Basis (aljabar linear)

Dalam aljabar linear, basis adalah himpunan vektor, yang dalam sebuah kombinasi linear dapat merepresentasikan setiap vektor dalam suatu ruang vektor. Tidak ada elemen dalam himpunan vektor tersebut yang dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linear vektor-vektor lain. Basis juga dapat dianggap sebagai "sistem koordinat".[1]

Definisi formalSunting

Basis untuk ruang vektor   (atas medan  ) adalah suatu himpunan bagian   yang memenuhi:

  1. Setiap   dapat dituliskan sebagai   dengan  .
  2. Jika   representasi lain, maka   dan ada suatu permutasi   yang   dan  .

ContohSunting

 
Gambar ini mengilustrasikan basis standar pada R2. Vektor biru dan oranye adalah elemen dasarnya; vektor hijau dapat diberikan dalam istilah vektor basis, dan begitu juga bergantung linear padanya.
 
dan perkalian skalar
 
dimana   adalah bilangan real apa pun. Basis sederhana dari ruang vektor ini, disebut basis standar terdiri dari dua vektor e1 = (1,0) and e2 = (0,1), karena vektor apapun v = (a, b) dari R2 dapat ditulis secara unik sebagai
 
Pasangan vektor bebas linear lainnya R2, seperti (1, 1) dan (−1, 2), bentuk menjadi dasar R2.
  • Lebih umum lagi, jika F adalah bidang, himpunan   dari n-tupel dari elemen F adalah ruang vektor untuk penjumlahan dan perkalian skalar yang didefinisikan serupa. Karena
 
jadilah tupel n dengan semua komponen sama dengan 0, kecuali i yaitu 1. Kemudian   adalah basis dari   yang disebut basis standar dari  
 
Kumpulan polinomial apa pun yang hanya ada satu polinomial pada setiap derajat juga merupakan basis. Kumpulan polinomial seperti itu disebut urutan polinomial. Contoh (di antara banyak) urutan polinomial tersebut adalah polinomial basis Bernstein, dan polinomial Chebyshev.

Koordinat Sunting

Misalkan V menjadi ruang vektor berdimensi berhingga n di atas bidang F, dan

 

menjadi dasar dari V. Menurut definisi basis, setiap v pada V dapat ditulis, dengan cara yang unik, seperti

 

dimana koefisiennya   adalah skalar (yaitu, elemen F), yang disebut koordinat dari v di atas B. Namun, jika seseorang berbicara tentang himpunan koefisien, seseorang kehilangan korespondensi antara koefisien dan elemen basis, dan beberapa vektor mungkin memiliki himpunan koefisien yang sama. Sebagai contoh,   dan   memiliki koefisien yang sama {2, 3}, dan berbeda. Oleh karena itu, sering kali nyaman untuk bekerja dengan dasar yang teratur; ini biasanya dilakukan oleh pengindeksan elemen dasar oleh bilangan asli pertama. Kemudian, koordinat vektor membentuk urutan dengan indeks serupa, dan vektor sepenuhnya dicirikan oleh urutan koordinat. Basis terurut juga disebut frame, kata yang biasa digunakan, dalam berbagai konteks, untuk merujuk ke urutan data yang memungkinkan penentuan koordinat.

Misalkan, seperti biasa,   menjadi himpunan n-tupel dari elemen F. Himpunan ini adalah F ruang vektor, dengan penjumlahan dan perkalian skalar ditentukan berdasarkan komponen. Peta

 

is a linear isomorphism from the vector space   onto V. In other words,   is the coordinate space of V, and the n-tuple   is the coordinate vector of v.

Gambar invers oleh   pada   adalah n-tupel   semua yang komponennya 0, kecuali yang ke i yaitu 1.   membentuk dasar terurut dari   yang disebut standar dasar atau dasar kanonik. Dasar yang diurutkan B adalah gambar oleh   dari dasar kanonik  .

Ini mengikuti dari apa yang mendahului setiap basis terurut adalah gambar dengan isomorfisme linier dari basis kanonik  , dan bahwa setiap isomorfisme linier dari   ke V dapat didefinisikan sebagai isomorfisme yang memetakan dasar kanonik   ke urutan tertentu dasar dari V. Dengan kata lain, ini setara dengan mendefinisikan basis terurut dari V, atau isomorfisme linier dari   ke V.

Perubahan basisSunting

Maka V jadilah ruang vektor berdimensi n di atas bidang F. Diberikan dua pangkalan (order)   dan   dari V, sering kali berguna untuk menyatakan koordinat vektor x sehubungan dengan   dalam hal koordinat sehubungan dengan   Ini dapat dilakukan dengan rumus perubahan-basis , yang dijelaskan di bawah ini. Subskrip "lama" dan "baru" telah dipilih karena biasa digunakan untuk merujuk   dan   sebagai dasar lama dan dasar baru . Ini berguna untuk menggambarkan koordinat lama dengan yang baru, karena, secara umum, seseorang memiliki ekspresi yang melibatkan koordinat lama, dan jika seseorang ingin mendapatkan ekspresi yang setara dalam hal koordinat baru; ini diperoleh dengan mengganti koordinat lama dengan ekspresi mereka dalam bentuk koordinat baru.

Biasanya, vektor basis baru diberikan oleh koordinatnya di atas basis lama, yaitu

 

If   and   are the coordinates of a vector x over the old and the new basis respectively, the change-of-basis formula is

 

for i = 1, ..., n.

Rumus ini dapat ditulis secara ringkas dalam notasi matriks. Misalkan A adalah matriks dari   dan

  dan  

jadilah vektor kolom dari koordinat v di basis lama dan basis baru, maka rumus untuk mengubah koordinat adalah

 

Rumusnya dapat dibuktikan dengan mempertimbangkan dekomposisi vektor x pada dua basa: satu memiliki

 

dan

 

Rumus perubahan basis kemudian dari keunikan dekomposisi vektor atas basis, di sini   adalah

 

untuk i = 1, ..., n.

Lihat pulaSunting

CatatanSunting

  1. ^ Halmos, Paul Richard (1987) Finite-dimensional vector spaces (4th edition) Springer-Verlag, New York, page 10, ISBN 0-387-90093-4

ReferensiSunting

Referensi umumSunting

Referensi sejarahSunting