Buka menu utama

Deret pangkat (satu variabel) dalam matematika adalah deret tak terhingga dalam bentuk

dengan an melambangkan koefisien suku ke-n, c adalah konstanta dan x berubah-ubah di sekitar c (karena alasan ini kadang-kadang deret seperti ini dikatakan berpusat di c). Deret ini biasanya berupa deret Taylor dari suatu fungsi.

Pada banyak keadaan c sama dengan nol, contohnya pada deret Maclaurin. Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana:

Deret pangkat biasanya ditemukan dalam analisis matematika, tetapi juga dapat ditemukan pada kombinatorika (dengan nama fungsi pembangkit), dan pada teknik elektro (dengan nama transformasi Z).

Fungsi eksponensial (biru), dan jumlah n+1 elemen pertama dari deret pangkat Maclaurin (merah).

ContohSunting

Setiap polinomial dapat diekspresikan dengan mudah sebagai sebuah deret pangkat di sekitar pusat c, meskipun kebanyakan koefisien akan sama dengan nol karena suatu deret pangkat mempunyai elemen yang tak terhingga banyaknya menurut definisi. Misalnya, polinomial   dapat ditulis sebagai suatu deret pangkat sekitar pusat   sebagai

 

atau sekitar pusat   sebagai

  

atau sesungguhnya sekitar pusat c manapun.[1] Deret pangkat dapat dipandang seperti "polinomials dengan derajat tak terhingga," meskipun deret pangkat bukanlah polinomial.

Rumus deret geometri

 

valid untuk  , merupakan salah satu contoh paling penting untuk deret pangkat, sebagaimana rumus fungsi eksponensial

 

dan rumus sinus

 

valid untuk semua bilangan real x.

Semua deret pangkat ini juga merupakan contoh untuk deret Taylor.

Pangkat negatif tidak diizinkan dalam deret pangkat, misalnya   tidak dianggap sebagai suatu deret pangkat (meskipun merupakan suatu deret Laurent). Demikian pula, pangkat pecahan seperti   tidak diizinkan (tetapi lihat deret Puiseux). Koefisien-koefisien   tidak diizinkan untuk bergantung kepada  , jadi misalnya:

  bukan suatu deret pangkat.

Jari-jari konvergensiSunting

Deret pangkat akan bersifat konvergen untuk sejumlah nilai variabel x dan dapat bersifat divergen untuk yang lain. Semua deret pangkat f(x) dalam pangkat (x-c) akan bersifat konvergen pada x = c. (Nilai yang benar f(c) = a0 membutuhkan penafsiran ekspresi 00 sama dengan 1.) Jika c bukan satu-satunya titik konvergen, maka pasti ada satu bilangan r di mana 0 < r ≤ ∞ sedemikian sehingga deret itu menjadi konvergen kapan saja |xc| < r dan divergen bilamana |xc| > r. Bilangan r disebut "jari-jari konvergensi" ("radius of convergence") suatu deret pangkat; secara umum dihitung sebagai:

 

atau, secara ekuivalen,

 

Operasi pada deret pangkatSunting

Penjumlahan dan penguranganSunting

Bilamana dua fungsi f dan g didekomposisi menjadi deret pangkat sekitar pusat c yang sama, deret pangkat dari jumlah atau selisih kedua fungsi itu dapat dihitung masing-masing dengan penjumlahan atau pengurangan. Yaitu, jika:

 
 

maka

 

Perkalian dan pembagianSunting

Dengan definisi yang sama seperti di atas, hasil kali dan hasil bagi deret pangkat dari kedua fungsi itu dapat diperoleh sebagai berikut:

 
 
 

Urutan   dikenal sebagai konvolusi urutan   dan  .

Untuk pembagian, perhatikan:

 
 

dan kemudian gunakan koefisien-koefisien pembanding di atas.

Diferensiasi dan integrasiSunting

Bilamana suatu fungsi dinyatakan sebagai deret pangkat, maka fungsi itu dapat dihitung diferensialnya pada interior ranah konvergensi. Dapat dihitung diferensial dan integral dengan mudah dengan mengerjakan setiap elemen secara terpisah:

 
 

Kedua deret ini memiliki jari-jari konvergensi yang sama dengan deret asalnya.

Fungsi analitikSunting

Sebuah fungsi f didefinisikan pada sejumlah subset terbuka U dari R atau C disebut analitik jika secara lokal dihitung sebagai deret pangkat konvergen. Ini berarti bahwa setiap aU mempunyai neighborhood terbuka VU, sedemikian sehingga ada suatu deret pangkat dengan pusat a yang konvergen ke f(x) untuk setiap xV.

Deret pangkat formalSunting

Dalam aljabar abstrak, diupayakan untuk menangkap makna deret pangkat tanpa dibatasi pada bidang bilangan real dan kompleks, serta tanpa membutuhkan pembicaraan mengenai konvergensi. Ini mengarah kepada konsep deret pangkat formal, suatu konsep yang sangat bermanfaat dalam kombinatorika aljabar.

Deret pangkat dalam beberapa variabelSunting

Suatu kepanjangan teori ini dibutuhkan untuk tujuan kalkulus multivariabel. Deret pangkat di sini didefinisikan sebagai suatu deret tak terhingga dengan bentuk

 

di mana j = (j1, ..., jn) adalah vektor bilangan asli; koefisien a(j1,...,jn) biasanya adalah bilangan real atau kompleks, dan pusat c = (c1, ..., cn) serta argumen x = (x1, ..., xn) biasanya adalah vektor real atau kompleks. Notasi multi-index yang lebih sederhana dapat ditulis

 

Tingkatan deret pangkatSunting

Misalkan α adalah suatu multi-indeks untuk deret pangkatf(x1, x2, …, xn). Tingkatan (order) dari deret pangkat f didefinisikan sebagai nilai terkecil |α| sedemikian sehingga aα ≠ 0, atau 0 jika f ≡ 0. Khususnya, untuk deret pangkat f(x) dalam variabel tunggal x, tingkatan f adalah pangkat terkecil dari x dengan koefisien bukan-nol. Definisi ini mudah dikembangkan ke deret Laurent.

Lihat pulaSunting

ReferensiSunting

  1. ^ Howard Levi (1967). Polynomials, Power Series, and Calculus. Van Nostrand. hlm. 24. 

Pranala luarSunting