Komposisi fungsi

sebuah operasi yang mengambil dua fungsi f dan g dan menghasilkan sebuah fungsi h(x)=g(f(x))

Dalam matematika, komposisi fungsi adalah sebuah operasi yang mengambil dua fungsi dan dan menghasilkan sebuah fungsi seperti . Dalam operasi ini, fungsi diterapkan dalam hasil penerapan fungsi ke . Artinya, fungsi dan dikomposisikan untuk menghasilkan sebuah fungsi yang memetakan dalam ke dalam .

Secara intuitif, jika adalah sebuah fungsi , dan adalah fungsi , maka adalah sebuah fungsi . Hasil fungsi komposisi dilambangkan , didefinisikan sebagai untuk semua dalam . Notasi dibaca sebagai " lingkaran ", " bundar ", " di sekitar ", dikomposisi dengan ", " setelah ", mengikuti ", " dari ", " kemudian ", atau " pada ". Secara intuitif, mengomposisikan fungsi-fungsi adalah sebuah proses perangkaian yang hasil fungsi memasukkan fungsi

Komposisi fungsi adalah sebuah kasus spesial dari komposisi hubungan, juga terkadang juga dilambangkan dengan .[1] Akibatnya, semua sifat-sifat komposisi hubungan adalah benar untuk komposisi fungsi, meskipun komposisi fungsi memiliki beberapa sifat-sifat tambahan.

Komposisi fungsi berbeda dari perkalian fungsi, dan sudah memiliki sifat-sifat yang sangat berbeda,[2] secara khusus, komposisi fungsi tidak komutatif.

ContohSunting

 
Contoh konkret untuk komposisi dua fungsi
  • Komposisi fungsi pada sebuah himpunan terbatasː Jika  , dan  , maka  , seperti yang ditunjukkan pada gambar.
  • Komposisi fungsi pada sebuah himpunan tak terbatasː Jika   (dimana   adalah himpunan dari semua bilangan real) diberikan oleh   dan   diberikan oleh  

  dan  .

  • Jika sebuah ketinggian pesawat terbang pada waktu   adalah   dan tekanan udara pada ketinggian   adalah  , maka   adalah tekanan di sekitar pesawat pada waktu  .

Sifat-sifatSunting

Komposisi fungsi selalu asosiatif—sebuah sifat yang diwariskan dari komposisi hubungan. Artinya, jika  ,  , dan   dapat dikomposisikan, maka  .[3] Karena tanda kurung tidak mengubah hasilnya, maka secara umum akan dihilangkan.

Monoid komposisiSunting

Misalkan salah satu memiliki dua (atau lebih) fungsi  ,   memiliki domain dan kodomain yang sama, ini sering disebut transformasi. Maka salah satunya membentuk rantai transformasi yang dikomposisi bersama, seperti  . Rantainya memiliki struktur aljabar dari sebuah monoid, disebut monoid komposisi. Secara umum, monoid transformasi dapat memiliki struktur yang sangat rumit. Satu contoh penting adalah kurva de Rham. Himpunan semua fungsi   disebut semigrup transformasi penuh atau semigrup simetris pada   (Salah satunya benar-benar mendefinisikan dua semifrup bergantung bagaimana salah satu mendefinsikan operasi semigrup sebagai komposisi kiri atau kanan fungsi.)

 
Kesamaan yang mengubah segitiga   menjadi segitiga   adalah komposisi dari sebuah homoteti   dan sebuah rotasi  , yang mana pusat umum nya adalah  . Sebagai contoh, gambar   di bawah rotasi   adalah  , yang dapat ditulis  . Dan   berarti bahwa pemetaan   mengubah   menjadi  . Demikian,  .

Jika transformasi adalah bijektif (dan demikian dapat dibalik), maka himpunan semua kemungkinan kombinasi dari fungsi-fungsi ini membentuk sebuah grup transformasi, dan salah satunya mengatakan bahwa grupnya dihasilkan oleh fungsi-fungsi ini. Sebuah hasil fundamental dalam teori grup, teorema Cayley, pada dasarnya mengatakan bahwa setiap grup sebenarnya hanya sebuah subgrup dari sebuah grup permutasi (sampai isomorfisme)

Himpunan dari semua fungsi bijektif   (disebut permutasi) membentuk sebuah grup terhadap komposisi fungsi. Ini adalah grup simetris, juga terkadang disebut grup komposisi.

Dalam semigrup simetris (semua transformasi) salah satunya juga menemukan yang lebih lemah, gagasan tidak unik tentang invers (disebut pseudoinvers) karena semigrup simetris adalah sebuah semigrup reguler.

Pangkat fungsionalSunting

Jika  , maka   dapat mengomposisikan dirinya sendiri, ini terkadang dilambangkan sebagai  . Yakniː

 

 

 

Lebih umum lagi, untuk setiap bilangan asli  , pangkat fungsional ke   bisa didefinisika secara induktif oleh  , sebuah notasi yang diperkenalkan oleh Hans Heinrich Bürmann[butuh rujukan] dan John Frederick William Herschel. Komposisi berulang dari seperti sebuah fungsi dengan sendirinya disebuah fungsi berulang.

  • Dengan ketentuan,   didefinisikan sebagai pemetaan identitas pada domain  ,  .
  • Jika bahkan   dan   menerima sebuah fungsi invers  , fungsional pangkat negatif   didefinisikan untuk   sebagai pangkat yang dinegasikan dari fungsi inversː  

Catatanː Jika   memiliki nilainya dalam sebuah gelanggang (khususnya untuk   bernilai real atau kompleks), terdapat sebuah risiko kebingungan, sebagai   bisa juga berarti produk  -lipat dari  , misalnya  . Untuk fungsi trigonometrik, biasanya yang terakhir berarti, setidaknya untuk eksponen positif. Sebagai contoh, dalam trigonometri, notasi superskrip ini mewakili eksponensiasi standar ketika digunakan dengan fungsi trigonometrikː  . Namun, untuk eksponen negatif (termasuk  ), biasanya merujuk pada fungsi invers, misalnya  .

Dalam beberapa kasus, ketika, untuk fungsi    yang diberikan, persamaan   memiliki sebuah penyelesaian yang unik  , yang fungsinya dapat didefinisikan sebagai akar kuadrat fungsional  , maka ditulis sebagai  .

Lebih umum lagi, jika   memiliki sebuah penyelesaian yang unik untuk setiap bilangan asli  , maka   bisa didefinisikan sebagai  

Di bawah batas tambahan, ide ini bisa digeneralisasikan sehingga perhitungan berulang menjadi sebuah parameter kontinu, dalam kasus ini, seperti sistem itu disebut alir, ditentukan melalui penyelesaian persamaan Schröder. Fungsi yang berulang dan alir terjafi secara alami dalam studi fraktal dan sistem dinamikal.

Untuk menghindari ambiguitas, beberapa matematikawan[butuh rujukan] memilih untuk menggunakan   untuk melambangkan pengertian komposisional, menulis   untuk berulang ke-  dari fungsi  , seperti, misalnya,   berarti  . Untuk tujuan yang sama,   digunakan oleh Benjamin Peirce, sedangkan Alfred Pringsheim dan Jules Molk menyarankan   sebagai gantinya.

Gagasan alternatifSunting

Banyak matematikawan, khususnya di teori grup, menghilangkan simbol komposisi, menulis   untuk  .

Dalam pertengahan abad ke-20, beberapa matematikawan memutuskan bahwa menulis " " berarti "pertama terapkan  , kemudian terapkan  " terlalu membingungkan dan memutuskan untuk mengubah notasi. Mereka menulis " " untuk " " dan " " untuk " ". Ini bisa lebih alami dan tampak lebih sederhana daipada menulis fungsi pada sebelah kiri dalam beberapa area – dalam aljabar linear, sebagai contoh, ketika   adalah sebuah vektor baris dan   dan   melambangkan matriks dan komposisinya berdasarkan notasi postfiks. Urutannya penting karena komposisi fungsi tidak perlu komutatif (misalnya perkalian matriks). Transformasi berurutan yang menerapkan dan menyusun ke kanan sesuai dengan urutan pembacaan kiri-ke-kanan.

Matematikawan yang menggunakan notasi postfiks dapat menulis " ", berarti pertama terapkan   dan kemudian terapkan  , sesuai dengan urutan simbol-simbol yang terjadi di notasi postfiks, sehingga membuat notasi " " menjadi ambigu. Ilmu komputer dapat menulis " " untuk ini, dengan demikian mendisambiguasi urutan komposisi. Untuk membedakan operator komposisi kiri dari sebuah teks titik koma, dalam notasi Z, karakter ⨾ digunakan untuk komposisi relasi kiri. Karena semua fungsi adalah relasi biner, itu benar untuk digunakan menggunakan titik koma [gemuk] untuk komposisi fungsi juga (lihat artikel pada komposisi relasi untuk detail lebih lanjut pada notasi ini).

Operator komposisiSunting

Diberikan sebuah fungsi  , operator komposisi   didefinisikan sebagai operator yang memetakan fungsi ke fungsi sebagai

 

Operator komposisi dipelajari dalam bidang teori operator.

Dalam bahasa pemrogramanSunting

Komposisi fungsi muncul dalam satu bentuk atau lainnya dalam berbagai bahasa pemrograman.

Fungsi multivariatSunting

Komposisi parsial dimungkinkan untuk fungsi multivariat. Fungsinya dihasilkan ketika beberapa argumen  , dari fungsi   digantikan oleh fungsi   disebut sebuah komposisi   dan   dalam beberapa konteks teknik komputer, dalam dilambangkan  .

 

Ketika   adalah sebuah konstanta sederhana  , komposisi merosot menjadi sebuah penilaian (parsial), yang hasilnya juga dikenal sebagai batasan atau ko-faktor.

 

Secara umum, komposisi fungsi multivariat dapat melibatkan beberapa fungsi lainnya sebagai argumen, seperti dalam definisi fungsi rekursif primitif. Diberikan  , sebuah fungsi  -ari dan fungsi    -ari  , komposisi   dengan   adalah fungsi  -er.

 .

Ini terkadang disebut komposisi umum   dengan  . Komposisi parsial hanya dalam saru argumen disebutkan sebelumnya bisa dipakai dari skema yang lebih umum ini dengan mengatur semua fungsi argumen kecuali salah satu yang akan dipilih fungsi proyeksi yang sesuai. Disini   bisa dilihat sebagai sebuah fungsi vektor/bernilai tupel tunggal dalam skema yang umum ini, dalam hal ini tepatnya definisi standar dari komposisi fungsi.

Sebuah himpunan operasi finiter pada beberapa himpunan dasar   disebut klon jika itu memuat semua proyeksi dan ditutup di bawah komposisi umum. Perhatikan bahwa klon secara umum memuat operasi berbagai ariti. Gagasan komutasi juga mencair sebuah generalisasi yang menarik dalam kasus multivariat; sebuah fungsi   ariti   dikatakan untuk menukarkan dengan sebuah fungsi   ariti   jika   adalah sebuah homomorfisma mempertahankan  , dan sebaliknya yaituː

 .

Sebuah operasi unary selalu menukarkan dengan dirinya sendiri, tetapi ini belum tentu kasus untuk sebuah operasi biner (atau ariti lebih tinggi). Sebuah operasi biner (atau ariti lebih tinggi) yang menukarkan dengan dirinya sendiri disebut medial atau entropik.

GeneralisasiSunting

Komposisi bisa digeneralisasi ke relasi biner sembarang jika   dan   (lihat ×) adalah dua relasi biner, maka komposisi mereka   adalah relasi yang didefinisikan sebagai  . Tinjaulah sebuah fungsi sebagai sebuah kasus spesial dari sebuah relasi biner (yaitu relasi fungsional), komposisi fungsi memenuhi definsi untuk komposisi relasi. Sebuah lingkaran kecil   telah digunakan untuk notasi infiks komposisi relasi, serta fungsi. Ketika digunakan untuk mewakili komposisi fungsi   bagaimanapun, urutan teks dibalik untuk menjelaskan berbagai urutan operasi yang sesuai.

Komposisinya didefinisikan dengan cara yang sama untuk fungsi parsial dan teorema Cayley memiliki analognya disebut teorema Wagner–Preston.

Kategori himpunan dengan fungsi sebagai morfisme adalah kategori prototipe. Aksioma dari sebuah kategori sebenarnya terinspirasi dari sifat-sifat (dan juga definisi) atau komposisi fungsi. Strukturnya diberikan oleh komposisi bersifat aksiomatisasi dan digeneralisasikan dalam teori kategori dengan konsep morfisme sebagai fungsi pengganti kategori-teoretis. Urutan yang dibalik komposisi dalam rumus   berlaku untuk komposisi relasi menggunakan relasi percakapan, dan dengan demikian dalam teori grup. Struktur-struktur ini membentuk kategori belati.

TipografiSunting

Simbol komposisi   dikodekan sebagai U+2218 ring operator (HTML: ∘) ∘, ∘); lihat artikel simbol Derajat untuk karakter Unicode yang bermunculan serupa. Dalam TeX, itu ditulis \circ..

Lihat pulaSunting

CatatanSunting

Kesalahan pengutipan: Tag <ref> yang didefinisikan di <references> memiliki atribut kelompok "nb" yang tidak ditampilkan di teks sebelumnya.
Kesalahan pengutipan: Tag <ref> yang didefinisikan di <references> memiliki atribut kelompok "nb" yang tidak ditampilkan di teks sebelumnya.

Kesalahan pengutipan: Tag <ref> yang didefinisikan di <references> memiliki atribut kelompok "nb" yang tidak ditampilkan di teks sebelumnya.

ReferensiSunting

  1. ^ "Comprehensive List of Algebra Symbols". Math Vault (dalam bahasa Inggris). 2020-03-25. Diakses tanggal 2020-08-28. 
  2. ^ "3.4: Composition of Functions". Mathematics LibreTexts (dalam bahasa Inggris). 2020-01-16. Diakses tanggal 2020-08-28. 
  3. ^ Weisstein, Eric W. "Composition". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-08-28. 

Kesalahan pengutipan: Tag <ref> dengan nama "Bergman_2011" yang didefinisikan di <references> tidak digunakan pada teks sebelumnya.
Kesalahan pengutipan: Tag <ref> dengan nama "Velleman_2006" yang didefinisikan di <references> tidak digunakan pada teks sebelumnya.
Kesalahan pengutipan: Tag <ref> dengan nama "Rodgers_2000" yang didefinisikan di <references> tidak digunakan pada teks sebelumnya.
Kesalahan pengutipan: Tag <ref> dengan nama "Hollings_2014" yang didefinisikan di <references> tidak digunakan pada teks sebelumnya.
Kesalahan pengutipan: Tag <ref> dengan nama "Grillet_1995" yang didefinisikan di <references> tidak digunakan pada teks sebelumnya.
Kesalahan pengutipan: Tag <ref> dengan nama "Dömösi-Nehaniv_2005" yang didefinisikan di <references> tidak digunakan pada teks sebelumnya.
Kesalahan pengutipan: Tag <ref> dengan nama "Carter_2009" yang didefinisikan di <references> tidak digunakan pada teks sebelumnya.
Kesalahan pengutipan: Tag <ref> dengan nama "Ganyushkin-Mazorchuk_2008" yang didefinisikan di <references> tidak digunakan pada teks sebelumnya.
Kesalahan pengutipan: Tag <ref> dengan nama "Ivanov_2009" yang didefinisikan di <references> tidak digunakan pada teks sebelumnya.
Kesalahan pengutipan: Tag <ref> dengan nama "Gallier_2011" yang didefinisikan di <references> tidak digunakan pada teks sebelumnya.
Kesalahan pengutipan: Tag <ref> dengan nama "Barr-Wells_1990" yang didefinisikan di <references> tidak digunakan pada teks sebelumnya.
Kesalahan pengutipan: Tag <ref> dengan nama "ISOIEC13568" yang didefinisikan di <references> tidak digunakan pada teks sebelumnya.
Kesalahan pengutipan: Tag <ref> dengan nama "Bryant_1986" yang didefinisikan di <references> tidak digunakan pada teks sebelumnya.
Kesalahan pengutipan: Tag <ref> dengan nama "Tourlakis_2012" yang didefinisikan di <references> tidak digunakan pada teks sebelumnya.
Kesalahan pengutipan: Tag <ref> dengan nama "Lipcomb_1997" yang didefinisikan di <references> tidak digunakan pada teks sebelumnya.
Kesalahan pengutipan: Tag <ref> dengan nama "Hilton-Wu_1989" yang didefinisikan di <references> tidak digunakan pada teks sebelumnya.
Kesalahan pengutipan: Tag <ref> dengan nama "Cajori_1929" yang didefinisikan di <references> tidak digunakan pada teks sebelumnya.
Kesalahan pengutipan: Tag <ref> dengan nama "Herschel_1813" yang didefinisikan di <references> tidak digunakan pada teks sebelumnya.
Kesalahan pengutipan: Tag <ref> dengan nama "Herschel_1820" yang didefinisikan di <references> tidak digunakan pada teks sebelumnya.
Kesalahan pengutipan: Tag <ref> dengan nama "Peirce_1852" yang didefinisikan di <references> tidak digunakan pada teks sebelumnya.
Kesalahan pengutipan: Tag <ref> dengan nama "Peano_1903" yang didefinisikan di <references> tidak digunakan pada teks sebelumnya.

Kesalahan pengutipan: Tag <ref> dengan nama "Pringsheim-Molk_1907" yang didefinisikan di <references> tidak digunakan pada teks sebelumnya.

Bacaan lebih lanjutSunting

  • Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 2B Untuk Kelas XI Semester 2 Program IPA. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-503-3. 
  • Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 2B Untuk Kelas XI Semester 2 Program IPS. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-564-5. 

Pranala luarSunting