Integral volume

Dalam matematika (terutama kalkulus multivariabel), integral volume (∭) adalah integral pada domain berdimensi tiga. Dengan kata lain, integral volume adalah kasus khusus dari integral lipat. Integral volume sangatlah berguna dalam bidang fisika, misalnya untuk perhitungan kerapatan fluks, atau perhitungan massa dari suatu fungsi kerapatan.

Sistem Koordinat

Diberikan suatu himpunan $D\subseteq \mathbb {R} ^{3}$. Dalam sistem koordinat Kartesius, maka integral volume dari suatu fungsi $f(x,\,y,\,z)$ pada daerah $D$ ditulis sebagai: $$\iiint _{D}f(x,\,y,\,z)\,{\text{d}}x\,{\text{d}}y\,{\text{d}}z$$ Integral volume pada daerah $D$ dalam sistem koordinat tabung ialah $$\iiint _{D}f(r,\,\theta ,\,z)\cdot r\,{\text{d}}r\,{\text{d}}\theta \,{\text{d}}z$$ dan integral volume pada daerah $D$ dalam sistem koordinat bola memiliki bentuk umum $$\iiint _{D}f(r,\,\theta ,\,\varphi )\cdot r^{2}\sin \!\left(\theta \right)\,{\text{d}}r\,{\text{d}}\theta \,{\text{d}}\varphi$$ dengan $\varphi$ menyatakan sudut azimut dan $\theta$ diukur dari sumbu polar, sesuai dengan konvensi ISO.

Contoh

Mengintegralkan fungsi $f(x,\,y,\,z)=1$ pada kubus satuan akan menghasilkan $${\begin{aligned}\iiint _{D}f(x,\,y,\,z)\,{\text{d}}x\,{\text{d}}y\,{\text{d}}z&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}1\,{\text{d}}x\,{\text{d}}y\,{\text{d}}z\\&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}(1-0)\,{\text{d}}y\,{\text{d}}z\\&=\int _{0}^{1}(1-0)\,{\text{d}}z\\&=1-0\end{aligned}}$$

yang berarti volume dari suatu kubus satuan ialah 1, sesuai dengan ekspektasi. Hasil ini mungkin terlihat sepele, namun kegunaan integral volume jauh lebih daripada itu. Misalnya, jika diberikan suatu skalar fungsi kepadatan pada kubus satuan, maka integral volume akan memberikan massa total dari kubus tersebut. Sebagai contoh, jika fungsi kepadatannya ialah $f(x,\,y,\,z)=x+y+z$, maka total massa yang dimiliki kubus satuan ialah $${\begin{aligned}\iiint _{D}f(x,\,y,\,z)\,{\text{d}}x\,{\text{d}}y\,{\text{d}}z&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\left(x+y+z\right)\,{\text{d}}x\,{\text{d}}y\,{\text{d}}z\\&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\left({\dfrac {1}{2}}+y+z\right)\,{\text{d}}y\,{\text{d}}z\\&=\int _{0}^{1}\left(1+z\right)\,{\text{d}}z\\&={\dfrac {3}{2}}\end{aligned}}$$

Lihat juga

• Teorema divergensi
• Integral permukaan
• Elemen volume

Pranala luar

• (Inggris) Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Multiple integral", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Volume integral". MathWorld.