Fungsi Lipschitz

Dalam analisis matematika, fungsi Lipschitz adalah fungsi yang memenuhi sifat kekontinuan Lipschitz; sebuah bentuk tegas sifat kekontinuan seragam untuk fungsi. Fungsi dan sifat kekontinuan ini dinamai dengan nama matematikawan Jerman Rudolf Lipschitz. Secara intuitif, fungsi kontinu Lipschitz memiliki batasan seberapa cepat nilainya dapat berubah: ada sebuah bilangan real sehingga untuk setiap garis yang dibentuk dari sembarang dua titik di grafik fungsi, nilai mutlak dari besar kemiringan garis tersebut tidak akan melebihi bilangan real tersebut. Sebagai contoh, setiap fungsi yang turunan pertamanya terbatas termasuk fungsi kontinu Lipschitz.[1] Bilangan real terkecil yang memenuhi sifat kekontinuan Lipschitz disebut dengan konstanta Lipschitz dari fungsi.

Untuk sebuah fungsi kontinu Lipschitz, akan ada suatu kerucut ganda (berwarna putih) yang pusatnya dapat bergerak sepanjang grafik fungsi, dan seluruh grafik fungsi akan selalu berada diluar kerucut ganda tersebut.

Dalam teori persamaan diferensial, kekontinuan Lipschitz adalah kondisi penting pada teorema Picard–Lindelöf yang menyatakan keberadaan dan keunikan solusi masalah nilai awal. Bentuk khusus dari kekontinuan Lipschitz, yang disebut kontraksi, digunakan dalam teorema titik-tetap Banach.[2]

Berikut adalah rantai subset untuk fungsi atas interval tertutup dan terbatas (dan tidak trivial) pada garis bilangan:

Terdiferensialkan seragamkontinu Lipschitzkontinu Hölder-α

dengan 0 < α ≤ 1. Selain itu, juga terdapat hubungan

Kontinu Lipschitzkontinu absolut.

DefinisiSunting

Untuk dua ruang metrik   dan  , dengan   menyatakan metrik pada himpunan   dan   menyatakan metrik pada himpunan  , sebuah fungsi   dikatakan kontinu Lipschitz jika ada konstanta real   sedemikian sehingga, untuk semua   dan   di   akan berlaku

 [3]

Setiap   yang memenuhi pernyataan di atas disebut sebagai konstanta Lipschitz untuk fungsi  , walau terkadang istilah ini merujuk pada nilai   yang terkecil. Fungsi   terkadang juga disebut fungsi Lipschitz- . Secara khusus, sebuah fungsi bernilai real   disebut kontinu Lipschitz jika ada bilangan real positif   sehingga untuk setiap real   dan  , berlaku

 

Dalam kasus ini   adalah himpunan bilangan real   dengan metrik standar  , dan   adalah subset dari  .

Secara umum, pertidaksamaan (secara trivial) terpenuhi ketika  . Selain kasus itu, fungsi kontinu Lipschitz dapat didefinisikan dengan keberadaan konstanta   sehingga untuk semua  ,

 

Untuk fungsi multivariabel bernilai real, definisi terpenuhi jika dan hanya jika semua nilai mutlak kemiringan garis sekan pada fungsi terbatas oleh  . Himpunan semua garis sekan pada fungsi dapat digunakan untuk membentuk kerucut ganda (lihat gambar), dan sebuah fungsi dikatakn Lipschitz jika dan hanya jika keseluruhan fungsi terletak di luar kerucut ganda ini.

Sebuah fungsi dikatakan kontinu Lipschitz [secara] lokal jika untuk setiap   ada sebuah lingkungan   dari   sehingga   kontinu Lipschitz di  .

Secara lebih umum, sebuah fungsi   yang terdefinisi pada   dikatakan kontinu Hölder atau memenuhi kondisi Hölder pangkat (orde)   pada  , jika ada sebuah konstanta   sedemikian sehingga

 

untuk semua   dan   di  . Terkadang kondisi Hölder pangkat α juga disebut sebagai kondisi Lipschitz seragam pangkat  .

Jika terdapat   dengan

 

maka   dikatakan bilipschitz atau bi-Lipschitz. Pemetaan bilipschitz bersifat injektif, dan faktanya sebuah homeomorfisme ke citranya. Sebuah fungsi bilipschitz sama dengan fungsi Lipschitz injektif yang fungsi inversnya juga merupakan fungsi Lipschitz.

ReferensiSunting

  1. ^ Sohrab, H. H. (2003). Basic Real Analysis. 231. Birkhäuser. hlm. 142. ISBN 0-8176-4211-0. 
  2. ^ Thomson, Brian S.; Bruckner, Judith B.; Bruckner, Andrew M. (2001). Elementary Real Analysis. Prentice-Hall. hlm. 623. 
  3. ^ Searcóid, Mícheál Ó (2006), "Lipschitz Functions", Metric Spaces, Springer undergraduate mathematics series, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-1-84628-369-7