Gabungan (teori himpunan)

himpunan dari semua anggota dari kumpulan tersebut

Dalam teori himpunan, gabungan "" (atau dalam bahasa Inggris, union) pada kumpulan dari himpunan-himpunan adalah himpunan dari semua anggota dari kumpulan tersebut.[1] Ini merupakan salah satu operasi dasar melalui himpunan-himpunan yang dapat digabungkan atau dikaitkan satu sama lain.

Gabungan dari dua himpunan:
Gabungan dari tiga himpunan:
Penyatuan A, B, C, D, dan E adalah segalanya kecuali daerah putih.

Untuk penjelasan tentang penggunaan simbol lebih lanjut, lihat tabel dari simbol matematika.

Gabungan dari dua himpunanSunting

 
Gabungan dari dua himpunan  

Gabungan dari himpunan   dan   adalah anggota yang terdapat dalam himpunan  , dalam himpunan  , atau dalam kedua himpunan   dan  .[2] Dalam simbol,  

Sebagai contoh, jika   dan  , maka  . Contoh yang lebih rumit (meliputi dua himpunan takhingga) adalahː

  = {  adalah bilangan bulat genap lebih besar daripada 1}

  = {  adlaah bilangan bulat ganjil lebih besar daripada 1}

 

 
Gabungan dari himpunan  

Sebagai contoh lainnya, 9 tidak terkandung dalam gabungan dari himpunan dari bilangan prima   dan himpunan dari bilangan genap  , karena 9 bukan bilangan prima atau bilangan genap.

Himpunan tidak memiliki anggota duplikat, [3][4] jadi gabungan dari   dan   adalah  . Banyaknya kejadian dari anggota yang identik tidak memiliki efek samping pada kardinalitas dari sebuah himpunan atau kandungannya sendiri.

Sifat AljabarSunting

 
Gabungan dari himpunan  ,  ,  ,  , dan   adalah semuanya, kecuali untuk area berwarna putih.

Gabungan biner adalah sebuah operasi asosiatif; yaitu, untuk setiap himpunan  ,  , dan  ,

 .

Operasi-operasi dapat ditampilkan dalam setiap urutan, dan tanda kurung dapat dihilangkan tanpa ambiguitas (dengan kata lain. salah satu dari atas bisa diekspresikan secara ekuivalen sebagai  ). Dengan cara yang sama, gabungan bersifat komutatif, jadi himpunan bisa ditulis dalam setiap urutan.[5]

Himpunan kosong adalah anggota identitas untuk operasi dari gabungan. Yaitu  , untuk setiap himpunan  . Berikut ini dari fakta serupa tentang logika disjungsi.

Sejak himpunan dengan gabungan dan irisan membentuk aljabar Boolean, irisan mendistribusikan lewat gabungan.

 

dan gabungan mendistribusikan lewat irisan

  [6]

Dalam diberikan himpunan semesta, gabungan dapat ditulis dalam istilah dari operasi dari irisan dan komplemen.sebagai

 

dimana superskrip C melambangkan komplemen terhadap himpunan semesta.

Gabungan terbatasSunting

Salah satunya dapat mengambil dari beberapa himpunan secara serentak. Sebagai contoh, gabungan dari tiga himpunan  ,  , dan   mengandung semua anggota dari  , semua anggota dari  , dan semua anggota dari  , dan tidak ada lagi. Demikian juga,   adalah anggota dari   jika dan hanya jika   ada di dalam setidaknya salah satu dari himpunan  ,  , dan  .

Gabungan terbatas adalah gabungan dari jumlah terbatas pada himpunan-himpunan; ungkapan tidak menyiratkan bahwa gabungan himpunan adalah himpunan terbatas. [7][8]

Gabungan sembarangSunting

Gagasan yang paling umum adalah gabungan dari kumpulan sembarang pada himpunan, terkadang disebut gabungan tak terbatas. Jika   adalah himpuna atau kelas yang anggotanya adalah himpunan, maka   adalah gabungan dari   jika dan hanya jika setidaknya ada satu anggota   dari   sehingga   anggota dari  .[9] Dalam simbolː

 

Ide ini menggolongkan bagian sebelumnya—sebagai contoh,   adalah gabungan dari kumpulan  . Juga, jika   adalah kumpulan kosong, maka gabungan dari   adalah himpunan kosong

NotasiSunting

Notasi untuk konsep yang umum sangat bervariasi. Untuk gabungan terbatas dari himpunan  , Salah satunya sering menulls   atau  . Berbagai umum notasi untuk gabungan sembarang termasuk  ,  , dan  . [10] Yang terakhir dari notasi-notasi ini mengacu pada gabungan dari kumpulan  , dimana   adalah himpunan indeks dan   adalah himpunan untuk  . Dalam kasus ini bahwa himpunan indeks   adalah himpunan dari bilangan asli, salah satunya menggunakan notasi  , yang analog dengan jumlah tak terhingga dari deret. [11]

Ketika simbol "∪" ditempatkan sebelum simbol lainnya (termasuk dari antara mereka), biasanya diberikan sebagai ukuran yang besar.

Lihat pulaSunting

CatatanSunting

  1. ^ Weisstein, Eric W. "Union". Wolfram's Mathworld. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2009-02-07. Diakses tanggal 2009-07-14. 
  2. ^ "Set Operations | Union | Intersection | Complement | Difference | Mutually Exclusive | Partitions | De Morgan's Law | Distributive Law | Cartesian Product". www.probabilitycourse.com. Diakses tanggal 2020-09-05. 
  3. ^ Vereshchagin, Nikolai Konstantinovich; Shen, Alexander (2002-01-01). Basic Set Theory (dalam bahasa Inggris). American Mathematical Soc. ISBN 9780821827314. 
  4. ^ deHaan, Lex; Koppelaars, Toon (2007-10-25). Applied Mathematics for Database Professionals (dalam bahasa Inggris). Apress. ISBN 9781430203483. 
  5. ^ Halmos, P. R. (2013-11-27). Naive Set Theory (dalam bahasa Inggris). Springer Science & Business Media. ISBN 9781475716450. 
  6. ^ "Set Operations | Union | Intersection | Complement | Difference | Mutually Exclusive | Partitions | De Morgan's Law | Distributive Law | Cartesian Product". www.probabilitycourse.com. Diakses tanggal 2020-09-05. 
  7. ^ Dasgupta, Abhijit (2013-12-11). Set Theory: With an Introduction to Real Point Sets (dalam bahasa Inggris). Springer Science & Business Media. ISBN 9781461488545. 
  8. ^ "Finite Union of Finite Sets is Finite - ProofWiki". proofwiki.org. Diarsipkan dari versi asli tanggal 11 September 2014. Diakses tanggal 29 April 2018. 
  9. ^ Smith, Douglas; Eggen, Maurice; Andre, Richard St (2014-08-01). A Transition to Advanced Mathematics (dalam bahasa Inggris). Cengage Learning. ISBN 9781285463261. 
  10. ^ "Comprehensive List of Set Theory Symbols". Math Vault (dalam bahasa Inggris). 2020-04-11. Diakses tanggal 2020-09-05. 
  11. ^ Smith, Douglas; Eggen, Maurice; Andre, Richard St (2014-08-01). A Transition to Advanced Mathematics (dalam bahasa Inggris). Cengage Learning. ISBN 9781285463261. 

Pranala luarSunting