Sifat asosiatif

properti operasi biner yang memungkinkan urutan operasi untuk dikelompokkan kembali tanpa mengubah nilainya

Templat:Kaidah transformasi

Dalam matematika, sifat asosiatif[1] adalah sifat dari beberapa operasi biner, yang berarti bahwa mengatur ulang tanda kurung dalam ekspresi yang tidak mengubah hasilnya. Dalam logika proposisional, asosiativitas adalah valid kaidah penggantian untuk ekspresi dalam bukti logika.

Dalam ekspresi dengan dua atau lebih dari satu baris dari operasi asosiatif, urutan operasi untuk urutan operand yang tidak berubah. Artinya, menata ulang tanda kurung dalam ekspresi tersebut tidak akan mengubah nilainya. Perhatikan persamaan berikut:

Meskipun tanda kurung diatur ulang pada setiap baris, nilai ekspresi tersebut tidak diubah. Karena penjumlahan dan perkalian terdapat pada bilangan riil, maka dikatakan bahwa "penjumlahan dan perkalian bilangan riil adalah operasi asosiatif".

Asosiatif berbeda dengan komutativitas, dengan urutan dua operan memengaruhi hasil. Misalnya, urutan tidak menjadi masalah dalam perkalian bilangan riil, yaitu a × b = b × a, jadi perkalian bilangan riil adalah operasi komutatif.

Operasi asosiatif dalam matematika; pada kenyataannya, banyak struktur aljabar (yaitu semigrup dan kategori) secara eksplisit membutuhkan operasi biner untuk menjadi asosiatif.

Namun, terdapat operasi yang bukan asosiatif yaitu non-asosiatif; beberapa contoh termasuk pengurangan, eksponen, dan perkalian silang vektor. Berbeda dengan sifat teoritis bilangan riil, penambahan bilangan titik pengambangan dalam ilmu komputer yang tidak bersifat asosiatif, dan pilihan cara mengaitkan ekspresi dapat berpengaruh signifikan pada kesalahan pembulatan.

DefinisiSunting

 
Sebuah operasi biner ∗ pada himpunan   asosiatif ketika diagram ini komutatif. Artinya, ketika dua jalur dari   ke komposisi   menadi fungsi yang sama dari   ke  .

Secara formal, sebuah operasi biner   pada sebuah himpunan   disebut asosiatif jika memenuhi hukum asosiatif.

 , untuk semua   dalam  

Disini   digunakan untuk menggantikan simbol operasi, yang mungkin merupakan simbol apapun, dan meskipun ketiadaan dari simbol (penjajaran) sebagai untuk perkalian.

 , untuk semua   dalam  .

Hukum asosiatif bisa juga diekspresikan dalam notasi fungsional jadiː  .

Hukum asosiatif yang digeneralisasikanSunting

 
Dalam ketiadaan dari sifat asosiatif, kelima faktor   menghasilkan sebuah kisi Tamari urutan keempat, produk yang mungkin berbeda.

Jika sebuah operasi biner adalah asosiatif, penerapan berulang dari operasi menghasilkan hasil yang sama terlepas dan bagaimana pasangan tanda kurung yang sah disisipkan dalam ekspresi.[2] Ini disebut hukum asosiatif yang digeneralisasi. Misalnya, sebuah porduk fari empat anggota bisa ditulis bisa ditulis, tanpa menggantikan urutan dari faktor-faktor, dalam lima kemungkinanː

 
 
 
 
 

Jika operasi produk adalah asosiatif, hukum asosiatif yang digeneralisasi mengatakan bahwa semua rumus-rumus ini akan menghasilkan hasil yang sama. Jadi kecuali rumus dengan tanda kurung yang dihilangkan sudah memiliki sebuah arti yang berbeda (lihat bawah), tanda kurung bisa dianggap tidak perlu dan produk"nya" bisa ditulis dengan jelas sebagaiː

 

Sebagai bilangan dari anggota-anggota meningkat, bilangan dari kemungkinan cara untuk memasukkan tanda kurung tumbuh dengan cepat, tetapi tidak perlu untuk disambiguasi.

Sebuah contoh di mana tidak bekerja adalah bikondisional logis  . Ini adalah asosiatif, demikian   ekuivalen dengan  , namun   paling umum mengartikan (  dan  ), yang tidak ekuivalen

ContohSunting

 
Dalam operasi-operasi asosiatif adalah  .
 
Penjumlahan dari bilangan real adalah asosiatif.

Beberapa contoh dari operasi-operasi asosiatif termasuk yang berikut ini.

  • Penggabungan dari tiga rangkaian "hello", " ", "world" bisa dihitung oleh penggabungan dua rangkaian pertama (diberikan "hello ") dan menambhakan rangkaian ketiga ("world"), atau dengan menggabungkan rangkaian kedua atau ketiga (diberikan " world") dan menggabungkan rangkaian pertama ("hello") dengan hasilnya. Keuda metodenya menghasilkan hasil yang sama, penggabungan rangkaian adalah asosiatig (tetapi bukan komutatif).
  • Dalam aritmetika, penjumlahan dan perkalian dari bilangan real adalah asosiatif, yaitu,
 
Karena asosiatif, pengelompokan tanda kurung bisa dihilangkan tanpa kemenduaan.
  • Operasi biasa   (artinya, hasilnya adalah argumen pertama, tidak peduli apa argumen keduanya) adalah asosiatif, tetapi bukan komutatif. Demikian juga, operasi trivial   (artinya, hasilnya adalah argumen kedua, tidak peduli apa argumen kepertamanya) adalah asosiatif, tetapi bukan komutatif.
  • Penjumlahan dan peralian dari bilangan kompleks dan kuaternion adalah asosiatif. Penjumlahan dari oktonion juga asosiatif, tetapi perkalian dari oktonion adalah tidak asosiatif.
  • Fungsi faktor persekutuan terbesar dan kelipatan persekutuan terkecil bersifat secara asosiatif.
 
 
  • Jika   adalah beberapa himpunan dan   melambangkan himpunan dari semua fungsi dari   ke  , maka operasi dari komposisi fungsi pada   adalah asosiatifː
 
  • Sedikit lebih umum, diberikan empat himpunan  ,  ,  , dan  , dengan  ː   ke  , ː   ke  , dan  ː   ke  , makaː
 
seperti sebelumnya. Pendeknya, komposisi dari peta selalu asosiatif.
  • Tinjaulah sebuah himpunan dengan tiga anggota,  ,  , dan  . Operasi berikut iniː
× A B C
A A A A
B A B C
C A A A
asosiatif. Demikian, sebagai contoh,  . Operasi ini tidak komutatif.

Logika proposisionalSunting

Aturan penggantianSunting

Dalam logika proposisional kebenaran fungsional standar, asosiasi,[4][5] atau asosiatif[6] adalah dua aturan penggantian yang sah. Peraturannya memungkinkan salah satunya untuk memindahkan tanda kurung dalam ekspresi logis dalam bukti logis. Aturan (menggunakan notasi penghubung logis adalahː

 

dan

 

dimana " " adalah simbol metalogis mewakili "bisa menggantikan dalam sebuah bukti dengan."

Penghubung fungsional kebenaranSunting

Asosiatif adalah sebuah sifat dari beberapa penghubung logis. Kesetaraan logis berikut mendemonstrasikan bahwa asosiatif adalah sebuah sifat dari penghubung tertentu. Berikut ini adalah tautologi fungsional kebenaran.[7]

Asosiatif dari disjungsi

 
 

Asosatif dari konjungsi

 
 

Asosatif dari kesetaraan

 
 

Penolakan bersama adalah sebuah contoh dari sebuah penghubung fungsional kebenaran yang bukan asosiatif.

Operasi non-asosiatifSunting

Sebuah operasi biner   pada sebuah himpunan   yang tidak memenuhi hukum asosiatif disebut non-asosiatif. Secara simbolis,

Untuk sebuah operasi, urutan dari evaluasi itu penting. Sebagai contohː

 
 

Juga perhatikan bahwa penjumlahan tak terbatas umumnya tidak asosatif, sebagai contohː

dimana

Studi tentang struktur-struktur non-asosiatif muncul dari alasan-alasan agak berbeda dari arus utama dari aljabar klasik. Satu area dalam aljabar non-asosiatif yang tumbuh sangat besar adalah aljabar Lie. Disana hukum asosiatif dignatikan oleh identitas Jacobi. Aljabar Lie meringkaskan alami esensial dari transformasi infinitesimal, dan telah menjadi di mana-mana dalam matematika.

Terdapat jenis-jenis tertentu lainnya yang telah dipelajari secara mendalam; ini cenderung berasal dari beberapa penerapan yang spesifik atau bidang-bidang seperti matematika kombinatorial. Contoh lainnya adalah kuasigrup, kuasibidang, gelanggang non-asosiatif, aljabar non-asosiatif dan magma non-asosiatif komutatif.

Nonasosiatif dari perhitungan titik mengambangSunting

Dalam matematika, penjumlahan dan perkalian dari bilangan real adalah asosiatif. Sebaliknya, dalam ilmu komputer, penjumlahan dan perkalian dari bilangan titik mengambang tidak asosiatif, sebagai galat pembulatan diperkenalkan ketika nilai-nilai berukuran berbeda digabungkan berbeda.[8]

Untuk mengilustrasikan ini, tinjaulah sebuah representasi titik mengambang dengan sebuah mantissa 4-bit.

(1.0002×20 + 1.0002×20) + 1.0002×24 = 1.0002×21 + 1.0002×24 = 1.0012×24

1.0002×20 + (1.0002×20 + 1.0002×24) = 1.0002×20 + 1.0002×24 = 1.0002×24

Meskipun sebagian besar komputer-komputer menghitung dengan 24 atau 53 bit mantissa,[9] ini adalah sumber yang penting dari galat pembulatan, dan mendekati seperti algoritma penjumlahan Kahan adalah cara untuk memperkecil galat-galatnya. Itu bisa sangat berpengalaman dlam komputer paralel.[10][11]

Notasi untuk operasi-operasi non-asosiastifSunting

Secara umum, tanda kurung pasti digunakan untuk menunjukkan urutan evaluasi jika sebuah operasi non-asosiatif muncul lebih dari satu dalam sebuah ekspresi (kecuali notasinya menentukan urutannya dengan cara lain, seperti  ). Namun, matematikawan setuju pada sebuah urutan evaluasi tertentu untuk beberapa umum operasi non-asosiatif. Ini meyederhanakan sebuah konvensi notasi untuk menghindari tanda kurung.

Sebuah operasi asosiatif kiri adalah operasi non-asosiatif yang secara konvensional dievaluasikan dari kiri ke kanan, yaitu,

 

sedangkan sebuah operasi asosiatif kanan secara konvensional dievaluasikan dari kanan ke kiri.

 

Kedua operasi asosiatif kiri dan asosiatif kanan terjadi. Operasi asosiatif kiri termasuk yang berikut ini.

 
Notasi ini bisa dimotivasi dengan currying isomorfisme.

Operasi asosiatif kanan termasuk yang berikut ini.

 
Eksponensiasi biasanya digunakan dengan tanda kurung atau asosatif kanan karena sebuah operasi eksponensiasi asosiatif kiri yang berulang tidak banyak digunakan. Pangkat berulang sering ditulis ulang dengan perkalian
 
Diformat dengan benar, supeskrip secara inheren berperilaku sebagai sebuah himpunan dari tanda kurung; misalnya, dalam ekspresi  , penjumlahan dilkaukan sebelum eksponensiasi meskipun tidak ada tanda kurung eksplisit   melilitnya. Demikian diberikan sebuah ekspresi seperti  , eksponen penuh   dari dasar   dievaluasikan pertama. Namun, dalam beberapa konteks, termasuk tulis tangan, perbedaan antara  ,   dan   bisa jadi sulit untuk dilihat. Dalam kasus seperti itu, asosiatif kanan biasanya tersirat.
Menggunakan notasi asosiatif kanan untuk operasi-operasi ini bisa dimotivasi oleh korespondensi Curry-Howard dan dengan currying isomorfisme.

Operasi non-asosiatif untuk yang urutan evaluasi yang tidak konvensional didefinisikan termasuk sebagai berikut.

  • Eksponensiasi dari bilangan real dalam notasi infiks.[17]
 
 
 
 
  • Mengambil komplemen relatif dari himpunan   tidak sama dengan  . (Membandingkan nonimplikasi material dalam logika.)

Lihat pulaSunting

ReferensiSunting

  1. ^ Hungerford, Thomas W. (1974). Algebra (edisi ke-1st). Springer. hlm. 24. ISBN 978-0387905181. Definisi 1.1 (i)a (bc) = (ab) c untuk semua a, b, c dalam G. 
  2. ^ Durbin, John R. (1992). Modern Algebra: an Introduction (edisi ke-3rd). New York: Wiley. hlm. 78. ISBN 978-0-471-51001-7. If   are elements of a set with an associative operation, then the product   is unambiguous; this is, the same element will be obtained regardless of how parentheses are inserted in the product 
  3. ^ "Matrix product associativity". Khan Academy. Diakses tanggal 5 June 2016. 
  4. ^ Moore, Brooke Noel; Parker, Richard (2017). Critical Thinking (12th edition). New York: McGraw-Hill Education. hlm. 321. ISBN 9781259690877. 
  5. ^ Copi, Irving M.; Cohen, Carl; McMahon, Kenneth (2014). Introduction to Logic (14th edition). Essex: Pearson Education. hlm. 387. ISBN 9781292024820. 
  6. ^ Hurley, Patrick J.; Watson, Lori (2016). A Concise Introduction to Logic (13th edition). Boston: Cengage Learning. hlm. 427. ISBN 9781305958098. 
  7. ^ "Symbolic Logic Proof of Associativity". Math.stackexchange.com. 22 March 2017. 
  8. ^ Knuth, Donald, The Art of Computer Programming, Volume 3, section 4.2.2
  9. ^ IEEE Computer Society (29 August 2008). IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic. doi:10.1109/IEEESTD.2008.4610935. ISBN 978-0-7381-5753-5. IEEE Std 754-2008. 
  10. ^ Villa, Oreste; Chavarría-mir, Daniel; Gurumoorthi, Vidhya; Márquez, Andrés; Krishnamoorthy, Sriram, Effects of Floating-Point non-Associativity on Numerical Computations on Massively Multithreaded Systems (PDF), diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 15 February 2013, diakses tanggal 8 April 2014 
  11. ^ Goldberg, David (March 1991). "What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic". ACM Computing Surveys. 23 (1): 5–48. doi:10.1145/103162.103163. Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2016-04-06. Diakses tanggal 20 January 2016. (,)
  12. ^ George Mark Bergman: Order of arithmetic operations
  13. ^ Education Place: The Order of Operations Diarsipkan 2017-06-08 di Wayback Machine.
  14. ^ Khan Academy: The Order of Operations, timestamp 5m40s
  15. ^ Virginia Department of Education: Using Order of Operations and Exploring Properties, section 9
  16. ^ Bronstein: de:Taschenbuch der Mathematik, pages 115-120, chapter: 2.4.1.1, ISBN 978-3-8085-5673-3
  17. ^ Exponentiation Associativity and Standard Math Notation Codeplea. 23 August 2016. Retrieved 20 September 2016.