Gabungan (teori himpunan)

himpunan dari semua anggota dari kumpulan tersebut

Dalam teori himpunan, gabungan (bahasa Inggris: union) dari koleksi himpunan adalah himpunan semua anggota dalam koleksi.[1] Gabungan merupakan salah satu operasi dasar, yang dapat menggabungkan atau mengaitkan anggota himpunan ke anggota himpunan lain. Gabungan dilambangkan dengan ∪.

Gabungan dari dua himpunan

Untuk penjelasan tentang penggunaan simbol lebih lanjut, lihat tabel dari simbol matematika

Gabungan dari dua himpunanSunting

Gabungan dari himpunan   dan   adalah himpunan anggota yang berada di  , atau  , atau bahkan kedua-duanya.[2] Gabungan dari dua himpunan tersebut dituliskan dalam notasi ungkapan himpunan.[3]

 
Sebagai contoh, jika   dan  , maka  . Contoh yang lebih rumit (meliputi dua himpunan tak terhingga) adalahː
 
 
 

Contoh lainnya, 9 tidak termasuk dalam gabungan dari himpunan bilangan prima   dan juga himpunan dari bilangan genap  , sebab 9 bukanlah bilangan prima ataupun bilangan genap.

Himpunan tidak mempunyai anggota identik yang muncul lebih dari satu kali,[3] karena itu gabungan dari   dan   adalah  . Banyaknya kemunculan anggota yang identik tersebut tidak mempengaruhi kardinalitas himpunan ataupun isi himpunannya.

Sifat aljabarSunting

Gabungan biner adalah operasi asosiatif. Hal ini berarti bahwa untuk setiap himpunan  ,  , dan  , berlaku

 

Pada rumus di atas, tanda kurung dapat dihilangkan dalam rangka untuk menghindari keambiguan, sehingga dapat ditulis juga sebagai  . Gabungan merupakan operasi komutatif, sehingga himpunan bisa ditulis dalam setiap urutan.[4] Himpunan kosong adalah anggota identitas untuk operasi gabungan, dalam artian bahwa  , untuk setiap himpunan  . Secara analogi, semua sifat-sifat tersebut diikuti dari logika disjungsi.

Adapun sifat aljabar lainnya, yakni irisan distribusi atas gabungan

 
dan gabungan distribusi atas irisan[5]
 
Himpunan kuasa dari himpunan  , beserta operasi-operasinya, seperti gabungan, irisan, dan komplemen, merupakan aljabar Boole. Dalam aljabar Boole, gabungan dapat dinyatakan dengan rumus yang mengandung operasi irisan dan komplemen.
 
dengan superskrip C melambangkan komplemen dalam himpunan semesta  .

Gabungan terhinggaSunting

 
Gabungan dari tiga himpunan 

Beberapa himpunan dapat diambil secara serentak. Sebagai contoh, gabungan dari tiga himpunan  ,  , dan   mengandung semua anggota dari  , semua anggota dari  , dan semua anggota dari  , dan tidak ada lagi. Dengan demikian,   adalah anggota dari   jika dan hanya jika   setidaknya ada di dalam salah satu himpunan  ,  , dan  .

Gabungan terhingga adalah gabungan dari jumlah terbatas pada himpunan-himpunan; ungkapan tidak menyiratkan bahwa gabungan himpunan adalah himpunan terbatas.[6][7]

Gabungan sebarangSunting

Gagasan yang paling umum adalah gabungan dari koleksi himpunan sebarang, yang kadangkala disebut gabungan tak terhingga. Jika   adalah himpunan atau kelas yang anggotanya ada di himpunan, maka   adalah gabungan dari   jika dan hanya jika setidaknya ada satu anggota   dari   sehingga   anggota dari  .[8] Ini dapat ditulis dengan menggunakan simbol

 
Gagasan ini menggolongkan bagian sebelumnya, sebagai contoh,   adalah gabungan dari koleksi  . Juga, jika   adalah koleksi kosong, maka gabungan dari   adalah himpunan kosong

NotasiSunting

Notasi untuk konsep yang umum sangat bervariasi. Untuk gabungan terhingga dari himpunan  , acapkali ditulis sebagai   atau

 
Terdapat bermacam-macam notasi untuk gabungan sembarang, seperti  ,  , atau  , yang mengacu pada gabungan dari koleksi  , dengan   adalah himpunan indeks, dan   adalah himpunan untuk  . Terdapat sebuah kasus bahwa untuk himpunan indeks   yang merupakan himpunan bilangan asli, dapat menggunakan notasi
 
yang mirip seperti jumlah tak terhingga dalam deret.[8]

Lihat pulaSunting

CatatanSunting

  1. ^ Weisstein, Eric W. "Union". Wolfram's Mathworld. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2009-02-07. Diakses tanggal 2009-07-14. 
  2. ^ Hernadi, Julan (2017). Fondasi Matematika dan Metode Pembuktian. Ponorogo: Penerbit UMPO Press. 
  3. ^ a b Vereshchagin, Nikolai Konstantinovich; Shen, Alexander (2002-01-01). Basic Set Theory (dalam bahasa Inggris). American Mathematical Soc. ISBN 9780821827314. 
  4. ^ Halmos, P. R. (2013-11-27). Naive Set Theory (dalam bahasa Inggris). Springer Science & Business Media. ISBN 9781475716450. 
  5. ^ "Set Operations | Union | Intersection | Complement | Difference | Mutually Exclusive | Partitions | De Morgan's Law | Distributive Law | Cartesian Product". www.probabilitycourse.com. Diakses tanggal 2020-09-05. 
  6. ^ Dasgupta, Abhijit (2013-12-11). Set Theory: With an Introduction to Real Point Sets (dalam bahasa Inggris). Springer Science & Business Media. ISBN 9781461488545. 
  7. ^ "Finite Union of Finite Sets is Finite - ProofWiki". proofwiki.org. Diarsipkan dari versi asli tanggal 11 September 2014. Diakses tanggal 29 April 2018. 
  8. ^ a b Smith, Douglas; Eggen, Maurice; Andre, Richard St (2014-08-01). A Transition to Advanced Mathematics (dalam bahasa Inggris). Cengage Learning. ISBN 9781285463261. 

Pranala luarSunting