Gabungan (teori himpunan)

Dalam teori himpunan, gabungan (Inggris: union) dari koleksi himpunan adalah himpunan semua anggota dalam koleksi. Gabungan merupakan salah satu operasi dasar, yang dapat menggabungkan atau mengaitkan anggota himpunan ke anggota himpunan lain. Gabungan dilambangkan dengan ∪.

Gabungan dari dua himpunan$~A\cup B$

Untuk penjelasan tentang penggunaan simbol lebih lanjut, lihat tabel dari simbol matematika

Gabungan dari dua himpunan

Gabungan dari himpunan $A$ dan $B$ adalah himpunan anggota yang berada di $A$, atau $B$, atau bahkan kedua-duanya. Gabungan dari dua himpunan tersebut dituliskan dalam notasi ungkapan himpunan.

$$A\cup B=\{x:x\in A{\text{ atau }}x\in B\}.$$

Sebagai contoh, jika $A=\{1,3,5,7\}$ dan $B=\{1,2,4,6,7\}$, maka $A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,7\}$. Contoh yang lebih rumit (meliputi dua himpunan tak terhingga) adalahː

$$A=\{x{\text{ adalah bilangan bulat genap yang lebih besar daripada 1}}\}$$

$$B=\{x{\text{ adalah bilangan bulat ganjil yang lebih besar daripada 1}}\}$$

$$A\cup B=\{2,3,4,5,6,\dots \}.$$

Contoh lainnya, 9 tidak termasuk dalam gabungan dari himpunan bilangan prima $\{2,3,5,7,11,\dots \}$ dan juga himpunan dari bilangan genap $\{2,4,6,8,10.\dots \}$, sebab 9 bukanlah bilangan prima ataupun bilangan genap.

Himpunan tidak mempunyai anggota identik yang muncul lebih dari satu kali, karena itu gabungan dari $\{1,2,3\}$ dan $\{2,3,4\}$ adalah $\{1,2,3,4\}$. Banyaknya kemunculan anggota yang identik tersebut tidak mempengaruhi kardinalitas himpunan ataupun isi himpunannya.

Sifat aljabar

Gabungan biner adalah operasi asosiatif. Hal ini berarti bahwa untuk setiap himpunan $A$, $B$, dan $C$, berlaku

$$A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C.$$

Pada rumus di atas, tanda kurung dapat dihilangkan dalam rangka untuk menghindari keambiguan, sehingga dapat ditulis juga sebagai $A\cup B\cup C$. Gabungan merupakan operasi komutatif, sehingga himpunan bisa ditulis dalam setiap urutan. Himpunan kosong adalah anggota identitas untuk operasi gabungan, dalam artian bahwa $A\cup \varnothing =A$, untuk setiap himpunan $A$. Secara analogi, semua sifat-sifat tersebut diikuti dari logika disjungsi.

Adapun sifat aljabar lainnya, yakni irisan distribusi atas gabungan

$$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C),$$

dan gabungan distribusi atas irisan

$$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C).$$

Himpunan kuasa dari himpunan $U$, beserta operasi-operasinya, seperti gabungan, irisan, dan komplemen, merupakan aljabar Boole. Dalam aljabar Boole, gabungan dapat dinyatakan dengan rumus yang mengandung operasi irisan dan komplemen.

$$A\cup B=\left(A^{\text{c}}\cap B^{\text{c}}\right)^{\text{c}},$$

dengan superskrip C melambangkan komplemen dalam himpunan semesta $U$.

Gabungan terhingga

Gabungan dari tiga himpunan$~A\cup B\cup C$

Beberapa himpunan dapat diambil secara serentak. Sebagai contoh, gabungan dari tiga himpunan $A$, $B$, dan $C$ mengandung semua anggota dari $A$, semua anggota dari $B$, dan semua anggota dari $C$, dan tidak ada lagi. Dengan demikian, $x$ adalah anggota dari $A\cup B\cup C$ jika dan hanya jika $x$ setidaknya ada di dalam salah satu himpunan $A$, $B$, dan $C$.

Gabungan terhingga adalah gabungan dari jumlah terbatas pada himpunan-himpunan; ungkapan tidak menyiratkan bahwa gabungan himpunan adalah himpunan terbatas.

Gabungan sebarang

Gagasan yang paling umum adalah gabungan dari koleksi himpunan sebarang, yang kadangkala disebut gabungan tak terhingga. Jika $\mathbf {M}$ adalah himpunan atau kelas yang anggotanya ada di himpunan, maka $x$ adalah gabungan dari $\mathbf {M}$ jika dan hanya jika setidaknya ada satu anggota $A$ dari $\mathbf {M}$ sehingga $x$ anggota dari $A$. Ini dapat ditulis dengan menggunakan simbol

$$x\in \bigcup \mathbf {M} \iff \exists A\in \mathbf {M} ,\ x\in A.$$

Gagasan ini menggolongkan bagian sebelumnya, sebagai contoh, $A\cup B\cup C$ adalah gabungan dari koleksi $\{A,B,C\}$. Juga, jika $\mathbf {M}$ adalah koleksi kosong, maka gabungan dari $\mathbf {M}$ adalah himpunan kosong

Notasi

Notasi untuk konsep yang umum sangat bervariasi. Untuk gabungan terhingga dari himpunan $S_{1},S_{2},S_{3},\dots ,S_{n}$, acapkali ditulis sebagai $S_{1}\cup S_{2}\cup S_{3}\cup \dots \cup S_{n}$ atau

$$\bigcup _{i=1}^{n}S_{i}.$$

Terdapat bermacam-macam notasi untuk gabungan sembarang, seperti ${\textstyle \bigcup \mathbf {M} }$, ${\textstyle \bigcup _{A\in \mathbf {M} }A}$, atau ${\textstyle \bigcup _{i\in I}A_{i}}$, yang mengacu pada gabungan dari koleksi $\left\{A_{i}:i\in I\right\}$, dengan $I$ adalah himpunan indeks, dan $A_{i}$ adalah himpunan untuk $i\in I$. Terdapat sebuah kasus bahwa untuk himpunan indeks $I$ yang merupakan himpunan bilangan asli, dapat menggunakan notasi

$$\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i},$$

yang mirip seperti jumlah tak terhingga dalam deret.

Lihat pula

• Aljabar dari himpunan
• Alternasi (teorema bahasa formal), gabungan dari himpunan dari benang.
• Aksioma dari gabungan
• Gabungan penguraian
• Irisan (teori himpunan)
• Operasi biner berulang
• Teori himpunan naif
• Beda setangkup

Pranala luar

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Union of sets", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Infinite Union and Intersection at ProvenMath Diarsipkan 2023-01-07 di Wayback Machine. De Morgan's laws formally proven from the axioms of set theory.