Turunan

Artikel ini berisi uraian tentang istilah yang digunakan dalam kalkulus. Untuk ulasan teknis, baca artikel kalkulus diferensial. Untuk kegunaan lainnya, baca artikel Turunan (disambiguasi).

Turunan atau Derivatif dalam ilmu kalkulus merupakan pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai masukan. Secara umum, turunan menyatakan bagaimana suatu fungsi berubah akibat perubahan variabel; contohnya, turunan dari posisi sebuah benda bergerak terhadap waktu adalah kecepatan sesaat objek tersebut.

Grafik fungsi (warna hitam) dan garis tangen pada fungsi (warna merah). Kemiringan dari garis tangen sama dengan turunan fungsi pada titik tersebut.

Proses dalam menemukan turunan disebut diferensiasi. Kebalikan dari turunan disebut dengan antiturunan. Teorema fundamental kalkulus mengatakan bahwa antiturunan sama dengan integrasi. Turunan dan integral adalah operasi dasar dalam kalkulus.

Notasi turunan

Notasi untuk diferensiasi yang umum digunakan untuk menunjukan turunan adalah notasi Newton dan Leibniz.

Notasi Newton untuk turunan

• $y'$ adalah notasi untuk turunan pertama.
• $y''$ adalah notasi untuk turunan kedua.
• $f^{(n)}$ adalah notasi untuk turunan ke-n.
• $f^{(n)}(a)$ adalah notasi untuk nilai fungsi turunan ke-n pada $a$.

Notasi Leibniz untuk turunan

• ${\frac {dy}{dx}}\,$ adalah notasi untuk turunan pertama.
• ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,$adalah notasi untuk turunan kedua.
• ${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}$adalah notasi untuk turunan ke-n.
• $\left.{\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}\right|_{x=a}$adalah notasi untuk nilai fungsi turunan ke - n pada $a$.

Selain kedua notasi tersebut terdapat notasi lain untuk turunan. Notasi lain yang sering digunakan pada Mekanika klasik adalah

${\dot {x}}$ dengan satu titik diatas fungsi menandakan bahwa turunan pertama terhadap waktu (${\frac {d}{dt}}$), dan ${\ddot {x}}$ dua titik untuk turunan kedua terhadap waktu (${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}$).

Notasi Libiniz

dy

dx

d ²y

dx²

Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646 - 1716), filsuf Jerman, matematikawan, dan nama notasi matematika yang paling luas digunakan dalam kalkulus.

Dalam kalkulus, notasi Leibniz, dinamakan untuk menghormati filsuf dan matematikawan Jerman abad ke-17 Gottfried Leibniz, menggunakan simbol dx dan dy untuk melambangkan pertambahan "kecil takhingga" (atau infinitesimal) dari x dan y, sebagaimana Δx dan Δy melambangkan pertambahan hingga dari x dan y. Untuk y sebagai fungsi dari x

$y=f(x)\,,$

turunan y terhadap x, yang kemudian dipandang sebagai

$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}},$

adalah, menurut Leibniz, hasil bagi dari pertambahan kecil takhingga dari y oleh pertambahan kecil takhingga x, atau

${\frac {dy}{dx}}=f'(x),$

dengan ruas kanan adalah notasi Lagrange untuk turunan f di x.

Meskipun sekarang matematikawan memandang integral

$\int f(x)\,dx$

sebagai limit

$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\sum _{i}f(x_{i})\,\Delta x,$

dengan Δx adalah selang yang mengandung x_i, Leibniz memandangnya sebagai jumlahan (lambang integral menandakan penjumlahan) kuantitas infinitesimal yang banyaknya takhingga f(x) dx.

Salah satu kelebihan sudut pandang Leibniz adalah kesesuaiannya dengan analisis dimensi. Sebagai contoh, dalam notasi Leibniz, turunan kedua (menggunakan penurunan implisit) adalah

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=f''(x)$

dan memiliki satuan dimensi yang sama dengan ${\frac {y}{x^{2}}}$.

Turunan umum

Diferensiasi

Kemiringan fungsi linear $m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}$

Dalam hal ini, y = f ( x ) = mx + b, untuk bilangan riil m dan b dan kemiringan m diberikan oleh

$m={\frac {{\text{mengalih pada }}y}{{\text{mengalih pada }}x}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}},$

Apa itu simbol ∆ adalah singkatan untuk perubahan. $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$

Rumus di atas berlaku karena

${\begin{aligned}y+\Delta y&=f\left(x+\Delta x\right)\\&=m\left(x+\Delta x\right)+b=mx+m\Delta x+b\\&=y+m\Delta x.\end{aligned}}$

Hasilnya adalah

$\Delta y=m\Delta x.$

Nilai tersebut memberikan untuk kemiringan garis.

Nilai perubahan sebagai nilai limit

Gambar 2. The secant to curve y= f(x) determined by points (x, f(x)) and (x + h, f(x + h))

Figure 3. Garis singgung sebagai batas garis potong

Gambar 4. Ilustrasi animasi: garis singgung (turunan) sebagai batas garis potong

Sifat - sifat turunan

Linearitas

• ${\frac {d}{dx}}(u+v)=u'+v'\,$
• ${\frac {d}{dx}}(nu)=n{\frac {du}{dx}}\,$

Aturan produk

• ${\frac {d}{dx}}(uv)=u'v+uv'\,$

Dalil rantai

• ${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {dv}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}\,$

Sifat umum lain

• ${\frac {d}{dx}}({\frac {u}{v}})={\frac {u'v-uv'}{v^{2}}}\,$
• ${\frac {d}{dx}}(x^{n})=nx^{n-1}\,$
• ${\frac {d}{dx}}(u^{n})=nu^{n-1}\cdot {\frac {du}{dx}}$

Dimana fungsi $u$ dan $v$ adalah fungsi satu variabel $x$.

Eksponen dan bilangan natural

• ${\frac {d}{dx}}(e^{x})=e^{x}\,$
• ${\frac {d}{dx}}(a^{x})=a^{x}\ln {a}\,$

Logaritma dan bilangan natural

• ${\frac {d}{dx}}(\ln {x})={\frac {1}{x}}\,$
• ${\frac {d}{dx}}(\log _{a}{x})={\frac {1}{x\ln {a}}}\,$

Trigonometri

• ${\frac {d}{dx}}(\sin {x})=\cos {x}\,$
• ${\frac {d}{dx}}(\cos {x})=-\sin {x}\,$
• ${\frac {d}{dx}}(\tan {x})=\sec ^{2}{x}\,$
• ${\frac {d}{dx}}(\cot {x})=-\csc ^{2}{x}\,$
• ${\frac {d}{dx}}(\sec {x})=\sec {x}\tan {x}\,$
• ${\frac {d}{dx}}(\csc {x})=-\csc {x}\cot {x}\,$

Invers

• ${\frac {d}{dx}}(\arcsin x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

• ${\frac {d}{dx}}(\arccos x)={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
• ${\frac {d}{dx}}(\arctan x)={\frac {1}{1+x^{2}}}$
• ${\frac {d}{dx}}(\operatorname {arccot} x)={\frac {-1}{1+x^{2}}}$
• ${\frac {d}{dx}}(\operatorname {arcsec} x)={\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
• ${\frac {d}{dx}}(\operatorname {arccsc} x)={\frac {-1}{x{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

Hiperbolik

• ${\frac {d}{dx}}(\sinh {x})=\cosh {x}\,$

• ${\frac {d}{dx}}(\cosh {x})=\sinh {x}\,$

• ${\frac {d}{dx}}(\tanh {x})={\text{sech}}^{2}\,{x}\,$
• ${\frac {d}{dx}}(\coth {x})=-{\text{csch}}^{2}{x}\,$
• ${\frac {d}{dx}}({\text{sech}}\,{x})={\text{sech}}\,{x}\tanh {x}$
• ${\frac {d}{dx}}{{\text{csch}}\,{x}}=-{\text{csch}}\,{x}\coth {x}$

Contoh soal dalam aplikasi turunan

NB

hasil nilai turunan pada maksimum/terbesar atau minimum/terkecil dianggap nol agar tercapai.

• Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva $y=x^{3}+2x^{2}-5x$ di titik $(1,-2)$!

$y=x^{3}+2x^{2}-5x$

$m=y'=3x^{2}+4x-5$

masukkan x = 1 untuk menentukan nilai m

$m=y'=3(1)^{2}+4(1)-5=2$

persamaan garis singgung dengan gradien 2 dan melalui titik (1,-2)

$y-y_{1}=m(x-x_{1})$

$y-(-2)=2(x-1)$

$y=2x-4$

• Tentukan persamaan garis yang tegak lurus dengan kurva $y=x^{3}+2x^{2}-5x$ di titik $(1,-2)$!

$y=x^{3}+2x^{2}-5x$

$m=y'=3x^{2}+4x-5$

masukkan x = 1 untuk menentukan nilai m

$m=y'=3(1)^{2}+4(1)-5=2$

karena tegak lurus maka nilai m_t

$m_{t}=-{\frac {1}{m}}$

$m_{t}=-{\frac {1}{2}}$

persamaan garis singgung dengan gradien 2 dan melalui titik (1,-2)

$y-y_{1}=m_{t}(x-x_{1})$

$y-(-2)=-{\frac {1}{2}}(x-1)$

$2(y+2)=-x+1$

$2y+4=-x+1$

$2y=-x-3$

• Suatu proyek pembangunan gedung sekolah dapat diselesaikan dalam x hari dengan biaya proyek per hari $3x-900+{\frac {120}{x}}$ ratus ribu rupiah. Berapa hari agar biaya minimum maka proyek tersebut diselesaikan?

biaya dalam 1 hari $B(1)=3x-900+{\frac {120}{x}}$

biaya dalam x hari $B(x)=x(3x-900+{\frac {120}{x}})$

$B(x)=3x^{2}-900x+120$

biaya minimum tercapai saat turunannya = 0

$B'(x)=0$

$B'(x)=6x-900=0$

$6x=900$

$x=150$ hari

• Suatu perusahaan menghasilkan x produk dengan biaya total sebesar $75+2x+0,1x^{2}$ ribu rupiah. Jika semua produk perusahaan terjual dengan harga Rp40,000 untuk setiap produknya. Berapa laba maksimum yang diperolehnya?

laba = total penjualan - total biaya

laba $L(x)=40x-(75+2x+0,1x^{2})$

$L(x)=-75+38x-0,1x^{2}$

laba maksimum tercapai saat turunannya = 0

$L'(x)=0$

$L'(x)=38-0,2x=0$

$0,2x=38$

$x=190$

$L(190)=-75+38(190)-0,1(190)^{2}$

$L(190)=-75+7,220-3,610$

$L(190)=3,535$ ribu rupiah

• Jumlah dari bilangan pertama dan bilangan kedua kuadrat adalah 75. Berapa nilai terbesar dari hasil kali?

Misalkan: bilangan pertama = x dan bilangan kedua = y

$x+y^{2}=75$

$x=75-y^{2}$

hasil kali: $f(y)=x\cdot y$

$f(y)=(75-y^{2})\cdot y$

$f(y)=75y-y^{3}$

nilai terbesar dari hasil kali tercapai saat turunannya = 0

$f'(y)=0$

$f'(y)=75-3y^{2}=0$

$3y^{2}=75$

$y^{2}=25$

$y_{1}=5atauy_{2}=-5$

karena nilai terbesar maka terambil y = 5, kita cari x

$x=75-(5)^{2}$

$x=50$

nilai terbesar hasil kali: $50\cdot 5=250$

Lihat pula

• Integral
• Persamaan diferensial
• Tabel turunan
• Turunan parsial