagai   dan grup Prüfer   untuk berbagai bilangan prima  , dan kardinalitas penjumlahan dari setiap jenis ditentukan secara unik.[8] Selain itu, jika grup yang dapat dibagi   adalah subgrup dari grup abelian   maka   sebagai pelengkap langsung: subgrup   dari   sedemikian rupa maka  . Dengan demikian, grup yang dapat dibagi adalah modul injeksi dalam kategori grup abelian, dan sebaliknya, setiap grup abelian injeksi dapat dibagi (kriteria Baer). Grup abelian tanpa subgrup yang dapat dibagi bukan nol disebut tereduksi.

Dua kelas khusus penting dari grup abelian tak hingga dengan sifat berlawanan secara diametris adalah grup torsi dan grup bebas torsi, dicontohkan oleh grup   (periodik) dan   (bebas torsi).

Grup torsiSunting

Grup abelian disebut periodik atau torsi, jika setiap elemen memiliki terbatas tatanan. Jumlah langsung dari grup siklik hingga bersifat periodik. Meskipun pernyataan sebaliknya tidak benar secara umum, beberapa kasus khusus diketahui. Teorema Prüfer pertama dan kedua menyatakan bahwa jika   adalah grup periodik, dan memiliki eksponen terbatas, yaitu   untuk beberapa bilangan asli  , atau dihitung dan tinggi-  elemen   terbatas untuk setiap  , maka   adalah isomorfik ke jumlah langsung dari grup siklik hingga.[9] Kardinalitas himpunan sumsum langsung isomorfik ke   dalam dekomposisi invarian dari  .[10]:6 Teorema ini kemudian dimasukkan dalam kriteria Kulikov. Di arah yang berbeda, Helmut Ulm menemukan perluasan dari teorema Prüfer kedua menjadi abelian grup-  yang dapat dihitung dengan elemen ketinggian tak hingga: grup itu sepenuhnya diklasifikasikan melalui invarian Ulm mereka.

Grup bebas torsi dan campuranSunting

Grup abelian disebut bebas torsi jika setiap elemen bukan nol memiliki urutan tak hingga. Beberapa kelas dari grup abelian bebas torsi telah dipelajari secara ekstensif:

Grup abelian tidak periodik atau bebas torsi disebut campuran. Jika   adalah grup abelian dan   adalah subgrup torsi, maka grup faktor   bebas torsi. Namun, secara umum subgrup torsi bukan merupakan penjumlahan langsung dari  , jadi   adalah bukan isomorfik ke  . Jadi teori grup campuran melibatkan lebih dari sekedar menggabungkan hasil tentang grup periodik dan bebas torsi. Grup aditif   bilangan bulat bebas torsi modul- .[11]:206

Invarian dan klasifikasiSunting

Salah satu invarian dasar dari grup abelian tak hingga   adalah peringkat: kardinalitas dari himpunan independen linear maksimal dari  . Grup abelian dengan peringkat 0 merupakan grup periodik, sedangkan grup abelian bebas torsi peringkat 1 harus merupakan subgrup dari   and can be completely described. Secara lebih umum, grup abelian bebas torsi dengan peringkat terbatas   adalah subgrup dari  . Di sisi lain, grup bilangan bulat  -adik   adalah grup abelian bebas torsi tanpa batas peringkat-  dan grup   dengan   yang berbeda adalah non-isomorfik, jadi invarian bahkan tidak sepenuhnya sifat dari beberapa grup yang sudah dikenal.

Teorema klasifikasi untuk periodik yang dihasilkan tak hingga, habis dibagi, dapat dihitung, dan grup abelian bebas torsi peringkat 1 yang dijelaskan di atas semuanya diperoleh sebelum tahun 1950 dan membentuk dasar klasifikasi grup abelian tak hingga yang lebih umum. Alat teknis penting yang digunakan dalam klasifikasi grup abelian tak terbatas adalah subgrup murni dan dasar. Pengenalan berbagai invarian dari grup abelian bebas torsi telah menjadi salah satu jalan untuk kemajuan lebih lanjut. Lihat buku oleh Irving Kaplansky, László Fuchs, Phillip Griffith, dan David Arnold, serta prosiding konferensi tentang Teori Grup Abelian yang diterbitkan di Catatan Kuliah di Matematika untuk temuan yang lebih baru.

Grup aditif gelanggangSunting

Grup aditif dari sebuah gelanggang adalah grup abelian, tetapi tidak semua kelompok abelian adalah grup aditif gelanggang (dengan perkalian nontrivial). Beberapa topik penting dalam bidang studi ini adalah:

  • Produk Tensor
  • Hasil sudut pada grup bebas torsi yang dihitung
  • Selah bekerja untuk menghilangkan batasan kardinalitas.

Catatan tentang tipografiSunting

Di antara kata sifat matematika yang diturunkan dari nama diri dari seorang matematikawan, Kata "abelian" jarang terjadi karena sering dieja dengan huruf kecil a, bukan huruf besar A, yang menunjukkan betapa konsep tersebut dalam matematika modern.[12]

Lihat pulaSunting

CatatanSunting

  1. ^ Jacobson 2009, p. 41
  2. ^ 2012, p. 32.
  3. ^ D. A., Galois Theory (Hoboken: John Wiley & Sons, 2004), pp. 144–145.
  4. ^ Dixon, M. R., Kurdachenko, L. A., & Subbotin, I. Y., Linear Groups: The Accent on Infinite Dimensionality (Milton Park, Abingdon-on-Thames & Oxfordshire: Taylor & Francis, 2020), pp. 49–50.
  5. ^ Rose 2012, p. 48.
  6. ^ Rose 2012, p. 79.
  7. ^ Kurzweil, H., & Stellmacher, B., The Theory of Finite Groups: An Introduction (New York, Berlin, Heidelberg: Springer Verlag, 2004), pp. 43–54.
  8. ^ Sebagai contoh,  .
  9. ^ Asumsi hitungan dalam teorema Prüfer kedua tidak dapat dihilangkan: subgrup torsi dari produk langsung dari grup siklik   karena semua   natural bukanlah penjumlahan langsung dari grup siklik.
  10. ^ Faith, C. C., Rings and Things and a Fine Array of Twentieth Century Associative Algebra (Providence: American Mathematical Society, 2004), p. 6.
  11. ^ Lal, R., Algebra 2: Linear Algebra, Galois Theory, Representation Theory, Group Extensions and Schur Multiplier (Berlin, Heidelberg: Springer, 2017), p. 206.
  12. ^ "Abel Prize Awarded: The Mathematicians' Nobel". Diarsipkan dari versi asli tanggal 31 December 2012. Diakses tanggal 3 July 2016. 

ReferensiSunting

Pranala luarSunting